TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29977" 【題型1 對頂角的識別及其性質(zhì)】 PAGEREF _Tc29977 \h 1
\l "_Tc5571" 【題型2 平行、垂直】 PAGEREF _Tc5571 \h 2
\l "_Tc30609" 【題型3 平行公理及其推論】 PAGEREF _Tc30609 \h 4
\l "_Tc3316" 【題型4 同位角相等，兩直線平行】 PAGEREF _Tc3316 \h 5
\l "_Tc18900" 【題型5 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】 PAGEREF _Tc18900 \h 6
\l "_Tc21447" 【題型6 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】 PAGEREF _Tc21447 \h 7
\l "_Tc3370" 【題型7 平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc3370 \h 8
\l "_Tc20605" 【題型8 角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc20605 \h 9
\l "_Tc6269" 【題型9 平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc6269 \h 11
【題型1 對頂角的識別及其性質(zhì)】
【例1】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級期中）下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-1】（2022·廣東·揭西縣陽夏華僑中學(xué)七年級期末）已知：如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB．
(1)圖中的對頂角有 對，它們是 ．
(2)圖中互補(bǔ)的角有 對，它們是 ．
(3)求∠EOD的度數(shù)．
【變式1-2】（2021·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°.求∠EOF的度數(shù).
【變式1-3】（2022·遼寧·鞍山市第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．
(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度數(shù)是多少？
【題型2 平行、垂直】
【例2】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校七年級期末）如圖，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B，C在直線l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)A到直線l2的距離等于4
B．點(diǎn)C到直線l1的距離等于4
C．點(diǎn)C到AB的距離等于4
D．點(diǎn)B到AC的距離等于3
【變式2-1】（2022·廣西·欽州市第四中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b∥c，則a∥c
B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c
C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b⊥c，則a∥c
D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，a∥b,b∥c則a⊥c
【變式2-2】（2022·吉林·公主嶺市陶家中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，因?yàn)锳B⊥l，BC⊥l，B為垂足，所以AB和BC重合，其理由是（ ）
A．兩點(diǎn)確定一條直線
B．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
C．垂直同一條直線的兩條直線平行
D．垂線段最短
【變式2-3】（2022·江蘇·九年級）如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上兩點(diǎn)，AB＝10，點(diǎn)M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP，則線段MP的最小值是____．
【知識點(diǎn) 平行線的判定】
1.平行公理及其推論
①經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.
②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.
2.平行線的判定方法
①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.
②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行. （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.
③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.）
【題型3 平行公理及其推論】
【例3】（2022·江西上饒·七年級期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，則下列式子成立的是（ ）
A．a(chǎn)∥dB．b⊥dC．a(chǎn)⊥dD．b∥c
【變式3-1】（2022·河南漯河·七年級期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短
B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
C．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線
D．經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
【變式3-2】（2022·湖北武漢·七年級期中）下列命題：①內(nèi)錯(cuò)角相等；②兩個(gè)銳角的和是鈍角；③ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b// c ，則a// c ；④ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，若a ? b ， b ? c ，則a ? c ； 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2 個(gè)C．3 個(gè)D．4 個(gè)
【變式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年級期末）如圖， AB∥CD， 如果∠1=∠2， 那么EF與AB平行嗎？ 說說你的理由． 解：因?yàn)椤?=∠2，
所以____________∥___________．（ ）
又因?yàn)锳B∥CD，
所以AB∥EF． （ ）
【題型4 同位角相等，兩直線平行】
【例4】（2022·甘肅·隴南育才學(xué)校七年級期末）如圖，AB⊥MN，垂足為B，CD⊥MN，垂足為D，∠1＝∠2．在下面括號中填上理由．
因?yàn)锳B⊥MN，CD⊥MN，
所以∠ABM＝∠CDM＝90°．
又因?yàn)椤?＝∠2( )，
所以∠ABM?∠1＝∠CDM?∠2( )，
即∠EBM＝∠FDM．
所以EB∥FD( )
【變式4-1】（2022·湖北·蘄春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是______．
【變式4-2】（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．請說明線段BE與DF的位置關(guān)系？為什么？
【變式4-3】（2022·北京東城·七年級期末）如圖，直線l與直線AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠1是它的補(bǔ)角的3倍，∠1?∠2=90°．判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．
【題型5 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】
【例5】（2022·山東·曲阜九巨龍學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在直線DE上，AB⊥AC于A，∠1與∠C互余，DE和BC平行嗎？若平行，請說明理由．
【變式5-1】（2022·北京市房山區(qū)燕山教委八年級期中）如圖，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求證：a∥b．
【變式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，CF是△ABC外角∠ACM的平分線，∠ACB=40°，∠A=70°，求證：AB∥CF.
【變式5-3】（2022·遼寧·阜新市第十中學(xué)七年級期中）如圖，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=12∠BAD，試說明AD∥BC．
【題型6 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】
【例6】（2022·河北衡水·七年級階段練習(xí)）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求證：AB∥CD．
【變式6-1】（2022·西藏昂仁縣中學(xué)七年級期中）如圖，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求證：AD∥BC．
【變式6-2】（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級期中）如圖，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC.
(1) ∠DAB+∠B等于多少度？
(2)AD與BC平行嗎？請說明理由．
【變式6-3】（2022·北京市第五中學(xué)分校七年級期末）如圖，已知點(diǎn)E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，點(diǎn)M，G在AB上，GF交BD于點(diǎn)H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求證：MD∥GF．
下面是小穎同學(xué)的思考過程，請補(bǔ)全證明過程并在括號內(nèi)填上證明依據(jù)．
證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（① ）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）．
∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．
∴∠2＝∠CBD（ ② ）．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代換）．
∴③ （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MD∥BC（④ ）．
∴MD∥GF（⑤ ）．
【題型7 平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】
【例7】（2022·廣西賀州·七年級期末）如圖，有下列條件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判斷直線a∥b的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【變式7-1】（2022·浙江臺州·七年級期末）在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道∠2是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，不能判斷兩條直軌是否平行( )
A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5
【變式7-2】（2022·山西臨汾·七年級期末）在下列圖形中，已知∠1=∠2，一定能推導(dǎo)出l1∥l2的是（ ）
A．B．C．D．
【變式7-3】（2022·山東日照·七年級期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠5=∠CD．∠B+∠BDE=180°
【題型8 角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】
【例8】（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，點(diǎn)E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ ADC，判斷BE、DF是否平行，并說明理由．
【變式8-1】（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期末）將下列證明過程補(bǔ)充完整：
已知：如圖，點(diǎn)E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥CD．
證明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【變式8-2】（2022·遼寧沈陽·七年級期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補(bǔ)充完整
如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點(diǎn)B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點(diǎn)E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點(diǎn)C．
求證：BE∥CF．
證明：∵∠1＝∠2（已知）
∠ABF＝∠1（對頂角相等）
∠BFG＝∠2（____________）
∴∠ABF＝______（等量代換）
∵BE平分∠ABF（已知）
∴∠EBF=12______（____________）
∵FC平分∠BFG（已知）
∴∠CFB=12______（____________）
∴∠EBF＝______
∴BE∥CF（____________）
【變式8-3】（2022·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德爾第三中學(xué)七年級期末）如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC．請說明AE∥GF的理由．
解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD=180°(已知)，
∠AGC+∠AGD=180°(______)，
所以∠BAG=∠AGC(______)．
因?yàn)镋A平分∠BAG，
所以∠1=12∠BAG(______)．
因?yàn)镕G平分∠AGC，
所以∠2=12______，
得∠1=∠2(等量代換)，
所以______(______)．
【題型9 平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】
【例9】（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，若將木條a繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后使其與木條b平行，則旋轉(zhuǎn)的最小角度為( )
A．65°B．85°C．95°D．115°
【變式9-1】（2022·河南·鄭州外國語學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級階段練習(xí)）如圖所示的四種沿AB進(jìn)行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊a，b互相平行的是（ ）
A．如圖1，展開后測得∠1=∠2B．如圖2，展開后測得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如圖3，測得∠1=∠2D．在圖4中，展開后測得∠1+∠2=180°
【變式9-2】（2022·全國·七年級）一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，那么這兩次拐彎的角度可能是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．
B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．
D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．
【變式9-3】（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校七年級期中）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，∠1=70°,∠2=100°，現(xiàn)將木棒a、b同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行．
專題10.1 平行線的判定【九大題型】
【滬科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10140" 【題型1 對頂角的識別及其性質(zhì)】 PAGEREF _Tc10140 \h 1
\l "_Tc28851" 【題型2 平行、垂直】 PAGEREF _Tc28851 \h 5
\l "_Tc31848" 【題型3 平行公理及其推論】 PAGEREF _Tc31848 \h 8
\l "_Tc13895" 【題型4 同位角相等，兩直線平行】 PAGEREF _Tc13895 \h 11
\l "_Tc31716" 【題型5 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】 PAGEREF _Tc31716 \h 13
\l "_Tc29392" 【題型6 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】 PAGEREF _Tc29392 \h 16
\l "_Tc4721" 【題型7 平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc4721 \h 19
\l "_Tc21323" 【題型8 角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc21323 \h 22
\l "_Tc27319" 【題型9 平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc27319 \h 26
【題型1 對頂角的識別及其性質(zhì)】
【例1】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級期中）下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對頂角的概念逐一判斷即可．
【詳解】解：A、∠1與∠2的頂點(diǎn)不相同，故不是對頂角，此選項(xiàng)不符合題意；
B、∠1與∠2的一邊不是反向延長線，故不是對頂角，此選項(xiàng)不符合題意；
C、∠1與∠2是對頂角，故此選項(xiàng)符合題意；
D、∠1與∠2的一邊不是反向延長線，故不是對頂角，此選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是對頂角的判斷，有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對頂角,解題關(guān)鍵是熟練掌握定義，正確判斷．
【變式1-1】（2022·廣東·揭西縣陽夏華僑中學(xué)七年級期末）已知：如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC，∠EOC＝25∠COB．
(1)圖中的對頂角有 對，它們是 ．
(2)圖中互補(bǔ)的角有 對，它們是 ．
(3)求∠EOD的度數(shù)．
【答案】(1)兩；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD
(2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD
(3)140°
【分析】（1）根據(jù)對頂角的定義，判斷即可；
（2）根據(jù)補(bǔ)角的定義進(jìn)行判斷即可；
（3）根據(jù)OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，設(shè)∠BOC＝x，則∠EOC＝∠AOE＝25x，列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度數(shù)，再求出∠DOE的度數(shù)，即可得出結(jié)果．
（1）
解：圖中的對頂角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．
故答案為：兩；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．
（2）
圖中互補(bǔ)的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE，
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠COE+∠BOE=180°，
∴∠EOC和∠EOB互補(bǔ)，
∵∠COE+∠EOD=180°，
∴∠AOE+∠EOD=180°，
∴∠AOE和∠EOD互補(bǔ)．
故答案為：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD．
（3）
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOE，
設(shè)∠BOC＝x，則∠EOC＝∠AOE＝25x，由平角定義得，
25x+25x+x＝180°，
解得：x＝100°
∴∠EOC＝∠AOE＝12（180°﹣100°）＝40°，
∴∠DOE＝100°+40°＝140°，
答：∠EOD的度數(shù)為140°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了對頂角的定義、補(bǔ)角的定義、角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)定義，根據(jù)題意求出∠BOC的度數(shù)，是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2021·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°.求∠EOF的度數(shù).
【答案】65°
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，根據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠EOD=90°，再進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：∵OF平分∠AOD，∠AOD=50°，
∴∠FOD=∠AOF=12∠AOD=25°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=90°-25°=65°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022·遼寧·鞍山市第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．
(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度數(shù)是多少？
【答案】(1)33
(2)∠AOC的度數(shù)是72°
【分析】（1）根據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，求出∠EOF和∠EOB的度數(shù)，再根據(jù)角的和差即可得∠BOF的度數(shù)；
（2）根據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，先用∠BOE的等式表示∠AOC，再根據(jù)角分線的定義，列出等式即可求得結(jié)果．
（1）
∵∠AOC=76°，
∴∠BOD=∠AOC=76°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=38°，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠COE=180°?∠DOE=142°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠COF=71°，
∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，
∴∠BOF=∠EOF?∠BOE
=71°?38°
=33°
故答案為：33；
（2）
設(shè)∠AOC=x°，
∴∠BOD=∠AOC=x°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=12x°，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠COE=180°?∠DOE=180°?12x°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠COF=12180°?12x°°，
∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∠BOF=36°
∴36°+12x°=12180°?12x°°，
∴x=72°．
【點(diǎn)睛】本題考查了對頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，解題關(guān)鍵是觀察圖形分清楚哪兩個(gè)角相等，哪些角相加得180度．
【題型2 平行、垂直】
【例2】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校七年級期末）如圖，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B，C在直線l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)A到直線l2的距離等于4
B．點(diǎn)C到直線l1的距離等于4
C．點(diǎn)C到AB的距離等于4
D．點(diǎn)B到AC的距離等于3
【答案】A
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，即可得到答案．
【詳解】解：點(diǎn)A到直線l2的距離為AB的長，等于4，故A正確；
點(diǎn)C到直線l1的距離為AC的長，大于4，故B錯(cuò)誤；
點(diǎn)C到AB的距離為BC的長，等于3，故C錯(cuò)誤；
同理，點(diǎn)B到AC的距離也不是3，故D錯(cuò)誤，
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離，掌握定義是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·廣西·欽州市第四中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b∥c，則a∥c
B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c
C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b⊥c，則a∥c
D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，a∥b,b∥c則a⊥c
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)分析判斷即可．
【詳解】A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b∥c，則a∥c，故選項(xiàng)正確，符合題意．
B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a//c，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b,b⊥c，則a⊥c，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，a∥b,b∥c則a//c，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·吉林·公主嶺市陶家中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，因?yàn)锳B⊥l，BC⊥l，B為垂足，所以AB和BC重合，其理由是（ ）
A．兩點(diǎn)確定一條直線
B．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
C．垂直同一條直線的兩條直線平行
D．垂線段最短
【答案】B
【分析】利用“平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，逐一分析，排除錯(cuò)誤答案即可．
【詳解】解：A.點(diǎn)A、C可以確定一條直線，但不可以確定三點(diǎn)B、A、C都在直線l的垂線上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B.直線BA、BC都經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)B，且都垂直于直線l，故本選項(xiàng)正確；
C.在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D.此題沒涉及到線段的長度，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義、兩點(diǎn)確定一條直線、垂線段最短，熟練掌握和運(yùn)用各定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.
【變式2-3】（2022·江蘇·九年級）如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上兩點(diǎn)，AB＝10，點(diǎn)M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP，則線段MP的最小值是____．
【答案】4.8
【分析】根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP有最小值，利用三角形的面積可列式計(jì)算求解MP的最小值．
【詳解】解：當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP有最小值，
∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，
∴AB?MP＝AM?BM，
即10MP＝6×8，
解得MP＝4.8．
故答案為：4.8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到MP最小時(shí)的P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．
【知識點(diǎn) 平行線的判定】
1.平行公理及其推論
①經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.
②如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.
2.平行線的判定方法
①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.
②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行. （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.
③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.）
【題型3 平行公理及其推論】
【例3】（2022·江西上饒·七年級期中）同一平面內(nèi)的四條直線若滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，則下列式子成立的是（ ）
A．a(chǎn)∥dB．b⊥dC．a(chǎn)⊥dD．b∥c
【答案】C
【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，可證a∥c，再結(jié)合c⊥d，可證a⊥d．
【詳解】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c，
∵c⊥d，
∴a⊥d，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線及垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行．
【變式3-1】（2022·河南漯河·七年級期末）如圖，工人師傅用角尺畫出工件邊緣AB的垂線a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短
B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
C．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線
D．經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
【答案】B
【分析】三條直線AB、a、b位于同一平面內(nèi)，且直線a與直線b都垂直于AB，即可根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行的性質(zhì)來判斷出a∥b．
【詳解】∵直線AB、a、b位于同一平面內(nèi)，且AB⊥a、AB⊥b
∴a∥b（同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）
故答案為B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線判定的性質(zhì)，根據(jù)已知題目反應(yīng)出兩條直線是同一平面內(nèi)，且同時(shí)垂直于一條直線是本題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022·湖北武漢·七年級期中）下列命題：①內(nèi)錯(cuò)角相等；②兩個(gè)銳角的和是鈍角；③ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b// c ，則a// c ；④ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，若a ? b ， b ? c ，則a ? c ； 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2 個(gè)C．3 個(gè)D．4 個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)可判斷①，根據(jù)兩銳角的大小求和可判斷②，根據(jù)平行公理推論可判斷③，根據(jù)垂直定義得出∠1=∠2=90°，然后利用同位角相等，兩直線平行的判定可判斷④．
【詳解】解：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故①不正確；
②兩個(gè)銳角的和可以是銳角，直角，鈍角，故②不正確；
③ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，若a//b，b// c ，則a// c ，故③正確；
④ a ， b ， c 是同一平面內(nèi)的三條直線，如圖
∵a ? b ， b ? c ，
∴∠1=90°，∠2=90°，
∴∠1=∠2
∴a ∥ c ，故④不正確；
∴真命題只有1個(gè)．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，兩銳角和的大小，掌握平行線的性質(zhì)與判定，銳角定義是解題關(guān)鍵．
【變式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年級期末）如圖， AB∥CD， 如果∠1=∠2， 那么EF與AB平行嗎？ 說說你的理由． 解：因?yàn)椤?=∠2，
所以____________∥___________．（ ）
又因?yàn)锳B∥CD，
所以AB∥EF． （ ）
【答案】CD∥EF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線平行
【分析】根據(jù)平行線的判定定理完成填空即可求解．
【詳解】解：因?yàn)椤?=∠2?，
所以CD∥EF．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
又因?yàn)锳B∥CD?，
所以AB∥EF?．（平行于同一直線的兩條直線平行）
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，平行公理，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【題型4 同位角相等，兩直線平行】
【例4】（2022·甘肅·隴南育才學(xué)校七年級期末）如圖，AB⊥MN，垂足為B，CD⊥MN，垂足為D，∠1＝∠2．在下面括號中填上理由．
因?yàn)锳B⊥MN，CD⊥MN，
所以∠ABM＝∠CDM＝90°．
又因?yàn)椤?＝∠2( )，
所以∠ABM?∠1＝∠CDM?∠2( )，
即∠EBM＝∠FDM．
所以EB∥FD( )
【答案】 已知 等量減等量，差相等 同位角相等，兩直線平行
【分析】根據(jù)垂線的定義，得出∠ABM＝∠CDM＝90°，再根據(jù)角的等量關(guān)系，得出∠EBM＝∠FDM，然后再根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得出EB∥FD，最后根據(jù)解題過程的理由填寫即可．
【詳解】因?yàn)锳B⊥MN，CD⊥MN，
所以∠ABM＝∠CDM＝90°．
又因?yàn)椤?＝∠2（已知），
所以∠ABM?∠1＝∠CDM?∠2（等量減等量，差相等），
即∠EBM＝∠FDM．
所以EB∥FD（同位角相等，兩直線平行）．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義、平行線的判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握平行線的判定定理．
【變式4-1】（2022·湖北·蘄春縣向橋鄉(xiāng)白水中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是______．
【答案】同位角相等，兩直線平行
【分析】作圖時(shí)保持∠1=∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可畫出已知直線的平行線．
【詳解】解：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．
故答案為：同位角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行公理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)．
【變式4-2】（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．請說明線段BE與DF的位置關(guān)系？為什么？
【答案】BE∥DF，見解析
【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用∠1+∠2=90°，∠2=∠3，得到∠1=∠4，即可得到結(jié)論BE∥DF．
【詳解】解：BE∥DF，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BE∥DF．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定定理，熟記平行線的判定定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2022·北京東城·七年級期末）如圖，直線l與直線AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠1是它的補(bǔ)角的3倍，∠1?∠2=90°．判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】AB∥CD；理由見解析
【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠1的度數(shù)，然后求出∠CFE和∠2的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的判定進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：AB∥CD；理由如下：
∵∠1是它的補(bǔ)角的3倍，
∴設(shè)∠1=α，則∠1的補(bǔ)角為13α，
∴α+13α=180°，
解得：α=135°，
∴∠1=135°，
∴∠CFE=180°?∠1=45°，
∵∠1?∠2=90°，
∴∠2=∠1?90°=45°，
∴∠2=∠CFE=45°，
∴AB∥CD．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)角的有關(guān)計(jì)算，平行線的判定，根據(jù)題意求出∠2=∠CFE=45°，是解題的關(guān)鍵．
【題型5 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行】
【例5】（2022·山東·曲阜九巨龍學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在直線DE上，AB⊥AC于A，∠1與∠C互余，DE和BC平行嗎？若平行，請說明理由．
【答案】平行，理由見解析
【分析】由垂直定義可得∠BAC=90°，根據(jù)平角定義得∠1+∠BAC+∠CAE=180°，即可得出∠1+∠CAE=90°，由∠1與∠C互余，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得出∠CAE=∠C，根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論．
【詳解】解：平行， 理由如下：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠1+∠CAE=90°，
∵∠1與∠C互余，即∠1+∠C=90°，
∴∠CAE=∠C，
∴DE∥BC．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，余角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022·北京市房山區(qū)燕山教委八年級期中）如圖，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求證：a∥b．
【答案】見解析
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，求得∠4=75°，再根據(jù)∠1=75°，即可得到∠1=∠4，進(jìn)而判定a∥b．
【詳解】證明：如下圖：
∵∠4=∠3+∠2=75°，
又∵∠1=75°，
∴∠1=∠4，
∴a∥b．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定以及三角形內(nèi)角和性質(zhì)，解題時(shí)注意：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【變式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，CF是△ABC外角∠ACM的平分線，∠ACB=40°，∠A=70°，求證：AB∥CF.
【答案】證明見解析
【分析】由角平分線的定義及補(bǔ)角的定義可求得∠ACE的度數(shù)，即可得∠A＝∠ACE，進(jìn)而可證明結(jié)論．
【詳解】證明：∵∠ACB＝40°，
∴∠ACM＝180°?40°＝140°，
∵CF是△ABC外角∠ACM的平分線，
∴∠ACF＝12∠ACM＝70°，
∵∠A=70°，
∴∠A＝∠ACF＝70°，
∴AB∥CF．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)和平行線的判定，證得∠A＝∠ACF是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022·遼寧·阜新市第十中學(xué)七年級期中）如圖，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=12∠BAD，試說明AD∥BC．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BAC=∠1，等量代換得∠ACB=∠BAC，根據(jù)∠CAB=12∠BAD可得∠ACB=∠DAC，即可得．
【詳解】證明：∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠1，
∵∠1=∠ACB，
∴∠ACB=∠BAC，
∵∠CAB=12∠BAD，
∴∠ACB=∠DAC，
∴AD∥BC．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．
【題型6 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行】
【例6】（2022·河北衡水·七年級階段練習(xí)）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求證：AB∥CD．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，再根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行即可證明結(jié)論．
【詳解】證明：∵∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴AB∥CD．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定．
【變式6-1】（2022·西藏昂仁縣中學(xué)七年級期中）如圖，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求證：AD∥BC．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明即可．
【詳解】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠CAD＝20°，∠B＝70°，
∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°，
∴AD∥BC．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定、垂直定義，熟練掌握平行線的判定方法是解答的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谄咧袑W(xué)七年級期中）如圖，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC.
(1) ∠DAB+∠B等于多少度？
(2)AD與BC平行嗎？請說明理由．
【答案】(1)∠DAB+∠B=180°
(2)AD∥BC；理由見解析
【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，從而可求得∠DAB+∠B=180°；
（2）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可得AD∥BC．
（1）
解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°．
又∵∠1=30°，
∴∠BAD=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=180°．
（2）
解：AD∥BC．理由如下：
∵∠DAB+∠B=180°，
∴AD∥BC．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
【變式6-3】（2022·北京市第五中學(xué)分校七年級期末）如圖，已知點(diǎn)E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，點(diǎn)M，G在AB上，GF交BD于點(diǎn)H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求證：MD∥GF．
下面是小穎同學(xué)的思考過程，請補(bǔ)全證明過程并在括號內(nèi)填上證明依據(jù)．
證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（① ）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）．
∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．
∴∠2＝∠CBD（ ② ）．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代換）．
∴③ （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MD∥BC（④ ）．
∴MD∥GF（⑤ ）．
【答案】垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GF∥BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線平行．
【分析】根據(jù)垂直定義得出∠BDC＝∠EFC，根據(jù)平行線的判定推出BD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根據(jù)平行線的判定得出GF∥BC，GF∥MD即可．
【詳解】證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定義）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代換）．
∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．
∴∠2＝∠CBD（兩直線平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代換）．
∴GF∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．
∴MD∥GF（平行于同一直線的兩直線平行）．
故答案為：垂直的定義；兩直線平行，同位角相等；GF∥BC；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線平行．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型7 平行線的判定方法的綜合運(yùn)用】
【例7】（2022·廣西賀州·七年級期末）如圖，有下列條件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判斷直線a∥b的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】B
【分析】同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．依據(jù)平行線的判定方法即可得出結(jié)論．
【詳解】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3＋∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
故能判斷直線a∥b的有3個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2022·浙江臺州·七年級期末）在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道∠2是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，不能判斷兩條直軌是否平行( )
A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5
【答案】A
【分析】因?yàn)椤?是直角，只要找出與∠2互為同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的其他角，根據(jù)平行線的判定定理判定即可得到正確答案．
【詳解】因?yàn)椤?是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4=90°，
根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，
∠5和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，如果度量出∠5=90°，
根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，
∠3和∠2是同旁內(nèi)角，如果度量出∠3=90°，
根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，
所以答案為：A．
【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的判定定理．
【變式7-2】（2022·山西臨汾·七年級期末）在下列圖形中，已知∠1=∠2，一定能推導(dǎo)出l1∥l2的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，對頂角相等和平行線的判定定理即可求解．
【詳解】解：A.如圖，

∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴不能推導(dǎo)出l1∥l2，不符合題意；
B.如圖，

∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴不能推導(dǎo)出l1∥l2，不符合題意；
C.如圖，

∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴不能推導(dǎo)出l1∥l2，不符合題意；
D.如圖，

∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴一定能推導(dǎo)出l1∥l2，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，關(guān)鍵是熟悉同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的知識點(diǎn)．
【變式7-3】（2022·山東日照·七年級期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠5=∠CD．∠B+∠BDE=180°
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐一判斷即可．
【詳解】因?yàn)椤?=∠2，
所以DE∥BC，
故A不符合題意；
因?yàn)椤?=∠4，
不能判斷DE∥BC，
故B符合題意；
因?yàn)椤?=∠C，
所以DE∥BC，
故C不符合題意；
因?yàn)椤螧+∠BDE=180°，
所以DE∥BC，
故D不符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【題型8 角平分線與平行線的判定綜合運(yùn)用】
【例8】（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，點(diǎn)E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ ADC，判斷BE、DF是否平行，并說明理由．
【答案】平行，理由見解析
【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，從而可得∠ADF+∠ABE=90°，再結(jié)合∠ADF+∠AFD=90°可得∠ABE=∠AFD，然后根據(jù)平行線的判定即可得．
【詳解】解：BE∥DF，理由如下：
∵BE,DF分別平分∠ABC,∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADF+∠ABE=12∠ADC+∠ABC=90°，
又∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠AFD，
∴BE∥DF．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．
【變式8-1】（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期末）將下列證明過程補(bǔ)充完整：
已知：如圖，點(diǎn)E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥CD．
證明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】ECD；角平分線的性質(zhì)；ECD；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【分析】根據(jù)平行線的判定依據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】證明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠ECD（角平分線的性質(zhì)），
∵∠1＝∠2．（已知），
∴∠1＝∠ECD（等量代換），
∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）．
故答案為：ECD；角平分線的定義；ECD；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定解答．
【變式8-2】（2022·遼寧沈陽·七年級期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補(bǔ)充完整
如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點(diǎn)B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點(diǎn)E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點(diǎn)C．
求證：BE∥CF．
證明：∵∠1＝∠2（已知）
∠ABF＝∠1（對頂角相等）
∠BFG＝∠2（____________）
∴∠ABF＝______（等量代換）
∵BE平分∠ABF（已知）
∴∠EBF=12______（____________）
∵FC平分∠BFG（已知）
∴∠CFB=12______（____________）
∴∠EBF＝______
∴BE∥CF（____________）
【答案】對頂角相等；∠BFG；∠ABF；角平分線的定義；∠BFG；角平分線的定義；∠CFB；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；
【分析】根據(jù)對頂角的定義，平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，結(jié)合上下文填空即可．
【詳解】證明：∵∠1＝∠2（已知）
∠ABF＝∠1（對頂角相等）
∠BFG＝∠2（對頂角相等）
∴∠ABF＝∠BFG（等量代換）
∵BE平分∠ABF（已知）
∴∠EBF=12∠ABF（角平分線的定義）
∵FC平分∠BFG（已知）
∴∠CFB=12∠BFG（角平分線的定義）
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
故答案為：對頂角相等；∠BFG；∠ABF；角平分線的定義；∠BFG；角平分線的定義；∠CFB；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)睛】本題考查對頂角的定義及性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的性質(zhì)，能夠熟練掌握平行線的判定是解決本題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2022·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德爾第三中學(xué)七年級期末）如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC．請說明AE∥GF的理由．
解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD=180°(已知)，
∠AGC+∠AGD=180°(______)，
所以∠BAG=∠AGC(______)．
因?yàn)镋A平分∠BAG，
所以∠1=12∠BAG(______)．
因?yàn)镕G平分∠AGC，
所以∠2=12______，
得∠1=∠2(等量代換)，
所以______(______)．
【答案】平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；∠AGC；AE∥GF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【分析】由題意可求得∠BAG=∠AGC，再由角平分線的定義得∠1=12∠BAG，∠2=12∠AGC，從而得∠1=∠2，即可判定AE∥GF．
【詳解】解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知），
∠AGC+∠AGD=180°（平角的定義），
∴∠BAG=∠AGC（同角的補(bǔ)角相等）．
∵EA平分∠BAG，
∴∠1=12∠BAG（角平分線的定義）．
∵FG平分∠AGC，
∴∠2=12∠AGC，
∴∠1=∠2（等量代換），
∴ AE∥GF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
故答案為：平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；∠AGC；AE∥GF；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，補(bǔ)角的性質(zhì)和平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理并靈活運(yùn)用．
【題型9 平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】
【例9】（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，若將木條a繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后使其與木條b平行，則旋轉(zhuǎn)的最小角度為( )
A．65°B．85°C．95°D．115°
【答案】B
【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行可得當(dāng)∠AOB=65°時(shí)，a∥b，進(jìn)而算出答案．
【詳解】解：∵當(dāng)∠AOB=65°時(shí)，a∥b
∴旋轉(zhuǎn)的最小角度為150°﹣65°=85°，
故選：B
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握同位角相等兩直線平行．
【變式9-1】（2022·河南·鄭州外國語學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級階段練習(xí)）如圖所示的四種沿AB進(jìn)行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊a，b互相平行的是（ ）
A．如圖1，展開后測得∠1=∠2B．如圖2，展開后測得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如圖3，測得∠1=∠2D．在圖4中，展開后測得∠1+∠2=180°
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的判定定理，進(jìn)行分析，即可解答．
【詳解】A、 當(dāng)∠1=∠2時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，所以a∥b；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，所以a∥b；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°時(shí)，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，所以a∥b．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
【變式9-2】（2022·全國·七年級）一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，那么這兩次拐彎的角度可能是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．
B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．
D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．
【答案】B
【分析】畫出圖形，根據(jù)平行線的判定分別判斷即可得出．
【詳解】A.如圖，由內(nèi)錯(cuò)角相等可知，第二次拐彎后與原來平行，但方向相反，故不符合題意；
B.如圖，由同位角相等可知，第二次拐彎后與原來平行，且方向相同，故符合題意；
C.如圖，由內(nèi)錯(cuò)角不相等可知，第二次拐彎后與原來不平行，故不符合題意；
D.如圖，由同位角不相等可知，第二次拐彎后與原來不平行，故不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，正確畫出圖形，熟記判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校七年級期中）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，∠1=70°,∠2=100°，現(xiàn)將木棒a、b同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行．
【答案】2或14或50或110
【分析】設(shè)t秒后木棒a，b平行，分四種情況討論：當(dāng)0

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10.2 平行線的判定

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