TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8075" 【題型1 實數(shù)的分類】 PAGEREF _Tc8075 \h 1
\l "_Tc19918" 【題型2 實數(shù)的性質(zhì)】 PAGEREF _Tc19918 \h 2
\l "_Tc29296" 【題型3 實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系】 PAGEREF _Tc29296 \h 3
\l "_Tc22517" 【題型4 利用數(shù)軸化簡】 PAGEREF _Tc22517 \h 4
\l "_Tc18455" 【題型5 實數(shù)的運算】 PAGEREF _Tc18455 \h 5
\l "_Tc1229" 【題型6 實數(shù)的應用】 PAGEREF _Tc1229 \h 6
\l "_Tc6606" 【題型7 估算無理數(shù)的范圍】 PAGEREF _Tc6606 \h 8
\l "_Tc25107" 【題型8 已知無理數(shù)的范圍求值】 PAGEREF _Tc25107 \h 8
\l "_Tc31067" 【題型9 估算無理數(shù)最接近的值】 PAGEREF _Tc31067 \h 9
\l "_Tc4465" 【題型10 無理數(shù)整數(shù)、小數(shù)部分問題】 PAGEREF _Tc4465 \h 9
【知識點1 實數(shù)的分類】
【知識點2 無理數(shù)的概念】
無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).
常見類型：①特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303 003 000 300 003…（兩個3之間依次多一個0）．②含有π的絕大部分數(shù)，如2π．
【題型1 實數(shù)的分類】
【例1】（2022秋?連云港月考）把下列各數(shù)分別填入相應的集合里．
100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37，?π4，2.010010001…．
正分數(shù)集合：{ …}；
整數(shù)集合：{ …}；
負有理數(shù)集合：{ …}；
非正整數(shù)集合：{ …}；
無理數(shù)集合：{ …}；
【變式1-1】（2022春?長葛市期中）下列各數(shù)：①3.141、②0.33333…、③5?7、④π、⑤±2.25、⑥?23、⑦0.3030030003…（相鄰兩個3之間0的各數(shù)逐次增加1），其中是無理數(shù)的有 ．（填序號）
【變式1-2】（2022春?古丈縣期末）我們規(guī)定：相等的實數(shù)看作同一個實數(shù)．有下列六種說法：
①數(shù)軸上有無數(shù)多個表示無理數(shù)的點；
②帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)；
③每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點來表示；
④數(shù)軸上每一個點都表示唯一一個實數(shù)；
⑤沒有最大的負實數(shù)，但有最小的正實數(shù)；
⑥沒有最大的正整數(shù)，但有最小的正整數(shù)．
其中說法錯誤的有 （注：填寫出所有錯誤說法的編號）
【變式1-3】（2022春?贛州期末）把下列各數(shù)填在表示它所在的數(shù)集的圈內(nèi)：
3π，﹣12，+6，3.8，﹣6，25，8.7，2002，?13，0，﹣4.2，3.1415，﹣1000，1.21121112…
【題型2 實數(shù)的性質(zhì)】
【例2】（2022秋?洛寧縣期中）已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的倒數(shù)等于它本身，求cdm2+（a+b）m﹣m的立方根．
【變式2-1】（2022秋?射陽縣校級期末）已知實數(shù)a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的絕對值為49，
求代數(shù)式（a+b+cd）x+a+b?3cd的值．
【變式2-2】（2022春?洛陽期中）已知實數(shù)a，b，c，d，e，f，且a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，e的絕對值為2，f的算術(shù)平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3f的值．
【變式2-3】（2022秋?西湖區(qū)校級期中）已知a，b為實數(shù)，下列說法：①若ab＜0，且a，b互為相反數(shù)，則ab=?1；②若a+b＜0，ab＞0，則|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，則b＞a；④若|a|＞|b|，則（a+b）×（a﹣b）是正數(shù)；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，則a+b＞6，其中正確的是 ．
【題型3 實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系】
【例3】（2022秋?松滋市期末）如圖，O，A，B，C四點在數(shù)軸上，其中O為原點，且AC＝2，OA＝2OB，若C點所表示的數(shù)為m，則B點所表示的數(shù)正確的是（ ）
A．﹣2（m+2）B．m?22C．m+22D．2?m2
【變式3-1】（2022春?右玉縣期末）如圖，數(shù)軸上表示1，3的對應點分別為A，B，以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，與數(shù)軸的交點為C，則點C所表示的數(shù)為 ．
【變式3-2】（2022?錫山區(qū)期中）如圖所示的數(shù)軸上，點C與點B關(guān)于點A對稱，A、B兩點對應的實數(shù)分別是1和5，則點C對應的實數(shù)是（ ）
A．1?5B．5?2C．?5D．2?5
【變式3-3】（2022秋?宣化區(qū)期中）如圖，一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示?2，設點B所表示的數(shù)為m．
（1）實數(shù)m的值是 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在數(shù)軸上還有C、D兩點分別表示實數(shù)c和d，且有|2c+d|與d2?16互為相反數(shù)，求2c﹣3d的平方根．
【題型4 利用數(shù)軸化簡】
【例4】（2022春?荔灣區(qū)校級期中）如圖，化簡a2?|a+b|+(c?a)2+|b+c|．
【變式4-1】（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，a、b、c分別是數(shù)軸上A、B、C所對應的實數(shù)，試化簡：b2?|a﹣c|+3(a+b)3．
【變式4-2】（2022春?蕪湖期末）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡a2?b2?(a?b)2的結(jié)果是（ ）
A．0B．﹣2aC．2（b﹣a）D．﹣2b
【變式4-3】（2022秋?攀枝花校級期中）已知實數(shù)x、y、z在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡：(x?y)2?（|y?z|）2+3(x?z)3的值．
【題型5 實數(shù)的運算】
【例5】（2022春?呼和浩特期中）計算
（1）(?5)2?|3(?3)3+2|+（?0.64）×400
（2）327?|2?3|+（﹣1）2016．
【變式5-1】（2022春?環(huán)江縣期末）計算：2?9+|3?2|?38．
【變式5-2】（2022秋?盤龍區(qū)校級期中）?100+16?4+49?169+81+（﹣6）?327．
【變式5-3】（2022?太平區(qū)期末）下計算下列各題：
（1）16+3?27?14+30.125+1?6364．
（2）|7?2|?|2?π|?(?7)2．
（3）(?6)2+|1?2|?38+(?5)2．
【題型6 實數(shù)的應用】
【例6】（2022春?南匯區(qū)期中）如圖，矩形內(nèi)小正方形的一條邊在大正方形的一條邊上，兩個正方形的面積分別為3和5，那么陰影部分的面積是多少？
【變式6-1】（2022春?汝南縣月考）如圖，有一個長方體的水池長、寬、高之比為2：2：4，其體積為16 000cm3．
（1）求長方體的水池長、寬、高為多少？
（2）當有一個半徑為r的球放入注滿水的水池中，溢出水池外的水的體積為水池體積的160，求該小球的半徑為多少（π取3，結(jié)果精確到0.01cm）？
【變式6-2】（2022秋?高港區(qū)期中）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎．小白在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進行操作探究：
操作一：
（1）折疊紙面，若使表示的點1與﹣1表示的點重合，則﹣2表示的點與 2 表示的點重合；
操作二：
（2）折疊紙面，若使1表示的點與﹣3表示的點重合，回答以下問題：
①3表示的點與數(shù) 表示的點重合；
②若數(shù)軸上A、B兩點之間距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點表示的數(shù)分別是 ；
操作三：
（3）在數(shù)軸上剪下9個單位長度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）．若這三條線段的長度之比為1：1：2，則折痕處對應的點所表示的數(shù)可能是 ．
【變式6-3】（2022春?海淀區(qū)校級期中）如圖，面積為a（a＞1）的正方形ABCD的邊AB在數(shù)軸上，點B表示的數(shù)為1．將正方形ABCD沿著數(shù)軸水平移動，移動后的正方形記為A'B'CD'，點A、B、C、D的對應點分別為A'、B'、C、D'，移動后的正方形A'B'C'D'與原正方形ABCD重疊部分圖形的面積記為S．當S=a時，數(shù)軸上點B'表示的數(shù)是 （用含a的代數(shù)式表示）．
【知識點3 估算法】
（1）若，則；
（2）若，則；
根據(jù)這兩個重要的關(guān)系，我們通常可以找距離a最近的兩個平方數(shù)和立方數(shù)，來估算和的大小．例如：，則；，則．
常見實數(shù)的估算值：，，．
【題型7 估算無理數(shù)的范圍】
【例7】（2022春?朝陽區(qū)校級月考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數(shù)，且n＜2048＜n+1，則n的值為（ ）
A．43B．44C．45D．46
【變式7-1】（2022春?濱海新區(qū)期末）估計23大小在（ ）
A．2與3之間B．3與4之間C．4與5之間D．5與6之間
【變式7-2】（2022春?鞏義市期末）估計15?1的值在（ ）
A．1和2之間B．2和3之間C．3和4之間D．4和5之間
【變式7-3】（2022?東莞市一模）已知a=13+1介于兩個連續(xù)自然數(shù)之間，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜5
【題型8 已知無理數(shù)的范圍求值】
【例8】（2022秋?乳山市校級月考）滿足?5＜x＜14的整數(shù)x有 個．
【變式8-1】（2022秋?永春縣期末）如果整數(shù)a滿足7＜a＜11，則a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式8-2】（2022春?自貢期末）若a、b為正整數(shù)．且a＞10，b＜6，則a+b的最小值為 ．
【變式8-3】（2022春?昆明期中）若a＜40＜b，且a，b是兩個連續(xù)的整數(shù)，則a+b的值為 ．
【題型9 估算無理數(shù)最接近的值】
【例9】（2022?玄武區(qū)二模）下列整數(shù)中，與10?30最接近的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【變式9-1】（2022春?鳳凰縣期末）與50的算術(shù)平方根最接近的整數(shù)是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【變式9-2】（2022春?思明區(qū)校級期中）若m＝4n（m、n是正整數(shù)），且8＜m＜9，則與實數(shù)n的最大值最接近的數(shù)是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【變式9-3】（2022春?潮安區(qū)期末）若m＝5n（m、n是正整數(shù)），且10＜m＜12，則與實數(shù)n的最大值最接近的數(shù)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【題型10 無理數(shù)整數(shù)、小數(shù)部分問題】
【例10】（2022秋?章丘市校級期末）設x是35的整數(shù)部分，y是35的小數(shù)部分，化簡|x﹣y﹣3|．
【變式10-1】（2022?饒平縣校級模擬）若13的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求a2+b?13的值．
【變式10-2】（2022春?孟村縣期末）已知5+7的小數(shù)部分為a，5?7的小數(shù)部分為b，求a+b．
【變式10-3】（2022春?西城區(qū)校級期中）任何實數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]＝4，[3]＝1，現(xiàn)對72進行如下操作：
72→第一次[72]＝8→第二次[8]＝2→第三次[2]＝1，這樣對72只需進行3次操作后變?yōu)?．
（1）對10進行1次操作后變?yōu)?3 ，對200進行3次操作后變?yōu)? ；
（2）對實數(shù)m恰進行2次操作后變成1，則m的取值范圍是 ．
（3）恰需要進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是 ．
專題6.2 實數(shù)與估算【十大題型】
【滬科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8075" 【題型1 實數(shù)的分類】 PAGEREF _Tc8075 \h 1
\l "_Tc19918" 【題型2 實數(shù)的性質(zhì)】 PAGEREF _Tc19918 \h 3
\l "_Tc29296" 【題型3 實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系】 PAGEREF _Tc29296 \h 6
\l "_Tc22517" 【題型4 利用數(shù)軸化簡】 PAGEREF _Tc22517 \h 8
\l "_Tc18455" 【題型5 實數(shù)的運算】 PAGEREF _Tc18455 \h 10
\l "_Tc1229" 【題型6 實數(shù)的應用】 PAGEREF _Tc1229 \h 11
\l "_Tc6606" 【題型7 估算無理數(shù)的范圍】 PAGEREF _Tc6606 \h 17
\l "_Tc25107" 【題型8 已知無理數(shù)的范圍求值】 PAGEREF _Tc25107 \h 18
\l "_Tc31067" 【題型9 估算無理數(shù)最接近的值】 PAGEREF _Tc31067 \h 19
\l "_Tc4465" 【題型10 無理數(shù)整數(shù)、小數(shù)部分問題】 PAGEREF _Tc4465 \h 20
【知識點1 實數(shù)的分類】
【知識點2 無理數(shù)的概念】
無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).
常見類型：①特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303 003 000 300 003…（兩個3之間依次多一個0）．②含有π的絕大部分數(shù)，如2π．
【題型1 實數(shù)的分類】
【例1】（2022秋?連云港月考）把下列各數(shù)分別填入相應的集合里．
100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37，?π4，2.010010001…．
正分數(shù)集合：{ 3.14，37 …}；
整數(shù)集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011 …}；
負有理數(shù)集合：{ ﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1? …}；
非正整數(shù)集合：{ ﹣2，0，﹣2011 …}；
無理數(shù)集合：{ ?π4，2.010010001 ……}．
【分析】根據(jù)分數(shù)，有理數(shù)，整數(shù)以及無理數(shù)的概念進行判斷即可．
【解答】解：正分數(shù)集合：{3.14，37，…}
整數(shù)集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011，…}
負有理數(shù)集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1?，…}
非正整數(shù)集合；{﹣2，0，﹣2011，…}
無理數(shù)集合：{?π4，2.010010001…，…}．
故答案為：3.14，37；100，﹣2，0，﹣2011；﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1?；﹣2，0，﹣2011；?π4，2.010010001…．
【變式1-1】（2022春?長葛市期中）下列各數(shù)：①3.141、②0.33333…、③5?7、④π、⑤±2.25、⑥?23、⑦0.3030030003…（相鄰兩個3之間0的各數(shù)逐次增加1），其中是無理數(shù)的有 ③④⑦ ．（填序號）
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．
【解答】解：③5?7、④π、⑦0.3030030003…（相鄰兩個3之間0的各數(shù)逐次增加1）是無理數(shù)，
故答案為：③④⑦．
【變式1-2】（2022春?古丈縣期末）我們規(guī)定：相等的實數(shù)看作同一個實數(shù)．有下列六種說法：
①數(shù)軸上有無數(shù)多個表示無理數(shù)的點；
②帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)；
③每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點來表示；
④數(shù)軸上每一個點都表示唯一一個實數(shù)；
⑤沒有最大的負實數(shù)，但有最小的正實數(shù)；
⑥沒有最大的正整數(shù)，但有最小的正整數(shù)．
其中說法錯誤的有 ⑤ （注：填寫出所有錯誤說法的編號）
【分析】根據(jù)實數(shù)的定義，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，可得答案．
【解答】解：①數(shù)軸上有無數(shù)多個表示無理數(shù)的點是正確的；
②帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)是正確的，如4=2；
③每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點來表示是正確的；
④數(shù)軸上每一個點都表示唯一一個實數(shù)是正確的；
⑤沒有最大的負實數(shù)，也沒有最小的正實數(shù)，原來的說法錯誤；
⑥沒有最大的正整數(shù)，有最小的正整數(shù)，原來的說法正確．
故答案為：⑤．
【變式1-3】（2022春?贛州期末）把下列各數(shù)填在表示它所在的數(shù)集的圈內(nèi)：
3π，﹣12，+6，3.8，﹣6，25，8.7，2002，?13，0，﹣4.2，3.1415，﹣1000，1.21121112…
【分析】根據(jù)有理數(shù)、無理數(shù)、非正數(shù)、非負整數(shù)的意義選出即可．
【解答】解：
．
【題型2 實數(shù)的性質(zhì)】
【例2】（2022秋?洛寧縣期中）已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的倒數(shù)等于它本身，求cdm2+（a+b）m﹣m的立方根．
【分析】根據(jù)題意得a+b＝0，cd＝1，m＝±1，以整體的形式代入所求的代數(shù)式即可．
【解答】解：∵a、b互為相反數(shù)，
∴a+b＝0，
∵c、d互為倒數(shù)，
∴cd＝1，
∵m的倒數(shù)等于它本身，
∴m＝±1，
①當a+b＝0；cd＝1；m＝1時，
cdm2+（a+b）m﹣m＝1+0﹣1＝0，
∴cdm2+（a+b）m﹣m的立方根為30=0；
②當a+b＝0；cd＝1；m＝﹣1時，
cdm2+（a+b）m﹣m＝1+0+1＝2，
∴cdm2+（a+b）m﹣m的立方根為32．
綜上所述，cdm2+（a+b）m﹣m的立方根是0或32．
【變式2-1】（2022秋?射陽縣校級期末）已知實數(shù)a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，x的絕對值為49，
求代數(shù)式（a+b+cd）x+a+b?3cd的值．
【分析】根據(jù)題意可得a+b＝0，cd＝1，x＝±7，然后代入代數(shù)式求值即可．
【解答】解：49=7，
∵a、b互為相反數(shù)，
∴a+b＝0，
∵c、d互為倒數(shù)，
∴cd＝1，
∵x的絕對值為49．
∴x＝±7，
當x＝7時，
原式＝（0+1）×7+0?31
＝7﹣1
＝6，
當x＝﹣7時，
原式＝（0+1）×（﹣7）+0?31
＝﹣7﹣1
＝﹣8，
∴所求代數(shù)式的值為6或﹣8．
【變式2-2】（2022春?洛陽期中）已知實數(shù)a，b，c，d，e，f，且a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，e的絕對值為2，f的算術(shù)平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3f的值．
【分析】根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值的意義求出c+d，ab及e的值，代入計算即可．
【解答】解：由題意可知：ab＝1，c+d＝0，e＝±2，f＝64，
∴e2＝（±2）2＝2，3f=364=4，
∴12ab+c+d5+e2+3f=12+0+2+4＝612．
【變式2-3】（2022秋?西湖區(qū)校級期中）已知a，b為實數(shù)，下列說法：①若ab＜0，且a，b互為相反數(shù)，則ab=?1；②若a+b＜0，ab＞0，則|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，則b＞a；④若|a|＞|b|，則（a+b）×（a﹣b）是正數(shù)；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，則a+b＞6，其中正確的是 ①②④⑤ ．
【分析】①除0外，互為相反數(shù)的商為﹣1，可作判斷；
②由兩數(shù)之和小于0，兩數(shù)之積大于0，得到a與b都為負數(shù)，即2a+3b小于0，利用負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)化簡得到結(jié)果，即可作出判斷；
③由a﹣b的絕對值等于它的相反數(shù)，得到a﹣b為非正數(shù)，得到a與b的大小，即可作出判斷；
④由a絕對值大于b絕對值，分情況討論，即可作出判斷；
⑤先根據(jù)a＜b，得a﹣3＜b﹣3，由ab＜0和有理數(shù)乘法法則可得a＜0，b＞0，分情況可作判斷．
【解答】解：①若ab＜0，且a，b互為相反數(shù)，則ab=?1，本選項正確；
②若ab＞0，則a與b同號，由a+b＜0，則a＜0，b＜0，則|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，本選項正確；
③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，即|a﹣b|＝﹣（a﹣b），
∴a﹣b≤0，即a≤b，本選項錯誤；
④若|a|＞|b|，
當a＞0，b＞0時，可得a＞b，即a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）?（a﹣b）為正數(shù)；
當a＞0，b＜0時，a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）?（a﹣b）為正數(shù)；
當a＜0，b＞0時，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）?（a﹣b）為正數(shù)；
當a＜0，b＜0時，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）?（a﹣b）為正數(shù)，
本選項正確；
⑤∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，
∵ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
當0＜b＜3時，|a﹣3|＜|b﹣3|，
∴3﹣a＜3﹣b，不符合題意；
所以b≥3，|a﹣3|＜|b﹣3|，
∴3﹣a＜b﹣3，
則a+b＞6，
本選項正確；
則其中正確的有4個．
故答案為：①②④⑤．
【題型3 實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系】
【例3】（2022秋?松滋市期末）如圖，O，A，B，C四點在數(shù)軸上，其中O為原點，且AC＝2，OA＝2OB，若C點所表示的數(shù)為m，則B點所表示的數(shù)正確的是（ ）
A．﹣2（m+2）B．m?22C．m+22D．2?m2
【分析】表示出點A所表示的數(shù)，進而求出OA，再求出OB，進而確定點B表示的數(shù)．
【解答】解：由點A、B、C在數(shù)軸上的位置，AC＝2，若C點所表示的數(shù)為m，
∴點A表示的數(shù)為m﹣2，
∴OA＝|m﹣2|＝2﹣m
∵OA＝2OB，
∴OB=12OA=2?m2，
故選：D．
【變式3-1】（2022春?右玉縣期末）如圖，數(shù)軸上表示1，3的對應點分別為A，B，以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，與數(shù)軸的交點為C，則點C所表示的數(shù)為 2?3 ．
【分析】計算出AB的長度，進而求出AC的長，再根據(jù)點A所表示的數(shù)為1，點C在點A的左側(cè)，即可求出點C所表示的數(shù)．
【解答】解：∵A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)為1和3，
∴AB=3?1，
又∵AC＝AB，
∴點C所表示的數(shù)為：1﹣（3?1）＝2?3，
故答案為：2?3．
【變式3-2】（2022?錫山區(qū)期中）如圖所示的數(shù)軸上，點C與點B關(guān)于點A對稱，A、B兩點對應的實數(shù)分別是1和5，則點C對應的實數(shù)是（ ）
A．1?5B．5?2C．?5D．2?5
【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點之間距離的計算方法，以及中心對稱的意義，列方程求解即可．
【解答】解：∵A、B兩點對應的實數(shù)分別是1和5，
∴AB=5?1，
又∵點C與點B關(guān)于點A對稱，
∴AC＝AB，
設點C所表示的數(shù)為c，則AC＝1﹣c，
∴1﹣c=5?1，
∴c＝2?5，
故選：D．
【變式3-3】（2022秋?宣化區(qū)期中）如圖，一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示?2，設點B所表示的數(shù)為m．
（1）實數(shù)m的值是 2?2 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在數(shù)軸上還有C、D兩點分別表示實數(shù)c和d，且有|2c+d|與d2?16互為相反數(shù)，求2c﹣3d的平方根．
【分析】（1）點A表示?2，沿著x軸向右移動2個單位到達點B，B所表示的數(shù)為，?2+2，即：2?2，
故答案為：2?2．
（2）m＝2?2，則m+1＞0，m﹣1＜0，進而化簡|m+1|+|m﹣1|，并求出代數(shù)式的值；
（3）根據(jù)非負數(shù)的意義，列方程求出c、d的值，進而求出2c﹣3d的值，再求出2c﹣3d的平方根．
【解答】解：（1）m=?2+2＝2?2；
（2）∵m＝2?2，則m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值為2．
（3）∵|2c+d|與d2?16互為相反數(shù)，
∴|2c+d|+d2?16=0，
∴|2c+d|＝0，且d2?16=0，
解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，
①當c＝﹣2，d＝4時，
所以2c﹣3d＝﹣16，無平方根．
②當c＝2，d＝﹣4時，
∴2c﹣3d＝16，
∴2c﹣3d的平方根為±4，
答：2c﹣3d的平方根為±4．
【題型4 利用數(shù)軸化簡】
【例4】（2022春?荔灣區(qū)校級期中）如圖，化簡a2?|a+b|+(c?a)2+|b+c|．
【分析】先根據(jù)數(shù)軸上點的位置確定出a、b、c的符號，再利用絕對值性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)a2=|a|求解可得；
【解答】解：（1）由數(shù)軸得：b＜a＜0＜c，|c|＞|b|＞|a|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0．
∴原式＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝﹣a+2b+2c．
【變式4-1】（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，a、b、c分別是數(shù)軸上A、B、C所對應的實數(shù)，試化簡：b2?|a﹣c|+3(a+b)3．
【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的正負情況以及大小，再根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義，絕對值的性質(zhì)進行化簡，然后進行整式的加減計算即可得解．
【解答】解：∵a＜0，b＜0，c＞0，
∴a＜c
∴原式＝|b|﹣|a﹣c|+（a+b）
＝﹣b+（a﹣c）+（a+b）
＝﹣b+a﹣c+a+b
＝2a﹣c．
【變式4-2】（2022春?蕪湖期末）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡a2?b2?(a?b)2的結(jié)果是（ ）
A．0B．﹣2aC．2（b﹣a）D．﹣2b
【分析】先根據(jù)數(shù)軸確定a，b的范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡，即可解答．
【解答】解：由數(shù)軸可得：a＜0＜b，a﹣b＜0，
∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+a﹣b
＝﹣2b．
故選：D．
【變式4-3】（2022秋?攀枝花校級期中）已知實數(shù)x、y、z在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡：(x?y)2?（|y?z|）2+3(x?z)3的值．
【分析】先根據(jù)數(shù)軸判斷x，y，z的正負，進而判斷x﹣y，y﹣z，x﹣z的正負，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進行化簡，即可解答．
【解答】解：∵由數(shù)軸可得：x＜y＜0＜z，
∴x﹣y＜0，y﹣z＜0，x﹣z＜0，
原式＝|x﹣y|﹣|y﹣z|+x﹣z
＝y(tǒng)﹣x﹣z+y+x﹣z
＝2y﹣2z．
【題型5 實數(shù)的運算】
【例5】（2022春?呼和浩特期中）計算
（1）(?5)2?|3(?3)3+2|+（?0.64）×400
（2）327?|2?3|+（﹣1）2016．
【分析】（1）先根據(jù)平方根、立方根性質(zhì)化簡根式，再去絕對值符號和計算乘法、最后計算加減即可；
（2）先計算立方根、去絕對值符號、乘方，再去括號，最后計算加減即可．
【解答】解：（1）原式＝5﹣|﹣3+2|+（﹣0.8）×20
＝5﹣1﹣16
＝﹣12；
（2）原式＝3﹣（3?2）+1
＝3﹣3+2+1
＝1+2．
【變式5-1】（2022春?環(huán)江縣期末）計算：2?9+|3?2|?38．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及立方根的概念先化簡，再合并同類二次根式即可得到答案．
【解答】解：原式=2?3+3?2?2
＝﹣2．
【變式5-2】（2022秋?盤龍區(qū)校級期中）?100+16?4+49?169+81+（﹣6）?327．
【分析】分別根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的計算法則分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果即可．
【解答】解：原式＝﹣10+4﹣2+23?43+9﹣6﹣3
＝﹣6﹣2?23
＝﹣823．
【變式5-3】（2022?太平區(qū)期末）下計算下列各題：
（1）16+3?27?14+30.125+1?6364．
（2）|7?2|?|2?π|?(?7)2．
（3）(?6)2+|1?2|?38+(?5)2．
【分析】（1）先計算算術(shù)平方根、立方根，再計算有理數(shù)的加減即可；
（2）先化簡絕對值、計算平方根，再計算實數(shù)的加減即可；
（3）先計算算術(shù)平方根、化簡絕對值、立方根、實數(shù)的平方，再計算實數(shù)的加減即可．
【解答】解：（1）16+3?27?14+30.125+1?6364
＝4+（﹣3）?12+0.5+18
＝118；
（2）|7?2|?|2?π|?(?7)2
＝（7?2）﹣（π?2）﹣7
＝7?2?π+2?7
＝﹣π；
（3）(?6)2+|1?2|?38+(?5)2
＝6+（2?1）﹣2+5
＝8+2；
【題型6 實數(shù)的應用】
【例6】（2022春?南匯區(qū)期中）如圖，矩形內(nèi)小正方形的一條邊在大正方形的一條邊上，兩個正方形的面積分別為3和5，那么陰影部分的面積是多少？
【分析】先根據(jù)所給正方形的面積，可分別求出正方形的邊長BE、HM，而S陰影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN，易求陰影的面積．
【解答】解：如圖，設大正方形為BCDE，矩形為ABEF，小正方形為GHMN，
∵S正方形BCDE＝5，
∴BE=5，
∵S正方形GHMN＝3，
∴HM＝AB=3，
S陰影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN=3×5?3=15?3．
答：陰影部分的面積為15?3．
【變式6-1】（2022春?汝南縣月考）如圖，有一個長方體的水池長、寬、高之比為2：2：4，其體積為16 000cm3．
（1）求長方體的水池長、寬、高為多少？
（2）當有一個半徑為r的球放入注滿水的水池中，溢出水池外的水的體積為水池體積的160，求該小球的半徑為多少（π取3，結(jié)果精確到0.01cm）？
【分析】（1）直接利用已知假設出長方體的水池長、寬、高，進而利用長方體體積求出即可；
（2）利用球的體積公式，進而開立方求出即可．
【解答】解：（1）∵有一個長方體的水池長、寬、高之比為2：2：4，其體積為16 000cm3，
∴設長方體的水池長、寬、高為2x，2x，4x，
∴2x?2x?4x＝16000，
∴16x3＝16000，
∴x3＝1000，
解得：x＝10，
∴長方體的水池長、寬、高為：20cm，20cm，40cm；
（2）設該小球的半徑為rcm，則：
43πr3=160×16 000，
∴r3=160×16 000×14，
∴r≈4.05，
答：該小球的半徑為4.05cm．
【變式6-2】（2022秋?高港區(qū)期中）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起對應關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎．小白在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進行操作探究：
操作一：
（1）折疊紙面，若使表示的點1與﹣1表示的點重合，則﹣2表示的點與 2 表示的點重合；
操作二：
（2）折疊紙面，若使1表示的點與﹣3表示的點重合，回答以下問題：
①3表示的點與數(shù) ﹣2?3 表示的點重合；
②若數(shù)軸上A、B兩點之間距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點表示的數(shù)分別是 ﹣5和3 ；
操作三：
（3）在數(shù)軸上剪下9個單位長度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）．若這三條線段的長度之比為1：1：2，則折痕處對應的點所表示的數(shù)可能是 198或72或378 ．
【分析】（1）根據(jù)對稱性找到折痕的點為原點O，可以得出﹣2與2重合；
（2）根據(jù)對稱性找到折痕的點為﹣1，
①設3表示的點與數(shù)a表示的點重合，根據(jù)對稱性列式求出a的值；
②因為AB＝8，所以A到折痕的點距離為4，因為折痕對應的點為﹣1，由此得出A、B兩點表示的數(shù)；
（3）分三種情況進行討論：設折痕處對應的點所表示的數(shù)是x，如圖1，當AB：BC：CD＝1：1：2時，所以設AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a=94，得出AB、BC、CD的值，計算也x的值，同理可得出如圖2、3對應的x的值．
【解答】解：操作一，
（1）∵表示的點1與﹣1表示的點重合，
∴折痕為原點O，
則﹣2表示的點與2表示的點重合，
故答案為：2；
操作二：
（2）∵折疊紙面，若使1表示的點與﹣3表示的點重合，
則折痕表示的點為﹣1，
①設3表示的點與數(shù)a表示的點重合，
則3?（﹣1）＝﹣1﹣a，
a＝﹣2?3；
②∵數(shù)軸上A、B兩點之間距離為8，
∴數(shù)軸上A、B兩點到折痕﹣1的距離為4，
∵A在B的左側(cè)，
則A、B兩點表示的數(shù)分別是﹣5和3；
故答案為：①﹣2?3，②﹣5和3；
操作三：
（3）設折痕處對應的點所表示的數(shù)是x，
如圖1，當AB：BC：CD＝1：1：2時，
設AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=94，BC=94，CD=92，
x＝﹣1+94+98=198，
如圖2，當AB：BC：CD＝1：2：1時，
設AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=94，BC=92，CD=94，
x＝﹣1+94+94=72，
如圖3，當AB：BC：CD＝2：1：1時，
設AB＝2a，BC＝a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=92，BC＝CD=94，
x＝﹣1+92+98=378，
綜上所述：則折痕處對應的點所表示的數(shù)可能是198或72或378．
故答案為：198或72或378．
【變式6-3】（2022春?海淀區(qū)校級期中）如圖，面積為a（a＞1）的正方形ABCD的邊AB在數(shù)軸上，點B表示的數(shù)為1．將正方形ABCD沿著數(shù)軸水平移動，移動后的正方形記為A'B'CD'，點A、B、C、D的對應點分別為A'、B'、C、D'，移動后的正方形A'B'C'D'與原正方形ABCD重疊部分圖形的面積記為S．當S=a時，數(shù)軸上點B'表示的數(shù)是 a或2?a （用含a的代數(shù)式表示）．
【分析】平移可分兩種情況，左平移，右平移．根據(jù)面積求得邊長，繼而求得平移距離．
【解答】解：因為正方形面積為a，
所以邊長AB=a，
當向右平移時，如圖1，
因為重疊部分的面積為S＝AB'?AD=a，
AB'×a=a，
所以AB'＝1，
所以平移距離BB'＝AB﹣AB'=a?1，
所以OB'＝OB+BB'=1+a?1=a，
則B'表示的數(shù)是a；
當向左平移時，如圖2，
因為重疊部分的面積為S＝A'B?A'D'=a，
A'B×a=a，
所以A'B＝1，
所以平移距離BB'＝A'B'﹣A'B=a?1，
所以OB'＝OB﹣B'B＝1﹣（a?1）＝2?a，
則B'表示的數(shù)是2?a．
【知識點3 估算法】
（1）若，則；
（2）若，則；
根據(jù)這兩個重要的關(guān)系，我們通?？梢哉揖嚯xa最近的兩個平方數(shù)和立方數(shù)，來估算和的大小．例如：，則；，則．
常見實數(shù)的估算值：，，．
【題型7 估算無理數(shù)的范圍】
【例7】（2022春?朝陽區(qū)校級月考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數(shù)，且n＜2048＜n+1，則n的值為（ ）
A．43B．44C．45D．46
【分析】用夾逼法估算無理數(shù)的大小即可得出答案．
【解答】解：∵2025＜2048＜2116，
∴45＜2048＜46，
∴n＝45．
故選：C．
【變式7-1】（2022春?濱海新區(qū)期末）估計23大小在（ ）
A．2與3之間B．3與4之間C．4與5之間D．5與6之間
【分析】直接利用16＜23＜25，進而得出答案．
【解答】解：∵16＜23＜25，
∴4＜23＜5，
∴23在4～5之間．
故選：C．
【變式7-2】（2022春?鞏義市期末）估計15?1的值在（ ）
A．1和2之間B．2和3之間C．3和4之間D．4和5之間
【分析】根據(jù)平方運算，先估算出15的值，即可解答．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜15＜4，
∴2＜15?1＜3，
∴估計15?1的值在2和3之間，
故選：B．
【變式7-3】（2022?東莞市一模）已知a=13+1介于兩個連續(xù)自然數(shù)之間，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜5
【分析】估算確定出13的大小范圍，進而確定出所求即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，即4＜13+1＜5，
則4＜a＜5．
故選：D．
【題型8 已知無理數(shù)的范圍求值】
【例8】（2022秋?乳山市校級月考）滿足?5＜x＜14的整數(shù)x有 6 個．
【分析】先估算出5和14的大小，然后再確定x的值即可．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜5＜3，
∴﹣3＜?5＜?2．
∵9＜14＜16，
∴3＜14＜4，
∴整數(shù)x的值為﹣2，﹣1，0，1，2，3．
故答案為：6．
【變式8-1】（2022秋?永春縣期末）如果整數(shù)a滿足7＜a＜11，則a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先計算（7）2＝7，（11）2＝11，然后看哪個平方數(shù)在7和11之間即可．
【解答】解：∵7＜9＜11，
∴7＜3＜11，
∴如果整數(shù)a滿足7＜a＜11，則a的值是：3，
故選：C．
【變式8-2】（2022春?自貢期末）若a、b為正整數(shù)．且a＞10，b＜6，則a+b的最小值為 5 ．
【分析】先估算出a、b的取值范圍，然后再求得a+b的最大值即可．
【解答】解：∵9＜10＜16，4＜6＜9，
∴3＜10＜4，2＜6＜3．
又∵a、b為正整數(shù)，
∴當a＝4，b＝1時，a+b有最小值，
∴a+b的最小值為5．
故答案為：5．
【變式8-3】（2022春?昆明期中）若a＜40＜b，且a，b是兩個連續(xù)的整數(shù)，則a+b的值為 13 ．
【分析】先估算出40的范圍，求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵6＜40＜7，
∴a＝6，b＝7，
∴a+b＝13，
故答案為：13．
【題型9 估算無理數(shù)最接近的值】
【例9】（2022?玄武區(qū)二模）下列整數(shù)中，與10?30最接近的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先估算出30的范圍，再估算10?30的范圍即可．
【解答】解：∵25＜30＜36，30離25更近，
∴5＜30＜6，且更接近5，
∴﹣6＜?30＜?5，且更接近﹣5，
∴4＜10?30＜5，且更接近5．
故選：C．
【變式9-1】（2022春?鳳凰縣期末）與50的算術(shù)平方根最接近的整數(shù)是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】先計算50位于哪兩個相鄰的整數(shù)之間，再確定50距離哪個整數(shù)的平方接近即可確定答案．
【解答】解：∵49＜50＜64，
∴49＜50＜64，
即7＜50＜8，
∵7.52＝56.25，50＜56.25，
∴與50最接近的整數(shù)是7．
故選：B．
【變式9-2】（2022春?思明區(qū)校級期中）若m＝4n（m、n是正整數(shù)），且8＜m＜9，則與實數(shù)n的最大值最接近的數(shù)是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根據(jù)題中條件求出m的范圍，進而得到n的取值范圍，得到n的最大值，估算無理數(shù)的大小即可得出答案．
【解答】解：∵8＜m＜9，
∴64＜m＜81，
∵m＝4n（m、n是正整數(shù)），
∴16＜n＜20.25，
∴n的最大值為20，
∴n的最大值為20，
∵16＜20＜20.25，
∴4＜20＜4.5，
∴與實數(shù)n的最大值最接近的數(shù)是4．
故選：B．
【變式9-3】（2022春?潮安區(qū)期末）若m＝5n（m、n是正整數(shù)），且10＜m＜12，則與實數(shù)n的最大值最接近的數(shù)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根據(jù)m的取值范圍確定n的取值，再根據(jù)m、n為整數(shù)，確定n的最大值，再估算即可．
【解答】解：∵10＜m＜12，
∴100＜m＜144，
∴20＜m5＜28.8，
即20＜n＜28.8，
又∵m、n是正整數(shù)，
∴n的最大值為28，
∵25比36更接近28，
∴n的值比較接近25，即比較接近5，
故選：B．
【題型10 無理數(shù)整數(shù)、小數(shù)部分問題】
【例10】（2022秋?章丘市校級期末）設x是35的整數(shù)部分，y是35的小數(shù)部分，化簡|x﹣y﹣3|．
【分析】求出35的范圍，得出x＝5，y=35?5，代入求出即可．
【解答】解：∵25＜35＜36，
∴5＜35＜6，
∴x＝5，y=35?5，
∴|x﹣y﹣3|＝|5﹣（35?5）﹣3|
＝|7?35|
＝7?35．
【變式10-1】（2022?饒平縣校級模擬）若13的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求a2+b?13的值．
【分析】先求出a、b的值，再代入代數(shù)式進行計算即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴a＝3，b=13?3，
∴a2+b?13=9+13?3?13=6．
故答案為6．
【變式10-2】（2022春?孟村縣期末）已知5+7的小數(shù)部分為a，5?7的小數(shù)部分為b，求a+b．
【分析】先求出7的范圍，推出7＜5+7＜8和2＜5?7＜3，求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵2＜7＜3，
∴7＜5+7＜8，
∴a＝5+7?7=7?2，
∵2＜7＜3
∴﹣3＜?7＜?2，
∴2＜5?7＜3，
∴b＝5?7?2＝3?7，
∴a+b=7?2+3?7=1．
【變式10-3】（2022春?西城區(qū)校級期中）任何實數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]＝4，[3]＝1，現(xiàn)對72進行如下操作：
72→第一次[72]＝8→第二次[8]＝2→第三次[2]＝1，這樣對72只需進行3次操作后變?yōu)?．
（1）對10進行1次操作后變?yōu)?3 ，對200進行3次操作后變?yōu)?1 ；
（2）對實數(shù)m恰進行2次操作后變成1，則m的取值范圍是 4≤m＜16 ．
（3）恰需要進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是 255 ．
【分析】（1）根據(jù)[a]的含義和無理數(shù)的估計可求．
（2）根據(jù)[a]的含義倒推m的范圍．
（3）根據(jù)[a]的含義求出這個數(shù)的范圍，再求最大值．
【解答】解：（1）[10]＝3．
200進行第一次操作：[200]＝14，
第二次操作后：[14]＝3．
第三次操作后：[3]＝1．
故答案為：3，1．
（2）∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤m＜16．
∵操作兩次．
∴m≥2．
∴m≥4．
∴4≤m＜16．
故答案為：4≤m＜16．
（3）設這個數(shù)是p，
∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴1≤m＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤p＜16．
∴1≤p＜256．
∵3次操作，故p≥16．
∴16≤p＜256．
∵p是整數(shù)．
∴p的最大值為255．
故答案為：255．

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6.2 實數(shù)

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