TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21237" 【題型1 圖形問題】 PAGEREF _Tc21237 \h 1
\l "_Tc20678" 【題型2 表格問題】 PAGEREF _Tc20678 \h 2
\l "_Tc10431" 【題型3 工程問題】 PAGEREF _Tc10431 \h 4
\l "_Tc12993" 【題型4 行程問題】 PAGEREF _Tc12993 \h 5
\l "_Tc3174" 【題型5 銷售問題】 PAGEREF _Tc3174 \h 6
\l "_Tc20520" 【題型6 物理問題】 PAGEREF _Tc20520 \h 8
【知識點1 反比例函數(shù)的應用】
求函數(shù)解析式的方法：
待定系數(shù)法
（2）根據(jù)實際意義求函數(shù)解析式
【題型1 圖形問題】
【例1】（2022秋?岳陽月考）如圖，科技小組準備用材料圍建一個面積為60m2的矩形科技園ABCD，其中一邊AB靠墻，墻長為12m，設AD的長為xm，DC的長為ym．
（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)實際情況，對于（1）式中的函數(shù)自變量x能否取值為4m，若能，求出y的值，若不能，請說明理由；
（3）若圍成矩形科技園ABCD的三邊材料總長不超過26m，材料AD和DC的長都是整米數(shù)，求出滿足條件的所有圍建方案．
【變式1-1】（2022秋?曲陽縣期末）一菱形的面積為12cm2，它的兩條對角線長分別acm，bcm，則a與b之間的函數(shù)關系為a＝ ；這個函數(shù)的圖象位于第 象限．
【變式1-2】（2022?濱江區(qū)二模）用若根火柴首尾相接擺成一個矩形，設每一根火柴的長度為1，矩形兩條鄰邊的長分別別為x，y，要求擺成的矩形的面積為8．
（1）求y關于x的函數(shù)表達式；
（2）能否擺成正方形？請說明理由．
【變式1-3】（2022春?江干區(qū)期末）在面積都相等的所有三角形中，當其中一個三角形的一邊長x為1時，這條邊上的高y為6．
（1）①求y關于x的函數(shù)表達式；
②當x≥3時，求y的取值范圍；
（2）小李說其中有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為4，小趙說有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為6．你認為小李和小趙的說法對嗎？為什么？
【題型2 表格問題】
【例2】（2022?新華區(qū)校級一模）某電子科技公司研發(fā)出一套學習軟件，并對這套學習軟件在24周的銷售時間內，做出了下面的預測：設第x周該軟件的周銷售量為T（單位：千套），當0＜x≤8時，T與x+4成反比；當8＜x≤24時，T﹣2與x成正比，并預測得到了如表中對應的數(shù)據(jù)．設第x周銷售該軟件每千套的利潤為K（單位：千元），K與x滿足如圖中的函數(shù)關系圖象：
（1）求T與x的函數(shù)關系式；
（2）觀察圖象，當12≤x≤24時，K與x的函數(shù)關系式為 ．
（3）設第x周銷售該學習軟件所獲的周利潤總額為y（單位：千元），則：
①在這24周的銷售時間內，是否存在所獲周利潤總額不變的情況？若存在，求出這個不變的值；若不存在，請說明理由．
②該公司銷售部門通過大數(shù)據(jù)模擬分析后認為，最有利于該學習軟件提供售后服務和銷售的周利潤總額的范圍是286≤y≤504，求在此范圍內對應的周銷售量T的最小值和最大值．
【變式2-1】（2022春?鄭州期末）小涂在課余時間找到了幾副度數(shù)不同的老花鏡，讓鏡片正對著太陽光，并上下移動鏡片，直到地上的光斑最?。梢哉J為是焦點），此時他測了鏡片與光斑的距離（可以當做焦距），得到如下數(shù)據(jù)：
（1）老花鏡鏡片是 （凸的、凹的、平的），度數(shù)越高鏡片的中心 （越薄、越厚、沒有變化）；
（2）觀察表中的數(shù)據(jù)，可以找出老花鏡的度數(shù)D與鏡片焦距f的關系，用關系式表示為： ；
（3）如果按上述方法測得一副老花鏡的焦距為0.7m，可求出這幅老花鏡的度數(shù)為 ．
【變式2-2】（2022春?社旗縣期中）如圖，李老師設計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在一個自制問題似天平的儀器的左邊固定托盤A中放置一個重物，在右邊活動托盤B（可左右移動）中放置一定質量的砝碼，使得儀器左右平衡．改變活動托盤B與點O的距離x（cm），觀察活動托盤B中砝碼的質量y（g）的變化情況．實驗數(shù)據(jù)記錄如下表：
（1）猜測y與x之間的函數(shù)關系，求出函數(shù)關系式并加以驗證；
（2）當砝碼的質量為24g時，活動托盤B與點O的距離是多少？
（3）將活動托盤B往左移動時，應往活動托盤B中添加還是減少砝碼？
【變式2-3】（2022春?常州期末）某公司從2014年開始投入技術改進資金，經(jīng)技術改進后，其產(chǎn)品的成本不斷降低，具體數(shù)據(jù)如下表：
（1）分析下表中數(shù)據(jù)，請從一次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定一個函數(shù)表示其變化規(guī)律，直接寫出y與x的函數(shù)關系式：
（2）按照這種變化規(guī)律，若2018年已投入資金6萬元．
①預計2018年每件產(chǎn)品比2017年降低多少萬元？
②若計劃在2018年把每件產(chǎn)品成本降低到5萬元，則還需要投入技改資金多少萬元？
【題型3 工程問題】
【例3】（2022?市南區(qū)校級二模）新冠肺炎疫情發(fā)生后，社會各界積極行動，以各種方式傾情支援湖北疫區(qū)，某車隊需要將一批生活物資運送至湖北疫區(qū)．已知該車隊計劃每天運送的貨物噸數(shù)y（噸）與運輸時間x（天）之間滿足如圖所示的反比例函數(shù)關系．
（1）求該車隊計劃每天運送的貨物噸數(shù)y（噸）與運輸時間x（天）之間的函數(shù)關系式；（不需要寫出自變量x的取值范圍）
（2）根據(jù)計劃，要想在5天之內完成該運送任務，則該車隊每天至少要運送多少噸物資？
（3）為保證該批生活物資的盡快到位，該車隊實際每天運送的貨物噸數(shù)比原計劃多了25%，最終提前了1天完成任務，求實際完成運送任務的天數(shù)．
【變式3-1】（2022?市南區(qū)模擬）某校綠色行動小組組織一批人參加植樹活動，完成任務的時間y（h）是參加植樹人數(shù)x（人）的反比例函數(shù)，且當x＝20人時，y＝3h．
（1）若平均每人每小時植樹4棵，則這次共計要植樹 240 棵；
（2）當x＝80時，求y的值；
（3）為了能在1.5h內完成任務，至少需要多少人參加植樹？
【變式3-2】（2022?仙居縣一模）縣政府計劃建設一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為6×105（單位：m3），某運輸公司承擔了運送土石方的任務．
（1）運輸公司平均運送速度v（單位：m3/天）與完成運送任務所需時間t（單位：天）之間具有怎樣的函數(shù)關系？
（2）這個運輸公司共有80輛卡車，每天可運送土石方104（單位：m3），公司完成全部運輸任務需要多長時間？
（3）當公司以問題（2）中的速度工作了30天后，由于工程進度的需要，剩下的運輸任務必須在20天內完
成，則運輸公司至少要增加多少輛卡車？
【變式3-3】（2022秋?商州區(qū)校級期末）碼頭工人每天往一艘輪船上裝載貨物，平均每天裝載速度y（噸/天）與裝完貨物所需時間x（天）之間是反比例函數(shù)關系，其圖象如圖所示．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式；
（2）由于緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸貨完畢，那么平均每天至少要卸貨多少噸？
（3）若碼頭原有工人10名，且每名工人每天的裝卸量相同，裝載完畢恰好用了8天時間，在（2）的條件下，至少需要增加多少名工人才能完成任務？
【題型4 行程問題】
【例4】（2022春?宜興市校級期末）一司機駕駛汽車從甲地去乙地，以80千米/小時的平均速度用6小時到達目的地．
（1）當他按原路勻速返回時，求汽車速度v（千米/小時）與時間t（小時）之間的函數(shù)關系式；
（2）如果該司機勻速返回時，用了4.8小時，求返回時的速度；
（3）若返回時，司機全程走高速公路，且勻速行駛，根據(jù)規(guī)定：最高車速不得超過每小時120公里，最低車速不得低于每小時60公里，試問返程時間的范圍是多少？
【變式4-1】（2022春?相城區(qū)期末）一列貨車從北京開往烏魯木齊，以58km/h的平均速度行駛需要65h．為了實施西部大開發(fā)，京烏線決定全線提速．
（1）如果提速后平均速度為vkm/h，全程運營時間為t小時，試寫出t與v之間的函數(shù)表達式；
（2）如果提速后平均速度為78km/h，求提速后全程運營時間；
（3）如果全程運營的時間控制在40h內，那么提速后，平均速度至少應為多少？
【變式4-2】（2022?麗水）麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運往杭州市場進行銷售，記汽車行駛時間為t小時，平均速度為v千米/小時（汽車行駛速度不超過100千米/小時）．根據(jù)經(jīng)驗，v，t的一組對應值如下表：
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v（千米/小時）關于行駛時間t（小時）的函數(shù)表達式；
（2）汽車上午7：30從麗水出發(fā)，能否在上午10：00之前到達杭州市場？請說明理由；
（3）若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范圍．
【變式4-3】（2022?河北）如圖是輪滑場地的截面示意圖，平臺AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點B，與滑道y=kx（x≥1）交于點A，且AB＝1米．運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落路線的某位置．忽略空氣阻力，實驗表明：M，A的豎直距離h（米）與飛出時間t（秒）的平方成正比，且t＝1時h＝5，M，A的水平距離是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）設v＝5．用t表示點M的橫坐標x和縱坐標y，并求y與x的關系式（不寫x的取值范圍），及y＝13時運動員與正下方滑道的豎直距離；
（3）若運動員甲、乙同時從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒．當甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側超過4.5米的位置時，直接寫出t的值及v乙的范圍．
【題型5 銷售問題】
【例5】（2022秋?新都區(qū)期末）2020年9月，中國在聯(lián)合國大會上向世界宣布了2030年前實現(xiàn)碳達峰、2060年前實現(xiàn)碳中和的目標．為推進實現(xiàn)這一目標，某工廠投入資金進行了為期6個月的升級改造和節(jié)能減排改造，導致月利潤明顯下降，改造期間的月利潤與時間成反比例函數(shù)關系；到6月底開始恢復全面生產(chǎn)后，工廠每月的利潤都比前一個月增加30萬元．設2021年1月為第1個月，第x個月的利潤為y萬元，其圖象如圖所示，試解決下列問題：
（1）分別寫出該工廠對生產(chǎn)線進行升級改造前后y與x的函數(shù)表達式；
（2）當月利潤少于90萬元時，為該工廠的資金緊張期，則該工廠資金緊張期共有幾個月．
【變式5-1】（2022?定海區(qū)模擬）某公司為了宣傳一種新產(chǎn)品，在某地先后舉行40場產(chǎn)品促銷會，已知該產(chǎn)品每臺成本為10萬元，設第x場產(chǎn)品的銷售量為y（臺），第一場銷售產(chǎn)品49臺，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺．
（1）第5場銷售多少臺產(chǎn)品？并求出y與x之間的函數(shù)關系式．
（2）產(chǎn)品的每場銷售單價P（萬元）由基本價和浮動價兩部分組成，其中基本價為10萬元，第1場～第20場浮動價與銷售場次x成正比，第21場～第40場浮動價與銷售場次x成反比，經(jīng)過統(tǒng)計，得到如表數(shù)據(jù)：
①求P與x之間滿足的函數(shù)關系式．
②當產(chǎn)品銷售單價為13.6萬元時，求銷售場次是第幾場？
③在這40場產(chǎn)品促銷會中，哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
【變式5-2】（2022?河北模擬）小米利用暑期參加社會實踐，在媽媽的幫助下，利用社區(qū)提供的免費攤點賣玩具，已知小米所有玩具的進價均2元/個，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每天玩具銷售量y件與銷售價格x元/件的關系如圖所示，其中AB段為反比例函數(shù)圖象的一部分，BC段為一次函數(shù)圖象的一部分，設小米銷售這種玩具的日利潤為w元．
（1）根據(jù)圖象，求出y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）求出每天銷售這種玩具的利潤w（元）與x（元/件）之間的函數(shù)關系式，并求每天利潤的最大值；
（3）若小米某天將價格定為超過4元（x＞4），那么要使得小米在該天的銷售利潤不低于54元，求該天玩具銷售價格的取值范圍．
【變式5-3】（2022?青羊區(qū)模擬）某學校小組利用暑假中前40天參加社會實踐活動，參與了一家網(wǎng)上書店的經(jīng)營，了解到一種成本為20元/本的書在x天銷售量p＝50﹣x，在第x天的售價為y（元/本），y與x的關系如圖所示．已知當社會實踐活動時間超過一半后．y＝20+315x
（1）請求出當1≤x≤20時，y與x的函數(shù)關系式，請問第幾天此書的銷售單價為35元/本？
（2）這40天中該網(wǎng)點銷售此書第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？
【題型6 物理問題】
【例6】（2022?青秀區(qū)校級一模）學校的自動飲水機，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降．此時水溫y（℃）與通電時間x（min）成反比例關系．當水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，若水溫在20℃時接通電源，水溫y與通電時間x之間的關系如圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
A．水溫從20℃加熱到100℃，需要7min
B．水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是y=400x
C．上午8點接通電源，可以保證當天9：30能喝到不超過40℃的水
D．水溫不低于30℃的時間為773min
【變式6-1】（2022?棗莊）為加強生態(tài)文明建設，某市環(huán)保局對一企業(yè)排污情況進行檢測，結果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L．環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內（含15天）排污達標．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時間x（天）的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規(guī)律，第3天時硫化物的濃度降為4.5mg/L．從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足下面表格中的關系：
（1）在整改過程中，當0≤x＜3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式；
（2）在整改過程中，當x≥3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式；
（3）該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？
【變式6-2】（2022秋?溫州期末）項目化成果展示了一款簡易電子秤：可變電阻上裝有托盤（質量忽略不計），測得物品質量x（kg）與可變電阻y（Ω）的多組對應值，畫出函數(shù)圖象（如圖1）．圖2是三種測量方案，電源電壓恒為8V，定值電阻為30Ω，與可變電阻串聯(lián)．
【鏈接】串聯(lián)電路中，通過兩個電阻的電流I相等，I=UR．可變電阻、定值電阻兩端的電壓之和為8V，則有I（y+30）＝8．
（1）求y關于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）三個托盤放置不同物品后，電表A，V0，V1的讀數(shù)分別為0.1A，6V，4V．請從以下方案中選擇一個，求出對應物品的質量是多少kg？
（3）小明家買了某散裝大米65kg，為了檢驗商家是否存在缺斤少兩的情況，請你將大米分批稱重，用方案一、二、三來進行檢驗，設大米為a（60＜a≤65）kg，前兩次稱合適的千克數(shù)，第3次用含a的代數(shù)式表示，請?zhí)顚懭绫恚?br>【變式6-3】（2022春?盱眙縣期末）某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品，如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開始到關閉及關閉后，大棚里溫度y（℃）隨時間x（h）變化的函數(shù)圖象，其中AB段是恒溫階段，BC段是雙曲線y=kx的一部分，請根據(jù)圖中信息解答下列問題：
（1）求k的值；
（2）恒溫系統(tǒng)在一天內保持大棚內溫度不低于15℃的時間有多少小時？
x/周
8
24
T/千套
10
26
老花鏡的度數(shù)D/度
100
120
200
250
300
焦距f/m
1
0.8
0.5
0.4
0.3
x（cm）
10
15
20
25
30
y（g）
30
20
15
12
10
年度
投入技改資金x/萬元
產(chǎn)品成本y/（萬元/件）
2014
2.5
14.4
2015
3
12
2016
4
9
2017
4.5
8
v（千米/小時）
75
80
85
90
95
t（小時）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
x（場）
3
10
36
P（萬元）
10.6
12
13
時間x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的濃度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
第1次（方案一）
第2次（方案二）
第3次（方案三）
大米（kg）



讀數(shù)
I＝ A
V0＝ V
V1≥ V
專題11.2 反比例函數(shù)的應用【六大題型】
【蘇科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21237" 【題型1 圖形問題】 PAGEREF _Tc21237 \h 1
\l "_Tc20678" 【題型2 表格問題】 PAGEREF _Tc20678 \h 4
\l "_Tc10431" 【題型3 工程問題】 PAGEREF _Tc10431 \h 9
\l "_Tc12993" 【題型4 行程問題】 PAGEREF _Tc12993 \h 13
\l "_Tc3174" 【題型5 銷售問題】 PAGEREF _Tc3174 \h 17
\l "_Tc20520" 【題型6 物理問題】 PAGEREF _Tc20520 \h 23
【知識點1 反比例函數(shù)的應用】
求函數(shù)解析式的方法：
待定系數(shù)法
（2）根據(jù)實際意義求函數(shù)解析式
【題型1 圖形問題】
【例1】（2022秋?岳陽月考）如圖，科技小組準備用材料圍建一個面積為60m2的矩形科技園ABCD，其中一邊AB靠墻，墻長為12m，設AD的長為xm，DC的長為ym．
（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)實際情況，對于（1）式中的函數(shù)自變量x能否取值為4m，若能，求出y的值，若不能，請說明理由；
（3）若圍成矩形科技園ABCD的三邊材料總長不超過26m，材料AD和DC的長都是整米數(shù)，求出滿足條件的所有圍建方案．
【分析】（1）根據(jù)面積為60m2，可得出y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）直接把x＝4代入得出y的值進而比較即可；
（3）由（1）的關系式，結合x、y都是正整數(shù)，可得出x的可能值，再由三邊材料總長不超過26m，DC的長＜12，可得出x、y的值，繼而得出可行的方案．
【解答】解：（1）由題意得，S矩形ABCD＝AD×DC＝xy，
故y=60x．（5≤x）
（2）不能．當x＝4時，y＝15＞12，不合題意；
（3）由y=60x，且x、y都是正整數(shù)，
可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，
∵2x+y≤26，0＜y≤12，
∴符合條件的圍建方案為：AD＝5m，DC＝12m或AD＝6m，DC＝10m或AD＝10m，DC＝6m．
【變式1-1】（2022秋?曲陽縣期末）一菱形的面積為12cm2，它的兩條對角線長分別acm，bcm，則a與b之間的函數(shù)關系為a＝ 24b ；這個函數(shù)的圖象位于第 一 象限．
【分析】菱形的面積＝對角線乘積的一半，列出關系式，寫出a與b的函數(shù)關系式，根據(jù)變量的取值，確定函數(shù)所在的象限．
【解答】解：由菱形的面積公式得ab＝24，則a=24b，
∵a＞0，b＞0，
∴這個函數(shù)的圖象位于第一象限．
【變式1-2】（2022?濱江區(qū)二模）用若根火柴首尾相接擺成一個矩形，設每一根火柴的長度為1，矩形兩條鄰邊的長分別別為x，y，要求擺成的矩形的面積為8．
（1）求y關于x的函數(shù)表達式；
（2）能否擺成正方形？請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)長方形的長＝面積÷寬列出函數(shù)解析式即可；
（2）正方形的邊長相等，說明x、y相等，進一步開方，是整數(shù)即可，否則不成立．
【解答】解：（1）y=8x（x＝1，2，4，8）；
（2）不能擺成正方形．
理由如下：
因為x2＝8，
解得：x＝22，不是整數(shù)，
所以不能擺成正方形．
【變式1-3】（2022春?江干區(qū)期末）在面積都相等的所有三角形中，當其中一個三角形的一邊長x為1時，這條邊上的高y為6．
（1）①求y關于x的函數(shù)表達式；
②當x≥3時，求y的取值范圍；
（2）小李說其中有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為4，小趙說有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為6．你認為小李和小趙的說法對嗎？為什么？
【分析】（1）①直接利用三角形面積求法進而得出y與x之間的關系；②直接利用x≥3得出y的取值范圍；
（2）直接利用x+y的值結合根的判別式得出答案．
【解答】解：（1）①S△=12×1×6＝3，
∵x為底，y為高，
∴12xy＝3，
∴y=6x；
②當x＝3時，y＝2，
∴當x≥3時，y的取值范圍為：0＜y≤2；
（2）小趙的說法正確，
理由：小李：∵小李說其中有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為4，
∴x+6x=4，
整理得，x2﹣4x+6＝0，
∵△＝42﹣4×6＜0，
∴一個三角形的一邊與這邊上的高之和不可能是4；
小趙：∵小趙說有一個三角形的一邊與這邊上的高之和為6．
∴x+6x=6，
整理得，x2﹣6x+6＝0，
∵△＝62﹣4×6＝12＞0，
∴x=6±232=3±3，
∴小趙的說法正確．
【題型2 表格問題】
【例2】（2022?新華區(qū)校級一模）某電子科技公司研發(fā)出一套學習軟件，并對這套學習軟件在24周的銷售時間內，做出了下面的預測：設第x周該軟件的周銷售量為T（單位：千套），當0＜x≤8時，T與x+4成反比；當8＜x≤24時，T﹣2與x成正比，并預測得到了如表中對應的數(shù)據(jù)．設第x周銷售該軟件每千套的利潤為K（單位：千元），K與x滿足如圖中的函數(shù)關系圖象：
（1）求T與x的函數(shù)關系式；
（2）觀察圖象，當12≤x≤24時，K與x的函數(shù)關系式為 K＝﹣x+44 ．
（3）設第x周銷售該學習軟件所獲的周利潤總額為y（單位：千元），則：
①在這24周的銷售時間內，是否存在所獲周利潤總額不變的情況？若存在，求出這個不變的值；若不存在，請說明理由．
②該公司銷售部門通過大數(shù)據(jù)模擬分析后認為，最有利于該學習軟件提供售后服務和銷售的周利潤總額的范圍是286≤y≤504，求在此范圍內對應的周銷售量T的最小值和最大值．
【分析】（1）通過待定系數(shù)法求函數(shù)關系式．
（2）觀察圖象，分析函數(shù)圖象性質，分段求解．
（3）分析并理解題意，列出一元二次方程解出答案．
【解答】解：（1）當0＜x≤8時，設T=mx+4（m≠0），
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，當x＝8時，T＝10，
∴10=m8+4，
解得：m＝120，
∴當8＜x≤24時，設T﹣2＝nx（n≠0），
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，當x＝24時，T＝26，
∴26﹣2＝24n，
解得：n＝1，
∴T﹣2＝x，
∴T＝x+2，
綜上所述T與x的函數(shù)關系式為：
∴120x+4(0＜x≤8)x+2(8＜x≤24)；
（2）當12≤x≤24時，設K與x的函數(shù)關系式為K＝kx+b，
將x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入得：
12k+b=3224+b=20，
解得：k=?1b=44，
∴當12≤x≤24時，K與x的函數(shù)關系式為K＝﹣x+44，
故答案為：K＝﹣x+44；
（3）①存在，不變的值為240，
由函數(shù)圖像得：當0＜x≤12時，設K與x的函數(shù)關系式為K＝k1x+b1，
將x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入得：
b1=812k1+b1=32，
解得：k1=2b1=8，
∴當0＜x≤12時，K與x的函數(shù)關系式為K＝2x+8，
∴當0＜x≤8時，y＝KT＝（2x+8）120x+4=240；
當8＜x≤12時，y＝KT＝（2x+8）（x+2）＝2x2+12x+16；
當12＜x≤24時，y＝KT＝（x+2）（﹣x+44）＝﹣x2+42x+88，
綜上所述，在這24周的銷售時間內，存在所獲周利潤總額不變的情況，這個不變值為240．
②當8＜x≤12時，y＝2x2+12x+16＝2（x+3）2﹣2，拋物線的對稱軸為x＝﹣3，
∴（Ⅰ）當8＜x≤12時，在對稱軸右側y隨x的增大而增大，
當2（x+3）2﹣2＝286時，
解得：x1＝9，x2＝﹣15（舍去）；
當x＝12時，y取最大值，最大值為448，滿足286≤y≤504；
當x＝9時，周銷售量T的最小值為11；當x＝12時，T取最大值14；
（Ⅱ）當12＜x≤24時，y＝﹣x2+42x+88＝﹣（x﹣21）2+529，拋物線的對稱軸為x＝21，
當x＝12時，y取最小值，最小值為448，滿足286≤y≤504；
當﹣（x﹣21）2+529＝504時，
解得：x1＝16，x2＝26（舍去）；
當x＝12時，周銷售量T取最小值為14；當x＝16時，T取最大值18；
綜上所述，當周利潤總額的范圍是286≤y≤504時，對應周銷售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．
【變式2-1】（2022春?鄭州期末）小涂在課余時間找到了幾副度數(shù)不同的老花鏡，讓鏡片正對著太陽光，并上下移動鏡片，直到地上的光斑最?。梢哉J為是焦點），此時他測了鏡片與光斑的距離（可以當做焦距），得到如下數(shù)據(jù)：
（1）老花鏡鏡片是 凸的 （凸的、凹的、平的），度數(shù)越高鏡片的中心 越厚 （越薄、越厚、沒有變化）；
（2）觀察表中的數(shù)據(jù)，可以找出老花鏡的度數(shù)D與鏡片焦距f的關系，用關系式表示為： f=100D ；
（3）如果按上述方法測得一副老花鏡的焦距為0.7m，可求出這幅老花鏡的度數(shù)為 143度 ．
【分析】（1）根據(jù)題意及常識可求解；
（2）利用表格中的數(shù)據(jù)可求解D與f的關系式；
（3）將f值代入計算可求解．
【解答】解：（1）老花鏡鏡片是凸的，度數(shù)越高鏡片的中心越厚，
故答案為：凸的；越厚；
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得：100×1＝100，120×0.8＝96，200×0.5＝100，250×0.4＝100，300×0.3＝90，
則老花鏡的度數(shù)D與鏡片焦距f的關系可近似的看作f=100D，
故答案為：f=100D；
（3）當f＝0.7m時，0.7=100D，
解得D≈143，
即這幅老花鏡的度數(shù)是143度．
故答案為：143度．
【變式2-2】（2022春?社旗縣期中）如圖，李老師設計了一個探究杠桿平衡條件的實驗：在一個自制問題似天平的儀器的左邊固定托盤A中放置一個重物，在右邊活動托盤B（可左右移動）中放置一定質量的砝碼，使得儀器左右平衡．改變活動托盤B與點O的距離x（cm），觀察活動托盤B中砝碼的質量y（g）的變化情況．實驗數(shù)據(jù)記錄如下表：
（1）猜測y與x之間的函數(shù)關系，求出函數(shù)關系式并加以驗證；
（2）當砝碼的質量為24g時，活動托盤B與點O的距離是多少？
（3）將活動托盤B往左移動時，應往活動托盤B中添加還是減少砝碼？
【分析】（1）觀察可得：x，y的乘積為定值300，故y與x之間的函數(shù)關系為反比例函數(shù)，將數(shù)據(jù)代入用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的關系式；
（2）把x＝24代入解析式求解，可得答案；
（3）利用函數(shù)增減性即可得出，隨著活動托盤B與O點的距離不斷增大，砝碼的示數(shù)應該不斷減?。?br>【解答】解：（1）由圖象猜測y與x之間的函數(shù)關系為反比例函數(shù)，
∴設y=kx（k≠0），
把x＝10，y＝30代入得：k＝300，
∴y=300x，
將其余各點代入驗證均適合，
∴y與x的函數(shù)關系式為：y=300x；
（2）把y＝24代入y=300x得：x＝12.5，
∴當砝碼的質量為24g時，活動托盤B與點O的距離是12.5cm．
（3）根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，即可得出，隨著活動托盤B與O點的距離不斷減小，砝碼的示數(shù)會不斷增大；
∴應添加砝碼．
【變式2-3】（2022春?常州期末）某公司從2014年開始投入技術改進資金，經(jīng)技術改進后，其產(chǎn)品的成本不斷降低，具體數(shù)據(jù)如下表：
（1）分析下表中數(shù)據(jù)，請從一次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定一個函數(shù)表示其變化規(guī)律，直接寫出y與x的函數(shù)關系式：
（2）按照這種變化規(guī)律，若2018年已投入資金6萬元．
①預計2018年每件產(chǎn)品比2017年降低多少萬元？
②若計劃在2018年把每件產(chǎn)品成本降低到5萬元，則還需要投入技改資金多少萬元？
【分析】（1）利用已知數(shù)據(jù)可得橫縱坐標的積為定值，進而得出答案；
（2）①利用所求函數(shù)解析式進而利用x＝6時求出y的值即可得出答案；
②利用y＝5代入進而得出答案．
【解答】解：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得：能用反比例函數(shù)表示其變化規(guī)律，
y與x的函數(shù)關系式是：y=36x；
（2）①當x＝6時，y＝6，
則8﹣6＝2（萬元），
答：預計2018年每件產(chǎn)品成本比2017年降低2萬元；
②當y＝5時，x＝7.2，
7.2﹣6＝1.2（萬元），
答：還需投入技改資金1.2萬元．
【題型3 工程問題】
【例3】（2022?市南區(qū)校級二模）新冠肺炎疫情發(fā)生后，社會各界積極行動，以各種方式傾情支援湖北疫區(qū)，某車隊需要將一批生活物資運送至湖北疫區(qū)．已知該車隊計劃每天運送的貨物噸數(shù)y（噸）與運輸時間x（天）之間滿足如圖所示的反比例函數(shù)關系．
（1）求該車隊計劃每天運送的貨物噸數(shù)y（噸）與運輸時間x（天）之間的函數(shù)關系式；（不需要寫出自變量x的取值范圍）
（2）根據(jù)計劃，要想在5天之內完成該運送任務，則該車隊每天至少要運送多少噸物資？
（3）為保證該批生活物資的盡快到位，該車隊實際每天運送的貨物噸數(shù)比原計劃多了25%，最終提前了1天完成任務，求實際完成運送任務的天數(shù)．
【分析】（1）設反比函數(shù)的解析式，代入（2，100）即可求解；
（2）設該車隊每天至少要運送m噸物資，根據(jù)題意列不等式，解不等式即可；
（3）設原計劃每天運送貨物n噸，根據(jù)題意列分式方程，即可求出．
【解答】解：（1）∵y與x滿足反比例函數(shù)關系，
∴設y=kx，將點（2，100）代入，
解得k＝200，
∴y=200x．
（2）設該車隊每天至少要運送m噸物資，
則5m≥200，
則m≥40，
∴該車隊每天至少要運送40噸物資．
（3）設該車隊原計劃每天運送的貨物n噸，
則實際每天運送的貨物為（1+25%）n噸，
根據(jù)題意列方程得，
200(1+25%)n+1=200n，
解得n＝40，
經(jīng)檢驗，n＝40是原方程的根，
∴原計劃每天運送貨物40噸，實際每天運送貨物50噸，
∴實際完成運送任務的天數(shù)是20050=4（天）．
【變式3-1】（2022?市南區(qū)模擬）某校綠色行動小組組織一批人參加植樹活動，完成任務的時間y（h）是參加植樹人數(shù)x（人）的反比例函數(shù)，且當x＝20人時，y＝3h．
（1）若平均每人每小時植樹4棵，則這次共計要植樹 240 棵；
（2）當x＝80時，求y的值；
（3）為了能在1.5h內完成任務，至少需要多少人參加植樹？
【分析】（1）直接利用當x＝20人時，y＝3h，平均每人每小時植樹4棵，即可得出這次共計要植樹的總棵數(shù)；
（2）首先求出反比例函數(shù)解析式，進而利用當x＝80時，得出y的值，進而得出答案；
（3）利用y＝1.5時，求出x的值進而得出答案．
【解答】解：（1）由題意可得：20×4×3＝240；
故答案為：240；
（2）設y與x的函數(shù)表達式為：y=kx（k≠0），
∵當x＝20時，y＝3．
∴3=k20
∴k＝60，
∴y=60x，
當x＝80時，y=6080=34；
（3）把y＝1.5代入y=60x，得
1.5=60x，
解得：x＝40，
根據(jù)反比例函數(shù)的性質，y隨x的增大而減小，所以為了能在1.5h內完成任務，至少需要40人參加植樹．
【變式3-2】（2022?仙居縣一模）縣政府計劃建設一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為6×105（單位：m3），某運輸公司承擔了運送土石方的任務．
（1）運輸公司平均運送速度v（單位：m3/天）與完成運送任務所需時間t（單位：天）之間具有怎樣的函數(shù)關系？
（2）這個運輸公司共有80輛卡車，每天可運送土石方104（單位：m3），公司完成全部運輸任務需要多長時間？
（3）當公司以問題（2）中的速度工作了30天后，由于工程進度的需要，剩下的運輸任務必須在20天內完
成，則運輸公司至少要增加多少輛卡車？
【分析】（1）由總量＝vt，求出v即可；
（2）把v的值代入計算即可求出t的值；
（3）設需要增加a輛卡車，每輛卡車每天運輸土石方為10480=125m3，求出前30天與后20天的土石方確定出解析式，即可求出a的最小值．
【解答】解（1）∵vt＝6×105，
∴v=6×105t；
（2）當v＝104時，t=6×105104=60（天），
答：公司完成全部運輸任務需要60天；
（3）設需要增加a輛卡車，每輛卡車每天運輸土石方為10480=125m3，
∵前30天運輸土石方：30×104＝3×105m3，
∴后20天運輸土石方：6×105﹣3×105＝3×105，
設30天后的每天運輸速度為v1，所需時間t1，
∴v1=3×105t1，
由v1=3×105t1的性質可知，當t1＞0時，v1隨著t1的增大而減少，
∴20×125（a+80）≥3×105，
∴a≥40，
∴a得最小值是40，
答：運輸公司至少要增加40輛卡車．
【變式3-3】（2022秋?商州區(qū)校級期末）碼頭工人每天往一艘輪船上裝載貨物，平均每天裝載速度y（噸/天）與裝完貨物所需時間x（天）之間是反比例函數(shù)關系，其圖象如圖所示．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式；
（2）由于緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸貨完畢，那么平均每天至少要卸貨多少噸？
（3）若碼頭原有工人10名，且每名工人每天的裝卸量相同，裝載完畢恰好用了8天時間，在（2）的條件下，至少需要增加多少名工人才能完成任務？
【分析】（1）根據(jù)題意即可知裝載速度y（噸/天）與裝完貨物所需時間x（天）之間是反比例函數(shù)關系，則可求得答案；
（2）由x＝5，代入函數(shù)解析式即可求得y的值，即求得平均每天至少要卸的貨物；
（3）由10名工人，每天一共可卸貨50噸，即可得出平均每人卸貨的噸數(shù)，即可求得答案．
【解答】解：（1）設y與x之間的函數(shù)表達式為y=kx，
根據(jù)題意得：50=k8，
解得k＝400，
∴y與x之間的函數(shù)表達式為y=400x；
（2）∵x＝5，∴y＝400÷5＝80，
解得：y＝80；
答：平均每天至少要卸80噸貨物；
（3）∵每人一天可卸貨：50÷10＝5（噸），
∴80÷5＝16（人），16﹣10＝6（人）．
答：碼頭至少需要再增加6名工人才能按時完成任務．
【題型4 行程問題】
【例4】（2022春?宜興市校級期末）一司機駕駛汽車從甲地去乙地，以80千米/小時的平均速度用6小時到達目的地．
（1）當他按原路勻速返回時，求汽車速度v（千米/小時）與時間t（小時）之間的函數(shù)關系式；
（2）如果該司機勻速返回時，用了4.8小時，求返回時的速度；
（3）若返回時，司機全程走高速公路，且勻速行駛，根據(jù)規(guī)定：最高車速不得超過每小時120公里，最低車速不得低于每小時60公里，試問返程時間的范圍是多少？
【分析】（1）首先根據(jù)題意，求解可得：S＝V?t＝480，汽車速度v（千米/小時）與時間t（小時）之間為反比例函數(shù)關系式，將數(shù)據(jù)代入用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的關系式；
（2）由（1）中的解析式和t＝4.8可進一步求解可得v的值；
（3）根據(jù)題意或結合圖象可知，分別計算v＝120時和v＝60時t的值即可求得范圍．
【解答】解：（1）∵s＝80×6＝480
∴汽車速度v（千米/小時）與時間t（小時）之間的函數(shù)關系式：v=480t
（2）當t＝4.8時，v=4804.8=100，
答：返回時的速度為100千米/小時．
（3）如圖，k＝480＞0，t隨v的減小而增大，
當v＝120時，t＝4，
當v＝60時，t＝8，
∴4≤t≤8．
答：根據(jù)限速規(guī)定，返程時間不少于4小時且不多于8小時．
【變式4-1】（2022春?相城區(qū)期末）一列貨車從北京開往烏魯木齊，以58km/h的平均速度行駛需要65h．為了實施西部大開發(fā)，京烏線決定全線提速．
（1）如果提速后平均速度為vkm/h，全程運營時間為t小時，試寫出t與v之間的函數(shù)表達式；
（2）如果提速后平均速度為78km/h，求提速后全程運營時間；
（3）如果全程運營的時間控制在40h內，那么提速后，平均速度至少應為多少？
【分析】（1）直接利用路程＝時間×速度得出總路程進而得出函數(shù)關系式；
（2）利用總路程除以速度即可得出時間；
（3）利用總路程除以時間即可得出平均速度．
【解答】解：（1）由題意可得，總路程為58×65＝3770（km），
則提速后平均速度為vkm/h，全程運營時間為t小時，
故t與v之間的函數(shù)表達式為：t=3770v；
（2）當v＝78km/h時，t=377078=4813（小時），
答：提速后全程運營時間為4813小時；
（3）∵全程運營的時間控制在40h內，
∴平均速度應為：t≥377040=94.25，
答：提速后，平均速度至少應為94.25km．
【變式4-2】（2022?麗水）麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運往杭州市場進行銷售，記汽車行駛時間為t小時，平均速度為v千米/小時（汽車行駛速度不超過100千米/小時）．根據(jù)經(jīng)驗，v，t的一組對應值如下表：
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v（千米/小時）關于行駛時間t（小時）的函數(shù)表達式；
（2）汽車上午7：30從麗水出發(fā)，能否在上午10：00之前到達杭州市場？請說明理由；
（3）若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知v是t的反比例函數(shù)，設v=kt，利用待定系數(shù)法求出k即可；
（2）根據(jù)時間t＝2.5，求出速度，即可判斷；
（3）根據(jù)自變量的取值范圍，求出函數(shù)值的取值范圍即可；
【解答】解：（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可知v=kt，
∵v＝75時，t＝4，
∴k＝75×4＝300，
∴v=300t（t≥3）．
（2）∵10﹣7.5＝2.5，
∴t＝2.5時，v=3002.5=120＞100，
∴汽車上午7：30從麗水出發(fā)，不能在上午10：00之前到達杭州市場．
（3）∵3.5≤t≤4，
∴75≤v≤6007，
答：平均速度v的取值范圍是75≤v≤6007．
【變式4-3】（2022?河北）如圖是輪滑場地的截面示意圖，平臺AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點B，與滑道y=kx（x≥1）交于點A，且AB＝1米．運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落路線的某位置．忽略空氣阻力，實驗表明：M，A的豎直距離h（米）與飛出時間t（秒）的平方成正比，且t＝1時h＝5，M，A的水平距離是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）設v＝5．用t表示點M的橫坐標x和縱坐標y，并求y與x的關系式（不寫x的取值范圍），及y＝13時運動員與正下方滑道的豎直距離；
（3）若運動員甲、乙同時從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒．當甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側超過4.5米的位置時，直接寫出t的值及v乙的范圍．
【分析】（1）用待定系數(shù)法解題即可；
（2）根據(jù)題意，分別用t表示x、y，再用代入消元法得出y與x之間的關系式；
（3）求出甲距x軸1.8米時的橫坐標，根據(jù)題意求出乙位于甲右側超過4.5米的v乙．
【解答】解：（1）把點A（1，18）代入y=kx，得，18=k1，
∴k＝18，
設h＝at2，把t＝1，h＝5代入，得，a＝5，
∴h＝5t2．
（2）∵v＝5，AB＝1米，
∴x＝5t+1，
∵h＝5t2，OB＝18米，
∴y＝﹣5t2+18，
由x＝5t+1，
則t=15(x?1)，
∴y=?15(x?1)2+18=?15x2+25x+895，
當y＝13時，13=?15(x?1)2+18，
解得x＝6或﹣4，
∵x≥1，
∴x＝6，
把x＝6代入，得，y=18x，
y＝3，
∴運動員與正下方滑道的豎直距離是13﹣3＝10（米）．
（3）把y＝1.8代入y＝﹣5t2+18，得，t2=8125，
解得t＝1.8或﹣1.8（負值舍去），
∴x＝10，
∴甲的坐標為（10，1.8），
此時，乙的坐標為（1+1.8v乙，1.8），
由題意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5，
∴v乙＞7.5．
∴t＝1.8，v乙＞7.5．
【題型5 銷售問題】
【例5】（2022秋?新都區(qū)期末）2020年9月，中國在聯(lián)合國大會上向世界宣布了2030年前實現(xiàn)碳達峰、2060年前實現(xiàn)碳中和的目標．為推進實現(xiàn)這一目標，某工廠投入資金進行了為期6個月的升級改造和節(jié)能減排改造，導致月利潤明顯下降，改造期間的月利潤與時間成反比例函數(shù)關系；到6月底開始恢復全面生產(chǎn)后，工廠每月的利潤都比前一個月增加30萬元．設2021年1月為第1個月，第x個月的利潤為y萬元，其圖象如圖所示，試解決下列問題：
（1）分別寫出該工廠對生產(chǎn)線進行升級改造前后y與x的函數(shù)表達式；
（2）當月利潤少于90萬元時，為該工廠的資金緊張期，則該工廠資金緊張期共有幾個月．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法可得到反比例函數(shù)解析式；由工廠每月的利潤都比前一個月增加30萬元，可求出改造后y與x的函數(shù)表達式；
（2）對于y=180x，y＝90時，x＝2，得到x＞2時，y＜90，對于y＝30x﹣150，當y＝90時，x＝8，于是可得到結論．
【解答】解：（1）設改造前y與x的函數(shù)關系式為y=kx，把x＝1，y＝180代入得，k＝180，
∴改造前y與x之間的函數(shù)關系式為y=180x，
把x＝6代入得y=1806=30，
由題意設6月份以后y與x的函數(shù)關系式為y＝30x+b，
把x＝6，y＝30代入得，30＝30×6+b，
∴b＝﹣150，
∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝30x﹣150；
（2）對于y=180x，y＝90時，x＝2，
∵k＝180＞0，y隨x的增大而減小，
∴x＞2時，y＜90，
對于y＝30x﹣150，當y＝90時，x＝8，
∵k＝10＞0，y隨x的增大而增大，
∴x＜8時，y＜90，
∴2＜x＜8時，月利潤少于90萬元，
∴該工廠資金緊張期共有5個月．
【變式5-1】（2022?定海區(qū)模擬）某公司為了宣傳一種新產(chǎn)品，在某地先后舉行40場產(chǎn)品促銷會，已知該產(chǎn)品每臺成本為10萬元，設第x場產(chǎn)品的銷售量為y（臺），第一場銷售產(chǎn)品49臺，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺．
（1）第5場銷售多少臺產(chǎn)品？并求出y與x之間的函數(shù)關系式．
（2）產(chǎn)品的每場銷售單價P（萬元）由基本價和浮動價兩部分組成，其中基本價為10萬元，第1場～第20場浮動價與銷售場次x成正比，第21場～第40場浮動價與銷售場次x成反比，經(jīng)過統(tǒng)計，得到如表數(shù)據(jù)：
①求P與x之間滿足的函數(shù)關系式．
②當產(chǎn)品銷售單價為13.6萬元時，求銷售場次是第幾場？
③在這40場產(chǎn)品促銷會中，哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
【分析】（1）設第x場產(chǎn)品的銷售量為y（臺），根據(jù)已知第一場銷售產(chǎn)品49臺，然后每增加一場，產(chǎn)品就少賣出1臺，即第5場銷售的臺數(shù)和y與x之間滿足的函數(shù)關系式；
（2）①根據(jù)題意可知每場銷售單價p（萬元）＝基本價+浮動價．設基本價為b，分兩種情況：第1場一第20場，設p與x的函數(shù)關系式為p＝ax+b，把（3，10.6），（10，12）代入，利用待定系數(shù)法求出p與x的函數(shù)關系式；第21場﹣﹣第40場，設p與x的函數(shù)關系式為p=mx+b，把（36，13）代入，利用待定系數(shù)法求出p與x的函數(shù)關系式；然后將p＝13分別代入兩個函數(shù)解析式，求出x即可；
②把13.6代入①中解析式，求解即可；
②設每場獲得的利潤為w（萬元）．根據(jù)利潤＝（銷售單價﹣每臺成本）×銷售量，分①1≤x≤20；②21≤x≤40兩種情況，分別列出w與x的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質結合自變量的取值范圍求出w的最大值，最后比較即可．
【解答】（1）由題意，當x＝5時，y＝45，
y與x的函數(shù)關系式為y＝50﹣x．
∴第5場銷售45臺產(chǎn)品，y與x的函數(shù)關系式為y＝50﹣x；
（2）設基本價為b，
①第1場～第20場，1≤x≤20且x為正整數(shù)，
設P與x的函數(shù)關系式為P＝ax+b，
依題意得：3a+b=10.610a+b=12，
解得：a=0.2b=10，
∴P＝0.2x+10．
第21場～第40場，即21≤x≤40且x為正整數(shù)時，
設P與x的函數(shù)關系式為P=mx+b，
即P=mx+10．
依題意得：13=m36+10，
解得m＝108，
∴P=108x+10，
∴當1≤x≤20且x為正整數(shù)時，P與x之間滿足的函數(shù)關系式為p＝0.2x+0；當21≤x≤40且x為正整數(shù)時，P與x之間滿足的函數(shù)關系式為P=108x+10；
②當P＝13.6時，0.2x+10＝13.6，
解得x＝18，
或108x+10=13.6，
解得x＝30．
故當產(chǎn)品銷售單價為13.6萬元時，銷售場次是第18場和第30場；
③設每場獲得的利潤為w（萬元）．
當1≤x≤20且x為正整數(shù)時，w＝（0.2x+10﹣10）（50﹣x）＝﹣0.2x2+10x＝﹣0.2（x﹣25）2+125，
∵在對稱軸的左側，w隨x的增大而增大，
∴當x＝20時，w最大，最大利潤為﹣0.2（20﹣25）2+125＝120（萬元）．
當21≤x≤40且x為正整數(shù)時，w=(108x+10?10)(50?x)=5400x?108，
∵w隨x的增大而減小，
∴當x＝21時，w最大，最大利潤為540021?108=14917（萬元），
∵14917＞120，
∴在這40場產(chǎn)品促銷會中，第21場獲得的利潤最大，最大利潤為14917萬元．
【變式5-2】（2022?河北模擬）小米利用暑期參加社會實踐，在媽媽的幫助下，利用社區(qū)提供的免費攤點賣玩具，已知小米所有玩具的進價均2元/個，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每天玩具銷售量y件與銷售價格x元/件的關系如圖所示，其中AB段為反比例函數(shù)圖象的一部分，BC段為一次函數(shù)圖象的一部分，設小米銷售這種玩具的日利潤為w元．
（1）根據(jù)圖象，求出y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）求出每天銷售這種玩具的利潤w（元）與x（元/件）之間的函數(shù)關系式，并求每天利潤的最大值；
（3）若小米某天將價格定為超過4元（x＞4），那么要使得小米在該天的銷售利潤不低于54元，求該天玩具銷售價格的取值范圍．
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法得出反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式即可；
（2）利用當2≤x≤4時，當4＜x≤14時，分別得出函數(shù)最值進而得出答案；
（3）利用w＝54，得出x的值，進而得出答案．
【解答】解（1）∵AB段為反比例函數(shù)圖象的一部分，A（2，40），
∴當2≤x≤4時，y=80x，
∵BC段為一次函數(shù)圖象的一部分，且B（4，20）、C（14，0），
∴設BC段為一次函數(shù)函數(shù)關系式為y＝kx+b，有4k+b=2014k+b=0，
解得：k=?2b=28
∴當4≤x≤14時，y＝﹣2x+28，
∴y與x之間的函數(shù)關系式為：y=80x(2≤x≤4)?2x+28(4＜x≤14)；
（2）當2≤x≤4時，w＝（x﹣2）y＝（x﹣2）?80x=80?160x，
∵隨著x的增大，?160x增大，w＝80+?160x也增大，
∴當x＝4時，w取得最大值為40，
當4＜x≤14時，w＝（x﹣2）y＝（x﹣2）（﹣2x+28）＝﹣2x2+32x﹣56，
∵w＝﹣2x2+32x﹣56＝﹣2（x﹣8）2+72，﹣2＜0，4＜8＜14，
∴當x＝8時，w取得最大值為72，
綜上所述，每天利潤的最大值為72元；
（3）由題意可知：w＝﹣2x2+32x﹣56＝﹣2（x﹣8）2+72，
令w＝54，即w＝﹣2x2+32x﹣56＝54，
解得：x1＝5，x2＝11，
由函數(shù)表達式及函數(shù)圖象可知，要使w≥54，5≤x≤11，
∴當5≤x≤11時，小米的銷售利潤不低于54元．
【變式5-3】（2022?青羊區(qū)模擬）某學校小組利用暑假中前40天參加社會實踐活動，參與了一家網(wǎng)上書店的經(jīng)營，了解到一種成本為20元/本的書在x天銷售量p＝50﹣x，在第x天的售價為y（元/本），y與x的關系如圖所示．已知當社會實踐活動時間超過一半后．y＝20+315x
（1）請求出當1≤x≤20時，y與x的函數(shù)關系式，請問第幾天此書的銷售單價為35元/本？
（2）這40天中該網(wǎng)點銷售此書第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？
【分析】（1）當1≤x≤20時，設y＝kx+b，將（1，30.5），（20，40）代入，利用待定系數(shù)法求出y與x的函數(shù)關系式；然后在每個x的取值范圍內，令y＝35，分別解出x的值即可；
（2）利用利潤＝售價﹣成本，分別求出在1≤x≤20和21≤x≤40時，獲得的利潤w與x的函數(shù)關系式；再利用二次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質求出最大值，然后比較即可．
【解答】解：（1）當1≤x≤20時，設y＝kx+b，
將（1，30.5），（20，40）代入得
k+b=30.520k+b=40，
解得k=12b=30．
則y與x的函數(shù)關系式為y=12x+30；
當1≤x≤20時，令12x+30＝35，解得x＝10，
當21≤x≤40時，令20+315x=35，解得：x＝21，
經(jīng)檢驗得x＝21是原方程的解且符合題意，
即第10天或者第21天該商品的銷售單價為35元/件；
（2）設該網(wǎng)店第x天獲得的利潤為w元．
當1≤x≤20時，w＝（12x+30﹣20）（50﹣x）=?12x2+15x+500=?12（x﹣15）2+12252，
∵?12＜0，
∴當x＝15時，w有最大值w1，且w1=12252，
當21≤x≤40時，w＝（2022）（50﹣x）=15750x?315，
∵15750＞0，
∴15750x隨x的增大而減小，
∴x＝21時，15750x最大．
于是，x＝21時，w有最大值w2，且w2=1575021?315＝435，
∵w1＞w2，
∴這40天中該網(wǎng)點銷售此書第10天獲得的利潤最大，最大的利潤是612.5元．
【題型6 物理問題】
【例6】（2022?青秀區(qū)校級一模）學校的自動飲水機，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降．此時水溫y（℃）與通電時間x（min）成反比例關系．當水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，若水溫在20℃時接通電源，水溫y與通電時間x之間的關系如圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
A．水溫從20℃加熱到100℃，需要7min
B．水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是y=400x
C．上午8點接通電源，可以保證當天9：30能喝到不超過40℃的水
D．水溫不低于30℃的時間為773min
【分析】因為開機加熱時，飲水機每分鐘上升10℃，所以開機加熱到100℃，所用時間為100?2010=8min，故A不合題意，利用點（8，100），可以求出反比例函數(shù)解析式，故B不符合題意，令y＝20，則x＝40，求出每40分鐘，飲水機重新加熱，故時間為9點30時，可以得到飲水機是第三次加熱，并且第三次加熱了10分鐘，令x＝10，代入到反比例函數(shù)中，求出y，即可得到C不符合題意，先求出加熱時間段時，水溫達到30℃所用的時間，再由反比例函數(shù)，可以得到冷卻時間時，水溫為30℃時所對應的時間，兩個時間相減，即為水溫不低于30℃時的時間．
【解答】解：∵開機加熱時每分鐘上升10℃，
∴水溫從20℃加熱到100℃，所需時間為：100?2010=8min，
故A選項不合題意；
由題可得，（8，100）在反比例函數(shù)圖象上，
設反比例函數(shù)解析式為y=kx，
代入點（8，100）可得，k＝800，
∴水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是y=800x，
故B選項不合題意；
令y＝20，則800x=20，
∴x＝40，
即飲水機每經(jīng)過40分鐘，要重新從20℃開始加熱一次，
從8點9點30分鐘，所用時間為90分鐘，
而水溫加熱到100℃，僅需要8分鐘，
故當時間是9點30時，飲水機第三次加熱，從20℃加熱了10分鐘，
令x＝10，則y=80010=80℃＞40℃，
故C選項不符合題意；
水溫從20℃加熱到30℃所需要時間為：30?2010=1min，
令y＝30，則800x=30，
∴x=803，
∴水溫不低于30℃的時間為803?1=773min，
故選：D．
【變式6-1】（2022?棗莊）為加強生態(tài)文明建設，某市環(huán)保局對一企業(yè)排污情況進行檢測，結果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L．環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內（含15天）排污達標．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時間x（天）的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規(guī)律，第3天時硫化物的濃度降為4.5mg/L．從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足下面表格中的關系：
（1）在整改過程中，當0≤x＜3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式；
（2）在整改過程中，當x≥3時，硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式；
（3）該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？
【分析】（1）設AC的函數(shù)關系式為：y＝kx+b，將A和C代入，從而求得k，b，進而求得的結果；
（2）可推出x?y＝13.5為定值，所以當x≥3時，y是x的反比例函數(shù)，進而求得結果；
（3）將x＝15代入反比例函數(shù)關系式，從而求得y的值，進而根據(jù)反比例函數(shù)圖象性質，從而得出結論．
【解答】解：（1）設線段AC的函數(shù)表達式為：y＝kx+b，
∴b=123k+b=4.5，
∴b=12k=?2.5，
∴線段AC的函數(shù)表達式為：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
（2）該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度可以在15天以內不超過最高允許的1.0mg/L，理由如下：
∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，
∴y是x的反比例函數(shù)，
∴y=13.5x（x≥3）；
（3）當x＝15時，y=13.515=0.9，
∵13.5＞0，
∴y隨x的增大而減小，
∴該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度可以在15天以內不超過最高允許的1.0mg/L．
【變式6-2】（2022秋?溫州期末）項目化成果展示了一款簡易電子秤：可變電阻上裝有托盤（質量忽略不計），測得物品質量x（kg）與可變電阻y（Ω）的多組對應值，畫出函數(shù)圖象（如圖1）．圖2是三種測量方案，電源電壓恒為8V，定值電阻為30Ω，與可變電阻串聯(lián)．
【鏈接】串聯(lián)電路中，通過兩個電阻的電流I相等，I=UR．可變電阻、定值電阻兩端的電壓之和為8V，則有I（y+30）＝8．
（1）求y關于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）三個托盤放置不同物品后，電表A，V0，V1的讀數(shù)分別為0.1A，6V，4V．請從以下方案中選擇一個，求出對應物品的質量是多少kg？
（3）小明家買了某散裝大米65kg，為了檢驗商家是否存在缺斤少兩的情況，請你將大米分批稱重，用方案一、二、三來進行檢驗，設大米為a（60＜a≤65）kg，前兩次稱合適的千克數(shù)，第3次用含a的代數(shù)式表示，請?zhí)顚懭绫恚?br>【分析】（1）設y與x的函數(shù)關系式為y＝kx+b，把點（0，60）與（30，0）代入，求解即可；
（2）方案一，利用給出的電流值可得出y的值，結合（1）中所求式子得出x的值即可；方案二，利用給出的電壓，求出電流的值，進而可求出y的值，結合（1）中所求式子得出x的值即可；方案三，由V1的值可得出定值電阻兩端的電壓，求出電流的值，進而可求出y的值，結合（1）中所求式子得出x的值即可；
（3）把大米分為3份，每份不超過30kg，如25kg，25kg，（a﹣50）kg，分別求出前兩個對應讀數(shù)，第三個根據(jù)函數(shù)性質和x范圍求出對應讀數(shù)范圍即可．
【解答】解：（1）設y＝kx+b，代入（0，60），（30，0）得60=b0=30k+b，
解得：k=?2b=60，所以：y＝﹣2x+60，0≤x≤30．
（2）方案一：把I＝0.1代入I（y+30）＝8，解得：y＝50；
把y＝50代入y＝﹣2x+60，解得：x＝5，所以物品中重5kg．
方案二：I=UR=630=0.2，把I＝0.2代入I（y+30）＝8，解得：y＝10；
把y＝10代入y＝﹣2x+60，解得：x＝25，所以物品中重25kg．
方案三：由題：I=UR=4y，把I=4y代入I（y+30）＝8，解得：y＝30；
把y＝50代入y＝﹣2x+60，解得：x＝15，所以物品中重15kg．
（3）令方案一大米25kg，方案二大米25kg，方案三大米（a﹣50）kg．
x＝25時，y＝﹣2x+60＝10，代入I（y+30）＝8，解得：I＝0.2，所以方案一讀數(shù)0.2A；
I＝0.2時，U＝0.2×30＝6V，所以方案三讀數(shù)6V；
∵60＜a≤65，∴10＜a﹣50≤15，∵y＝﹣2x+60，∴30≤y＜40，∵U＝IR＝Iy＝8﹣30I=8?30×8y+30，∴4≤U＜327，
所以，當?shù)谌龣n讀數(shù)大于4時，商家缺斤少兩．
【變式6-3】（2022春?盱眙縣期末）某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品，如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開始到關閉及關閉后，大棚里溫度y（℃）隨時間x（h）變化的函數(shù)圖象，其中AB段是恒溫階段，BC段是雙曲線y=kx的一部分，請根據(jù)圖中信息解答下列問題：
（1）求k的值；
（2）恒溫系統(tǒng)在一天內保持大棚內溫度不低于15℃的時間有多少小時？
【分析】（1）直接將點B的坐標代入即可；
（2）觀察圖象可知：三段函數(shù)都有y≥15的點，而且AB段是恒溫階段，y＝20，所以計算AD和BC兩段當y＝15時對應的x值，相減就是結論．
【解答】解：（1）把B（12，20）代入y=kx中得：
k＝12×20＝240；
（2）如圖，
設AD的解析式為：y＝mx+n．
把（0，10）、（2，20）代入y＝mx+n中得：
10=n20=2m+n，
解得：m=5n=10，
∴AD的解析式為：y＝5x+10，
當y＝15時，15＝5x+10，x＝1．
15=240x，
解得：x＝16，
16﹣1＝15．
答：恒溫系統(tǒng)在一天內保持大棚里溫度不低于15℃的時間有15小時x/周
8
24
T/千套
10
26
老花鏡的度數(shù)D/度
100
120
200
250
300
焦距f/m
1
0.8
0.5
0.4
0.3
x（cm）
10
15
20
25
30
y（g）
30
20
15
12
10
年度
投入技改資金x/萬元
產(chǎn)品成本y/（萬元/件）
2014
2.5
14.4
2015
3
12
2016
4
9
2017
4.5
8
v（千米/小時）
75
80
85
90
95
t（小時）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
x（場）
3
10
36
P（萬元）
10.6
12
13
時間x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的濃度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
第1次（方案一）
第2次（方案二）
第3次（方案三）
大米（kg）
25
25
a﹣50
讀數(shù)
I＝ 0.2 A
V0＝ 6 V
V1≥ 4 V

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數(shù)學八年級下冊11.1 反比例函數(shù)同步達標檢測題：

這是一份數(shù)學八年級下冊11.1 反比例函數(shù)同步達標檢測題，共36頁。

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初中數(shù)學蘇科版八年級下冊電子課本 舊教材

11.1 反比例函數(shù)

版本： 蘇科版

年級： 八年級下冊

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