一、單選題
1．設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
3．橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
4．已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
5．已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．3
6．已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（ ）
A．B．C．D．
7．若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的離心率為（ ）
A．5B．C．D．
8．已知橢圓上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
9．已知橢圓（a＞b＞0）上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF⊥BF，設(shè)，且，則該橢圓的離心率e的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
10．已知橢圓上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
11．已知雙曲線右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)且，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
12．已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
若使得滿足是直角三角形的動(dòng)點(diǎn)恰好有6個(gè)，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
13．設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn),使,則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
14．已知 ，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
15．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在點(diǎn)使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是
A．B．
C．D．
16．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當(dāng)取最大值時(shí)，，的值分別是（ ）
A．，B．，C．，D．，
17．已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
18．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，過的直線交雙曲線的左支于、兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
19．已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn).若，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
20．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為、，過作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
21．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
22．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率是
A．B．C．D．
23．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，，且，橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．2C．D．3
24．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為
A．B．C．D．
25．已知雙曲線左右焦點(diǎn)為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
26．已知雙曲線左右焦點(diǎn)為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，若為以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3B．2C．D．
27．設(shè)為雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)，直線：（其中為雙曲線的半焦距）與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
28．設(shè)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，直線l：（其中c為雙曲線C的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率是（ ）
A．B．C．D．
29．設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
30．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，連接，，在中，，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3B．C．D．2
31．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點(diǎn) ，且恰為線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 （ ）
A．B．C．2D．
32．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），若線段交雙曲線于點(diǎn)，且則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
33．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，若線段交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
34．已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積等于(為雙曲線的半焦距)，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
35．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為兩點(diǎn)(點(diǎn)位于點(diǎn)M與點(diǎn)N之間)，且，又過點(diǎn)作于P(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且，則雙曲線E的離心率（ ）
A．B．C．D．
36．是雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，交另一條漸近線于點(diǎn)．若，則此雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
37．過雙曲線C：(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F引一條漸近線的垂線，與另一條漸近線相交于第二象限，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）
A．(，+∞)B．(，+∞)C．(2，+∞)D．(3，+∞)
38．已知雙曲線，過右焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，與的另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
39．過雙曲線的右焦點(diǎn)作軸的垂線，與雙曲線及其一條漸近線在第一象限分別交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率是( )
A．2.B．C．D．
40．設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與直線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．
C．D．2
41．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F1F2為直徑的圓和曲線C在第一象限交于點(diǎn)P，且△POF2恰好為正三角形，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
42．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，且以為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第四象限交點(diǎn)為，交雙曲線左支于，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
43．已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若，則C的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
二、多選題
44．雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
45．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為 ．
46．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是 ．
47．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，，分別是它們?cè)诘谝幌笙藓偷谌笙薜慕稽c(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則最小值等于 ．
48．已知雙曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)為為雙曲線的右焦點(diǎn)，且垂直于軸.過點(diǎn)分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，它們與兩條漸近線圍成的圖形面積等于，則該雙曲線的離心率是 .
49．過雙曲線：（，）右支上一點(diǎn)作兩條漸近線的平行線分別與另一漸近線交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，若，則雙曲線的離心率取值范圍為 ．（用區(qū)間作答）
50．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，，若存在點(diǎn)滿足，則的離心率為 .
51．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且，射線分別交于兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，則的離心率為 ．
52．如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是C上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線軸的正半軸交于A點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為N，若，則雙曲線C的離心率為 .
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
2．D
【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的一條漸近線為，
則圓心到漸近線的距離，
所以弦長(zhǎng).
故選：D
3．A
【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】[方法一]：設(shè)而不求
設(shè)，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.
4．A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.
【詳解】因?yàn)椋呻p曲線的定義可得，
所以，；
因?yàn)?由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.
5．A
【分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長(zhǎng)度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.
【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，
則拋物線的準(zhǔn)線為，
令，則，解得，所以,
又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，
所以，即，所以，
所以雙曲線的離心率.
故選：A.
6．B
【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.
【詳解】解：因?yàn)殡x心率，解得，，
分別為C的左右頂點(diǎn)，則，
B為上頂點(diǎn)，所以.
所以，因?yàn)?br>所以，將代入，解得，
故橢圓的方程為.
故選：B.
7．D
【分析】由題意求出，再根據(jù)離心率公式即可得解.
【詳解】由雙曲線可得漸近線方程為，
由題意可得，
所以雙曲線的離心率，
故選：D．
8．B
【分析】設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為，連接，則四邊形為矩形，從而有，由，可得，再根據(jù)橢圓的定義計(jì)算即可得解.
【詳解】解：如圖所示，設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為，連接，
則四邊形為矩形，
則，
所以，
在中，由，
得，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以.
故選：B.
9．A
【分析】如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，．則四邊形為矩形．因此．而．，．可得，求出即可．
【詳解】解：如圖所示，
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，．
則四邊形為矩形．
因此．．所以，．
．
，
，
，
，
其中，
．
．
故選：A．
10．A
【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，可知四邊形為矩形，從而可知，且，由，可得，，結(jié)合，可得，根據(jù)，求出范圍即可.
【詳解】如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′為矩形，
所以|AB|=|FF′|=2c，|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a，
由∠ABF=α，可得|AF|=|AB|?sinα=2csinα，|BF|=|AB|?csα=2ccsα，
∴2csinα+2ccsα=2a，即ca=1sinα+csα=12sin(α+π4)，
∵α∈[π12,π4]，∴(α+π4)∈[π3,π2]，
∴sin(α+π4)∈[32,1]，∴2sin(α+π4)∈[62,2]，
∴e=ca∈[22,63].
故選：A.
詳解片段
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率，考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.
11．C
【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，然后可得四邊形為矩形，然后可得，，，然后可得，即可求出答案.
【詳解】
如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，
因?yàn)?，所以四邊形為矩形?br>所以，
因?yàn)?，，?br>所以，
所以 ，
∵，∴，，
∴，
故選：C
12．C
【詳解】由題意知，橢圓的最大張角為，所以，所以，所以，
故選：C．
13．D
【分析】根據(jù)橢圓焦半徑公式和余弦定理得，則，則得到離心率范圍.
【詳解】，設(shè)P，則．
在△中，由余弦定理得，
解得．∵，∴，
即．且，
∴．故橢圓離心率的取范圍是，
故選：D.
14．B
【分析】先確定點(diǎn)的軌跡是圓，聯(lián)立圓的方程及橢圓方程，解出，得到不等式即可求解.
【詳解】若橢圓C上存在點(diǎn)，使得，即以為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，設(shè)， ，解得，即，，又，故.
故選：B.
15．B
【分析】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)處時(shí)，張角達(dá)到最大值，由此可得到關(guān)于的不等式，從而可得結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)處時(shí)，張角達(dá)到最大值．
∵橢圓上存在點(diǎn)使得是鈍角，∴中，，
∴ 中，，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴．橢圓離心率的取值范圍是，故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求橢圓的離心率范圍，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率范圍問題應(yīng)先將 用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求出的范圍.
16．A
【分析】設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，，，，根據(jù)，利用余弦定理得到，進(jìn)而得到，再利用基本不等式求解.
【詳解】解：不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，，，．
設(shè)，．．則，，∴，．
因?yàn)椋?br>所以，
即．
∴，∴，
∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)．
故選：A．
17．B
【分析】根據(jù)等腰三角形三邊關(guān)系可構(gòu)造不等式求得的范圍，根據(jù)雙曲線和橢圓定義可利用表示出，從而得到，結(jié)合的范圍可得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓長(zhǎng)半軸為，雙曲線實(shí)半軸為，，，
是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，
，
即，，且，，
，，解得：．
在雙曲線中，，；
在橢圓中，，；
；
，，則，，
可得：，
的取值范圍為.
故選：B.
18．B
【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合已知條件求出、各邊邊長(zhǎng)，由余弦定理結(jié)合誘導(dǎo)公式可出、的等量關(guān)系，由此可求得該雙曲線的離心率的值.
【詳解】如下圖所示：
，由雙曲線的定義可得，
所以，，則，
由余弦定理可得，
，
因?yàn)椋?br>故，整理可得，故該雙曲線的離心率為.
故選：B.
19．B
【分析】設(shè)，，，根據(jù)，利用勾股定理可得的關(guān)系，再根據(jù)橢圓的定義可將，，用表示，從而可得，在中，利用余弦定理構(gòu)造的齊次式，即可的解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以可設(shè)，，，
因?yàn)?，所以，解得?br>因?yàn)?，所以，，?br>所以，
在中，，，
由，可得，
即橢圓的離心率為.
故選：B.
20．D
【分析】設(shè)，則，利用橢圓的定義及勾股定理解得，
表示出，，再利用銳角三角函數(shù)表示出，由余弦定理表示出，即可得到方程，解得，即可求出離心率.
【詳解】如圖所示，設(shè)，，設(shè)，則，
在中，，
由橢圓定義可知，，
，解得，
所以，，
在中，可得，
在中，由余弦定理可得，
，
，即0，
解得，所以橢圓離心率.
故選：D.
21．C
【分析】因?yàn)?，不妨令，根?jù)橢圓定義，得到，，再由，得到和都是直角三角形，由勾股定理求出，再由，化簡(jiǎn)整理，即可求出離心率.
【詳解】因?yàn)?，不妨令?br>過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，由橢圓的定義可得，，，
則，，
又，所以，則和都是直角三角形，
則，即，解得，
所以，，又，，
所以，因此，所以橢圓的離心率為.

故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，熟記橢圓的定義，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.
22．D
【詳解】設(shè) ，再由 是等腰直角三角形
，故選D,
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義及其方程、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，涉及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，以及邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合程度高，屬于較難題型. 設(shè) ，進(jìn)而求得 ， 代入 是等腰直角三角形，從而求得離心率.
23．D
【分析】
設(shè)，根據(jù)橢圓的定義求出，，利用即可求解.
【詳解】因?yàn)?，設(shè)，由橢圓的定義可得：，則，因?yàn)?，所以?br>所以，即，又因?yàn)闄E圓的離心率為，
所以，則有，
所以，則，則，
由，所以，因?yàn)?，所以?br>所以，即，解得：，
故選：.
24．B
【分析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.
【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．
所求橢圓方程為，故選B．
法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
25．C
【分析】由雙曲線的定義得出中各線段長(zhǎng)（用表示），然后通過余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心率．
【詳解】由題意，
又，所以，從而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故選：C．
26．C
【分析】由雙曲線的定義得出中各線段長(zhǎng)（用表示），然后通過余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心率．
【詳解】由題意，
又，所以，從而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故選：C．
27．D
【分析】取M的中點(diǎn)，利用向量的中點(diǎn)公式和向量數(shù)量積為零的幾何意義，得到為線段MN的中垂線，，然后結(jié)合雙曲線的定義得到，進(jìn)而利用勾股定理求得，于是根據(jù)直線l的斜率，得到a,c的關(guān)系，從而求得離心率
【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，則．因?yàn)?，所以，即，則．設(shè)．因?yàn)?，所以，則，從而，故，解得．因?yàn)橹本€的斜率為，所以，整理得，即，
故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求法，涉及向量的運(yùn)算和數(shù)量積，關(guān)鍵是取M的中點(diǎn)，利用向量的中點(diǎn)公式和向量數(shù)量積為零的幾何意義，得到為線段MN的中垂線，結(jié)合雙曲線的定義得到是關(guān)鍵，根據(jù)直線l的斜率，得到a,c的關(guān)系是求得離心率的方向.
28．C
【分析】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，如圖，取線段的中點(diǎn)H，連接，利用已知得出，由雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求出和，利用直線l的斜率列出方程，求出雙曲線的離心率．
【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，如圖，取線段的中點(diǎn)H，連接，則．
因?yàn)?，所以，即，則．
設(shè)．因?yàn)椋?br>所以，則，從而，故，解得．
因?yàn)橹本€l的斜率為，所以，整理得，即，則，故．
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率和雙曲線的定義，考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是取線段的中點(diǎn)H，連接，利用已知等式得出，進(jìn)而可由雙曲線的定義和勾股定理求出和，利用直線l的斜率為列方程解出離心率，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
29．A
【分析】結(jié)合向量運(yùn)算、雙曲線的定義建立等量關(guān)系式，利用直線的斜率列方程，化簡(jiǎn)求得雙曲線的離心率.
【詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接.
易知，所以，所以.
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.
設(shè)，因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
所以.
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以.
在Rt中，；
在Rt中，.
所以，解得.
所以.
因?yàn)橹本€的斜率為，
所以，所以，
，所以離心率為.
故選：A
【點(diǎn)睛】求雙曲線離心率的方法有：
（1）直接法：利用已知條件將求出，從而求得離心率；
（2）方程法：利用已知條件列出關(guān)于或的方程，化簡(jiǎn)求得離心率.
30．D
【解析】設(shè)，則由雙曲線定義可得，，，由可得，再在中根據(jù)余弦定理即可列出式子求出離心率.
【詳解】設(shè)，則由雙曲線定義可得，
，則，
則，解得，從而.
在中，，
即，解得.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線離心率的求法，解題的關(guān)鍵是利用已知條件結(jié)合雙曲線定義正確表示出各線段長(zhǎng)度，利用余弦定理建立關(guān)于的方程求解.
31．D
【分析】利用中位線關(guān)系求得，再利用雙曲線的定義，表示的三邊，最后根據(jù)勾股定理求雙曲線的離心率.
【詳解】連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，
所以，且
設(shè)點(diǎn)到一條漸近線的距離，所以
，又，所以，
中，滿足，
整理為：，
雙曲線的離心率.
故選：D
32．A
【分析】設(shè)出漸近線方程并根據(jù)平行關(guān)系判斷出點(diǎn)位置，通過聯(lián)立漸近線方程與的方程求解出的坐標(biāo)，即可求解出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上將坐標(biāo)代入方程并化簡(jiǎn)，由此求解出雙曲線離心率的值.
【詳解】不妨設(shè)漸近線的方程為，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，
所以為的中點(diǎn)，
將直線，的方程聯(lián)立，可得，
又，所以即，
又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，
所以該雙曲線的離心率為，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于通過已知位置關(guān)系判斷出點(diǎn)位置，其余則是通過坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合點(diǎn)在曲線上這一條件進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.
33．C
【解析】根據(jù)題意，不妨取點(diǎn)在第二象限，題中條件，得到，記，求出，根據(jù)雙曲線定義，得到，，在中，由余弦定理，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)橐詾橹睆降膱A與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，不妨取點(diǎn)在第二象限，
所以，則，
因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則，所以；
記，則，由解得，
因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，，
由余弦定理可得：，
則，所以，整理得，解得，
所以雙曲線的離心率為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
求橢圓或雙曲線的離心率的問題時(shí)，通常需要根據(jù)橢圓或雙曲線的定義，以及題中條件，結(jié)合余弦定理，建立關(guān)于之間關(guān)系式，即可求解.
34．A
【分析】設(shè)出雙曲線的右焦點(diǎn)和一條漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得，，運(yùn)用直角三角形的面積公式可得，的關(guān)系，再由離心率公式計(jì)算可得所求值.
【詳解】解：設(shè)雙曲線：的右焦點(diǎn)，
雙曲線的一條漸近線方程設(shè)為，
可得，，
的面積為，即有，
化為，，解得.
故選：A.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.
35．C
【分析】根據(jù)題意作出圖示，根據(jù)角度以及長(zhǎng)度關(guān)系分別求解出，然后根據(jù)二倍角的正切公式求解出的關(guān)系式，則離心率可求.
【詳解】不妨設(shè)在第二象限，在第三象限，如下圖所示：
因?yàn)?，，所以?br>所以，，
又，所以，
所以，所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，所以.
故選：C.
36．D
【分析】設(shè)為直線與交點(diǎn)，為直線與交點(diǎn)，由垂直關(guān)系可得，從而得到直線的方程，與漸近線方程聯(lián)立可求得；利用可得關(guān)于的齊次方程，解方程求得；由對(duì)稱性知為直線與交點(diǎn)，為直線與交點(diǎn)時(shí)，結(jié)論一致.
【詳解】由題意得：，雙曲線漸近線方程為：
若為直線與交點(diǎn)，為直線與交點(diǎn)
則 直線方程為：，與聯(lián)立可得：
直線方程與聯(lián)立可得：
由得：，即
，即，解得：或（舍）
由雙曲線對(duì)稱性可知，當(dāng)為直線與交點(diǎn)，為直線與交點(diǎn)時(shí)，結(jié)論一致
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率問題的求解，求解離心率問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知的等量關(guān)系得到關(guān)于的齊次方程，進(jìn)而構(gòu)造出離心率的方程.
37．A
【分析】依題意求出雙曲線的漸近線方程與右焦點(diǎn)坐標(biāo)，不妨設(shè)過右焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線垂直的直線方程為，與另一焦點(diǎn)聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)在第二象限，即可得到、的關(guān)系，即可得解；
【詳解】解：由題意雙曲線C：的漸近線，右焦點(diǎn)，
不妨設(shè)過右焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線垂直的直線方程為
與聯(lián)立得，所以，，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第二象限，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以，即，因?yàn)椋?，?br>故選：A
38．A
【分析】作出圖形，計(jì)算出，設(shè)，可得出，由二倍角的正切公式可得出關(guān)于的等式，求出的值，利用雙曲線的離心率公式可求得該雙曲線的離心率的值.
【詳解】如下圖所示：
雙曲線的漸近線方程為，即，
所以，，則，
因?yàn)?，則，
設(shè)，則，所以，，
，，
由二倍角的正切公式可得，即，可得，
因此，.
故選：A.
39．D
【分析】由題設(shè)條件求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再由給定的向量等式建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式而得解.
【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由得到，由得到，
而，，即點(diǎn)A是線段FB的中點(diǎn)，
所以，所以.
故選：D
40．A
【分析】首先推得為等腰三角形，再由三角形的內(nèi)角和定理和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角的正切公式，結(jié)合漸近線的斜率和離心率公式，計(jì)算可得所求值．
【詳解】由題意可得，
即有為等腰三角形，
設(shè)，
則，
所以
即為，
所以，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題意得出為等腰三角形，在三角形中利用三角函數(shù)，建立關(guān)于的方程，是求出離心率的關(guān)鍵，屬于中檔題.
41．C
【分析】先設(shè)，由題意知△是直角三角形，利用且恰好為正三角形，求出、，根據(jù)雙曲線的定義求得，之間的關(guān)系，則雙曲線的離心率可得．
【詳解】解：連接， 設(shè)，
則由題意可得是直角三角形，
由恰好為正三角形得，，
∴，∴，
，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．
42．A
【解析】寫出圓方程，與漸近線方程聯(lián)立解得得點(diǎn)坐標(biāo)，由可表示出點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程整理后可求得．
【詳解】，圓方程為，
由， 由，，解得，即，
設(shè)Q(x0，y0)，由，，得，，
因?yàn)樵陔p曲線上，
∴，，
解得（舍去），
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是找到關(guān)于的齊次關(guān)系式，由題意中向量的線性關(guān)系，可得解法，圓與漸近線相交得點(diǎn)坐標(biāo)，由向量線性關(guān)系得點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得．
43．C
【分析】根據(jù)二倍角公式求出，再求出離心率即可.
【詳解】易知MN關(guān)于x軸對(duì)稱，令，，
∴，，∴，∴．

，，，
∴，
∴．
故選: C.
44．AC
【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為B，
所以，因?yàn)?，所以在雙曲線的左支，
，， ，設(shè)，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設(shè)，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點(diǎn)都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，
若分別在左右支，
因?yàn)?，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
45．/
【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；
【詳解】方法一：
依題意，設(shè)，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因?yàn)?，所以，則，
又，所以，則，
又點(diǎn)在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.
46．
【分析】聯(lián)立直線和漸近線方程，可求出點(diǎn)，再根據(jù)可求得點(diǎn)，最后根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，即可解出離心率．
【詳解】過且斜率為的直線，漸近線，
聯(lián)立，得，由，得
而點(diǎn)在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.
故答案為：．
47．
【分析】
利用橢圓、雙曲線的定義及性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【詳解】
設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為，雙曲線實(shí)半軸為，，，
為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，為兩曲線在第三象限的交點(diǎn)，如圖，

由橢圓和雙曲線定義與對(duì)稱性知，，
四邊形為平行四邊形，，
，而，則，因此，
即，于是有，則，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)．
故答案為：
48．或
【分析】設(shè)過點(diǎn)且與漸近線平行的直線與漸近線相交于點(diǎn)，將直線的方程與聯(lián)立，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得的長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合與，即可得解．
【詳解】解：由題意知，，
雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)過點(diǎn)且與漸近線平行的直線與漸近線相交于點(diǎn)，如圖所示，
直線的方程為，
將其與聯(lián)立，解得，，即，，
，
點(diǎn)，到直線的距離為，
所圍圖形面積等于1，
，即，
化簡(jiǎn)得，
點(diǎn)，在雙曲線上，，即，
，
又，，或，，
離心率或．
故答案為：或．
49．
【分析】設(shè)，是過P與漸近線平行的直線，交y軸于點(diǎn)，與漸近線交于，用m，n表示出d和，利用求得四邊形面積，結(jié)合條件得到不等關(guān)系，從而求得離心率取值范圍.
【詳解】設(shè)，是過P與漸近線平行的直線，交y軸于點(diǎn)，與漸近線交于，
則，即，
聯(lián)立解得，
則，由題知四邊形是平行四邊形，
又在雙曲線上，應(yīng)滿足，即
則
則，解得，
可得離心率
所以離心率的范圍為，
故答案為：
50．
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，，再由雙曲線的定義，結(jié)合離心率的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，
所以，因?yàn)?，所以，所以?br>設(shè)，則，，且在雙曲線上，
則，即，又，即，
所以.
故答案為：.
51．
【分析】由雙曲線的對(duì)稱性，結(jié)合定義與垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化將已知條件集中在與中，建立方程組消參化簡(jiǎn)可得的齊次關(guān)系，從而得到離心率.
【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性得，由，得，
不妨設(shè)點(diǎn)在的右支上，且，
在中，由雙曲線定義知，
由勾股定理得，
則，
且
又，，所以，
則在中，由，得，
化簡(jiǎn)得，
即，所以，
所以，化簡(jiǎn)得.
所以的離心率為.
故答案為：.

52．
【分析】利用雙曲線的定義和內(nèi)切圓的性質(zhì)結(jié)合求出離心率即可.
【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓在邊的切點(diǎn)分別為，如圖：
則得，
又，則，
得，
又，得，所以雙曲線的離心率為，
故答案為：.

相關(guān)試卷

妙解離心率問題-高考數(shù)學(xué)專題：

這是一份妙解離心率問題-高考數(shù)學(xué)專題，文件包含妙解離心率問題解析版pdf、妙解離心率問題學(xué)生版pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共45頁， 歡迎下載使用。

專題16 妙解離心率問題（12大題型）（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）：

這是一份專題16 妙解離心率問題（12大題型）（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考），文件包含專題16妙解離心率問題12大題型練習(xí)原卷版docx、專題16妙解離心率問題12大題型練習(xí)解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共50頁， 歡迎下載使用。

專題16 妙解離心率問題（12大核心考點(diǎn)）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）：

這是一份專題16 妙解離心率問題（12大核心考點(diǎn)）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考），文件包含專題16妙解離心率問題12大核心考點(diǎn)講義原卷版docx、專題16妙解離心率問題12大核心考點(diǎn)講義解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共65頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024年新高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 妙解離心率問題（原卷版+解析版）

2024年新高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 妙解離心率問題（原卷版+解析版）
2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用） 專題16 妙解離心率問題（12大核心考點(diǎn)）（講義）（原卷版+解析）

2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用） 專題16 妙解離心率問題（12大核心考點(diǎn)）（講義）（原卷版+解析）
2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用） 專題16 妙解離心率問題（12大題型）（練習(xí)）（原卷版+解析）

2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用） 專題16 妙解離心率問題（12大題型）（練習(xí)）（原卷版+解析）
妙解離心率問題

妙解離心率問題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部