第6章 平面圖形的認(rèn)識（一）章末拔尖卷 【蘇科版】 參考答案與試題解析 選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分） 1．（3分）（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級?？计谀┫铝姓f法：①經(jīng)過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線；②若線段AC=BC，則點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)；③射線OB與射線BO是同一條射線；④連接兩點(diǎn)的線段叫做這兩點(diǎn)的距離；⑤將一根細(xì)木條固定在墻上，至少需要兩根釘子，是因為兩點(diǎn)確定一條直線，其中說法正確的有（????） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【答案】A 【分析】根據(jù)直線、線段中點(diǎn)的定義、射線、兩點(diǎn)的距離、兩點(diǎn)確定一條直線逐個判斷即可得． 【詳解】解：①經(jīng)過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線，則原說法正確； ②因為點(diǎn)C不一定在線段AB上，所以若線段AC=BC，則點(diǎn)C不一定是線段AB的中點(diǎn)，則原說法錯誤； ③射線OB與射線BO的端點(diǎn)不同，不是同一條射線，則原說法錯誤； ④連接兩點(diǎn)的線段的長度叫做這兩點(diǎn)的距離，則原說法錯誤； ⑤將一根細(xì)木條固定在墻上，至少需要兩根釘子，是因為兩點(diǎn)確定一條直線，則原說法正確； 綜上，說法正確的有2個， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了直線、線段中點(diǎn)、射線、兩點(diǎn)的距離、兩點(diǎn)確定一條直線，熟練掌握直線、射線與線段的知識是解題關(guān)鍵． 2．（3分）（2023上·四川德陽·七年級四川省德陽市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如果同一平面內(nèi)有三條直線，那么它們交點(diǎn)個數(shù)是（????）個． A．3個 B．1或3個 C．1或2或3個 D．0或1或2或3個 【答案】D 【分析】根據(jù)三條直線是否有平行線分類討論即可． 【詳解】解：當(dāng)三條直線平行時，交點(diǎn)個數(shù)為0； 當(dāng)三條直線相交于1點(diǎn)時，交點(diǎn)個數(shù)為1； 當(dāng)三條直線中，有兩條平行，另一條分別與他們相交時，交點(diǎn)個數(shù)為2； 當(dāng)三條直線互相不平行時，且交點(diǎn)不重合時，交點(diǎn)個數(shù)為3； 所以，它們的交點(diǎn)個數(shù)有4種情形． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查多條直線交點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)三條直線中是否有平行線和是否交于一點(diǎn)進(jìn)行分類討論． 3．（3分）（2023上·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）若∠1與∠2互余，∠2與∠3互補(bǔ)，則∠1與∠3的關(guān)系是（???） A．∠1=∠3 B．∠3=90° C．∠3=180°-∠1 D．∠3=90°+∠1 【答案】D 【分析】由∠1與∠2互余，∠2與∠3互補(bǔ)可得∠1+∠2=90°①，∠2+∠3=180°②，由②-①得：∠3-∠1=90°，由此即可得到答案． 【詳解】解：∵ ∠1與∠2互余，∠2與∠3互補(bǔ)， ∴∠1+∠2=90°①，∠2+∠3=180°②， 由②-①得：∠3-∠1=90°， ∴∠3=90°+∠1， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角，解決本題的關(guān)鍵是要記住互為余角的兩個角的和為90°，互為補(bǔ)角的兩個角的和為180°． 4．（3分）（2023上·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，則∠AOD的度數(shù)為（????） A．40° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【分析】設(shè)∠COB=2∠AOC=2x，則∠AOB=3x，根據(jù)角平分線的定義可以推出∠COD=0.5x，結(jié)合∠COD=20°，即可求出x的值，進(jìn)而得到∠AOD的度數(shù)． 【詳解】解：∵∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°， ∴設(shè)∠COB=2∠AOC=2x，則∠AOB=3x， ∴∠AOD=∠BOD=1.5x ∴∠COD=∠COB-∠BOD=0.5x， ∴0.5x=20°， 解得：x=40°， ∴∠AOD=1.5x=1.5×40°=60°， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查的是角度計算，涉及到角平分線的定義以及方程思想，熟練掌握角平分線的定義并靈活運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵． 5．（3分）（2023上·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在線段MN上有P、Q兩點(diǎn)，PQ長度為2cm，MN長為整數(shù)，則以M、P、Q、N為端點(diǎn)的所有線段長度和可能為（????） ?? A．19cm B．20cm C．21cm D．22cm 【答案】B 【分析】根據(jù)題意可知，所有線段的長度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根據(jù)PQ=2cm，線段MN的長度是一個正整數(shù)，可以解答本題． 【詳解】解：由題意可得， 圖中以M、P、Q、N這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QN MP+PQ+QN+MQ+PN+MN =MN+MN+PQ+MN =3MN+PQ ∴以M、P、Q、N為端點(diǎn)的所有線段長度和為長度為3的倍數(shù)多2， ∴以M、P、Q、N為端點(diǎn)的所有線段長度和可能為20． 故選B． 【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件． 6．（3分）（2023上·山東棗莊·七年級?？计谀┮阎?36°18'，β=36.18°，γ=36.3°，下面結(jié)論正確的是（　?。?A．α＜γ＜β B．γ>α=β C．α=γ>β D．γ＜α＜β 【答案】C 【分析】將α=36°18'轉(zhuǎn)化為36.3°，即可得出答案． 【詳解】由α=36°18'=36°+18÷60°=36°+0.3°=36.3°， 又因為β=36.18°，γ=36.3°， 所以α=γ>β． 故選：C． 【點(diǎn)睛】此題考查了角的大小的比較，掌握角的度、分、秒之間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵． 7．（3分）（2023上·重慶江津·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，線段OP表示一條拉直的細(xì)線，A、B兩點(diǎn)在線段OP上，且OA:AP=2:3，OB:BP=3:7.若先固定A點(diǎn)，將OA折向AP，使得OA重疊在AP上；如圖2，再從圖2的B點(diǎn)及與B點(diǎn)重疊處一起剪開，使得細(xì)線分成三段，則此三段細(xì)線由小到大的長度比是（????） A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5 【答案】D 【分析】設(shè)OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的長度，折疊后從點(diǎn)B處剪開得到AB段為2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值. 【詳解】設(shè)OB=3x，則BP=7x， ∴OP=OB+BP=10x， ∵OA:AP=2:3， ∴OA=4x，AP=6x， ∴AB=OA-OB=x， 將OA折向AP，使得OA重疊在AP上，再從點(diǎn)B重疊處一起剪開， 得到的三段分別為：2x、3x、5x， 故選：D. 【點(diǎn)睛】此題考查線段的和差計算，設(shè)未知數(shù)分別表示各段的長度使分析更加簡單，注意折疊后AB段的長度應(yīng)是原AB段的2倍，由此計算即可. 8．（3分）（2023上·重慶酉陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一個時鐘某一時刻的簡易圖，圖中的12條短線刻度位置是時鐘整點(diǎn)時時針（短針）位置，根據(jù)圖中時針和分針（長針）位置，該時鐘顯示時間是（????） A．10～11點(diǎn) B．7～8點(diǎn) C．5～6點(diǎn) D．2～3點(diǎn) 【答案】A 【分析】先根據(jù)每個刻度間的角度確定12點(diǎn)或6點(diǎn)的位置，即可確定此時的時間． 【詳解】解：由圖知：時針轉(zhuǎn)動了4小格，每一小格代表：412×5×360°=24° ， 即時針轉(zhuǎn)了24°， ∵分針每轉(zhuǎn)動1°，時針轉(zhuǎn)動112° ，由此知： 分針轉(zhuǎn)動：24°÷112=288° ， 由每一大格對應(yīng)30°知：288°÷30°=935 ， 即分針走了9大格，3個小格，從而確定12點(diǎn)位置： 由此確定此時是10點(diǎn)48分； 故答案為：A． 【點(diǎn)睛】此題考查角度的計算，根據(jù)指針的位置確定12點(diǎn)是關(guān)鍵． 9．（3分）（2023上·重慶·七年級?？计谀┮阎c(diǎn)C在線段AB上，AC=2BC，點(diǎn)D，E在線段AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．若AB=2DE，線段DE在線段AB上移動，且滿足關(guān)系式AD+ECBE=32，則CDCB的值為（????） A．5 B．1714 C．1714或56 D．1110 【答案】B 【分析】設(shè)BC=x，則AC=2BC=2x，求得AB=3x，設(shè)CE=y，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC之間時，得到AE=2x+y，BE=x-y，求得y=27x，進(jìn)而即可求出CDCB；當(dāng)點(diǎn)E在線段AC之間時，同理可求出與條件不符，故舍去； 【詳解】設(shè)BC=x，則AC=2BC=2x， ∴AB=3x． ∵AB=2DE， ∴DE=32x． 設(shè)CE=y， 當(dāng)點(diǎn)E在線段BC之間時，如圖， ∴AE=AC+CE=2x+y，BE=BC-CE=x-y， ∴AD=AE-DE=2x+y-32x=12x+y． ∵AD+ECBE=32， ∴12x+y+yx-y=32， ∴y=27x， ∴CD=DE-CE=32x-y=32x-27x=1714x， ∴CDCB=1714xx=1714； 當(dāng)點(diǎn)E在線段AC之間時，如圖， ∴AE=AC-CE=2x-y， ∴AD=AE-DE=2x-32x-y=12x-y，BE=x+y． ∵AD+ECBE=32， ∴12x-y+yx+y=32， 解得：y=-23x，不符合題意，舍； 綜上可得CDCB=1714． 故選B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離及線段的和與差．解答的關(guān)系是分類討論點(diǎn)E的位置． 10．（3分）（2023上·山西晉中·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O為線段AD外一點(diǎn)，點(diǎn)M，C，B，N為AD上任意四點(diǎn)，連接OM，OC，OB，ON，下列結(jié)論不正確的是（???） A．以O(shè)為頂點(diǎn)的角共有15個 B．若MC=CB，MN=ND，則CD=2CN C．若M為AB中點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)，則MN=12AD-CB D．若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB，則∠MON=32∠MOC+∠BON 【答案】B 【分析】由于B選項中的結(jié)論是CD=2CN,而CD=CN+ND,因此只要判斷ND和CN是否相等即可，根據(jù)ND=MN,而MN>CN,因此得到ND>CN，由此得出B選項錯誤． 【詳解】解：以O(shè)為頂點(diǎn)的角有6×52=15個， 所以A選項正確； ∵M(jìn)N=ND， ∴ND>CN, ∴CD=CN+ND>CN+CN,即 CD>2CN, 所以B選項錯誤； 由中點(diǎn)定義可得：MB=12AB,NC=12CD, ∴MN=MB+CN-CB=12AB+12CD-CB=12AB+CD-CB， ∵AB+CD=AD+CB, ∴MN=12AD+CB-CB=12AD-CB, 所以C選項正確； 由角平分線的定義可得：∠AOC=2∠MOC,∠BOD=2∠BON, ∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠DOB=5∠COB, ∴2∠MOC+2∠BON+∠BOC=5∠BOC, ∴∠MOC+∠BON=2∠BOC, ∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=2∠COB+∠COB=3∠COB 32∠MOC+∠BON=32×2∠COB=3∠COB, ∴∠MON=32∠MOC+∠BON, 所以D選項正確， 所以不正確的只有B， 故選：B. 【點(diǎn)睛】本題綜合考查了角和線段的相關(guān)知識，要求學(xué)生能正確判斷角以及不同的角之間的關(guān)系，能正確運(yùn)用角平分線的定義，能明確中點(diǎn)的定義，并能正確地進(jìn)行線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換，考查了學(xué)生對相關(guān)概念的理解以及幾何運(yùn)算的能力． 二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分） 11．（3分）（2023下·甘肅定西·七年級統(tǒng)考期末）如圖，沿筆直小路DE的一側(cè)栽植兩棵小樹B，C，小明在A處測得 AB=4米，AC=6米，則點(diǎn)A到DE的距離d可能為 米．（填一個你認(rèn)為正確的答案） ?? 【答案】3米（答案不唯一） 【分析】由點(diǎn)到直線的距離的定義，垂線段最短，即可得到答案． 【詳解】解：∵ AB=4米，AC=6米， ∴點(diǎn)A到DE的距離d小于或等于4米， ∴點(diǎn)A到DE的距離d可能為3米（答案不唯一）． 故答案為：3米（答案不唯一）． 【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)到直線距離的定義． 12．（3分）（2023下·福建南平·七年級統(tǒng)考期中）如圖AB、CD相交于點(diǎn)O，OB平分∠DOE，若∠DOE=100°，則∠AOC的度數(shù)是 °． 【答案】50 【分析】由角平分線可知∠DOB=12∠DOE，即可求出∠DOB的大小，再由∠AOC和∠DOB為對頂角，即可直接求出∠AOC的大?。?【詳解】解：∵ OB平分∠DOE，∠DOE=100°， ∴∠DOB=12∠DOE=12×100°=50°， ∴∠AOC=∠DOB=50°， 故答案為：50． 【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 13．（3分）（2023上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形紙片ABCD，點(diǎn)P在邊AD上，點(diǎn)M，N在邊CB上，連接PM，PN．將∠DPN對折，點(diǎn)D落在直線PN上的點(diǎn)D'處，得折痕PE；將∠APM對折，點(diǎn)A落在直線PM上的點(diǎn)A'處，得折痕PF．若∠MPN=30°，則∠EPF= ． 【答案】75°或105° 【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方時，可得∠DPN+∠APM=180°-∠MPN=150°，由翻折變換的性質(zhì)可知∠EPN=12∠DPN，∠FPM=12∠APM，由∠EPF=∠MPN+∠EPN+∠FPM可得答案；當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方時，設(shè)∠DPM=x，∠APN=y，則可以得到x+y=180°-∠MPN=150°，由翻折變換的性質(zhì)可知∠DPE=12∠DPN=12x+30°，∠APF=12∠APM=12y+30°，根據(jù)∠EPF=180°-∠DPE+∠APF即可求解． 【詳解】解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方時． ∵∠MPN=30°， ∴∠DPN+∠APM=180°-∠MPN=180°-30°=150°， 由翻折變換的性質(zhì)可知∠EPN=12∠DPN，∠FPM=12∠APM， ∴∠EPN+∠FPM=12×150°=75°， ∴∠EPF=∠MPN+∠EPN+∠FPM=30°+75°=105°． 當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方時，設(shè)∠DPM=x，∠APN=y， 則x+y=180°-∠MPN=150°， 由翻折變換的性質(zhì)可知∠DPE=12∠DPN=12x+30°，∠APF=12∠APM=12y+30°， ∴∠EPF=180°-∠DPE+∠APF=180°-12x+y-30°=75°． 綜上所述，滿足條件的∠EPF=75°或105°． 故答案為：75°或105°． 【點(diǎn)睛】本題考查角的計算，翻折的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題． 14．（3分）（2023上·湖北武漢·七年級?？计谀┮阎€段AB=8，延長BA至點(diǎn)C，使CB=2AB，點(diǎn)D、E均為線段BA延長線上兩點(diǎn)，且BD=4AE，M、N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C是線段BD的三等分點(diǎn)時，MN的長為 ． 【答案】15或29 【分析】分BC=23BD時和BC=13BD時兩種情況，畫出對應(yīng)的圖形分別討論求解即可． 【詳解】解：∵AB=8，CB=2AB，N是線段AB的中點(diǎn)， ∴CB=16，AN=BN=12AB=4， ①若BC=23BD，如圖1所示： ∴BD=3AB=24， ∴AD=BD-AB=16， ∵BD=4AE， ∴AE=6， ∴DE=AD-AE=10， ∵M(jìn)是線段DE的中點(diǎn)， ∴DM=ME=5， ∴MN=BD-DM-BN=15， ②若BC=13BD，如圖： ∴BD=3BC=48， ∴AD=BD-AB=40， ∵BD=4AE， ∴AE=12， ∴DE=AD-AE=28， ∵M(jìn)是線段DE的中點(diǎn)， ∴DM=DE2=14， ∴MN=BD-DM-BN=29； 故答案為：15或29． 【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差問題，畫出線段有助于更直觀地解題，注意分情況討論． 15．（3分）（2023上·河南省直轄縣級單位·七年級校聯(lián)考期末）如圖，∠AOB=α,OA1、OB1分別是∠AOM和∠MOB的平分線，OA2、OB2分別是∠A1OM和∠MOB1的平分線，OA3、OB3分別是∠A2OM和∠MOB2的平分線，…，OAn,OBn分別是∠An-1OM和∠MOBn-1的平分線，則∠AnOBn的度數(shù)是 ． ?? 【答案】α2n 【分析】由角平分線性質(zhì)推理得∠A1OB1=12α，∠A2OB2=α22，∠A3OB3=α23，據(jù)此規(guī)律可解答． 【詳解】解：∵∠AOB=α，OA1、OB1分別是∠AOM和∠MOB的平分線， ∴∠A1OM=12∠AOM,∠B1OM=12∠BOM， ∴∠A1OB1=12(∠AOM+∠BOM)=12∠AOB=12α， ∵OA2、OB2分別是∠A1OM和∠MOB1的平分線， ∴∠A2OM=12∠A1OM,∠B2OM=12∠B1OM， ∴∠A2OB2=12(∠A1OM+∠B1OM)=12∠A1OB1=12×12∠AOB=14α=α22， ∵OA3、OB3分別是∠A2OM和∠MOB2的平分線， ∴∠A3OM=12∠A2OM,∠B3OM=12∠B2OM， ∴∠A3OB3=12(∠A2OM+∠B2OM)=12∠A2OB2=12×12∠A1OB1=12×12×12∠AOB=18α=α23， …，由此規(guī)律得： ∠AnOBn=α2n． 故答案為：α2n． 【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、圖形規(guī)律等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵． 16．（3分）（2023上·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，一款暗插銷由外殼AB，開關(guān)CD，鎖芯DE三部分組成，其工作原理如圖2，開關(guān)CD繞固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，由連接點(diǎn)D帶動鎖芯DE移動.圖3為插銷開啟狀態(tài)，此時連接點(diǎn)D在線段AB上，如D1位置.開關(guān)CD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)180°后得到C2D2，鎖芯彈回至D2E2位置（點(diǎn)B與點(diǎn)E2重合），此時插銷閉合如圖4.已知CD=74mm，AD2-AC1=50mm，則BE1= mm. 【答案】24 【分析】結(jié)合圖形得出當(dāng)點(diǎn)D在O的右側(cè)時，即D1位置時，B與點(diǎn)E的距離為BE1，當(dāng)點(diǎn)D在O的左側(cè)時，即D2位置時，B與點(diǎn)E重合，即E2位置，得出BE1=OD1+OD2=2OD2，再由圖形中線段間的關(guān)系得出D=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，即可求解． 【詳解】解：由圖3得，當(dāng)點(diǎn)D在O的右側(cè)時，即D1位置時，B與點(diǎn)E的距離為BE1， 由圖4得，當(dāng)點(diǎn)D在O的左側(cè)時，即D2位置時，B與點(diǎn)E重合，即E2位置， ∴BE1=OD1+OD2=2OD2， ∵AD2-AC1=50mm， ∴AO-OD2-AO-OC1=50mm， ∴OC1-OD2=50mm， ∴OC1=OD2+50， ∵CD=OC+OD=OC1+OD1， ∴CD=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm， ∴2OD2=24mm， ∴BE1=24mm， 故答案為：24． 【點(diǎn)睛】題目主要考查線段間的數(shù)量關(guān)系，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵． 三．解答題（共7小題，滿分52分） 17．（6分）（2023上·廣東惠州·七年級惠州一中?？计谀┌匆蠼忸}： (1)A，B，M，N四點(diǎn)如圖所示，讀下列語句，按要求作出圖形（不寫作法）： ①連接AB； ②在線段AB的延長線上取點(diǎn)C，使BC=2AB； ③連接AN，BM，它們相交于點(diǎn)P； (2)在（1）題圖中，若AB=3cm，D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，求DE的長． 【答案】(1)見解析 (2)DE=3cm 【分析】（1）根據(jù)題意，作出對應(yīng)的線段和點(diǎn)即可； （2）根據(jù)題意求得線段AC、AE、AD的長度，由圖形可得DE=AE-AD，即可求解． 【詳解】（1）解：如圖： （2）解：如圖： ∵AB=3cm，BC=2AB， ∴BC=6cm， ∴AC=AB+BC=9cm， 又∵D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)， ∴AD=12AB=32cm，AE=12AC=92cm， ∴DE=AE-AD=3cm． 【點(diǎn)睛】本題考查了線段的作圖方法和線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差的計算，解題的關(guān)鍵是掌握線段的作圖方法以及有關(guān)線段中點(diǎn)的性質(zhì)． 18．（6分）（2023下·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠BOC=96°，若OF平分∠AOD (1)求∠COF的度數(shù)； (2)若OE⊥OF，求∠BOE的度數(shù) 【答案】(1)132° (2)42° 【分析】（1）根據(jù)對頂角相等求出∠AOD=∠BOC=96°，利用角平分線定義求出∠DOF的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求出∠COF的度數(shù)； （2）求出∠DOE，∠BOD的度數(shù)，即可得到∠BOE的度數(shù)． 【詳解】（1）解：∵直線AB，CD相交于點(diǎn)O，且∠BOC=96°， ∴∠AOD=∠BOC=96°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠DOF=12∠AOD=48°， ∴∠COF=180°-∠DOF=132° （2）∵OE⊥OF， ∴∠FOE=90°， ∵∠DOF=48°， ∴∠DOE=42°， ∵∠BOD=180°-∠BOC=84°， ∴∠BOE=∠BOD-∠DOE=42°． 【點(diǎn)睛】此題考查了對頂角相等，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，正確掌握各知識點(diǎn)并理解圖形中各角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 19．（8分）（2023上·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）【問題回顧】我們曾解決過這樣的問題：如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，OC，OD分別平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解） ?? 【問題改編】點(diǎn)O在直線AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC． (1)如圖2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度數(shù)； (2)將圖2中的∠COD按圖3所示的位置進(jìn)行放置，寫出∠AOC與∠DOE度數(shù)間的等量關(guān)系，并寫明理由． 【答案】(1)∠DOE=25°； (2)∠DOE=12∠AOC． 【分析】（1）先求∠COB，利用角平分線定義再求∠COE，最終求∠DOE的度數(shù)； （2）設(shè)∠AOC=α，再根據(jù)（1）的求解過程，用含α的式子表示兩個角的數(shù)量關(guān)系． 【詳解】（1）∵∠COD=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°． ∵∠AOC=50°， ∴∠BOD=40°． ∴∠COB=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°． ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE=12∠BOC=12×130°=65°． ∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-65°=25°． （2）設(shè)∠AOC=α，則∠BOC=180°-α． ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE=12∠BOC=12×180°-α=90°-12α． ∵∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-180°-α=α-90°， ∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=α-90°+90°-12α=12α． ∴將圖2中的∠COD按圖3所示的位置放置時，∠AOC與∠DOE度數(shù)間的等量關(guān)系為∠DOE=12∠AOC． 【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差，角的平分線，平角的性質(zhì)；關(guān)鍵是弄清角之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解． 20．（8分）（2023上·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M在線段AC上，點(diǎn)N在線段BC上． ①已知AC=13,CB=8,，若點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求線段MN的長； ②已知AC=13,CB=8,，若點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)， BN=34BC，求線段MN的長； ③已知AC=a,CB=b,，若AM=23AC， BN=13BC，請直接寫出線段MN的長（用含a，b的式子表示）； （2）若點(diǎn)C在直線AB上，（1）中其他條件不變，已知AC=a,CB=35a，5AM=3CM，3BN=2CN，請直接寫出線段MN的長． 【答案】（1）①10.5；②8.5；③13a+23b；（2）173200a或77200a 【分析】（1）①根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)可得，CM=12AC,CN=12BC，由MN=CM+CN，代入計算即可得出答案； ②由點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)， BN=34BC，可得CM=12AC,CN=14BC，由MN＝CM+CN，代入計算即可得出答案； ③由已知AM=23AC,BN=13BC，可得CM=13AC， CN=23BC，由MN＝CM+CN，代入計算即可得出答案； （2）由已知5AM＝3CM，3BN＝2CN，可得CM=38AC,CN=25BC，由MN＝CM+CN，代入計算即可得出答案． 【詳解】解：（1）①∵點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)， ∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=12BC=12×8=4， ∴MN＝CM+CN＝6.5+4＝10.5； ②∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)， BN=34BC， ∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=14BC=14×8=2， ∴MN＝CM+CN＝6.5+2＝8.5； ③MN=13a+23b； ∵AM=23AC,BN=13BC， ∴CM=13AC=13a,CN=23BC=23b， ∴MN=CM+CN=13a+23b； （2）MN=173200a或77200a． ∵5AM＝3CM，3BN＝2CN， ∴CM=58AC=58a,CN=25BC=25×35a=625a， 若點(diǎn)C在線段AB上時， ∴MN=CM+CN=(58+625)a=173200a． 若點(diǎn)B在線段AC上時，MN=CM-CN=58a-625a=(58-625)a＝77200a． 綜上，線段MN的長為173200a或77200a． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)有關(guān)的線段的計算，認(rèn)真審題，數(shù)形結(jié)合，明確線段直接的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵,（2）小題注意分兩種情況討論． 21．（8分）（2023下·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期末）解答下列問題 如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”． ?? (1)一個角的平分線 這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）． (2)如圖2，若∠MPN=60°，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ= （表示出所有可能的結(jié)果探索新知）． ?? (3)如圖3，若∠MPN=α，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ= （用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）． ?? 【答案】(1)是 (2)30°，20°或40° (3)12α或13α或23α 【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義，一個角的平分線將一個角均分成兩個等角，大角是這兩個角的兩倍即可解答； (2)根據(jù)“巧分線”定義，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三種情況求解即可； (3) 根據(jù)“巧分線”定義，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三種情況求解即可． 【詳解】（1）解：如圖1：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC, ∴根據(jù)巧分線定義可得OC是這個角的“巧分線”． 故答案為：是． ?? （2）解：如圖3：①當(dāng)∠MPN=2∠MPQ1時，則∠MPQ1=12∠MPN=12×60°=30°； ②當(dāng)∠NPQ2=2∠MPQ2，則∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=60°，解得：∠MPQ2=20°； ③當(dāng)∠MPQ3=2∠NPQ3，則∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=60°，解得：∠MPQ3=40°． 綜上，∠MPQ可以為30°，20°，40°． （3）解：如圖3：①當(dāng)∠MPN=2∠MPQ1時，則∠MPQ1=12∠MPN=12×α=α2； ②當(dāng)∠NPQ2=2∠MPQ2，則∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=α，解得：∠MPQ2=13α； ③當(dāng)∠MPQ3=2∠NPQ3，則∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=α，解得：∠MPQ3=23α． 綜上，∠MPQ可以為α2，13α，23α． ?? 【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的計算、角平分線的定義等知識點(diǎn)，讀懂題意、理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵． 22．（8分）（2023上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知線段AB=m(m為常數(shù))，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM. (1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且m=8時，則MN=______； (2) 若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，請判斷CN+2AM -2MN的值是否與m有關(guān)？并說明理由. (3) 若點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），同時點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，求MN長度 (用含m的代數(shù)式表示). 【答案】(1)6；(2) 無關(guān)，理由見解析；(3)34m. 【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)可得到AC、BC的長，再根據(jù)CN=3AN，CM=3BM，可計算出CN、CM，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可； （2）根據(jù)線段之間的關(guān)系及CN=3AN，CM=3BM，分別表示出CN、AM及MN，再進(jìn)行化簡即可； （3）分情況討論，畫出圖形，根據(jù)線段之間的關(guān)系計算即可. 【詳解】解：（1）∵點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且AB=m=8， ∴AC=BC=12AB=4， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴CN=34AC，CM=34BC， ∴CN=3，CM=3， ∴MN=CN+CM=3+3=6; （2）若C在A的左邊，如圖所示， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴MN=CM－CN=3BM－3AN， ∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN， ∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN， ∴CN +2AM－2MN的值與m無關(guān)； （3）①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時，如圖所示， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴CN=34AC，CM=34BC， ∴MN=CM+CN=34BC+34AC=34(BC+AC)=34AB=34m； ②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊，如圖所示， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴CN=34AC，BM=14BC， ∴MN=BC－CN－BM=BC－34AC－14BC =34(BC－AC)=34AB=34m； ③當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊，如圖所示： ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴AN=14AC，CM=34BC， ∴MN=AC－AN－CM=AC－14AC－34BC =34(AC－BC)=34AB=34m， 綜上所述，MN的長度為34m. 【點(diǎn)睛】本題考查線段的計算，分情況討論，正確找出線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 23．（8分）（2023上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，將斜邊為CD的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，OE平分∠BOC． ?? (1)如圖1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度數(shù)； (2)將直角三角板繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，探究∠AOC和∠DOE度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由； (3)在圖1中，∠AOC=30°，OP與OD的起始位置重合，再將三角板COD繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，射線OD恰好是銳角∠BOP的三等分線，則t的值為__________秒（直接寫出結(jié)果）． 【答案】(1)15° (2)∠AOC=2∠DOE，理由見解析 (3)2或4 【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)和角平分線的定義可得∠EOC=75°，再結(jié)合∠COD是直角運(yùn)用角的和差即可解答； （2）根據(jù)角平分線的定義可得∠BOC=2∠COE，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，再根據(jù)∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE并將∠COE=∠BOE=90°-∠DOE代入化簡即可解答； （3）由角∠BOP的三等分線有兩條，需分∠POD=13∠POB和∠POD=23∠POB兩種情況，分別根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)列方程求解即可． 【詳解】（1）解：∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=180°-∠AOC=150°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠EOC=12∠BOC=75°, ∵∠COD是直角， ∴∠DOE=∠COD-∠EOC=90°-75°=15°． （2）解：∠AOC=2∠DOE；理由如下： ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC=2∠COE， ∵∠COD=90°， ∴∠COE=∠BOE=90°-∠DOE， ∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-290°-∠DOE， ∴∠AOC=2∠DOE． （3）解：由角∠BOP的三等分線有兩條，需分以下兩種情況解答： ①∵射線OD恰好是銳角∠BOP的三等分線， ∴∠POD=13∠POB, ∵三角板COD繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周， ∴∠POD=10t； 由（1）可得：∠BOP=180°-30°-90°=60°, ∴∠POD=13∠POB=20°， ∴10t=20，即t=2； ②∵射線OD恰好是銳角∠BOP的三等分線， ∴∠POD=23∠POB, ∵三角板COD繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周， ∴∠POD=10t； 由（1）可得：∠BOP=180°-30°-90°=60°, ∴∠POD=23∠POB=40°， ∴10t=40，即t=4． 綜上，當(dāng)t=2或4時，射線OD恰好是銳角∠BOP的三等分線． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、角平分線的定義、垂直的定義、角三等分線等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．

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