TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11543" 【題型1 利用平行四邊形的性質(zhì)求長度】 PAGEREF _Tc11543 \h 1
\l "_Tc14044" 【題型2 利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc14044 \h 3
\l "_Tc5630" 【題型3 利用平行四邊形的性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc5630 \h 4
\l "_Tc21939" 【題型4 平行四邊形的性質(zhì)在折疊中的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc21939 \h 5
\l "_Tc18421" 【題型5 平行四邊形的性質(zhì)在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc18421 \h 6
\l "_Tc17150" 【題型6 利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】 PAGEREF _Tc17150 \h 7
\l "_Tc27306" 【題型7 利用平行四邊形的性質(zhì)求最值】 PAGEREF _Tc27306 \h 9
\l "_Tc16066" 【題型8 平行四邊形的性質(zhì)與動(dòng)點(diǎn)的綜合】 PAGEREF _Tc16066 \h 10
【知識點(diǎn) 平行四邊形的性質(zhì)】
（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．
（2）平行四邊形的性質(zhì)：
①邊：平行四邊形的對邊相等．
②角：平行四邊形的對角相等．
③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．
（3）平行線間的距離處處相等．
（4）平行四邊形的面積：
①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．
②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．
【題型1 利用平行四邊形的性質(zhì)求長度】
【例1】（2022春·四川綿陽·八年級?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，點(diǎn)E、F分別在AD，BC上，將四邊形ABFE沿EF折疊得四邊形A′B′FE，A′E恰好垂直于AD，若AE=52，則B′F的值為（ ）
A．3B．23?1C．33?12D．523
【變式1-1】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級濟(jì)寧市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于O，EF過點(diǎn)O與AD，BC分別相交于E，F(xiàn)，若BC=8，OE=2，AB=4，那么四邊形EFCD的周長為（ ）
A．16B．17C．18D．19
【變式1-2】（2022春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）如圖，?ABCD中，AB=6，AD=10，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)相交于點(diǎn)P；③畫射線BP，交AD于點(diǎn)Q，交對角線AC于點(diǎn)O．若BA⊥CA，則AO的長度為（ ）
A．3B．3C．32D．22
【變式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市公益中學(xué)校考期中）如圖，在?ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，點(diǎn)E在AD上，∠EBA=60°，則EDAE的值是（ ）
A．23B．3C．32D．33
【題型2 利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】
【例2】（2022春·福建廈門·八年級廈門外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在?ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O．過點(diǎn)O作OE⊥BD交BC于點(diǎn)E，連接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°．求∠ABC的度數(shù)．
【變式2-1】（2022秋·四川成都·九年級成都七中?？计谥校┤羝叫兴倪呅蜛BCD 的兩個(gè)內(nèi)角∠A:∠B=1:2，則∠A的度數(shù)是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【變式2-2】（2022春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，以平行四邊形ABCD的邊CD為斜邊向內(nèi)作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且點(diǎn)E在平行四邊形內(nèi)部，連接AE、BE，則∠AEB的度數(shù)是（ ）．
A．130°B．135°C．150°D．125°
【變式2-3】（2022春·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，G為線段AE上一點(diǎn)且滿足EG=BC，AG=CE，連CG并延長交AB于點(diǎn)F，則∠BFC的度數(shù)為 _____．
【題型3 利用平行四邊形的性質(zhì)求面積】
【例3】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四邊形ABCD的周長為60，則平行四邊形ABCD的面積是（ ）
A．36B．48C．63D．75
【變式3-1】（2022春·吉林長春·八年級校考期中）如圖，m∥n，點(diǎn)C、D、E在直線m上，四邊形ABED為平行四邊形，若△ABC的面積為5，則平行四邊形ABED的面積是______．
【變式3-2】（2022春·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Am,0，Bn,0，且m，n滿足m+12+n?3=0，將線段AB先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，得到線段DC，其中點(diǎn)D與點(diǎn)A對應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)B對應(yīng)，連接AD，BC，CD，得到平行四邊形ABCD，連接BD．
(1)補(bǔ)全圖形，并寫出平行四邊形ABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)平行四邊形ABCD的面積是多少？
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MBD的面積等于平行四邊形ABCD的面積？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式3-3】（2022春·吉林長春·八年級長春市第四十五中學(xué)?？计谥校﹫D①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A在格點(diǎn)上．用直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．
(1)在圖①中以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，畫一個(gè)面積為6的平行四邊形．
(2)在圖②中以點(diǎn)A為對角線交點(diǎn)，畫一個(gè)面積為6的平行四邊形．
【題型4 平行四邊形的性質(zhì)在折疊中的運(yùn)用】
【例4】（2022春·吉林長春·八年級?？计谥校┤鐖D，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若∠1=48°，∠2=32°，則∠B的度數(shù)為（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
【變式4-1】（2022春·河南南陽·八年級校聯(lián)考期末）如圖，E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊AD，BC上的點(diǎn)，EF=6，∠DEF=60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到四邊形EFC′D′，ED′交BC于點(diǎn)G，則△GEF的周長為 （ ）
A．6B．12C．18D．24
【變式4-2】（2022秋·浙江寧波·八年級期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB、AD上，將△AEF沿EF折疊，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)G處．若∠A=45°，AB=62，5BE=AE．則AF長度為_____．
【變式4-3】（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）四邊形ABCD為平行四邊形，己知AB＝13，BC＝6，AC＝5，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B′是點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)，設(shè)CE長為x，若點(diǎn)B′落在△ADE內(nèi)（包括邊界），則x的取值范圍為____________．
【題型5 平行四邊形的性質(zhì)在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】
【例5】（2022春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，A，B，C，D的坐標(biāo)依次為(1,?1)，(?2,3)，(a,0)，(0,b)．若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則a+b的值不可能是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
【變式5-1】（2022春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-3，0）、B（0，-4），點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP并延長至點(diǎn)D，使PD=AP，以AB、AD為鄰邊作□ABCD，連接OC，當(dāng)OC長最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．
【變式5-2】（2022春·重慶·八年級重慶南開中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，D是平行四邊形ABOC內(nèi)一點(diǎn)，CD與x軸平行，AD與y軸平行，已知AD=2，CD=8，∠ADB=135°，S△ABD=6，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_______．
【變式5-3】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的BC邊在x軸上，點(diǎn)A0，3，B?1，0，若直線y=?2x+4恰好平分平行四邊形ABCD的面積，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是 _____________．
【題型6 利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】
【例6】（2023秋·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，連接對角線BD，AE平分∠BAD分別交BC、BD于點(diǎn)E、F．

(1)尺規(guī)作圖：作∠BCD的角平分線，交AD于點(diǎn)H，交BD的于點(diǎn)G．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）問的條件下，求證：BF=DG．
證明：四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=CD， ①
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴ ② ，∠DCH=12∠BCD，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴ ③
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG中，
∠ABD=∠CDB④∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDGASA．
∴BF=DG
【變式6-1】（2022春·廣東江門·八年級江門市怡福中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，連接BE，BE⊥AF．
(1)求證：△ADE≌△FCE；
(2)求證：AE平分∠DAB；
(3)若∠DAB=60°，AB=4，求?ABCD的面積．
【變式6-2】（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上兩個(gè)點(diǎn)，且BE=DF
(1)求證：AE=CF；
(2)若AD=AE，∠DFC=140°，求∠DAE的度數(shù)=______
【變式6-3】（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與邊BC，AD分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F.
(1)求證：OE=OF；
(2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四邊形CDFE的周長.
【題型7 利用平行四邊形的性質(zhì)求最值】
【例7】（2022春·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們會用“截長補(bǔ)短”的方法來解決幾條線段之間的和差問題．請看這個(gè)例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=5cm，求四邊形ABCD的面積．
解：延長線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AE=AC=5，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積．
(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為 cm2．
(2)如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC+BC=4，求線段AB的最小值．
(3)如圖3，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，且∠BOC=60°；AC+BD=10，則AD是否為定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此時(shí)平行四邊形ABCD的面積．
【變式7-1】（2022秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC邊上任意一點(diǎn)，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長的最小值為___________．
【變式7-2】（2022春·浙江寧波·八年級校考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為BE上一點(diǎn)，連接CG，F(xiàn)G，則CG+FG的最小值為_________．
【變式7-3】（2022春·四川綿陽·八年級校考期中）如圖，在?ABCD中，AO=32，∠ACB=30°，AC⊥AB，點(diǎn)E在AC上，CE=1，點(diǎn)P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PA，則PE+PA的最小值是________．
【題型8 平行四邊形的性質(zhì)與動(dòng)點(diǎn)的綜合】
【例8】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級濟(jì)寧市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=24cm，E是BC的中點(diǎn)． 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P平均每秒運(yùn)動(dòng)1 cm；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q平均每秒運(yùn)動(dòng)2 cm，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t(0

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級下冊電子課本 舊教材

9.3 平行四邊形

版本： 蘇科版

年級： 八年級下冊

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