TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc654" 【題型1 解分式方程的一般方法】 PAGEREF _Tc654 \h 1
\l "_Tc4759" 【題型2 換元法解分式方程】 PAGEREF _Tc4759 \h 2
\l "_Tc28244" 【題型3 裂項法解分式方程】 PAGEREF _Tc28244 \h 3
\l "_Tc2691" 【題型4 根據(jù)分式方程的解求值】 PAGEREF _Tc2691 \h 4
\l "_Tc28399" 【題型5 已知分式方程有解或無解求參數(shù)】 PAGEREF _Tc28399 \h 4
\l "_Tc308" 【題型6 已知分式方程有增根求參數(shù)】 PAGEREF _Tc308 \h 5
\l "_Tc3194" 【題型7 已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)】 PAGEREF _Tc3194 \h 5
\l "_Tc25173" 【題型8 根據(jù)分式方程解的取值范圍求參數(shù)的范圍】 PAGEREF _Tc25173 \h 6
\l "_Tc32752" 【題型9 解分式方程的運用（規(guī)律問題）】 PAGEREF _Tc32752 \h 6
\l "_Tc30474" 【題型10 解分式方程的運用（新定義問題）】 PAGEREF _Tc30474 \h 8
【知識點1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍數(shù)）將分式方程先轉(zhuǎn)化為整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步驟：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性質(zhì)去分母，將分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③驗根--檢驗整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
【題型1 解分式方程的一般方法】
【例1】（2022·廣東·平洲一中八年級階段練習(xí)）分式方程：1x?2+3=4x?2的解是_________.
【變式1-1】（2022·廣西貴港·八年級期中）解下列分式方程：
(1)2xx+2?xx?1=1；
(2)1x+3?23?x=12x2?9．
【變式1-2】（2022·山東省泰安第十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）當(dāng)x=________時，分式x?8x?7與分式17?x互為相反數(shù)．
【變式1-3】（2022·上?！ど贤飧街衅吣昙壠谀┙夥匠蹋簒+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3
【知識點2 換元法解分式方程】
換元法：引進新的變量，把一個較復(fù)雜的關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡單數(shù)量關(guān)系
例解方程：
另（x－y）=u，則原方程轉(zhuǎn)換為：
方程轉(zhuǎn)換為了一個比較簡潔的形式，再按照二元一次方程組的求法進行求解，以簡化計算。
注：當(dāng)熟練應(yīng)用換算法后，可以直接將某個整體式子看成一個未知數(shù)，在計算中，不必將這個整體換元為某個字母，而是直接整體求解。
【題型2 換元法解分式方程】
【例2】（2022·河南·南陽市第十三中學(xué)校八年級階段練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問題：
解方程：x?1x?4xx?1=0．
解：設(shè)y=x?1x，則原方程化為：y?4y=0，方程兩邊同時乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，經(jīng)檢驗：y＝±2都是方程y?4y=0的解，
∴當(dāng)y＝2時，x?1x=2，解得x＝﹣1；當(dāng)y＝﹣2時，x?1x=?2，解得：x=13．
經(jīng)檢驗：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x＝﹣1或x=13．
上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：
(1)若在方程x?1x+xx?1=52中，設(shè) ＝y(tǒng)，則原方程可化為 ，原方程的解為 ；
(2)模仿上述換元法解方程：x?1x+2?3x?1?1＝0．
【變式2-1】（2022·上海復(fù)旦五浦匯實驗學(xué)校八年級期末）用換元法解分式方程x2+1x?x3x2+1+1=0，如果設(shè)x2+1x=y，那么原方程化為關(guān)于y的整式方程是（ ）
A．3y2+3y?1=0B．3y2?3y?1=0
C．3y2?y+1=0D．3y2?y?1=0
【變式2-2】（2022·上?！ぐ四昙壵n時練習(xí)）如果16x2?8x+1=0，那么4x的值是（ ）
A．1B．-1C．±1D．4
【變式2-3】（2022·上海·九年級專題練習(xí)）解方程組：1x+12x?y=3 3x?12x?y=1 ．
【知識點3 分式的運算技巧-裂項法】
解題技巧：裂項相消法：
【題型3 裂項法解分式方程】
【例3】（2022·山東煙臺·八年級期中）觀察下面的變形規(guī)律：
11×2=11–12；12×3=12–13；13×4=13–14；……
解答下面的問題：
(1)已知n為正整數(shù)，結(jié)合你的發(fā)現(xiàn)，請將1n(n+1)寫成上面式子形式；
(2)說明你（1）中式子的正確性；
(3)直接寫出11×2+12×3+13×4+ … +12021×2022的結(jié)果；
(4)類比你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解關(guān)于n（n為正整數(shù)）的分式方程：11×3+13×5+15×7+???+1(2n?1)(2n+1)=n+1002n+202．
【變式3-1】（2022·山東·濟南市天橋區(qū)濼口實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）觀察下面的變形規(guī)律：11×2=1?12,12×3=12?13,13×4=13?14,14×5=14?15，…，回答問題：若1(x+1)×(x+2)+1(x+2)×(x+3)+1(x+3)×(x+4)+…+1(x+99)×(x+100)＝1x+100，則x的值為 _____．
【變式3-2】（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市江南學(xué)校八年級階段練習(xí)）觀察下列算式：
16=12×3=12?13,112=13×4=13?14,120=14×5=14?
(1)由此可推斷：142=___；
(2)請用含字母m(m為正整數(shù))的等式表示(1)中的一般規(guī)律___；
(3)仿照以上方法解方程：3(x?1)(x?4)=1x-1
【變式3-3】（2022·湖南·岳陽市第十九中學(xué)八年級階段練習(xí)）閱讀理解并回答問題．觀察下列算式：
16=12×3=12?13
112=13×4=13?14
120=14×5=14?15
……
(1)填空：142＝ ＝ ；
(2)請用含有m（m表示整數(shù)）的代數(shù)式表示上述式子特點的一般規(guī)律： ．
(3)請用（2）中的規(guī)律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+?+1(x+9)(x+10)=1(x+10)．
【知識點4 根據(jù)分式方程解的情況求待定系數(shù)值或取值范圍】
（1）方程無解，即方程的根為增根；
（2）方程的解為正值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＞0，求解出字母取值范圍；
（3）方程的解為負值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＜0，求解出字母取值范圍
【題型4 根據(jù)分式方程的解求值】
【例4】（2022·河北·南皮縣桂和中學(xué)八年級階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程2axa?x=83的解為x=1，則a等于（ ）
A．?1B．1C．4D．8
【變式4-1】（2022·湖南·溆浦縣圣達學(xué)校八年級期中）已知關(guān)于x的方程3x?1=x+axx?1的增根是x=1，則字母a的值為（ ）
A．1B．?1C．2D．?2
【變式4-2】（2022·北京市第九中學(xué)八年級期中）若x=4是關(guān)于x的方程2x?mx?3=3的解，則m的值為________．
【變式4-3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程axx+1+3x+1+3x=2有增根x=?1，則2a?3的值為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【題型5 已知分式方程有解或無解求參數(shù)】
【例5】（2022·黑龍江黑龍江·三模）關(guān)于x的分式方程1?axx?2+2=12?x有解，則a的取值范圍是________．
【變式5-1】（2022·湖南·八年級單元測試）若關(guān)于x的分式方程1x?2+x+mx2?4=3x+2無解，則m的值為( )
A．-6B．-10C．0或-6D．-6或-10
【變式5-2】（2022·河北·邢臺市第六中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程xx?2+2m2?x=3m無解，則m的值是（ ）
A．1或13B．1或3C．13D．1
【變式5-3】（2022·重慶·二模）若關(guān)于x的不等式組2x?m≥?132(x+23)+12≤9有且只有兩個奇數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程my?4y?2=2?3y?22?y有解，則所有滿足條件的整數(shù)m的和是（ ）
A．7B．10C．13D．21
【知識點5 增根的討論】
方程有增根，則這個根使得分式的分母為0.利用這個條件，我們可以先求解出增根的情況，在根據(jù)題意求解出其他字母的值。
【題型6 已知分式方程有增根求參數(shù)】
【例6】（2022·湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學(xué)八年級期中）如果方程5x?42x?4=2x+k3x?6有增根，則k是 _______________．
【變式6-1】（2022·浙江寧波·七年級期末）用去分母的方法解關(guān)于x的分式方程2?xx?3=a3?x?2時會產(chǎn)生增根，則a的值是__________．
【變式6-2】（2022·江西省石城二中九年級階段練習(xí)）解關(guān)于x的方程xx-1?kx2-1=xx+1不會產(chǎn)生增根，則k的值是（ ）
A．2B．1C．k≠2且k≠?2D．無法確定
【變式6-3】（2022·全國·八年級）若關(guān)于x的方程mx2?9+2x+3=1x?3有增根，則增根是多少？并求方程產(chǎn)生增根時m的值．
【題型7 已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)】
【例7】（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校九年級期中）若關(guān)于x的不等式組x3?4＜?2x+332x+a?2≥51?2x，有且僅有四個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分成方程ay+2=2y?1y+2+1有整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．?2B．3C．5D．10
【變式7-1】（2022·安徽·九年級專題練習(xí)）若整數(shù)a使關(guān)于x的分式方程8?ax2?x﹣2＝xx?2有整數(shù)解，則符合條件的所有a之和為（ ）
A．7B．11C．12D．13
【變式7-2】（2022·重慶一中八年級階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式組a+x3≥x+131?3(x?1)＜14+2x有解且至多有4個整數(shù)解，關(guān)于y的分式方程3y+153?y+2ayy?3=2的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的和為（ ）
A．4B．8C．11D．15
【變式7-3】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組{x?3(x?2)>?2a+x203x+15≥x?1有解，且關(guān)于y的方程2ay?3=4?y?a3?y的解是正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣3D．﹣1
【變式8-1】（2022·山東·龍口市教學(xué)研究室八年級期中）若關(guān)于x的分式方程2x+m=3x+3有負數(shù)解，則m的取值范圍為______．
【變式8-2】（2022·江蘇宿遷·八年級階段練習(xí)）關(guān)于x的方程x?1x?3=2+kx?3的解大于1，則k的取值范圍為_____________．
【變式8-3】（2022·山東濟南·八年級期中）若關(guān)于x的分式方程x+ax?2+2a2?x=5的解是非負整數(shù)解，且a滿足不等式a+2>1，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．18B．16C．12D．6
【題型9 解分式方程的運用（規(guī)律問題）】
【例9】（2022·山東聊城·八年級期末）已知：①x+2x＝3可轉(zhuǎn)化為x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，
②x+6x＝5可轉(zhuǎn)化為x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，
③x+12x＝7可轉(zhuǎn)化為x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……
根據(jù)以上規(guī)律，關(guān)于x的方程x+n2+nx?3＝2n+4的解為_____．
【變式9-1】（2022·湖南·岳陽市第十九中學(xué)八年級階段練習(xí)）解方程
①1x+1=2x+1?1的解是x=0；
②2x+1=4x+1?1的解是x=1；
③3x+1=6x+1?1的解是x= ；
④4x+1=8x+1?1的解是x= ；
（1）請完成上面的填空；
（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出第⑤個方程和它的解；
（3）請你用一個含正整數(shù)n的式子表述上述規(guī)律，并寫出它的解．
【變式9-2】（2022·江蘇無錫·八年級期中）閱讀下列材料：
方程1x+1?1x=1x?2?1x?3的解為x=1，
方程1x?1x?1=1x?3?1x?4的解為x=2，
方程1x?1?1x?2=1x?4?1x?5的解為x=3，
(1)請直接寫出方程1x?4?1x?5=1x?7?1x?8的解為________；
(2)觀察上述方程與解的特征，寫出一個解為?5的分式方程：________；
(3)觀察上述議程與解的特征，寫出能反映上述方程一般規(guī)律的方程，并直接寫出這個方程的解：________；________．
【變式9-3】（2022·四川遂寧·八年級期末）先閱讀下面的材料，然后解答問題．
通過計算，發(fā)現(xiàn)：方程x+1x=2+12的解為x1＝2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解為x1＝3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解為x1＝4，x2=14；…
(1)觀察猜想：關(guān)于x的方程x+1x=n+1n的解是 ；
(2)利用你猜想的結(jié)論，解關(guān)于x的方程x+1x?3=a+1a?3；
(3)實踐運用：對關(guān)于x的方程x?1x=m?1m的解，小明觀察得“x1=m”是該方程的一個解，則方程的另一個解x2= ，請利用上面的規(guī)律，求關(guān)于x的方程x2?x?1x?1=m?1m?1的解．
【題型10 解分式方程的運用（新定義問題）】
【例10】（2022·遼寧大連·八年級期末）當(dāng)a≠b時，定義一種新運算：F(a,b)=2a?b,a>b2bb?a,a1且5?k≠3，
解得：k1，求出?1＜a≤10，再利用x=10?a4是非負整數(shù)可知10?a是4的倍數(shù)分析即可．
【詳解】解：由題意可知：x+a?2ax?2=5，
x?a=5x?2，
x=10?a4，
∵分式方程的解是非負整數(shù)解，且a滿足不等式a+2>1，
∴10?a4≥0a+2＞1，解得：?1＜a≤10．
∵x=10?a4是非負整數(shù)，則：
當(dāng)10?a=0時，a=10，此時x=0，經(jīng)檢驗，x=0是分式方程的解；
當(dāng)10?a=4時，a=6，此時x=1，經(jīng)檢驗，x=1是分式方程的解；
當(dāng)10?a=8時，a=2，此時x=2，經(jīng)檢驗，x=2不是分式方程的解；
∴滿足條件的整數(shù)a的值之和是16．
故選：B
【點睛】本題考查解分式方程，不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出?1＜a≤10，再利用x=10?a4是非負整數(shù)，求出a的值即可．
【題型9 解分式方程的運用（規(guī)律問題）】
【例9】（2022·山東聊城·八年級期末）已知：①x+2x＝3可轉(zhuǎn)化為x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，
②x+6x＝5可轉(zhuǎn)化為x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，
③x+12x＝7可轉(zhuǎn)化為x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……
根據(jù)以上規(guī)律，關(guān)于x的方程x+n2+nx?3＝2n+4的解為_____．
【答案】x1＝n+3，x2＝n+4
【分析】仿照已知方程與解的特征，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，確定出所求方程的解即可．
【詳解】根據(jù)題意將方程變形得：x﹣3+nn+1x?3＝n+n+1，
可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，
則方程的解為x1＝n+3，x2＝n+4，
故答案為x1＝n+3，x2＝n+4
【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．
【變式9-1】（2022·湖南·岳陽市第十九中學(xué)八年級階段練習(xí)）解方程
①1x+1=2x+1?1的解是x=0；
②2x+1=4x+1?1的解是x=1；
③3x+1=6x+1?1的解是x= ；
④4x+1=8x+1?1的解是x= ；
（1）請完成上面的填空；
（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出第⑤個方程和它的解；
（3）請你用一個含正整數(shù)n的式子表述上述規(guī)律，并寫出它的解．
【答案】（1）③2；④3；（2）5x+1=10x+1?1，x=4；（3）nx+1=2nx+1?1，x=n?1
【分析】（1）由題意把方程兩邊都乘以（x+1）把分式方程化為整式方程，然后求解即可；
（2）由題意先觀察①②③④中的方程的解；根據(jù)前四個方程的規(guī)律可得第⑤個方程及其解；
（3）根據(jù)題干中各個方程的規(guī)律，可寫出含正整數(shù)n的方程，求解即可．
【詳解】解：（1）③方程兩邊都乘以（x+1）得，3=6-x-1，
解得x=2，
經(jīng)檢驗x=2是原分式方程的解；
④方程兩邊都乘以（x+1）得，4=8-x-1，
解得x=3，
經(jīng)檢驗x=3是原分式方程的解；
故答案為：2，3；
（2）⑤方程為5x+1=10x+1?1，方程的解為x=4；
（3）含正整數(shù)n的式子表示為nx+1=2nx+1?1，方程的解為x=n?1．
【點睛】本題考查分式方程的解以及規(guī)律的探索，熟練掌握分式方程的解的求法并觀察出方程的解與分子的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2022·江蘇無錫·八年級期中）閱讀下列材料：
方程1x+1?1x=1x?2?1x?3的解為x=1，
方程1x?1x?1=1x?3?1x?4的解為x=2，
方程1x?1?1x?2=1x?4?1x?5的解為x=3，
(1)請直接寫出方程1x?4?1x?5=1x?7?1x?8的解為________；
(2)觀察上述方程與解的特征，寫出一個解為?5的分式方程：________；
(3)觀察上述議程與解的特征，寫出能反映上述方程一般規(guī)律的方程，并直接寫出這個方程的解：________；________．
【答案】(1)x=6
(2)1x+7?1x+6=1x+4?1x+3
(3)1x?n+2?1x?n+1=1x?n?1?1x?n?2，x=n
【分析】（1）根據(jù)材料可知，方程的解是方程的最簡公分母為零時x值的平均數(shù)，即可得解；
（2）根據(jù)材料信息，寫出一個解為-5的分式方程即可；
（3）觀察所給的材料，從特殊形式到一般形式總結(jié)出規(guī)律，可得方程．
（1）
解：根據(jù)材料發(fā)現(xiàn)規(guī)律：方程的解是方程的最簡公分母為零時x值的平均數(shù)，
∴方程1x?4?1x?5=1x?7?1x?8的解為x=4+5+7+84＝6．
（2）
由題意可得：解是x=-5的方程可以是：
1x+7?1x+6=1x+4?1x+3；
（3）
由題意可得：
1x?n+2?1x?n+1=1x?n?1?1x?n?2，
解是x=n．
【點睛】本題考查學(xué)生閱讀分析理解能力，解答本題的關(guān)鍵是通過對所給材料的理解得出方程以及方程解的一般形式．
【變式9-3】（2022·四川遂寧·八年級期末）先閱讀下面的材料，然后解答問題．
通過計算，發(fā)現(xiàn)：方程x+1x=2+12的解為x1＝2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解為x1＝3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解為x1＝4，x2=14；…
(1)觀察猜想：關(guān)于x的方程x+1x=n+1n的解是 ；
(2)利用你猜想的結(jié)論，解關(guān)于x的方程x+1x?3=a+1a?3；
(3)實踐運用：對關(guān)于x的方程x?1x=m?1m的解，小明觀察得“x1=m”是該方程的一個解，則方程的另一個解x2= ，請利用上面的規(guī)律，求關(guān)于x的方程x2?x?1x?1=m?1m?1的解．
【答案】(1)x1=n，x2=1n
(2)x1=a，x2=3a?8a?3
(3)?1m；x1=m，x2=m?2m?1
【分析】（1）根據(jù)題意可知規(guī)律：方程的解等于右邊的整數(shù)和分?jǐn)?shù)，方程的形式要和等式右邊給出數(shù)的形式相同，按照此規(guī)律即可得出方程的解；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，得出x?3=a?3，x?3=1a?3，解出即可得出方程的解；
（3）根據(jù)（1）中的規(guī)律，即可得出另一個解x2；首先對方程x2?x?1x?1=m?1m?1進行整理，得出x?1?1x?1=m?1?1m?1，然后按照（1）中的規(guī)律，解出即可得出結(jié)果．
（1）
解：x1=n，x2=1n．
故答案為：x1=n，x2=1n
（2）
解：x?3+1x?3=a?3+1a?3
∵x?3=a?3，x?3=1a?3，
∴x1=a，x2=3a?8a?3；
（3）
解：x2=?1m；
x2?x?1x?1=m?1m?1
整理，得：x?1x?1=m?1m?1，
整理，得：x?1?1x?1=m?1?1m?1，
∴x?1=m?1，x?1=?1m?1，
∴x1=m，x2=m?2m?1．
【點睛】本題考查了分式方程的解，解本題的關(guān)鍵在正確理解題意找出方程與解之間的規(guī)律．
【題型10 解分式方程的運用（新定義問題）】
【例10】（2022·遼寧大連·八年級期末）當(dāng)a≠b時，定義一種新運算：F(a,b)=2a?b,a>b2bb?a,aa，所以F(a+1,a)=2a+1?a=2；
（2）m>2時，
F(m,2)?F(2,m)=2m?2?2mm?2=1，
解得m=43

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初中數(shù)學(xué)滬科版七年級下冊電子課本 舊教材

9.3 分式方程

版本： 滬科版

年級： 七年級下冊

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