一、解答題
1．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時，．
2．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
3．已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
4．已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線斜率；
(2)求證：當(dāng)時，；
(3)證明：．
5．（1）證明：當(dāng)時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
6．已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
7．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
8．已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點
（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
9．已知函數(shù).討論的單調(diào)性；
10．已知，討論的單調(diào)性.
11．已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.
12．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的極值；
(2)若，求的值；
(3)求證：.
13．設(shè)，.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)時，證明：；
(3)證明：.
14．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求使恒成立的最大偶數(shù)a．
(3)已知當(dāng)時，總成立．令，若在的圖像上有一點列，若直線的斜率為，求證：．
15．已知函數(shù)，是大于0的常數(shù).記曲線在點處的切線為，在軸上的截距為，．
(1)當(dāng)，時，求切線的方程；
(2)證明：.
16．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個零點，，且，求證：(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
17．設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，．
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
18．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，比較與的大?。?br>(2)若函數(shù)，且，證明：.
19．已知函數(shù).
(1)若在上有唯一零點，求的取值范圍；
(2)若對任意實數(shù)恒成立，證明：.
20．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)的極大值為2，求實數(shù)的值；
(3)在（2）的條件下，方程存在兩個不同的實數(shù)根，證明：.
21．已知實數(shù)，函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：存在極值點，并求的最小值.
22．已知，函數(shù)，記為函數(shù)的極值點.
(1)若是極小值點，證明：；
(2)若是極大值點，證明：.
23．已知函數(shù)有三個極值點，且.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)若2是的一個極大值點，證明：.
24．已知，為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)在處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.
25．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．
26．已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程和的極值；
(2)證明在恒為正；
(3)證明：當(dāng)時，曲線：與曲線：至多存在一個交點．
27．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程．
(2)對任意，當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
28．已知函數(shù)．
(1)若的圖象在點處的切線平行于軸，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
29．已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，．
(1)求證：
(2)已知，若存在，不等式對任意的總成立，求的取值范圍．
30．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，且，證明：，且．
31．已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；
(3)若正實數(shù)滿足，證明：．
32．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若，求函數(shù)的最小值；
(3)若有兩個零點，，證明：.
33．已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)是減函數(shù)，求的取值范圍；
(2)若有兩個零點，且，證明：．
34．已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，求證：；
(2)若是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且在定義域內(nèi)恒成立，求整數(shù)a的最小值．
35．已知函數(shù)
(1)求的零點個數(shù)；
(2)若恒成立，求整數(shù)的最大值.
36．已知函數(shù)，，為自然對數(shù)底數(shù)．
(1)證明：當(dāng)時，；
(2)若不等式對任意的恒成立，求整數(shù)的最小值．
37．已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)設(shè)，，若對任意，且，都有，求實數(shù)的取值范圍.
38．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
39．已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
40．已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，若當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f(x)>0，求a的取值范圍.
41．已知函數(shù)，如果當(dāng)，且時，，求的取值范圍．
42．已知函數(shù)．當(dāng)時，求的取值范圍．
43．已知曲線C：
(1)若曲線C過點，求曲線C在點P處的切線方程；
(2)當(dāng)時，求在上的值域；
(3)若，討論的零點個數(shù)．
44．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若兩個不相等的正實數(shù)a，b滿足，求證：；
(3)若，求證：.
45．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時，.
參考答案：
1．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.
方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.
【詳解】（1）因為，定義域為，所以，
當(dāng)時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
2．(1)；
(2)存在滿足題意，理由見解析.
(3).
【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；
(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)的值，進一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的是否正確即可；
(3)原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，
據(jù)此可得，
函數(shù)在處的切線方程為，
即.
（2）令，
函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，
定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，
由對稱性可知，
取可得，
即，則，解得，
經(jīng)檢驗滿足題意，故.
即存在滿足題意.
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;
令，
則，
令，
在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;
當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；
當(dāng)時，由可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，
據(jù)此可得恒成立，
則，
由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時，
，
且注意到，
根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.
當(dāng)時，，單調(diào)減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以.
令，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.
綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.
【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.
(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.
3．(1)答案見解析.
(2)
【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;
（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.
【詳解】（1）
令,則
則
當(dāng)
當(dāng),即.
當(dāng),即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）設(shè)
設(shè)
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當(dāng),符合題意.
若
當(dāng),所以.
.
所以,使得,即,使得.
當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.
所以當(dāng),不合題意.
綜上,的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對應(yīng)當(dāng).
4．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率；
（2）問題化為時，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論；
（3）構(gòu)造，，作差法研究函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造且，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得到恒成立，對作放縮處理，結(jié)合累加得到，即可證結(jié)論.
【詳解】（1），則，
所以，故處的切線斜率為；
（2）要證時，即證，
令且，則，
所以在上遞增，則，即.
所以時.
（3）設(shè)，，
則，
由（2）知：，則，
所以，故在上遞減，故；
下證，
令且，則，
當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，
所以，故在上恒成立，
則，
所以，，…，，
累加得：，而，
因為，所以，
則，
所以，故；
綜上，，即.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，作差法研究單調(diào)性證右側(cè)不等關(guān)系，再構(gòu)造且，導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)符號得恒成立，結(jié)合放縮、累加得到為關(guān)鍵.
5．（1）證明見詳解（2）
【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.
【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
構(gòu)建，
則，
構(gòu)建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
即對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，
若，則，
因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點，不合題意，所以.
當(dāng)時，令
因為，
且，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
由題意可得：，
（i）當(dāng)時，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點，不合題意；
（ⅱ）當(dāng)時，取，則，
由（1）可得，
構(gòu)建，
則，
且，則對恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以在內(nèi)存在唯一的零點，
當(dāng)時，則，且，
則，
即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，
結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：
1.當(dāng)時，利用，換元放縮；
2.當(dāng)時，利用，換元放縮.
6．(1)
(2)證明見的解析
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.
【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)
的定義域為，則
令,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構(gòu)處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設(shè)
要證,即證
因為,即證
又因為,故只需證
即證
即證
下面證明時，
設(shè)，
則
設(shè)
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令
所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解
又因為有兩個零點，故
兩邊取對數(shù)得：，即
又因為，故，即
下證
因為
不妨設(shè)，則只需證
構(gòu)造，則
故在上單調(diào)遞減
故，即得證
【點睛】關(guān)鍵點點睛 ：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式
這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握
7．(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)
(3)見解析
【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.
（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.
（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當(dāng)時，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.
8．（I）；（II）證明見解析；（III）
【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；
（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.
【詳解】（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，當(dāng)時，，畫出大致圖像如下：
所以當(dāng)時，與僅有一個交點，令，則，且，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點，故存在唯一的極值點；
（III）由（II）知，此時，
所以，
令，
若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，
，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實數(shù)b的取值范圍.
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.
9．答案見解析
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論確定和的解得單調(diào)性．
【詳解】，，
所以，
令，得．
當(dāng)時，；，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時，；；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
10．答案見解析
【分析】
求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，即可得出函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】
解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，
則，令，
當(dāng)時，對任意的，，則，
此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
若時，因為，
令，解得或（舍去），
當(dāng)時，，則，可得單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則，可得單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
11．答案見解析.
【分析】
將函數(shù)求導(dǎo)，對的正負(fù)性進行分類討論，進而得到的單調(diào)性.
【詳解】因為的定義域為，
所以，其中，
當(dāng)時，即，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，即，
令，得；
令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
12．(1)在處取得極小值，無極大值
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得最值；
（2）分情況討論函數(shù)的單調(diào)性與最值情況，可得參數(shù)值；
（3）利用放縮法，由，可知若證，即證，再根據(jù)，可得證.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，無極大值；
（2）由題意得，
①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，與矛盾；
②當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，
因為恒成立，所以，
記，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，所以，
又，
所以，
所以；
（3）證明：先證，
設(shè)，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，
再證，
由（2）可知，當(dāng)時等號成立，
令，則，
即，
所以，，，
累加可得，
所以.
【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
13．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）由題意可知：為偶函數(shù)，所以僅需研究的部分，求導(dǎo)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值；
（2）由題意可知：為偶函數(shù)，所以僅需研究的部分，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值，分析證明；
（3）由（2）可得：，分和兩種情況，利用裂項相消法分析證明；
【詳解】（1）因為的定義域為，且，
所以為偶函數(shù)，
下取，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，令，則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
因為，則，使得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減；
綜上所述：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在內(nèi)的最小值為，
又因為為偶函數(shù)，所以在內(nèi)的最小值為.
（2）由（1）可知為定義在上的偶函數(shù)，下取，
可知，令，
因為，則，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，
即在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在內(nèi)的最小值為，
結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可知：.
（3）由（2）可得：當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即，令，則，
當(dāng)時，，
即，則有：
，，，，
相加可得：，
因為，則，所以，
即.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構(gòu)造新的函數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式；
特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．
14．(1)；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，然后由點斜式即可得切線方程；
（2）參變分離，令，利用二次導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，設(shè)出隱零點進行代換即可求解；
（3）先利用導(dǎo)數(shù)證明，結(jié)合對進行放縮整理，然后分組求和即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
所以，曲線在點處切線的斜率為，
所以切線方程為．
（2）當(dāng)時，使等價于，
令，所以，
令，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
又因為，，
所以在上，使，即，
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
因為，所以，
所以，且，
所以使恒成立的最大偶數(shù)為．
（3）時，，
，
令，則，
令，則，單調(diào)遞增，
又，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
又，所以，當(dāng)時，，
即，則，
，
．
【點睛】本題第二問屬于隱零點問題，主要是利用零點方程進行代換；第三問難點在于利用已知和對進行放縮，然后求和即可得證.
15．(1)
(2)證明見解析；
【分析】（1）由，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求解；
（2）通過構(gòu)造函數(shù)和利用函數(shù)單調(diào)性，分與兩類，證明不等式恒成立即可.
【詳解】（1）因為，所以曲線在點處切線方程為．
即，
當(dāng)，時，
切線的方程為．
（2）對于切線：，
令，得，
由得，
因為，所以，，
，令，，
令，由得，
則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以．
所以，當(dāng)，，則，
①當(dāng)時，，，
因為，所以，則．
②當(dāng)時，，
令，，
，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，則，
綜上，．
【點睛】方法點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性、零點、不等式等知識，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于壓軸題；
16．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再對分類討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意，，是方程的兩個根，即可得到，令則，則，
解法一：只需證明當(dāng)時，不等式成立即可；
解法二：構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明單調(diào)性后即可得證.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
則，
當(dāng)時令，解得或，
當(dāng)，即時恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)即時，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，
令，解得，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)即時，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，
令，解得，則在上單調(diào)遞減；
綜上可得， 當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因為，由題意，是方程的兩個根，①，②，
①②兩式相加，得③，①②兩式相減，得④，
聯(lián)立③④，得，，
設(shè)，，，，，
解法一:因為，所以，則，
若，則一定有，
只需證明當(dāng)時，不等式成立即可，即不等式成立，即不等式成立，
設(shè)函數(shù)，，
在上單調(diào)遞增，故時，，
即證得成立，
即證得當(dāng)時，，即證得，
，即證得，則．
解法二：則要證明，只需證，
令，，則，
令，則，
所以，所以，
在時單調(diào)遞增，
則，則.
【點睛】思路點睛：本題第二問是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的函數(shù)零點，雙變量問題.根據(jù)函數(shù)零點的定義可得，，兩式相加，相減運算可得，，即得，令，即，又易證，只需證明當(dāng)時，不等式成立即可，即不等式成立，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明即可.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由題意知有兩個不相等的實根，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有兩個交點問題，根據(jù)單調(diào)性畫出函數(shù)圖象，由此得到的取值范圍.
（2）將不等式取自然對數(shù)化簡整理，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析，即可求正數(shù)的取值范圍
【詳解】（1）由題，定義域為．
則，由題可得有兩個不等實數(shù)根，，
于是有兩個不同的實數(shù)根，等價于函數(shù)與圖象在有兩個不同的交點，
，由，由，
所以在遞增，在遞減，
又，有極大值為，當(dāng)時，，所以可得函數(shù)的草圖（如圖所示）．

所以，要使函數(shù)與圖象在有兩個不同的交點，當(dāng)且僅當(dāng)．
即實數(shù)的取值范圍為
（2）由（1）可知：，是方程的兩個實數(shù)根，且．
則 ．
由于，兩邊取自然對數(shù)得，
即，
令，則在恒成立．
所以在恒成立
令，則．
①當(dāng)即時，，在遞增，所以恒成立，滿足題意．
②當(dāng)時，在遞增，在遞減，所以，當(dāng)時，，
因此，在不能恒成立，不滿足題意．
綜上所述，，即的取值范圍是．
18．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與最值，則可判斷與的大小關(guān)系；
（2）先求得， 再證，則可得，所以有，即，得證.
【詳解】（1）解：設(shè)函數(shù)，
可得，
當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以，所以.
（2）證明：設(shè)函數(shù)，
當(dāng)時，，則恒成立，
則由，得，
又，所以，
因為，可得，
令，可得，
所以單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，所以，同理得，
要證，
只需證，即證.
因為，所以，
設(shè)函數(shù)，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因為，所以，所以，
所以，
所以，即.
【點睛】利用導(dǎo)數(shù)比較大小、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，常常通過構(gòu)造函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得函數(shù)值的大小，為此需要求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，在此過程中可能需要多次求導(dǎo)（當(dāng)然需要多次構(gòu)造函數(shù)）才能得出最終結(jié)論．
19．(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）令，得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出其大致圖像，結(jié)合圖象即可得解；
（2）根據(jù)對任意實數(shù)恒成立，可得是函數(shù)的最小值，由分類討論求出的最小值，再構(gòu)造新的函數(shù)證明即可.
【詳解】（1）令，得，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
又，
如圖，作出函數(shù)的圖象，
由圖可知，的取值范圍為或；
（2）因為對任意實數(shù)恒成立，
所以是函數(shù)的最小值，
，
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以函數(shù)沒有最小值，不符合題意，
當(dāng)時，時，，時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
綜上所述，，
則，即，
即，即，
令，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以，
，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因為，
所以，即，
所以.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
20．(1)答案見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，對參數(shù)進行分類討論即可得出的單調(diào)性；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論和極值的定義可得，可解得；
（3）根據(jù)方程存在兩個不同的實數(shù)根，可構(gòu)造函數(shù)，并證明其單調(diào)性即可得時滿足，即可證明不等式.
【詳解】（1）因為，可得函數(shù)的定義域為，
所以，
當(dāng)時，在恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，若，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
若，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）因為的極大值為2，所以由（1）可得，
所以，解得
此時，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
所以函數(shù)在處取得極大值，
即當(dāng)時，函數(shù)有極大值為2；
（3）證明：由（2）可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
方程存在兩個不同的實數(shù)根，不妨令，
當(dāng)時，令，
則，
可得
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
又，所以可得，可得；
而，則，
又，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減；
所以，即，
故
【點睛】方法點睛：用導(dǎo)數(shù)證明雙變量不等式時，往往通過構(gòu)造函數(shù)將雙變量問題轉(zhuǎn)化成單變量問題，利用函數(shù)單調(diào)性即可證明得出結(jié)論.
21．(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)的正負(fù)判定函數(shù)的增減即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的分母正，需要分子有變號零點，轉(zhuǎn)變?yōu)殡p變量函數(shù)的恒成立和有解問題，利用導(dǎo)數(shù)再次確定新函數(shù)單調(diào)性和最值即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則
令，得；令，得；
所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
（2）
令，因為，
所以方程，有兩個不相等的實根，
又因為，所以，令，列表如下:
所以存在極值點.所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得對任意的有解，
因此需要討論等式左邊的關(guān)于的函數(shù)，記，所以，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時，的最小值為．
所以需要，即需要，
即需要，即需要
因為在上單調(diào)遞增，且，
所以需要，
故的最小值是．
【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
22．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)得，通過研究函數(shù)與的圖象相交的情況確定函數(shù)的極值點以及極值點的范圍，將所得等式代入即可證明范圍；
（2）記，通過的單調(diào)性確定，結(jié)合即可證明，先求出，構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性確定，進而可證明結(jié)論.
【詳解】（1）.
當(dāng)函數(shù)與的圖象相切時，，得，
即切點為，代入得
由于，所以函數(shù)與的圖象有兩個交點，
設(shè)其橫坐標(biāo)分別為，不妨設(shè)，，
則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
故是的極小值點，是的極大值點.
若是極小值點，則，
由，得，
所以，其在上單調(diào)遞減，
又當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以.
（2）若是極大值點，則.
①先證.
記，，則，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.
方法一：由于，所以.
又因為，所以.
方法二：構(gòu)造，.
則.
因為，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以.
②再證.
，令，，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，所以，即，
由即的單調(diào)性知.
綜上，.
【點睛】思路點睛：某些含參數(shù)，并且參數(shù)在一指定范圍內(nèi)的不等式證明，可以將參數(shù)用其端點值替換，轉(zhuǎn)化成證不含參數(shù)的不等式.
23．(1)
(2)證明見解析；
【分析】（1）利用函數(shù)極值點個數(shù)可得在上至少有三個實數(shù)根，即可知在有兩個不等于2的不相等的實數(shù)根；利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性并在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象即可求得實數(shù)的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，將要證明的不等式化為，利用分析法可得需證明，由的單調(diào)性可知，化簡可得，構(gòu)造函數(shù)即可得出證明.
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，函數(shù)的定義域為，
則，
由函數(shù)有三個極值點可知在上至少有三個實數(shù)根；
顯然，則需方程，也即有兩個不等于2的不相等的實數(shù)根；
由可得，，
令，則，
顯然當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；
所以，
畫出函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象如下圖所示：

由圖可得且時，在上有兩個不等于2的相異的實數(shù)根，
經(jīng)檢驗可知當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)在左右符號不同，即均是的變號零點，滿足題意；
因此實數(shù)的取值范圍時
（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）中的圖象，由可知，
若2是的一個極大值點，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知；
因此是方程的兩個不相等的實數(shù)根，即
所以，
同理可得，
所以
由可知,
所以
又，要證，
即證，也即，所以；
只需證，即可得；
由（1）可得，所以可得，
且根據(jù)（1）中結(jié)論可知函數(shù)在上單調(diào)遞減；
所以要證證，即證，又，即，
即證，即，
可得，即，可得，
令，則，
令，則，所以在上單調(diào)遞減，
即，所以，即在上單調(diào)遞減；
因此，即可得證.
【點睛】方法點睛：在處理函數(shù)極值點問題時，是將極值點轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)的變號零點，利用函數(shù)與方程的思想轉(zhuǎn)化為圖像交點個數(shù)的問題；雙變量問題一般是通過已有的等量關(guān)系或者構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為單變量問題，利用單調(diào)性求解即可.
24．(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系即可得解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析的性質(zhì)，結(jié)合圖象即可得解.
【詳解】（1）因為，所以，
又函數(shù)在處的切線平行于軸，則，
即，解得，
此時，令，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因為在上有且僅有兩個零點，
令，則，即在上有且僅有兩個零點，
令，，則問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個交點，
又，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，
又，，
作出與的大致圖象，如圖，

結(jié)合圖象可得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
25．(1)
(2)
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點與切線的斜率，從而得解；
（2）利用參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，從而作出圖象，結(jié)合圖象即可得解.
【詳解】（1）
當(dāng)時，，則，
，所以．
故曲線在點處的切線方程為，即．
（2）
由有兩個零點，
得方程在上有兩個不同的實數(shù)解．
當(dāng)時，顯然方程沒有正實數(shù)解，所以．
則方程在上有兩個不同的實數(shù)解．
令，則．
顯然在上為減函數(shù)，又，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
要使方程在上有兩個不同的實數(shù)解，
則與的圖象在上有兩個不同的交點，
結(jié)合圖象可知，解得，
綜上，實數(shù)的取值范圍為．
26．(1)切線方程，當(dāng)時函數(shù)有極小值；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求斜率，再求出即可得切線方程，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性，然后可得極值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)遞增，然后結(jié)合可證；
（3）記，將問題轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)至多有一個零點，然后求導(dǎo)，對導(dǎo)數(shù)變形，結(jié)合（2）設(shè)的零點為，再利用零點方程進行代換即可得證.
【詳解】（1）因為，
所以，
又，所以曲線在點處的切線方程為.
解得，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，函數(shù)有極小值.
（2）因為，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
又，
所以，當(dāng)時，總有，
即在恒為正.
（3）令，得，
記，
則曲線至多有一個交點，等價于函數(shù)至多有一個零點.
求導(dǎo)得，其中，
由（2）知，在單調(diào)遞增，
因為，，
所以函數(shù)存在唯一零點，且，
當(dāng)時，，則，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時，取得最小值，
又為函數(shù)的零點，所以，則，
所以，
當(dāng)時，，此時無零點，即曲線無交點；
當(dāng)時，，此時存在唯一零點，即曲線存在一個交點.
綜上，當(dāng)時，曲線至多有一個交點.
【點睛】隱零點問題解題思路：第一步，利用零點存在性定理判斷零點存在，難點在于合理賦值，確定零點所在區(qū)間，有時需要結(jié)合單調(diào)性確定零點個數(shù)；第二步，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)的代換，超越方程與簡單方程的代換，同構(gòu)思想等，需注意代換有可能不止一次.
27．(1)
(2)．
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切點處切線的方程；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性，不等式等價于恒成立，令，由，得在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可.
【詳解】（1）因為，，則切點坐標(biāo)為，
所以，則函數(shù)在處的切線斜率，
所以切線方程為.
（2）由（1）可知，所以在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，，，
又，所以原不等式可化為，
從而有，
令，則，即在上單調(diào)遞減，
，
所以，即在上恒成立，
令，則，
時；時，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
從而只需，
故的取值范圍為．
【點睛】方法點睛：
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，不等式恒成立問題，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
28．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)在點處的切線平行于軸求出的值，得出原函數(shù)的解析式，然后對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進行分析求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）由時，恒成立，等價出不等式，對進行分類討論分析求出即可.
【詳解】（1）因為，
所以，
因為在點處的切線平行于軸，
所以，
解得，
所以
所以，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
即在上單調(diào)遞減，
又，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）等價于．
當(dāng)時，式恒成立，
當(dāng)時，式即．
設(shè)，
則．
若，因為，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以．
若，令，得．
若，即，則在上單調(diào)遞增，
則，解得．
若，即，
則當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時，，故在為增函數(shù)，
所以在處取得最小值，
且，
解得．
綜上所述，所求的的取值范圍是．
【點睛】方法點睛：函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題，通常有以下幾類考法
（1）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某點處的切線方程
（2）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性
（3）證明不等式成立
（4）求極值、最值等
方法：對函數(shù)求導(dǎo)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)進行分析求解，遇到含參數(shù)的函數(shù)需要對其進行分類討論，有時候還需要進行二次求導(dǎo).
29．(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值情況，得到不等式，求出；
（2）利用比值代換將不等式問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，該不等式可利用導(dǎo)數(shù)來證明.
【詳解】（1）的定義域為，
，
當(dāng)時，恒成立，
此時在上單調(diào)遞減，不會有兩個不同的零點，舍去，
當(dāng)時，令得，此時單調(diào)遞增，
令得，，此時單調(diào)遞減，
故在處取得極小值，，
又和時，，
要想有兩個不同的零點，則，
解得；
（2）由（1）可知，，
，故，
兩邊取自然對數(shù)得，，
因為存在，故，
由題意得，，故，設(shè)，
則，故且，
所以，其中，
故，故，
故在上恒成立.
設(shè)，
則，設(shè)，則，
當(dāng)時，，故為上的減函數(shù)，故，
故在上的增函數(shù)，故，
故在上恒成立.
當(dāng)時，當(dāng)時，，
故為上的增函數(shù)，故，
故為上的減函數(shù)，故，
故在上恒成立，這與題設(shè)矛盾.
故的取值范圍是.
【點睛】對于求不等式恒能成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.
30．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）變形為是方程的兩個實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性和極值最值情況，結(jié)合圖象得到，再構(gòu)造差函數(shù)，證明出.
【詳解】（1）的定義域為R，
由題意，得，，
當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）證明：由，得，是方程的兩個實數(shù)根，
即是方程的兩個實數(shù)根．
令，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以．
因為當(dāng)時，；當(dāng)時，，，所以．
不妨設(shè)，因為，是方程的兩個實數(shù)根，則．
要證，只需證．
因為，，
所以只需證．
因為，
所以只需證．
令，，
則
在恒成立．
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
即當(dāng)時，．
所以，
即成立．
【點睛】極值點偏移問題，通常會構(gòu)造差函數(shù)來進行求解，若等式中含有參數(shù)，則先消去參數(shù).
31．(1)
(2)
(3)見解析.
【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，計算出斜率，由點斜式即可得出答案.
（2）令，將題意轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，對分類討論，即可得出答案.
（3）由題意可得，令，則由，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【詳解】（1）因為，，，
所以切線方程為，即.
（2）令，
所以 ，
當(dāng)時，因為，所以，所以是上的遞增函數(shù)，
又因為，所以關(guān)于的不等式不能恒成立.
當(dāng)時，，
令，得，所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
故函數(shù)的最大值為.
令，則在上是減函數(shù)，
因為，，
所以當(dāng)時，，所以整數(shù)的最小值為．
（3）由，得
，
從而，
令，則由，得，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以，又，
因此成立.
【點睛】本題以函數(shù)解析表達式為背景，旨在考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）等方面的綜合運用．求解第一問時，依據(jù)題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；第二問的求解則是先將題設(shè)中的不等式進行轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)進行求解；第三問的求解則是先將問題進行等價轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)知識求解，從而使得問題簡捷、巧妙地獲解．
32．(1)極大值為，無極小值
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)后解不等式、即可求得極值.
（2）運用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進而可求得其最小值.
（3）由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性可得，構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性，當(dāng)時，依次結(jié)合函數(shù)、的單調(diào)性即可證得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域為，，
，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，極大值為，無極小值.
（2）由題意知函數(shù)的定義域為.
，
則，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以.
（3）不妨設(shè)，則由（2）知，.
設(shè)，由，得，
即，
因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以成立.
構(gòu)造函數(shù)，則，
，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，，
所以，
又在上單調(diào)遞減，
所以，即.
【點睛】極值點偏移問題的方法指導(dǎo)：
(1)(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性獲得不等式．
(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．
33．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）在上恒成立，參變分離在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出的最大值，從而求出的取值范圍；
（2）由零點得到，令，從而得到，，，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而證明出結(jié)論.
【詳解】（1）的定義域為，
，
函數(shù)是減函數(shù)，故在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，且，
故，解得，
故的取值范圍是；
（2）若有兩個零點，則，
得．
，令，則，
故，
則，
，
令，則，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
，
，則在上單調(diào)遞增，
，即，
故.
【點睛】極值點偏移問題，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)再進行求解.
34．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)得其最小值，即可證明；
（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，再由在內(nèi)恒成立，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，則，
令，，
則，，
令，且，則，
所以在單調(diào)遞增，又，，
則在存在唯一零點，使得，即，
當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
所以時，有極小值，即最小值，
即，
所以，其中，即，
所以，即.
（2）因為，由在定義域內(nèi)恒成立，
即，
當(dāng)時，，
則在內(nèi)恒成立，
令，，則，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，有極大值，即最大值，，
所以，即在內(nèi)恒成立，
令，，則，
則，
當(dāng)時，，所以，則整數(shù)a的最小值為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，以及解決不等式恒成立問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識解決問題.
35．(1)2個
(2)
【分析】（1）對函數(shù)二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理即可得解；
（2）由（1）結(jié)合隱零點可得函數(shù)的最小值為，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最小值的范圍即可得解.
【詳解】（1），
設(shè)，則
當(dāng)時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
使得，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增。
綜上，在上單調(diào)遞減，在上遞增.
又，
，
使得函數(shù)在上有兩個零點.
（2）恒有，由（1）知，，
，由得:，
令，
則，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，
又，
整數(shù)的最大值為.
36．(1)證明見解析；
(2)4.
【分析】（1）記，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合可證；
（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)確定，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，結(jié)合（1）中結(jié)論即可確定a的最小值.
【詳解】（1）記，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以，當(dāng)時，，即.
（2）令，
由題可知，當(dāng)時，恒成立.
因為，所以，
因為，所以，即，
所以，
因為，所以.
當(dāng)時，，故.
當(dāng)時，不等式等價于，
設(shè)，
由（1）知，，
，
記，
易知，在上單調(diào)遞減，且，
所以，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減.
故當(dāng)時，取得最大值.
所以，在區(qū)間上恒成立，
所以，整數(shù)的最小值為4.
【點睛】本題難點有二：一是通過取特值確定，二是利用（1）中結(jié)論進行放縮，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.對于參變分離之后，函數(shù)復(fù)雜，不宜直接研究時經(jīng)常采取適當(dāng)放縮進行處理.
37．(Ⅰ)答案不唯一，見解析；(Ⅱ) (0，2]
【分析】（1）先求出，然后討論在定義域內(nèi)導(dǎo)函數(shù)符號問題. 即得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）先根據(jù)的單調(diào)性，以及 的單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為，進一步轉(zhuǎn)化為，從而得新函數(shù)在(0，1]上是減函數(shù)，即恒成立，求出參數(shù)的范圍.
【詳解】(Ⅰ)
當(dāng)時，函數(shù)定義域為(0，+∞)，恒成立，此時，函數(shù)在(0，+∞)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)定義域為(一∞，0)，恒成立，此時，函數(shù)在(一∞，0)單調(diào)遞增.
(Ⅱ)時，函數(shù)定義域為(0，+∞)，在(0，1]上遞增，在(0，1]上遞減，
不妨設(shè)，則
∴等價于
即
令
等價于函數(shù)在(0，1]上是減函數(shù)，
∴
令
即在(0，1]恒成立，分離參數(shù)，
得
令，.
∴在(0，1]遞減，
∴，
又t∈[3，4]，
∴，
又，故實數(shù)的取值范圍為(0，2].
【點睛】（1）討論函數(shù)單調(diào)性，可以先求出函數(shù)定義域，然后求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的函數(shù)值符號問題.
（2）恒成立為題常注意一下幾種情況的等價轉(zhuǎn)化：
1. 恒成立
2. 恒成立
3.任意的都有恒成立恒成立，令，轉(zhuǎn)化為（1）的情況
4. 任意的都有恒成立恒成立
本題屬于第4種情況.
38．（1）；（2）.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算，，求出切線方程即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，（可根據(jù)同構(gòu)法也可根據(jù)換元法求最值），求出的范圍即可；
【詳解】（1）．所以．又，
所以曲線在點處的切線方程為．
（2）．
令，則．
令，則，所以是增函數(shù)．
又，，由零點存在定理及是增函數(shù)，
知存在唯一的，使得．
當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，
所以．
由，得，即．
令，則，是增函數(shù)．
又，，所以①
①兩邊取自然對數(shù)，得，即，所以②
由①②，得．
于是，即．所以實數(shù)的取值范圍是．
【點睛】不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.
39．(1)
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.
（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時，的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.
【詳解】（1）的定義域為，而，
若，則，此時無最小值，故.
的定義域為，而.
當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，
故.
當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，
當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，
故.
因為和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，而，
故的唯一解為，故的解為.
綜上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值為.
當(dāng)時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).
設(shè)，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
設(shè)，其中，則，
故在上為增函數(shù)，故，
故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.
設(shè)，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
而，，
有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.
當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個解，
當(dāng)時，由（1）討論可得、均無根，
故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
則.
設(shè)，其中，故，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
所以，所以在上為增函數(shù)，
而，，
故上有且只有一個零點，且：
當(dāng)時，即即，
當(dāng)時，即即，
因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，
故，
此時有兩個不同的根，
此時有兩個不同的根，
故，，，
所以即即，
故為方程的解，同理也為方程的解
又可化為即即，
故為方程的解，同理也為方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
①時，此時，顯然與兩條曲線和
共有0個交點，不符合題意；
②時，此時，
故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標(biāo)分別為0和1；
③時，首先，證明與曲線有2個交點，
即證明有2個零點，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為，，，
令，則，
所以在上存在且只存在1個零點，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點，設(shè)為
其次，證明與曲線和有2個交點，
即證明有2個零點，，
所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為，，，
令，則，
所以在上存在且只存在1個零點，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點，設(shè)為
再次，證明存在b，使得
因為，所以，
若，則，即，
所以只需證明在上有解即可，
即在上有零點，
因為，，
所以在上存在零點，取一零點為，令即可，
此時取
則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，
最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，
因為
所以，
又因為在上單調(diào)遞減，，即，所以，
同理，因為，
又因為在上單調(diào)遞增，即，，所以，
又因為，所以，
即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.
40．.
【分析】求出f′(x)，分a≤1、12討論 f(x)的單調(diào)性，可得答案.
【詳解】由f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，得f′(x)＝ln x＋＋1－a.
（1）當(dāng)1－a≥0，即a≤1時，f′(x)>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(1)＝0.
（2）當(dāng)a>1時，令g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝>0，所以g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，于是f′(x)>f′(1)＝2－a.
①若2－a≥0，即10，于是f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，于是f(x)>f(1)＝0.
②若2－a2時，存在x0∈(1，＋∞)，使得當(dāng)1

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