TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156908152" 01 阿波羅尼斯圓與圓錐曲線 PAGEREF _Tc156908152 \h 2
\l "_Tc156908153" 02 蒙日圓 PAGEREF _Tc156908153 \h 4
\l "_Tc156908154" 03 阿基米德三角形 PAGEREF _Tc156908154 \h 6
\l "_Tc156908155" 04 仿射變換問題 PAGEREF _Tc156908155 \h 10
\l "_Tc156908156" 05 圓錐曲線第二定義 PAGEREF _Tc156908156 \h 12
\l "_Tc156908157" 06 焦半徑問題 PAGEREF _Tc156908157 \h 16
\l "_Tc156908158" 07 圓錐曲線第三定義 PAGEREF _Tc156908158 \h 19
\l "_Tc156908159" 08 定比點(diǎn)差法與點(diǎn)差法 PAGEREF _Tc156908159 \h 21
\l "_Tc156908160" 09 切線問題 PAGEREF _Tc156908160 \h 25
\l "_Tc156908161" 10 焦點(diǎn)三角形問題 PAGEREF _Tc156908161 \h 28
\l "_Tc156908162" 11 焦點(diǎn)弦問題 PAGEREF _Tc156908162 \h 30
\l "_Tc156908163" 12 圓錐曲線與張角問題 PAGEREF _Tc156908163 \h 32
\l "_Tc156908164" 13 圓錐曲線與角平分線問題 PAGEREF _Tc156908164 \h 34
\l "_Tc156908165" 14 圓錐曲線與通徑問題 PAGEREF _Tc156908165 \h 38
\l "_Tc156908166" 15 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題 PAGEREF _Tc156908166 \h 40
\l "_Tc156908167" 16 圓錐曲線與四心問題 PAGEREF _Tc156908167 \h 43
01 阿波羅尼斯圓與圓錐曲線
1．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點(diǎn)和點(diǎn)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，令，則，
由題知圓是關(guān)于點(diǎn)A、C的阿波羅尼斯圓，且，
設(shè)點(diǎn)，則，
整理得：，
比較兩方程可得：，，，即，，點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的位置時(shí)，的值最大，最大為.
故選：B.
2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知過定點(diǎn)，
過定點(diǎn)，
因?yàn)?，，所以，即?br>所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，故圓心為，半徑為3，
則的軌跡方程為，即，易知O、Q在該圓內(nèi)，
又，
即，
取，則，又，
所以，
所以的最小值為.
故選：A.
3．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值，且的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．的方程為
B．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則
C．在C上存在點(diǎn)M，使得
D．若，則的最小值為
【答案】C
【解析】設(shè)，由，得，化簡得，故A正確；
當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，，所以是的角平分線，所以，故B正確；
設(shè),則，化簡得，因?yàn)?，所以C上不存在點(diǎn)M，使得，故C錯(cuò)
誤；
因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號成立，故D正確.
故選：C.
02 蒙日圓
4．（2024·青海西寧·統(tǒng)考）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：（）的蒙日圓為，則橢圓Γ的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
如圖，分別與橢圓相切，顯然.
所以點(diǎn)在蒙日圓上，
所以，所以，即，
所以橢圓的離心率.
故選：D
5．（2024·陜西西安·長安一中?？迹懊扇請A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)闄E圓：的離心率為，則，解得，即橢圓的方程為，
于是橢圓的上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，經(jīng)過兩點(diǎn)的橢圓切線方程分別為，，
則兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然這兩條切線互相垂直，因此點(diǎn)在橢圓的蒙日圓上，
圓心為橢圓的中心O，橢圓的蒙日圓半徑，
所以橢圓的蒙日圓方程為.
故選：B
6．（2024·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：圓錐曲線的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，這個(gè)圓稱為蒙日圓.已知橢圓的方程為，是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線與橢圓相切于、兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接，當(dāng)為直角時(shí)，則（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【解析】根據(jù)蒙日圓定義，圓方程為，
因?yàn)橹本€與圓交于、兩點(diǎn)，聯(lián)立，可得或，
即點(diǎn)、，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，為直角，且，，
所以，直線的斜率為或.
故選：D.
03 阿基米德三角形
7．（2024·陜西銅川·統(tǒng)考）古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為 ②若，則
③存在點(diǎn)，使得 ④的最小值為
A．①③B．②④C．②③D．①④
【答案】D
【解析】對于①：由，解得，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故①正確；
對于②：由定義可知，
由余弦定理可得：
，整理得，
則，故②錯(cuò)誤；
對于③：設(shè)，
，
，由于，
，
則不存在點(diǎn)，使得，故③錯(cuò)誤；
對于④：，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，等號成立，故④正確；
故選：D
8．（2024·河北·校聯(lián)考）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個(gè)兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過焦點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)
B．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)
C．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)
D．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)
【答案】D
【解析】設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，由得：，在處的切線方程為：，
即，；
同理可得：當(dāng)時(shí)，在處的切線方程切線方程為；
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，切線方程為，滿足，
過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：；
設(shè)，
則拋物線在處的切線方程為和，，
點(diǎn)滿足直線方程：，又直線過焦點(diǎn)，
，解得：，點(diǎn)必在直線上；AC錯(cuò)誤；
由題意知：，，
，，；
設(shè)直線方程為：，
由得：，，，即，
以為直徑的圓過點(diǎn)；B錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
9．（2024·青海西寧·統(tǒng)考）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的斜率之積為定值．設(shè)拋物線，弦AB過焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)且，直線，聯(lián)立，
整理得，則．
設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立，
整理得，由，可得，
則過A的切線為：，即，即，即，
同理可得過點(diǎn)的切線斜率為，過點(diǎn)B的切線方程為：，
聯(lián)立兩切線，則，
所以兩條切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上，則，
兩式相減得，
，可得，，
又因?yàn)橹本€的斜率為，（也成立），
如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，
的面積，
當(dāng)軸時(shí)，最短（最短為），也最短（最短為），
此時(shí)的面積取最小值．
故選：B
04 仿射變換問題
10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，分別為橢圓左右焦點(diǎn)，過作兩條互相平行的弦，分別與橢圓交于四點(diǎn)，若當(dāng)兩條弦垂直于軸時(shí)，點(diǎn)所形成的平行四邊形面積最大，則橢圓離心率的取值范圍為 .
【答案】
【解析】作仿射變換，令，可得仿射坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系中，上述橢圓變換為圓，點(diǎn)坐標(biāo)分別為，過作兩條平行的弦分別與圓交于四點(diǎn).
由平行四邊形性質(zhì)易知，三角形的面積為四點(diǎn)所形成的平行四邊形面積的，故只需令三角形面積的最大值在弦與軸垂直時(shí)取到即可.當(dāng)時(shí)，三角形面積的最大值在弦與軸垂直時(shí)取到.
故此題離心率的取值范圍為.
故答案為：.
11．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓左頂點(diǎn)為，為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且， （是非零實(shí)數(shù)），求 .
【答案】1
【解析】解法1：可得點(diǎn)，設(shè)，則，
由可得，即有，
，，兩邊同乘以，可得，解得，將代入橢圓方程可得，由可得，可得；
故答案為：．
解法2：作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，
，
設(shè)，則，
，
∴，
，
∴.
故答案為：．
12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，作斜率為的直線與橢圓交于 兩點(diǎn)，且在直線的上方，則△內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為 ．
【答案】
【解析】如圖，作仿射變換：，橢圓變?yōu)?，直線的斜率變?yōu)橹本€的斜率，變?yōu)?br>，
由垂徑定理平分，其方程為，
平分，
△內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為．
故答案為：
05 圓錐曲線第二定義
13．（2024·四川眉山·校考模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，
過、分別作于，于，于，
如圖所示：
因?yàn)橹本€的斜率為，
所以直線的傾斜角為，
∴，，
由雙曲線的第二定義得：，
又∵，
∴，
∴
故選：B
14．（2024·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A，B，滿足，則弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【解析】解法1：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，，則∵，由拋物線定義可知，∴，又因?yàn)?，所以即，由①②可得?br>所以.∵，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，則弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離，d最大值是.
∴弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離的最大值是，
故選：B.
解法2：弦AB的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離，根據(jù)結(jié)論，，，
故選：B.
15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|取得最小值，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（ ）
A．B．，
C．D．，
【答案】A
【解析】因?yàn)闄E圓方程為=1，所以橢圓得離心率，
設(shè)點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線的距離為d，根據(jù)橢圓第二定義有：
，所以，所以
表示橢圓上一點(diǎn)M到橢圓內(nèi)定點(diǎn)P和到橢圓右準(zhǔn)線的距離之和，
當(dāng)垂直于右準(zhǔn)線時(shí)，取得最小值.此時(shí)的縱
坐標(biāo)為-1，代入橢圓方程=1，求得的橫坐標(biāo)為.
所以點(diǎn)M坐標(biāo)為，故B，C，D錯(cuò)誤.
故選：A.
16．（2024·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考）過拋物線焦點(diǎn)F的直線與該拋物線及其準(zhǔn)線都相交，交點(diǎn)從左到右依次為A，B，C.若，則線段BC的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，漸近線的方程為：，
由，可得
由于拋物線的對稱性，不妨假設(shè)直線和拋物線位置關(guān)系如圖示：作垂直于準(zhǔn)線于，
準(zhǔn)線交x軸與N,則 ,
故，故 ,
而x軸，故,
所以直線的傾斜角為 ，
所以直線的方程為，
設(shè)，，，，
聯(lián)立，整理可得：，
可得，
所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
則線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 ，
故選：B．
06 焦半徑問題
17．（2024·安徽·高二統(tǒng)考期末）過拋物線(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】拋物線轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，
焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)過的直線方程為，
，整理得．
設(shè)，，，
由韋達(dá)定理可知：，，
，
，
根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，，，
，
的值為，
故選：C．
18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）長為11的線段AB的兩端點(diǎn)都在雙曲線的右支上，則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由雙曲線可知，a＝3，b＝4，c＝5，設(shè)AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，，
則，，
，當(dāng)且僅當(dāng)F、A、B共線且不垂直軸時(shí)，m取得最小值，此時(shí)．
檢驗(yàn): 如圖，當(dāng)F、A、B共線且軸時(shí)，為雙曲線的通徑，則根據(jù)通徑公式得,所以軸不滿足題意.
綜上，當(dāng)F、A、B共線且不垂直軸時(shí)，m取得最小值，此時(shí)．
故選：B．
19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成長是m和n的兩部分，則m與n的關(guān)系是（ ）
A．m＋n＝mnB．m＋n＝4C．mn＝4D．無法確定
【答案】A
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線x＝－1，
設(shè)，把它代入得，
設(shè)，，則，由拋物線定義可得，，
∴，，
∴m＋n＝mn．
故選:A
20．已知為拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，的中點(diǎn)為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
因?yàn)槭窃搾佄锞€上的兩點(diǎn)，故，
所以，
又為梯形的中位線，所以，故到軸的距離為，故選C.
07 圓錐曲線第三定義
21．（2024·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】先根據(jù)拋物線的定義將焦點(diǎn)弦長問題轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的兩倍，進(jìn)而用中點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，設(shè)直線AB的方程為：(m為常數(shù)),與拋物線方程聯(lián)立消去,得到關(guān)于y的一元二次方程，利用中點(diǎn)公式和韋達(dá)定理求得m的值，進(jìn)而得到中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得線段AB的長度.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0),準(zhǔn)線方程,
設(shè)AB的中點(diǎn)為M,過A,B,M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為C,D,N,則MN為梯形ABDC的中位線，,
∵直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F,∴可設(shè)直線AB的方程為：(m為常數(shù)),
代入拋物線的方程消去x并整理得：,
設(shè)A,B的縱坐標(biāo)分別為,線段AB中點(diǎn),
則,,
∴直線AB的方程為,,
，
故選：C.
22．（2024·河北石家莊·高三石家莊二中校考開學(xué)考試）過橢圓上一點(diǎn)作圓的切線，且切線的斜率小于，切點(diǎn)為，交橢圓另一點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率（ ）
A．為定值B．為定值C．為定值D．隨變化而變化
【答案】C
【解析】設(shè),,則,化簡可得 .因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn),故.
代入化簡可得的斜率.
又直線與垂直,故,解得,代入圓可得.故直線的斜率為為定值.
故選：C
23．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考）已知雙曲線上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為（ ）．
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，關(guān)于直線對稱，，在雙曲線上，整理可得，進(jìn)而可得到離心率.設(shè)，，
且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，
又，關(guān)于直線對稱，
所以，
且，在雙曲線上，
，，
相減可得，即，
故，即，
離心率為，
故選：B.
08 定比點(diǎn)差法與點(diǎn)差法
24．（2024·浙江溫州·高三溫州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，P為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線PA，PB，斜率分別為，.若為定值，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)
則過的直線方程為
將直線方程與橢圓聯(lián)立可得
化簡可得
因?yàn)橄嗲?所以判別式

展開得
同時(shí)除以可得
合并可得
同除以,得
展開化簡成關(guān)于的方程可得
因?yàn)橛袃蓷l直線,所以有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.
因?yàn)闉槎ㄖ?可設(shè)
由韋達(dá)定理,
化簡得
又因?yàn)樵跈E圓上,代入可得
化簡可得
則,化簡可得
解得
故選:C
25．（2024·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)?？计谀┮阎甭蕿榈闹本€與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為（），那么的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．，或
【答案】A
【解析】先設(shè)，，再由點(diǎn)差法求出，再由點(diǎn)，在橢圓內(nèi)，求出的范圍即可得解.設(shè)，，
又點(diǎn)，在橢圓上，
則，，
兩式相減可得：，
又，
則，
又點(diǎn)，在橢圓內(nèi)，
則，
則，
所以，
故選：A.
26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓內(nèi)有一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的兩條直線，分別與橢圓交于A、C和B、D兩點(diǎn)，且滿足，，若變化時(shí)，直線CD的斜率總為，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)因?yàn)椋?，所以，同?將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程并化簡得，即，同理，由于，，所以，即，即，兩式相加得，即，所以，所以，故選A.
27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A、在橢圓上，若，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ．
【答案】，或，
【解析】橢圓中，，，
則左焦點(diǎn)，，右焦點(diǎn)，，設(shè)，，，．
則，
，
則有， 解得
由點(diǎn)，在橢圓上，則有
解之得，或
故有或即，或，
故答案為：，或，
09 切線問題
28．（2024·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，過點(diǎn)P作圓C：的切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】圓C的圓心為，半徑，標(biāo)準(zhǔn)單位圓的圓心為，半徑，
因?yàn)椋?br>可知圓C與標(biāo)準(zhǔn)單位圓外離，即點(diǎn)P在圓C外，
由題意可知：，
且，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號成立，
所以，即的最小值為.
故答案為：.
29．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線為：，設(shè)點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】/4.5
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，，即，，
則，整理得到，恒成立.
設(shè)，，則，是方程的兩個(gè)根，，
，則
，
當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故答案為：.
30．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點(diǎn)為，過上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）作的切線，與軸交于點(diǎn)．若，，則 ．
【答案】1
【解析】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：即，焦點(diǎn)，設(shè)，
因?yàn)?，所以拋物線在M處的切線方程為，
（另法：設(shè)拋物線在M處的切線方程為與聯(lián)立消去y，得到：，利用亦可求出）.
令，得，即，
由題，，
解得.
故答案為：.
31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓上一動(dòng)點(diǎn)分別向圓：和圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】，，，易知、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，
，
根據(jù)橢圓定義，
設(shè)，則，即，
則，
當(dāng)時(shí)，取到最小值．
當(dāng)時(shí)，取到最大值．
故的取值范圍為：.
故答案為：.
10 焦點(diǎn)三角形問題
32．（2024·河北張家口·高二張家口市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，因?yàn)樵俳Y(jié)合雙曲線方程可解出，再利用三角形面積公式可求出結(jié)果.設(shè)點(diǎn)，則①．
又，
②．
由①②得，
即，
，
故選B．
33．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知在雙曲線上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，三角形的內(nèi)切圓切x軸于點(diǎn)M，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在雙曲線上，可得，∴、，
如圖，設(shè)，內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)M，、與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為N、H，
∵由雙曲線的定義可得，由圓的切線長定理知，，
故，即，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，
則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，故，∴，
∴，
故選：C．
34．（2024·江西宜春·上高二中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線()的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如下圖示，延長到且，延長到且，
所以，即，
故是△的重心，即，又，
所以，而是的內(nèi)心，則，
由，則，故，即.
故選：D
11 焦點(diǎn)弦問題
35．（2024·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，是線段的三等分點(diǎn)，的周長為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由橢圓的定義，得，
的周長，所以，
所以橢圓.
不妨令點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為c，所以，可得，所以，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓E的方程，得
，，化簡得，又，
所以，得，所以.
所以，橢圓的方程為.
故選：A.
36．（2024·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線上，下列說法正確的是（ ）
A．若為直角三角形，則的周長是
B．若為直角三角形，則的面積是6
C．若為銳角三角形，則的取值范圍是
D．若為鈍角三角形，則的取值范圍是
【答案】C
【解析】因?yàn)殡p曲線，所以，
不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則，
若為直角三角形，
當(dāng)時(shí)，則，
又，即，
所以，
，
所以，
所以的周長是，的面積是；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
代入方程解得（負(fù)值舍去），所以，
故，所以，
所以的周長是，的面積是6，
綜上所述，若為直角三角形，
則的周長是或8，
的面積是3或6，
故A、B錯(cuò)誤；
若為銳角三角形，根據(jù)上述，則的取值范圍是，故C正確；
若為鈍角三角形，根據(jù)上述，則的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
12 圓錐曲線與張角問題
37．（2024·山東棗莊·統(tǒng)考）設(shè)、是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】 要使得橢圓上存在點(diǎn)滿足，則，即，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.
38．（2024·遼寧朝陽·高二統(tǒng)考期末）設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，，則 ，若點(diǎn)還滿足，則的面積為 .
【答案】 1
【解析】由知，由橢圓的對稱性得關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以-1.若，則四邊形為矩形，所以
故答案為： ，1.
39．（2024·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，過點(diǎn)且斜率為k的直線與圓交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上方），線段與橢圓交于點(diǎn)M，延長線與橢圓交于點(diǎn)N，且，則橢圓的離心率為 ，直線的斜率為 ．
【答案】
【解析】過原點(diǎn)作于點(diǎn),則為的中點(diǎn)，
又∵, ∴, 即的中點(diǎn)，
∴∥, ∴,
連接, 設(shè)，則，，，
在△中，，解得，
在△中，，整理得，
解得，
.
故答案為：；.
13 圓錐曲線與角平分線問題
40．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的平分線交拋物線于點(diǎn)，且，都在軸的上方，則直線的斜率為 .
【答案】/
【解析】由拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，
根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，所以，
如圖所示，因?yàn)?，可得，所以直線的斜率為，
可得直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，解得或（舍去），
因?yàn)槎荚谳S的上方，所以點(diǎn)，
又由的平分線交拋物線于點(diǎn)，可得，
所以直線的斜率為，所以直線的方程為
聯(lián)立方程組，整理得，解得或（舍去），
因?yàn)槎荚谳S的上方，所以點(diǎn)，
所以的斜率為.
故答案為：.
41．（2024·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C在第一象限上的一點(diǎn)，且直線的斜率為，的平分線交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B滿足，，則雙曲線C的漸近線方程為 ．
【答案】
【解析】過作，
由點(diǎn)滿足，
則在方向上的投影與在方向上的投影長度相等,
即，則,
即，即為的平分線,
則為的內(nèi)心，
連接，又點(diǎn)滿足,
,
,
又，則,
又直線的斜率為，,
在中結(jié)合余弦定理
，
可得，
化簡得，則，
即，即雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
42．（2024·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？迹┮阎p曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，點(diǎn)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，滿足，的平分線與相交于點(diǎn)，則分所得的兩個(gè)三角形的面積之比 .
【答案】或
【解析】如下圖所示：
因?yàn)殡p曲線的離心率為，則，所以，，
若點(diǎn)在右支上，且，則，解得，
因?yàn)榈钠椒志€與相交于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)可知，點(diǎn)到直線、的距離相等，
此時(shí)，；
若點(diǎn)在左支上，同理可求得，則.
綜上所述，或.
故答案為：或.
43．（2024·湖南·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，滿足的平分線與相交于點(diǎn)，則分所得的兩個(gè)三角形的面積之比 .
【答案】或
【解析】
設(shè)，因?yàn)樗裕?br>在Rt中，由勾股定理，得，①
又因?yàn)椋杂蓹E圓的定義得，②
聯(lián)立①②并化簡得：，顯然點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，
若點(diǎn)在第一或第四象限，
則，因?yàn)槭堑钠椒志€，所以；
若點(diǎn)在第二或第三象限，
則，因?yàn)槭堑钠椒志€，所以.
故答案為：或
44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓：上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的平分線與直線交于點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為 .
【答案】2
【解析】由橢圓的方程可得，，所以，
故，，又平分，則到、的距離相等，設(shè)為，則，
設(shè)，則，，
由是的中位線，易得，
即，由橢圓性質(zhì)易知，存在點(diǎn)為橢圓上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，使，此時(shí)最大，且為.
故答案為：
14 圓錐曲線與通徑問題
45．已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與的對稱軸垂直，與交于兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．18B．24C．36D．48
【答案】C
【解析】設(shè)拋物線的解析式為y2=2px（p＞0），
則焦點(diǎn)為F（，0），對稱軸為x軸，準(zhǔn)線為x=-∵直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，A、B是l與C的交點(diǎn)，
又∵AB⊥x軸
∴|AB|=2p=12
∴p=6
又∵點(diǎn)P在準(zhǔn)線上
∴DP=（ +|- |）=p=6
∴S△ABP=（DP?AB）= ×6×12=36
故選:C．
46．以軸為對稱軸，拋物線通徑的長為8，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】由題意，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸為對稱軸，且通經(jīng)長為8，
當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為，
可得，解得，所以拋物線方程為；
當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為，
可得，解得，所以拋物線方程為，
所以所求拋物線的方程為.
故選：C.
47．（2024·貴州黔東南·統(tǒng)考）過雙曲線的焦點(diǎn)與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段的長稱為雙曲線的通徑，其長等于(、分別為雙曲線的實(shí)半軸長與虛半軸長).已知雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)是雙曲線上位于第四象限的任意一點(diǎn)，直線是雙曲線的經(jīng)過第二、四象限的漸近線，于點(diǎn)，且的最小值為3，則雙曲線的通徑為 .
【答案】
【解析】
如圖所示，連接，由雙曲線的定義知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)，由到直線的距離，，由定義知通徑等于，
故答案為：.
15 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題
48．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則 ．
【答案】
【解析】如圖，由題意可知軸，，
將代入中得，即,
又，則，故的方程為，聯(lián)立，
可得，解得，或（此時(shí)C與B關(guān)于x軸對稱，不合題意），
則，故，
故答案為：.
49．（2024·山東青島·統(tǒng)考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與交于點(diǎn)、，直線為在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，、、三點(diǎn)共線.若，，則 .
【答案】/
【解析】如下圖所示：
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，
因?yàn)?，且?br>所以，，所以，，
可得，則，
所以，，故.
故答案為：.
50．（2024·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為,，P為橢圓上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)，I為的內(nèi)心，記直線OP，PI（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，的內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)分別為,設(shè),
則
，
故，，
，
由于點(diǎn)在第二象限，，所以
，故，
，因此，
，
當(dāng)代入得（負(fù)值舍去），
故答案為：
16 圓錐曲線與四心問題
51．（2024·海南?？凇ば？寄M預(yù)測）已知、是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且 ，若為的內(nèi)心，則面積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由橢圓的方程可得，，，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，
可得，
而，所以，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，即．
故選：C．
52．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，，分別為的重心和內(nèi)心，則（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】
由橢圓可得，，
如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別相切與，，，
，分別為的重心和內(nèi)心．
則，，，
所以，
所以
故選：D
53．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上，則下列命題正確的有（ ）
A．若直線BC過點(diǎn)，則存在點(diǎn)A使為直角三角形；
B．若直線BC過點(diǎn)，則存在使拋物線的焦點(diǎn)恰為的重心；
C．存在，使拋物線的焦點(diǎn)恰為的外心；
D．若邊AC的中線軸，，則的面積為
【答案】AB
【解析】設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
A選項(xiàng)，直線BC過點(diǎn)，設(shè)BC方程為，
聯(lián)立，消去x得，，
，
，
，
所以，而點(diǎn)O在拋物線上，故A正確；
B選項(xiàng)，直線BC過點(diǎn)，設(shè)BC方程為，
聯(lián)立，消去x，得，，
拋物線的焦點(diǎn)恰為的重心，
，，
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，則，所以，
當(dāng)時(shí)，，故B正確；
C選項(xiàng)，設(shè)以拋物線焦點(diǎn)為圓心的圓半徑為r，
其方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，，
方程至多只有一個(gè)非負(fù)解，即圓與拋物線至多只有兩個(gè)交點(diǎn)，
不存在，使拋物線的焦點(diǎn)恰為的外心，故C不正確；
D選項(xiàng)，AC的方程為，代入拋物線方程得，
，
，
設(shè)AC中點(diǎn)軸，，
，代入拋物線方程得，
，
，
故D不正確.
故選：AB.
54．（多選題）（2024·福建三明·統(tǒng)考）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線與軸及雙曲線的兩條漸近線的三個(gè)不同交點(diǎn)構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】設(shè)，
由，得，得，
由，得，得，
由，得，得，
，
，
，
若為重心、為外心、為垂心，則，
所以，化簡得，此時(shí)雙曲線的離心率，
若為重心、為垂心、為外心，則，
所以，化簡得不成立；
若為重心、為垂心、為外心，則，
所以，化簡得，此時(shí)雙曲線的離心率，
若為重心，為垂心、為外心，則，
，化簡得，此時(shí)雙曲線的離心率；
若為重心、為垂心、為外心，則，
所以，化簡得或，
此時(shí)雙曲線的離心率或，
若為重心，為垂心、為外心，則，
所以，化簡得或都不成立.
綜上所述：或或或.
故選：ABD
55．（多選題）（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限內(nèi)），設(shè)，分別為，的內(nèi)心，則（ ）
A．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，內(nèi)切圓的半徑為
D．
【答案】BCD
【解析】由雙曲線方程知：，令圓在x軸上的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
結(jié)合雙曲線定義及圓切線性質(zhì)有，即，
所以圓在x軸上的切點(diǎn)與右頂點(diǎn)為重合，又軸，則的橫坐標(biāo)為1，A錯(cuò)；
由，則，故，
而，所以，故，得，
所以，B對；
若為內(nèi)切圓圓心且知：以直角邊切點(diǎn)和為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，
結(jié)合雙曲線定義：內(nèi)切圓半徑
由B分析知：，C對；
由分別是的角平分線，又，
所以，結(jié)合A分析易知，
在中，D對.
故選：BCD

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