TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31800" 【題型1 因式分解的意義】 PAGEREF _Tc31800 \h 1
\l "_Tc2059" 【題型2 利用因式分解求系數(shù)的值】 PAGEREF _Tc2059 \h 2
\l "_Tc16636" 【題型3 利用公式法進行因式分解求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc16636 \h 2
\l "_Tc27223" 【題型4 利用平方差公式進行因式分解確定整除問題】 PAGEREF _Tc27223 \h 3
\l "_Tc30064" 【題型5 因式分解】 PAGEREF _Tc30064 \h 3
\l "_Tc29594" 【題型6 利用添項進行因式分解】 PAGEREF _Tc29594 \h 4
\l "_Tc15336" 【題型7 利用拆項進行因式分解】 PAGEREF _Tc15336 \h 4
\l "_Tc30474" 【題型8 利用因式分解確定三角形的形狀】 PAGEREF _Tc30474 \h 4
\l "_Tc13364" 【題型9 因式分解在閱讀理解中的運用】 PAGEREF _Tc13364 \h 4
【知識點1 因式分解】
定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。
以上公式都可以用來對多項式進行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步驟：
（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式
（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。
【題型1 因式分解的意義】
【例1】（2022?濟寧）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【變式1-1】（2022秋?儋州校級期末）下列各式不能因式分解的是（ ）
A．a(chǎn)2﹣b2B．a(chǎn)2﹣2a+1C．a(chǎn)b﹣aD．a(chǎn)2+b2
【變式1-2】（2022春?青川縣期末）下列各式因式分解正確的是（ ）
A．12a2+a+12=a2+2a+1＝（a+1）2
B．a(chǎn)2+ab﹣6b2＝a（a+b）﹣6b2
C．a(chǎn)2﹣b2﹣a﹣b＝（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b
D．a(chǎn)﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2
【變式1-3】（2022秋?德惠市期末）給出六個多項式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+14n2．其中，能夠分解因式的是 ②③④⑤⑥ （填上序號）．
【題型2 利用因式分解求系數(shù)的值】
【例2】（2022?攀枝花模擬）若關(guān)于x的多項式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，則實數(shù)p的值為（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
【變式2-1】（2022春?聊城期末）如果100x2+kxy+49y2能分解為（10x﹣7y）2，那么k＝ ．
【變式2-2】（2022春?南山區(qū)校級期中如果x3+ax2+bx+4有兩個因式（x+1）和（x+2），則a+b的值為 ．
【變式2-3】（2022秋?青羊區(qū)校級期中）已知x2+x﹣6是多項式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，則a＝ ；b＝ ．
【題型3 利用公式法進行因式分解求代數(shù)式的值】
【例3】（2022春?渠縣校級期中）若a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，則多項式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【變式3-1】（2022春?新吳區(qū)校級期中）（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；
（2）已知x=112，化簡并計算：（1﹣2x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3﹣2x）2．
【變式3-2】（2022春?洪澤區(qū)期中）一個長、寬分別為m、n的長方形的周長為16，面積為6，則m2n+mn2的值為 ．
【變式3-3】（2022?安順模擬）已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，則m2+2mn+n2的值為（ ）
A．16B．12C．10D．無法確定
【題型4 利用平方差公式進行因式分解確定整除問題】
【例4】（2022秋?新泰市月考）兩個連續(xù)的奇數(shù)的平方差總可以被k整除，則k等于（ ）
A．6B．8C．6的倍數(shù)D．8的倍數(shù)
【變式4-1】（2022秋?河北區(qū)期末）對于任意整數(shù)n，多項式（n+7）2﹣n2都能被（ ）
A．2整除B．n整除C．7整除D．n+7整除
【變式4-2】（2022秋?荔城區(qū)校級期中）對于任意的正整數(shù)n，能整除代數(shù)式（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）的整數(shù)是（ ）
A．3B．6C．10D．9
【變式4-3】（2022春?招遠市期末）已知424﹣1可以被60﹣70之間的某兩個整數(shù)整除，則這兩個數(shù)是（ ）
A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64
【題型5 因式分解】
【例5】（2022秋?梅里斯區(qū)期末）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
【變式5-1】（2022春?聊城期末）把下列各式分解因式：
（1）9xy2﹣15x3y；
（2）﹣9x2y+3xy2﹣6xyz；
（3）3m2n﹣6mn+3m；
（4）﹣24a2b﹣8ab2+28ab3．
【變式5-2】（2022?碑林區(qū)校級開學(xué)）把下列各式分解因式：
（1）4xyz﹣4x2yx﹣12xy2z；
（2）20am+1b2m+4﹣12a2m+1bm+2；
（3）﹣20c（a﹣b）2﹣25（b﹣a）3；
（4）x（x﹣2）﹣x+2．
【變式5-3】（2022?尋烏縣模擬）把下列各式分解因式：
（1）6（a﹣b）2+3（a﹣b）；
（2）x（x﹣1）﹣3x+4；
（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）；
（4）a5?12a3b2+116ab4．
【題型6 利用添項進行因式分解】
【例6】（2022秋?河北區(qū)期末）因式分解：x4+4y4
【變式6-1】（2022?尋烏縣模擬）因式分解：x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【變式6-2】（2022春?永定區(qū)期中）把多項式x4+324因式分解．
【變式6-3】（2022?柳南區(qū)二模）分解多項式a5﹣1的結(jié)果是 ．
【題型7 利用拆項進行因式分解】
【例7】（2022秋?江油市期末）分解因式：m2+6m+8．
【變式7-1】（2022秋?微山縣月考）分解因式：a2﹣6a+8．
【變式7-2】（2022?尋烏縣模擬）把x2﹣4x+3因式分解．
【變式7-3】（2022秋?微山縣月考）分解因式：a4+10a2b2+9b4．
【題型8 利用因式分解確定三角形的形狀】
【例8】（2022秋?魚臺縣期末）已知：a，b，c為△ABC的三邊長，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．
【變式8-1】（2022春?市中區(qū)期末）△ABC三邊a，b，c滿足2a2+b2+c2＝2a（b+c），判斷△ABC的形狀，并說明理由．
【變式8-2】（2022春?樂平市期末）△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．
【變式8-3】（2022秋?臨沂期末）已知a，b，c為△ABC的三邊，且b2+2ab＝c2+2ac，試判斷△ABC的形狀并說明理由．
【題型9 因式分解在閱讀理解中的運用】
【例9】（2022春?市中區(qū)期末）閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，則結(jié)果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n為正整數(shù)）．
【變式9-1】（2022秋?徐聞縣期末）閱讀下列材料：
材料1、將一個形如x2+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m+n，則可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：將“x+y”看成一個整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再將“A”還原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解題用到“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：
（1）根據(jù)材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【變式9-2】（2022春?盱眙縣期末）（1）學(xué)習(xí)“完全平方公式”時，小明遇到課本上一道題目“計算（a+b+c）2”，他聯(lián)系所學(xué)過的知識和方法，想到兩種解決思路；
①可以用“整體思想”把三項式轉(zhuǎn)化為兩部分：[（a+b）+c]2或[a+（b+c）]2，然后可以利用完全平方公式解決，請你選擇一種變形方法寫出計算過程；
②可以用“數(shù)形結(jié)合”的方法，畫出表示（a+b+c）2的圖形，根據(jù)面積關(guān)系得到結(jié)果．請你在下面方框中畫出圖形，并作適當標注．
（2）利用（1）的結(jié)論分解因式：x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝ ；
（3）小明根據(jù)“任意一個數(shù)的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多項式的最大值或最小值，方法如下：
請你參考小明的方法，求當x，y取何值時代數(shù)式2x2+y2﹣2xy﹣2x+20有最小值，并確定它的最小值．
【變式9-3】（2022秋?豐臺區(qū)校級期中）閱讀下列材料
在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，使于觀察如何進行因式分解我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”
下面是小涵同學(xué)用換元法對多項式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9進行因式分解的過程．解：設(shè)x2+4x＝y(tǒng)
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y(tǒng)2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2+4x+4）2（第四步）
請根據(jù)上述材料回答下列問題：
（1）小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的 ．
A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法
（2）老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)果： ．
（3）請你用換元法對多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進行因式分解
（4）當x＝ 時，多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最 值（填“大”或“小”）．請你求出這個最值①x2﹣6x+7
＝x2﹣6x+9﹣2
＝（x﹣3）2﹣2
∵（x﹣3）2≥0
∴（x﹣3）2﹣2≥﹣2．
故當x＝3時代數(shù)式x2﹣6x+7的最小值為﹣2
②﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1）+4
＝﹣（x+1）2+4
∵﹣（x+1）2≤0
∴﹣（x+1）2+4≤4
故當x＝﹣1時代數(shù)式﹣x2﹣2x+3的最大值為4
專題8.4 因式分解【九大題型】
【滬科版】
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\l "_Tc31800" 【題型1 因式分解的意義】 PAGEREF _Tc31800 \h 1
\l "_Tc2059" 【題型2 利用因式分解求系數(shù)的值】 PAGEREF _Tc2059 \h 3
\l "_Tc16636" 【題型3 利用公式法進行因式分解求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc16636 \h 4
\l "_Tc27223" 【題型4 利用平方差公式進行因式分解確定整除問題】 PAGEREF _Tc27223 \h 6
\l "_Tc30064" 【題型5 因式分解】 PAGEREF _Tc30064 \h 7
\l "_Tc29594" 【題型6 利用添項進行因式分解】 PAGEREF _Tc29594 \h 9
\l "_Tc15336" 【題型7 利用拆項進行因式分解】 PAGEREF _Tc15336 \h 10
\l "_Tc30474" 【題型8 利用因式分解確定三角形的形狀】 PAGEREF _Tc30474 \h 12
\l "_Tc13364" 【題型9 因式分解在閱讀理解中的運用】 PAGEREF _Tc13364 \h 13
【知識點1 因式分解】
定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。
以上公式都可以用來對多項式進行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步驟：
（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式
（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。
【題型1 因式分解的意義】
【例1】（2022?濟寧）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根據(jù)因式分解的定義判斷即可．
【解答】解：A選項不是因式分解，故不符合題意；
B選項計算錯誤，故不符合題意；
C選項是因式分解，故符合題意；
D選項不是因式分解，故不符合題意；
故選：C．
【變式1-1】（2022秋?儋州校級期末）下列各式不能因式分解的是（ ）
A．a(chǎn)2﹣b2B．a(chǎn)2﹣2a+1C．a(chǎn)b﹣aD．a(chǎn)2+b2
【分析】利用平方差公式，完全平方公式，以及提取公因式方法判斷即可．
【解答】解：A、原式＝（a+b）（a﹣b），不符合題意；
B、原式＝（a﹣1）2，不符合題意；
C、原式＝a（b﹣1），不符合題意；
D、原式不能分解，符合題意，
故選：D．
【變式1-2】（2022春?青川縣期末）下列各式因式分解正確的是（ ）
A．12a2+a+12=a2+2a+1＝（a+1）2
B．a(chǎn)2+ab﹣6b2＝a（a+b）﹣6b2
C．a(chǎn)2﹣b2﹣a﹣b＝（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b
D．a(chǎn)﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2
【分析】直接利用因式分解定理判斷即可．
【解答】解：A選項的系數(shù)不正確；
B、C選項不是因式乘積形式，不正確；
D，a﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2是正確的．
故選：D．
【變式1-3】（2022秋?德惠市期末）給出六個多項式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+14n2．其中，能夠分解因式的是 ②③④⑤⑥ （填上序號）．
【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案．
【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①錯誤；
②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正確；
③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正確；
④x4﹣1平方差公式，故④正確；
⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正確；
⑥m2﹣mn+14n2完全平方公式，故⑥正確；
故答案為：②③④⑤⑥．
【題型2 利用因式分解求系數(shù)的值】
【例2】（2022?攀枝花模擬）若關(guān)于x的多項式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，則實數(shù)p的值為（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
【分析】設(shè)x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x﹣a），右邊利用多項式乘多項式法則計算，合并后根據(jù)多項式相等的條件即可求出p的值．
【解答】解：根據(jù)題意設(shè)x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x﹣a）＝x2﹣（a+2）x+2a，
∴﹣p＝﹣a﹣2，2a＝﹣6，
解得：a＝﹣3，p＝﹣1．
故選：C．
【變式2-1】（2022春?聊城期末）如果100x2+kxy+49y2能分解為（10x﹣7y）2，那么k＝ ﹣140 ．
【分析】根據(jù)完全平方公式展開，再根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等即可求解．
【解答】解：∵（10x﹣7y）2，
＝100x2﹣140xy+49y2，
＝100x2+kxy+49y2，
∴k＝﹣140．
故應(yīng)填﹣140．
【變式2-2】（2022春?南山區(qū)校級期中如果x3+ax2+bx+4有兩個因式（x+1）和（x+2），則a+b的值為 13 ．
【分析】根據(jù)題意，可得x3+ax2+bx+4＝（x+1）（x+2）（x+k）（k為任意實數(shù)），再根據(jù)多項式乘多項式的乘法法則，求出a與b，進一步求得a+b．
【解答】解：由題意知：x3+ax2+bx+4＝（x+1）（x+2）（x+k）（k為任意實數(shù)）．
∴x3+ax2+bx+4＝（x2+3x+2）（x+k）．
∴x3+ax2+bx+4＝x3+（3+k）x2+（3k+2）x+2k．
∴3+k＝a，3k+2＝b，2k＝4．
∴k＝2．
∴a＝5，b＝8．
∴a+b＝5+8＝13．
故答案為：13．
【變式2-3】（2022秋?青羊區(qū)校級期中）已知x2+x﹣6是多項式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，則a＝ 16 ；b＝ 3 ．
【分析】設(shè)另一個因式是：2x2+mx+n，計算（x2+x﹣6）（2x2+mx+n），展開以后與多項式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1對應(yīng)項的系數(shù)相同，即可列方程組求a、b的值．
【解答】解：設(shè)另一個因式是：2x2+mx+n，則（x2+x﹣6）（2x2+mx+n）
＝2x4+（m+2）x3+（m+n﹣12）x2+（n﹣6m）x﹣6n
則：m+2=1m+n?12=?an?6m=ba+b?1=?6n
解得：m=?1n=?3a=16b=3
故答案是：16，3．
【題型3 利用公式法進行因式分解求代數(shù)式的值】
【例3】（2022春?渠縣校級期中）若a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，則多項式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】將多項式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca轉(zhuǎn)化為幾個完全平方式的和，再將a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002分別代入求值．
【解答】解：∵2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）
＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（1999x+2000﹣1999x﹣2001）2+（1999x+2000﹣1999x﹣2002）2+（1999x+2001﹣1999x﹣2002）2
＝1+4+1
＝6．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝6×12=3．
故選：D．
【變式3-1】（2022春?新吳區(qū)校級期中）（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；
（2）已知x=112，化簡并計算：（1﹣2x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3﹣2x）2．
【分析】（1）原式提取公因式后，利用完全平方公式分解，將x+y與xy的值代入計算即可求出值；
（2）原式利用積的乘方變形，利用平方差公式分解得到結(jié)果，將x的值代入計算即可求出值．
【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝2，
∴原式＝2xy（x+y）2＝64；
（2）原式＝（1﹣4x2）2﹣（9﹣4x2）2
＝﹣8（10﹣8x2）
＝﹣80+64x2，
當x＝112時，原式＝﹣80+144＝64．
【變式3-2】（2022春?洪澤區(qū)期中）一個長、寬分別為m、n的長方形的周長為16，面積為6，則m2n+mn2的值為 48 ．
【分析】根據(jù)長方形周長與面積公式求出mn與m+n的值，原式提取公因式后，代入計算即可求出值．
【解答】解：∵一個長、寬分別為m、n的長方形的周長為16，面積為6，
∴2（m+n）＝16，mn＝6，
即m+n＝8，mn＝6，
則原式＝mn（m+n）＝48，
故答案為：48
【變式3-3】（2022?安順模擬）已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，則m2+2mn+n2的值為（ ）
A．16B．12C．10D．無法確定
【分析】將m2＝4n+a與n2＝4m+a相減可得（m﹣n）（m+n+4）＝0，根據(jù)m≠n，可得m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，再將m2+2mn+n2變形為（m+n）2，整體代入即可求解．
【解答】解：將m2＝4n+a與n2＝4m+a相減得m2﹣n2＝4n﹣4m，
（m+n）（m﹣n）＝﹣4（m﹣n），
（m﹣n）（m+n+4）＝0，
∵m≠n，
∴m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，
∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣4）2＝16．
故選：A．
【題型4 利用平方差公式進行因式分解確定整除問題】
【例4】（2022秋?新泰市月考）兩個連續(xù)的奇數(shù)的平方差總可以被k整除，則k等于（ ）
A．6B．8C．6的倍數(shù)D．8的倍數(shù)
【分析】首先設(shè)兩個奇數(shù)分別是2n﹣1和2n+1，把兩個數(shù)的平方差進行分解因式，即可求得．
【解答】解：設(shè)兩個奇數(shù)分別是2n﹣1和2n+1．
則（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝4n×2＝8n
則兩個連續(xù)的奇數(shù)的平方差總可以被8整除．
故選：B．
【變式4-1】（2022秋?河北區(qū)期末）對于任意整數(shù)n，多項式（n+7）2﹣n2都能被（ ）
A．2整除B．n整除C．7整除D．n+7整除
【分析】逆用平方差公式進行運算后即可判斷．
【解答】解：（n+7）2﹣n2，
＝（n+7+n）（n+7﹣n），
＝7（2n+7）．
∵n為整數(shù)，
∴7（2n+7）是7的倍數(shù)，能被7整除．
故選：C．
【變式4-2】（2022秋?荔城區(qū)校級期中）對于任意的正整數(shù)n，能整除代數(shù)式（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）的整數(shù)是（ ）
A．3B．6C．10D．9
【分析】根據(jù)平方差公式，可化簡整式，根據(jù)提取公因式，可得因數(shù)．
【解答】解：（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）＝9n2﹣1﹣（9﹣n2）
＝10n2﹣10
＝10（n2﹣1），
10能整除（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n），
故選：C．
【變式4-3】（2022春?招遠市期末）已知424﹣1可以被60﹣70之間的某兩個整數(shù)整除，則這兩個數(shù)是（ ）
A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64
【分析】先利用平方差公式分解因式，再找出范圍內(nèi)的解即可．
【解答】解：424﹣1＝248﹣1＝（224+1）（224﹣1），
＝（224+1）（212+1）（212﹣1），
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；
∵26＝64，
∴26﹣1＝63，26+1＝65，
∴這兩個數(shù)是65、63．
故選：B．
【題型5 因式分解】
【例5】（2022秋?梅里斯區(qū)期末）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先利用相反數(shù)把（b﹣a）轉(zhuǎn)化為（a﹣b），再提取公因式．
【解答】解：（1）原式＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2；
（2）原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）
＝3（a﹣b）（x+2y）．
【變式5-1】（2022春?聊城期末）把下列各式分解因式：
（1）9xy2﹣15x3y；
（2）﹣9x2y+3xy2﹣6xyz；
（3）3m2n﹣6mn+3m；
（4）﹣24a2b﹣8ab2+28ab3．
【分析】（1）提取公因式3xy進行因式分解．
（2）提取公因式﹣3xy進行因式分解．
（3）提取公因式3m進行因式分解．
（4）提取公因式﹣4ab進行因式分解．
【解答】解：（1）9xy2﹣15x3y＝3xy（3y﹣5x2）．
（2）﹣9x2y+3xy2﹣6xyz＝﹣3xy（3x﹣y+2z）．
（3）3m2n﹣6mn+3m＝3m（mn﹣2n+1）．
（4）﹣24a2b﹣8ab2+28ab3＝﹣4ab（6a+2b﹣7b2）．
【變式5-2】（2022?碑林區(qū)校級開學(xué)）把下列各式分解因式：
（1）4xyz﹣4x2yx﹣12xy2z；
（2）20am+1b2m+4﹣12a2m+1bm+2；
（3）﹣20c（a﹣b）2﹣25（b﹣a）3；
（4）x（x﹣2）﹣x+2．
【分析】（1）利用提公因式分解即可解答；
（2）利用提公因式分解即可解答；
（3）利用提公因式分解即可解答；
（4）利用提公因式分解即可解答．
【解答】解：（1）4xyz﹣4x2yx﹣12xy2z＝4xyz（1﹣x﹣3y）；
（2）20am+1b2m+4﹣12a2m+1bm+2＝4am+1bm+2（5bm+2﹣3am）；
（3）﹣20c（a﹣b）2﹣25（b﹣a）3
＝﹣20c（b﹣a）2﹣25（b﹣a）3
＝﹣5（b﹣a）2[4c+5（b﹣a）]
＝﹣5（b﹣a）2（4c+5b﹣5a）；
（4）x（x﹣2）﹣x+2
＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）
＝（x﹣2）（x﹣1）．
【變式5-3】（2022?尋烏縣模擬）把下列各式分解因式：
（1）6（a﹣b）2+3（a﹣b）；
（2）x（x﹣1）﹣3x+4；
（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）；
（4）a5?12a3b2+116ab4．
【分析】（1）利用提公因式法分解；
（2）先利用乘法法則化簡整式，再利用完全平方公式因式分解；
（3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；
（4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解．
【解答】解：（1）6（a﹣b）2+3（a﹣b）
＝3（a﹣b）[2（a﹣b）+1]
＝3（a﹣b）（2a﹣2b+1）；
（2）x（x﹣1）﹣3x+4
＝x2﹣x﹣3x+4
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2；
（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）
＝（y2﹣1）（x2+2x+1）
＝（y+1）（y﹣1）（x+1）2；
（4）a5?12a3b2+116ab4．
＝a（a4?12a2b2+116b4）
＝a（a2?14b2）2
＝a（a+12b）2（a?12b）2．
【題型6 利用添項進行因式分解】
【例6】（2022春?市中區(qū)期末）因式分解：x4+4y4
【分析】運用添項法因式分解．
【解答】解：x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）
【變式6-1】（2022秋?魚臺縣期末）因式分解：x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【分析】運用添項法因式分解．
【解答】解：x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，
＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，
＝（x﹣a）2﹣（a+b）2，
＝（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），
＝（x+b）（x﹣2a﹣b）．
【變式6-2】（2022春?永定區(qū)期中）把多項式x4+324因式分解．
【分析】原式變形后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x4+324＝x4+36x2+324﹣36x2
＝（x2+18）2﹣36x2
＝（x2+18）2﹣（6x）2
＝（x2+18+6x）（x2+18﹣6x）．
【變式6-3】（2022?柳南區(qū)二模）分解多項式a5﹣1的結(jié)果是 ．
【分析】補上比第一項的指數(shù)小1的項逐次分解因式即可．
【解答】解：原式＝a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a+a﹣1
＝a4（a﹣1）+a3（a﹣1）+a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）
＝（a﹣1）（a4+a3+a2+a+1）．
故答案為：（a﹣1）（a4+a3+a2+a+1）．
【題型7 利用拆項進行因式分解】
【例7】（2022秋?江油市期末）分解因式：m2+6m+8．
【分析】把8變?yōu)?﹣1，利用拆項法分解．
【解答】解：m2+6m+8
＝m2+6m+9﹣1
＝（m+3）2﹣1
＝（m+3+1）（m+3﹣1）
＝（m+4）（m+2）
【變式7-1】（2022春?市中區(qū)期末）分解因式：a2﹣6a+8．
【分析】加1再減1，可以組成完全平方式；
【解答】解：a2﹣6a+8，
＝a2﹣6a+9﹣1，
＝（a﹣3）2﹣1，
＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），
＝（a﹣2）（a﹣4）
【變式7-2】（2022?尋烏縣模擬）把x2﹣4x+3因式分解．
【分析】常數(shù)項先加上1再減1，前三項構(gòu)成完全平方式，再利用平方差公式因式分解，亦可把﹣4x寫出﹣3x﹣x的形式，分組后提取公因式．
【解答】解：法一、x2﹣4x+3+1﹣1
＝x2﹣4x+4﹣1
＝（x﹣2）2﹣1
＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）
＝（x﹣1）（x﹣3）．
法二、x2﹣4x+3
＝x2﹣x﹣3x+3
＝x（x﹣1）﹣3（x﹣1）
＝（x﹣1）（x﹣3）．
【變式7-3】（2022秋?微山縣月考）分解因式：a4+10a2b2+9b4．
【分析】把9b4變?yōu)?5b4﹣16b4，利用拆項法分解．
【解答】解：a4+10a2b2+9b4
＝a4+10a2b2+25b4﹣16b4
＝（a2+5b2）2﹣（4b2）2
＝（a2+5b2+4b2）（a2+5b2﹣4b2）
＝（a2+9b2）（a2+b2）．
【題型8 利用因式分解確定三角形的形狀】
【例8】（2022秋?魚臺縣期末）已知：a，b，c為△ABC的三邊長，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．
【分析】先根據(jù)完全平方公式進行變形，求出a＝b＝c，即可得出答案．
【解答】△ABC是等邊三角形．
證明如下：
∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得a＝b且a＝c且b＝c，
即a＝b＝c，所以△ABC是等邊三角形．
【變式8-1】（2022秋?魚臺縣期末）△ABC三邊a，b，c滿足2a2+b2+c2＝2a（b+c），判斷△ABC的形狀，并說明理由．
【分析】通過分組分解法把2a2+b2+c2＝2a（b+c）化為（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，然后利用平方的非負性，得出a＝b＝c，判斷出△ABC是等邊三角形．
【解答】解：△ABC是等邊三角形．理由如下：
∵2a2+b2+c2＝2a（b+c），
∴a2+a2+b2+c2＝2ab+2ac，
a2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0，
（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，
（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，
∴（a﹣b）2＝0，且（a﹣c）2＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等邊三角形．
【變式8-2】（2022春?樂平市期末）△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．
【分析】先把a2﹣ab﹣ac+bc＝0因式分解，得出（a﹣b）（a﹣c）＝0，由此得出a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，從而判斷出△ABC是等腰三角形或等邊三角形．
【解答】解：∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣ab）+（﹣ac+bc）＝0，
a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，a＝b且a＝c，
即a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，
∴△ABC是等腰三角形或等邊三角形．
【變式8-3】（2022秋?臨沂期末）已知a，b，c為△ABC的三邊，且b2+2ab＝c2+2ac，試判斷△ABC的形狀并說明理由．
【分析】把b2+2ab＝c2+2ac進行整理可得：（2a+b+c）（b﹣c）＝0，而2a+b+c≠0，只能是b﹣c＝0，則有b＝c，即可判斷△ABC是等腰三角形．
【解答】解：△ABC是等腰三角形，
理由：∵b2+2ab＝c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac＝0，
（b﹣c）（b+c）+2a（b﹣c）＝0，
（2a+b+c）（b﹣c）＝0，
∵2a+b+c≠0，
∴b﹣c＝0，即b＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
【題型9 因式分解在閱讀理解中的運用】
【例9】（2022春?市中區(qū)期末）閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共用了 2 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，則結(jié)果是 （1+x）2022 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n為正整數(shù)）．
【分析】（1）利用提公因式法，進行分解即可解答；
（2）仿照已知的計算過程，即可解答；
（3）仿照已知的計算過程，即可解答．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，
故答案為：提公因式法，2；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，
則需要用上述方法2021次，結(jié)果是（1+x）2022，
故答案為：（1+x）2022；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n為正整數(shù)）
＝（1+x）[1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣1]
＝（1+x）2[（1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣2]
..．
＝（1+x）n+1．
【變式9-1】（2022秋?徐聞縣期末）閱讀下列材料：
材料1、將一個形如x2+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m+n，則可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：將“x+y”看成一個整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再將“A”還原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解題用到“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：
（1）根據(jù)材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【分析】（1）利用十字相乘法變形即可得；
（2）①根據(jù)材料2的整體思想可以對（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；
②根據(jù)材料1和材料2可以對m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A(yù)＝x﹣y，
則原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
則原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【變式9-2】（2022春?盱眙縣期末）（1）學(xué)習(xí)“完全平方公式”時，小明遇到課本上一道題目“計算（a+b+c）2”，他聯(lián)系所學(xué)過的知識和方法，想到兩種解決思路；
①可以用“整體思想”把三項式轉(zhuǎn)化為兩部分：[（a+b）+c]2或[a+（b+c）]2，然后可以利用完全平方公式解決，請你選擇一種變形方法寫出計算過程；
②可以用“數(shù)形結(jié)合”的方法，畫出表示（a+b+c）2的圖形，根據(jù)面積關(guān)系得到結(jié)果．請你在下面方框中畫出圖形，并作適當標注．
（2）利用（1）的結(jié)論分解因式：x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝ （x﹣y﹣2）2 ；
（3）小明根據(jù)“任意一個數(shù)的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多項式的最大值或最小值，方法如下：
請你參考小明的方法，求當x，y取何值時代數(shù)式2x2+y2﹣2xy﹣2x+20有最小值，并確定它的最小值．
【分析】（1）①將前兩項看作一個整體后用完全平方公式求解．
②利用面積關(guān)系畫圖．
（2）分組后用完全平方公式分解．
（3）配方后求最值．
【解答】解：（1）①（a+b+c）2＝[（a+b）+c]2
＝（a+b）2+2（a+b）×c+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
②如圖：
（2）x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝x2﹣2xy+y2+4（x﹣4）+4
＝（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4
＝（x﹣y﹣2）2．
故答案為：（x﹣y﹣2）2．
（3）2x2+y2﹣2xy﹣2x+20＝x2﹣2xy+y2+x2﹣2x+1+19
＝（x﹣y）2+（x﹣1）2+19，
∵（x﹣y）2≥0，（x﹣1）2≥0，
∴當x﹣y＝0，x﹣1＝0，
即當x＝y(tǒng)＝1時，原式有最小值＝0+0+19＝19．
【變式9-3】（2022秋?豐臺區(qū)校級期中）閱讀下列材料
在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，使于觀察如何進行因式分解我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”
下面是小涵同學(xué)用換元法對多項式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9進行因式分解的過程．解：設(shè)x2+4x＝y(tǒng)
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y(tǒng)2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2+4x+4）2（第四步）
請根據(jù)上述材料回答下列問題：
（1）小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的 C ．
A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法
（2）老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)果： （x+2）4 ．
（3）請你用換元法對多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進行因式分解
（4）當x＝ 1 時，多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最 小 值（填“大”或“小”）．請你求出這個最值
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式將結(jié)果分解到不能分解為止；
（3）根據(jù)材料，用換元法進行分解因式；
（4）先配方，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的完全平方公式法；
（2）（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9，
設(shè)x2+4x＝y(tǒng)，
原式＝（y+1）（y+7）+9
＝y(tǒng)2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2+4x+4）2
＝（x+2）4；
（3）設(shè)x2﹣2x＝y(tǒng)，
原式＝y(tǒng)（y+2）+1
＝y(tǒng)2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4；
（4）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1
＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）﹣1
＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1﹣2
＝（x2﹣2x+1）2﹣2
＝（x﹣1）4﹣2，
故當x＝1時，多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最小值，最小值為﹣2．
故答案為：C；（x+2）4；1，?。賦2﹣6x+7
＝x2﹣6x+9﹣2
＝（x﹣3）2﹣2
∵（x﹣3）2≥0
∴（x﹣3）2﹣2≥﹣2．
故當x＝3時代數(shù)式x2﹣6x+7的最小值為﹣2
②﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x+1）+4
＝﹣（x+1）2+4
∵﹣（x+1）2≤0
∴﹣（x+1）2+4≤4
故當x＝﹣1時代數(shù)式﹣x2﹣2x+3的最大值為4

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初中數(shù)學(xué)滬科版七年級下冊電子課本 舊教材

8.4 因式分解

版本： 滬科版

年級： 七年級下冊

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