第I卷（選擇題）
一、單選題
1．如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，AD和BE交于點G，設，，那么向量用向量、表示為（ ）
A．B．C．D．
2．已知、、都是非零向量，如果，，那么下列說法中，錯誤的是（ ）
A．B．C．D．與方向相反
3．如圖，已知點、分別在的邊、上，，，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知、是兩個單位向量，向量，，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，且，下列說法中，不正確的是（ ）
A．B．∥C．D．與方向相同
6．以下說法錯誤的是（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．如果（為非零向量），那么；
D．如果不是與非零向量同方向的單位向量，那么．
7．已知，下列說法中不正確的是（ ）
A．B．與方向相同C．D．
8．已知和都是非零向量，下列結(jié)論中不能確定的是（ ）
A．B．C．D．
9．下列關(guān)于向量的說法中，不正確的個數(shù)是（ ）
①；
②若，則；
③若、是實數(shù)，則；
④如果非零向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)，使得；
⑤如果非零向量，則與所在的直線平行；
⑥如果與分別是與的單位向量，則
A．2B．3C．4D．5
第II卷（非選擇題）
二、解答題
10．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊AD上一點，CE與BD相交于點O，CE與BA的延長線相交于點G，已知DE＝2AE，CE＝8．
（1）求GE的長；
（2）若＝，＝，用、表示；
（3）在圖中畫出．（不需要寫畫法，但需要結(jié)論）
11．如圖，在中，點是的重心，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)并延長交邊于點，過點作交邊于點．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）當，，時，求的長．
12．如圖，已知梯形ABCD，，，點E在邊BC上，，請回答下列問題：
（1）寫出所有與互為相反數(shù)的向量是 ．
（2）在圖中求作與的和向量： ．
（3）在圖中求作與的差向量： ．
（4） ．
13．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2，點E是邊BC的中點，AE、BD相交于點F，過點F作FG∥BC，交邊DC于點G．
（1）求FG的長；
（2）設，，用、的線性組合表示．
14．如圖，已知點E在行四邊形ABCD的邊CD上，設，，．圖中的線段都成有向線段．
（1）用、、的式子表示：＝ ，＝ ．
（2）在圖中求作（不寫作法，保留作圖痕跡）．
15．如圖，的對角線相交于點． 點在對角線的延長線上，且．
（1）圖中與相等的向量是______；
（2）計算：；
（3）在圖中求作 ．（保留作圖痕跡，不要求寫作法，請指出哪個向量是所求作的向量）
16．如圖，點是菱形邊的延長線上的一點，，設 ， ．
（1）試用向量 ， 表示下列向量： = ；（直接寫出結(jié)論）
（2）如果 ，，那么 = ；（直接寫出結(jié)論）
（3）在圖上求作： ．（保留作圖痕跡，不要求寫作法，寫出結(jié)論）．
17．如圖，點E、F在平行四邊形ABCD的對角線BD上，且EB＝FD，設，，．
（1）試用向量、、表示下列向量：＝ ，＝ ，＝ ；
（2）求作：+-．（請在原圖上作圖，保留作圖痕跡，寫出結(jié)果，不要求寫作法）
18．（1）已知四邊形OBCA是平行四邊形，點D在OB上．
①填空：__________；___________；
②求作：．
（2）在一個不透明的袋子中裝有（除顏色外）完全相同的紅色小球1個，白色小球1個和黃色小球2個．
①如果從中先摸出一個小球，記下它的顏色后，將他放回袋子中搖勻，再摸出一個小球，記錄下顏色，那么摸出的兩個小球的顏色恰好是“一紅一黃”的概率是__________；
②如果摸出的第一個小球之后不放回袋子中，再摸出第二個小球，這時摸出的兩個小球的顏色恰好是“一紅一黃”的概率是__________．
19．如圖，在梯形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，CD＝5，如果，那么向量是_____（用向量表示）．
20．如圖，在中，點是的重心，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)并延長交邊于點，過點作交邊于點．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）當，，時，求的長．
21．如圖，在中，平分，與交于點，，．
（1）求的值；
（2）設，=，求向量（用向量、表示）．
22．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊AD的中點AC、BE相交于點O．設，．
（1）試用、表示；
（2）在圖中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）
23．已知向量關(guān)系式，試用向量、表示向量．
24．如圖，一個的網(wǎng)格．其中點A、B、C、D、M、N、P、Q均為網(wǎng)格點．
（1）在點M、N、P、Q中，哪個點和點A、B所構(gòu)成的三角形與相似？請說明理由；
（2）設a，，寫出向量關(guān)于a、b的分解式．
25．如圖，已知中，，且經(jīng)過的重心點，，．
（1）試用向量、表示向量；
（2）求作向量（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）．
26．如圖，在平行四邊形中，對角線AC、BD相交于點O． E為OC的中點，連接BE并延長，交邊CD于點F，設，．
（1）填空：向量__________；
（2）填空：向量__________，并在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量．
（注：本題結(jié)果用含向量、的式子表示，畫圖不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）
27．如圖，已知中，，，，．
（1）求線段的長；
（2）設，．
①請直接寫出向量關(guān)于、的分解式，________；
②連接，在圖中作出向量分別在、方向上的分向量．（可以不寫作法，但必須寫出結(jié)論）
28．如圖，已知拋物線與軸于點，且對稱軸是直線．
（1）求的值與該拋物線頂點的坐標﹔
（2）已知點的坐標為，設，用向量表示．
29．如圖，已知點、、、在同一條直線上，，，與相交于點，，．
（1）求的長；
（2）設，，那么 ， （用向量、表示）．
30．如圖，已知在中，點D、E分別在邊、上，，點M為邊上一點，，聯(lián)結(jié)交于點N．
（1）求的值；
（2）設，，如果，請用向量、表示向量．
31．如圖，點、分別在的邊、的延長線上，且，，為的中點．
（1）設，，試用的形式表示；（、為實數(shù)）
（2）作出在、上的分向量．（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結(jié)論）
32．如圖，、是的邊上的點，、分別是邊、上的點，且滿足，，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）聯(lián)結(jié)，設，，請用向量、表示向量．
三、填空題
33．如圖，梯形中，，、分別是、上的點，且，，若，，則向量可用、表示為______________．
34．已知梯形ABCD中，AB//CD，CD=2AB，點M、N分別是腰AD、BC的中點，若，用表示，則（_____________________）
35．如圖1，AM是△ABC的中線，設向量，，那么向量____________（結(jié)果用、表示）．
36．已知點是的重心，如果，那么向量用向量表示為_____．
37．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，如果，，那么_______（用，表示）．
38．點G是△ABC的重心，GD∥AB，交BC于點D，向量，向量，那么向量用向量、表示為____．
39．如圖，點G是△ABC的重心，設，那么向量用向量表示為 ______．
40．如圖，BE、AD分別是△ABC的兩條中線，設，那么向量用向量表示為_____．
41．如圖，已知△ABC中，D、E分別為邊AB、AC的中點，點F在DE的延長線上，EF＝DE，設，那么向量用向量、表示是_____．
42．在△ABC中，點G為重心，點D為邊BC的中點，設，那么用表示為_____．
43．如圖，在中，，，點D為中點，將沿直線翻折后，點A落在點E處，設，，那么向量用向量，表示為________．
44．如圖，在中，點在邊上，， ，，設， ，那么________ ．（用向量，的式子表示）．
45．如圖，在梯形中，，，設，，那么向量用向量、表示為______．
46．如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，設，，那么向量關(guān)于、的分解式為______．
47．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于點O，OB=2OD，設，，那么____．（用向量、的式子表示）
48．計算：________．
49．如圖，在梯形ABCD中， ，，設向量，，用向量，表示為___．
50．（2013·上海中考真題）計算：________．
專題16 平面向量的線性運算重難點專練
第I卷（選擇題）
一、單選題
1．如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，AD和BE交于點G，設，，那么向量用向量、表示為（ ）
A．B．C．D．
2．已知、、都是非零向量，如果，，那么下列說法中，錯誤的是（ ）
A．B．C．D．與方向相反
3．如圖，已知點、分別在的邊、上，，，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知、是兩個單位向量，向量，，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，且，下列說法中，不正確的是（ ）
A．B．∥C．D．與方向相同
6．以下說法錯誤的是（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．如果（為非零向量），那么；
D．如果不是與非零向量同方向的單位向量，那么．
7．已知，下列說法中不正確的是（ ）
A．B．與方向相同C．D．
8．已知和都是非零向量，下列結(jié)論中不能確定的是（ ）
A．B．C．D．
9．下列關(guān)于向量的說法中，不正確的個數(shù)是（ ）
①；
②若，則；
③若、是實數(shù)，則；
④如果非零向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)，使得；
⑤如果非零向量，則與所在的直線平行；
⑥如果與分別是與的單位向量，則
A．2B．3C．4D．5
第II卷（非選擇題）
二、解答題
10．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊AD上一點，CE與BD相交于點O，CE與BA的延長線相交于點G，已知DE＝2AE，CE＝8．
（1）求GE的長；
（2）若＝，＝，用、表示；
（3）在圖中畫出．（不需要寫畫法，但需要結(jié)論）
11．如圖，在中，點是的重心，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)并延長交邊于點，過點作交邊于點．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）當，，時，求的長．
12．如圖，已知梯形ABCD，，，點E在邊BC上，，請回答下列問題：
（1）寫出所有與互為相反數(shù)的向量是 ．
（2）在圖中求作與的和向量： ．
（3）在圖中求作與的差向量： ．
（4） ．
13．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2，點E是邊BC的中點，AE、BD相交于點F，過點F作FG∥BC，交邊DC于點G．
（1）求FG的長；
（2）設，，用、的線性組合表示．
14．如圖，已知點E在行四邊形ABCD的邊CD上，設，，．圖中的線段都成有向線段．
（1）用、、的式子表示：＝ ，＝ ．
（2）在圖中求作（不寫作法，保留作圖痕跡）．
15．如圖，的對角線相交于點． 點在對角線的延長線上，且．
（1）圖中與相等的向量是______；
（2）計算：；
（3）在圖中求作 ．（保留作圖痕跡，不要求寫作法，請指出哪個向量是所求作的向量）
16．如圖，點是菱形邊的延長線上的一點，，設 ， ．
（1）試用向量 ， 表示下列向量： = ；（直接寫出結(jié)論）
（2）如果 ，，那么 = ；（直接寫出結(jié)論）
（3）在圖上求作： ．（保留作圖痕跡，不要求寫作法，寫出結(jié)論）．
17．如圖，點E、F在平行四邊形ABCD的對角線BD上，且EB＝FD，設，，．
（1）試用向量、、表示下列向量：＝ ，＝ ，＝ ；
（2）求作：+-．（請在原圖上作圖，保留作圖痕跡，寫出結(jié)果，不要求寫作法）
18．（1）已知四邊形OBCA是平行四邊形，點D在OB上．
①填空：__________；___________；
②求作：．
（2）在一個不透明的袋子中裝有（除顏色外）完全相同的紅色小球1個，白色小球1個和黃色小球2個．
①如果從中先摸出一個小球，記下它的顏色后，將他放回袋子中搖勻，再摸出一個小球，記錄下顏色，那么摸出的兩個小球的顏色恰好是“一紅一黃”的概率是__________；
②如果摸出的第一個小球之后不放回袋子中，再摸出第二個小球，這時摸出的兩個小球的顏色恰好是“一紅一黃”的概率是__________．
19．如圖，在梯形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，CD＝5，如果，那么向量是_____（用向量表示）．
20．如圖，在中，點是的重心，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)并延長交邊于點，過點作交邊于點．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）當，，時，求的長．
21．如圖，在中，平分，與交于點，，．
（1）求的值；
（2）設，=，求向量（用向量、表示）．
22．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊AD的中點AC、BE相交于點O．設，．
（1）試用、表示；
（2）在圖中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）
23．已知向量關(guān)系式，試用向量、表示向量．
24．如圖，一個的網(wǎng)格．其中點A、B、C、D、M、N、P、Q均為網(wǎng)格點．
（1）在點M、N、P、Q中，哪個點和點A、B所構(gòu)成的三角形與相似？請說明理由；
（2）設a，，寫出向量關(guān)于a、b的分解式．
25．如圖，已知中，，且經(jīng)過的重心點，，．
（1）試用向量、表示向量；
（2）求作向量（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）．
26．如圖，在平行四邊形中，對角線AC、BD相交于點O． E為OC的中點，連接BE并延長，交邊CD于點F，設，．
（1）填空：向量__________；
（2）填空：向量__________，并在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量．
（注：本題結(jié)果用含向量、的式子表示，畫圖不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）
27．如圖，已知中，，，，．
（1）求線段的長；
（2）設，．
①請直接寫出向量關(guān)于、的分解式，________；
②連接，在圖中作出向量分別在、方向上的分向量．（可以不寫作法，但必須寫出結(jié)論）
28．如圖，已知拋物線與軸于點，且對稱軸是直線．
（1）求的值與該拋物線頂點的坐標﹔
（2）已知點的坐標為，設，用向量表示．
29．如圖，已知點、、、在同一條直線上，，，與相交于點，，．
（1）求的長；
（2）設，，那么 ， （用向量、表示）．
30．如圖，已知在中，點D、E分別在邊、上，，點M為邊上一點，，聯(lián)結(jié)交于點N．
（1）求的值；
（2）設，，如果，請用向量、表示向量．
31．如圖，點、分別在的邊、的延長線上，且，，為的中點．
（1）設，，試用的形式表示；（、為實數(shù)）
（2）作出在、上的分向量．（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結(jié)論）
32．如圖，、是的邊上的點，、分別是邊、上的點，且滿足，，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）聯(lián)結(jié)，設，，請用向量、表示向量．
三、填空題
33．如圖，梯形中，，、分別是、上的點，且，，若，，則向量可用、表示為______________．
34．已知梯形ABCD中，AB//CD，CD=2AB，點M、N分別是腰AD、BC的中點，若，用表示，則（_____________________）
35．如圖1，AM是△ABC的中線，設向量，，那么向量____________（結(jié)果用、表示）．
36．已知點是的重心，如果，那么向量用向量表示為_____．
37．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，如果，，那么_______（用，表示）．
38．點G是△ABC的重心，GD∥AB，交BC于點D，向量，向量，那么向量用向量、表示為____．
39．如圖，點G是△ABC的重心，設，那么向量用向量表示為 ______．
40．如圖，BE、AD分別是△ABC的兩條中線，設，那么向量用向量表示為_____．
41．如圖，已知△ABC中，D、E分別為邊AB、AC的中點，點F在DE的延長線上，EF＝DE，設，那么向量用向量、表示是_____．
42．在△ABC中，點G為重心，點D為邊BC的中點，設，那么用表示為_____．
43．如圖，在中，，，點D為中點，將沿直線翻折后，點A落在點E處，設，，那么向量用向量，表示為________．
44．如圖，在中，點在邊上，， ，，設， ，那么________ ．（用向量，的式子表示）．
45．如圖，在梯形中，，，設，，那么向量用向量、表示為______．
46．如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，設，，那么向量關(guān)于、的分解式為______．
47．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于點O，OB=2OD，設，，那么____．（用向量、的式子表示）
48．計算：________．
49．如圖，在梯形ABCD中， ，，設向量，，用向量，表示為___．
50．（2013·上海中考真題）計算：________．
參考答案
1．A
【來源】2021年上海市虹口區(qū)中考數(shù)學二模試題
分析：
利用三角形法則求出，再根據(jù)三角形中心的性質(zhì)解決問題即可．
【詳解】
解：∵，，
∴，
∵AD，BE是△ABC的中線，
∴G是△ABC的重心，
∴BG＝BE，
∴＝，
故選A．
【點睛】
本題主要考查了平面向量計算的三角形法則及三角形重心的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些基本知識．
2．C
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點專練）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
根據(jù)平面相等向量的定義、共線向量的定義以及向量的模的計算方法解答．
【詳解】
解：A、因為，，所以，故本選項說法正確；
B、因為，，所以，故選項說法正確；
C、因為，，所以，故本選項說法錯誤；
D、因為，，所以與方向相反，故本選項說法正確；
故選C．
【點睛】
本題主要考查的相等向量與相反向量，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵；就本題而言，就是正確運用相等向量與相反向量的定義判斷A、B、D三項結(jié)論正確．
3．D
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出DE與BC的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)向量的定義即可求出的值．
【詳解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴=．
故選D．
【點睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及向量的定義，向量用有向線段來表示，有向線段長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．
4．C
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
由、是兩個單位向量的方向不確定，從而判定A與B錯誤；又由平面向量模的知識，即可判定選項C正確，選項D錯誤．
【詳解】
解：∵、是兩個單位向量，方向不一定相同，∴與不一定相等，選項A錯誤；
∵、是兩個單位向量，方向不一定相同，∴與不一定相等，選項B錯誤；
∵，，∴，選項C正確，選項D錯誤；
故選：C
【點睛】
本題考查了單位向量的定義和向量的數(shù)量積，注意平面向量的模的求解方法與向量是有方向性的．
5．D
【來源】上海市青浦區(qū)2020-2021學年初三上學期數(shù)學一模
分析：
根據(jù)向量的和與差運算可以得到向量與的關(guān)系即可解答．
【詳解】
解：∵，，且，
∴，即=﹣3，
∴，∥，與方向相反，
所以，選項A、B、C正確，D錯誤，
故選：D．
【點睛】
本題考查平面向量，熟練掌握向量的基本性質(zhì)和運算是解答的關(guān)鍵．
6．A
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
根據(jù)單位向量、平行向量的定義解答．
【詳解】
A、如果，那么，故該項錯誤，
B、如果，那么，故該項正確；
C、如果（為非零向量），那么，故該項正確；
D、如果不是與非零向量同方向的單位向量，那么，故該項正確；
故選：A．
【點睛】
此題考查平面向量，熟記定義是解題的關(guān)鍵．
7．A
【來源】上海市松江區(qū)2020-2021學年九年級上學期期末數(shù)學試題（一模）
分析：
根據(jù)平行向量以及模的定義的知識求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應用．
【詳解】
A.，故該選項錯誤，
B.∵，
∴與方向相同，故該選項正確，
C.∵，
∴，故該選項正確，
D.∵，
∴，故該選項正確，
故選：A．
【點睛】
本題考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向，平行向量，也叫共線向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．
8．A
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
根據(jù)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】
解：A、該等式只能表示，的模相等，但不一定平行，故本選項符合題意；
B、由，可以判定 ，故本選項不符合要求；
C、由，可以判定，故本選項不符合題意；
D、由， ，可知，可以判定 ，故本選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】
本題主要考查了平行向量，掌握平行向量是解題的關(guān)鍵．
9．C
【來源】上海市上海市上海交通大學附屬中學2020-2021學年九年級上學期期中數(shù)學試題
分析：
根據(jù)平面向量的性質(zhì)，一一判斷即可．
【詳解】
①，該選項正確；
②若，向量既有大小，也有方向，故不確定，該選項錯誤；
③若、是實數(shù)，則，該選項正確；
④如果非零向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)，使得，該選項正確；
⑤如果非零向量，可得、方向相同，則與所在的直線平行，該選項正確；
⑥如果與不平行，則與也不平行，該選項錯誤．
綜上，①③④⑤正確，共個．
故選：C．
【點睛】
本題考查了平面向量的概念與運算，考查學生靈活運用知識的能力和推理論證能力．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的性質(zhì)．
10．（1）GE＝4；（2）；（3）即為所求，作圖見解析
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點專練）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
（1）利用平行線分線段成比例定理解決問題，即可得到答案．
（2）根據(jù)向量的性質(zhì)，即可求出，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．
（3）如圖，延長CD到H，使得DH＝AG，連接AH．則即為所求．
【詳解】
（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，

∵DE＝2AE，
∴
∵CE＝8，
∴
∴GE＝4．
經(jīng)檢驗：符合題意．
（2）∵ ，DE∥BC，DE＝2AE，

∴
∴
∴；
（3）如圖，延長CD到H，使得DH＝AG，連接AH．
∵AE∥BC，

∴
∴
∴
∴
∴即為所求．
【點睛】
此題考查的是平行線分線段成比例、平面向量的性質(zhì)及運算、分式方程；掌握平面向量的性質(zhì)及運算是解決此題的關(guān)鍵．
11．（1）；（2）．
【來源】上海市虹口區(qū)2020-2021學年九年級上學期一模數(shù)學試題
分析：
（1）由G是重心，可得 ， ，因為，可得， 進而求出；
（2）根據(jù)G是重心，求出DG=3,因為△AGD是等腰直角三角形，勾股定理計算出AD=,由AD=DC,DC=3DE求出DE=,相加即可
【詳解】
解：（1）∵，
∵點G是Rt△ABC的重心，
∴AD＝AC，
∵，，
∴，
∴
∴，
（2）∵G是三角形的重心，
∴BG=2GD，AD=DC，
∵BG=6，
∴GD=3，
∵，，
∴AG=GD=3，
∴，
∵，
∴,
∴DE=,
∴AE=AD+DE=
【點睛】
本題考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行線分線段成比例定理；熟練掌握三角形重心的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，能夠熟練運用向量的運算、勾股定理解題是關(guān)鍵．
12．（1）或；（2）；（3）；（4）
【來源】上海市楊浦區(qū)2019-2020學年八年級下學期期末數(shù)學試題
分析：
（1）根據(jù)相反向量的定義判斷即可．
（2）利用三角形法則計算即可．
（3）利用三角形法則計算即可．
（4）利用三角形法則計算即可．
【詳解】
解：（1），，
四邊形是平行四邊形，
，
與互為相反的向量是或．
故答案為或．
（2）由題意，，
故答案為．
（3）由題意，，
故答案為．
（4）由題意，
故答案為．
【點睛】
本題考查平面向量，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
13．（1）；（2）見解析.
【來源】專題7.1 向量的線性運算-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學精選考點專項突破題集（上海專用）
分析：
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例，可得成比例的關(guān)系式，進而可求出FG的長；
（2）根據(jù)比例關(guān)系和線性向量可代入可求解.
【詳解】
（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=2，AD∥BC，
∵BE=EC，
∴，
∵FG∥BC，
∴，
∴FG=BC=．
（2）∵
∵BE∥AD，
∴AF：AE=DF：DB=2：3，
∴．
14．（1），；（2）見解析
【來源】上海市金山區(qū)2020-2021學年八年級下學期期末數(shù)學試題
分析：
（1）利用三角形法則求解即可．
（2）在射線CE上截取EF=BA,由，推出即為所求．
【詳解】
解：（1），，
故答案為：，．
（2）在射線CE上截取EF=BA,
，
即為所求．
【點睛】
本題考查作圖-復雜作圖，平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則解決問題，屬于中考?？碱}型．
15．（1），；（2）；（3）見解析
【來源】上海市徐匯區(qū)2020-2021學年八年級下學期期末數(shù)學試題
分析：
（1）證明，可得結(jié)論．
（2）連接，利用三角形法則求解即可．
（3）如圖，延長到，使得，連接即為所求．
【詳解】
解：（1）四邊形是平行四邊形，
，
，
，
與相等的向量為，．
故答案為：，．
（2）連接．
．
．
（3）如圖，延長到，使得，連接即為所求．
【點睛】
本題考查作圖復雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，平面向量，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則解決問題，屬于中考常考題型．
16．（1）；（2）；（3）見解析
【來源】上海市松江區(qū)2020-2021學年八年級下學期期末數(shù)學試題
分析：
（1）利用菱形的性質(zhì)以及三角形法則求解即可．
（2）連接交于點．解直角三角形求出，可得結(jié)論．
（3）如圖，延長到，使得，則，，利用三角形法則作出圖形即可．
【詳解】
解：（1）四邊形是菱形，
，，，
，
，
，
故答案為：．
（2）連接交于點．
四邊形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
（3）如圖，延長到，使得，連接，則四邊形是平行四邊形，，，
，
即為所求．
【點睛】
本題考查作圖復雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造平行四邊形解決問題，屬于中考常考題型．
17．（1），，；（2）見解析
【來源】上海市靜安區(qū)2020-2021學年八年級下學期期末數(shù)學試題
分析：
（1）首先證明四邊形是平行四邊形，推出，，再分別利用三角形法則求解即可．
（2）構(gòu)造平行四邊形，連接即可．
【詳解】
解：（1）如圖，設交于點．
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
故答案為：，，；
（2）如圖，作，且，連接，，則即為所求．
【點睛】
本題考查作圖復雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用三角形法則解決問題，屬于中考?？碱}型．
18．（1）①，；②見解析；（2）①；②
【來源】上海市崇明區(qū)2020-2021學年八年級下學期期末數(shù)學試題
分析：
（1）①利用三角形法則求解即可．
②根據(jù)，可得結(jié)論．
（2）①用樹狀圖列舉出所有情況，看兩次是“一紅一黃”情況占總情況的多少即可；
②根據(jù)摸出第一個小球之后不放回袋中，用樹狀圖列舉出所有情況，看兩次是“一紅一黃”情況占總情況的多少即可．
【詳解】
解：（1）四邊形是平行四邊形，
，，，．
①填空：，，
故答案為：，．
②，
即為所求．
（2）①畫樹狀圖如圖：
由樹形圖可得：共有16個等可能的結(jié)果，其中恰好是“一紅一黃”的結(jié)果有4個，
∴恰好是“一紅一黃”的概率為，
故答案為：；
②畫樹狀圖如圖：
由樹形圖可得：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好“一紅一黃”的結(jié)果有4種，
∴恰好是“一紅一黃”的概率為，
故答案為：．
【點睛】
本題考查作圖復雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考?？碱}型．
19．
【來源】2021年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學二模試題
分析：
過點作于．想辦法求出，，可得結(jié)論．
【詳解】
解：過點作于．
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
故答案為：．
【點睛】
本題考查梯形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形和向量的運算等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
20．（1）；（2）.
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
（1）由G是重心，可得， ， 因為，可得， 進而求出；
（2）根據(jù)G是重心，求出DG=3，因為△AGD是等腰直角三角形，勾股定理計算出AD=，由AD=DC，DC=3DE求出DE=，相加即可．
【詳解】
解：（1）∵，
∵點G是Rt△ABC的重心，
∴AD＝AC，
∵，，
∴，
∴
∴，
．
（2）∵G是三角形的重心，
∴BG=2GD，AD=DC，
∵BG=6，
∴GD=3，
∵，，
∴AG=GD=3，
∴，
∵，
∴，
∴DE=，
∴AE=AD+DE=
【點睛】
本題考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行線分線段成比例定理；熟練掌握三角形重心的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，能夠熟練運用向量的運算、勾股定理解題是關(guān)鍵．
21．（1）BF:DF=2：3，（2）．
【來源】上海市徐匯區(qū)2020-2021學年第一學期學習能力診斷卷九年級數(shù)學試卷（一模）
分析：
（1）先證?BFE～?DFA，得出 ，在利用角平分線的性質(zhì)進行等量代換，得到再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可求得答案．
（2）利用第（1）小問的結(jié)論，得到DF與DB的數(shù)量關(guān)系，進而得到與的關(guān)系，根據(jù)向量=即可求解．
【詳解】
（1）在中，
∵BC∥AD
∴∠BEA=∠DAE，
又∵∠BFE=∠DFA，
∴?BFE～?DFA，
∴ ，
又∵平分，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∴
又∵，．
∴
∴BF:DF=2：3
（2）∵BF:DF=2：3
∴DF=
∴=
∵BC∥ AD， BC=AD，，=，
∴
∴．
【點睛】
本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，平面向量的加減法等知識點，證明?BFE～?DFA并且進行等量代換、理解平面向量的加減法是解決本題的關(guān)鍵．
22．（1）；（2）見解析，
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
（1）首先證明，求出即可求解；
（2）證明，求出即可解決問題．
【詳解】
解（1）∵
∴
∴
∴；
（2）∵AE∥BC，
∴，
∴，
∴
如圖所示，在、上的分向量分別為和．
【點睛】
本題考查作圖—復雜作圖，平行線的性質(zhì)、平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，靈活運用所學知識點．
23．
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
根據(jù)平面向量的定義，既有方向，又有大小計算即可．
【詳解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】
本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
24．（1）點N和點A、B所構(gòu)成的三角形與相似，理由見解析；（2）
【來源】上海市黃浦區(qū)2020-2021學年九年級上學期一模數(shù)學試題
分析：
（1）設網(wǎng)格中小正方形的邊長為a，利用勾股定理求出各邊的長度，然后分類討論，根據(jù)三邊對應成比例的兩個三角形相似逐一判斷即可；
（2）延長AB至E，使BE=AB，根據(jù)向量加法的三角形法則計算即可．
【詳解】
解：（1）點N和點A、B所構(gòu)成的三角形與相似，理由如下：
設網(wǎng)格中小正方形的邊長為a，
則BC=a，AB=， AC=，其中BC＜AB＜AC
如下圖所示，連接BM、AM
則BM=，AM=，其中AB＜BM＜AM
∴，
∴≠
∴和不相似；
如下圖所示，連接AN
則BN=2a，AN=，其中AB＜BN＜AN
∴，，，
∴＝=
∴∽；
如下圖所示，連接BP
則BP=，AP=3，其中AB＜BP＜AP
∴，
∴≠
∴和不相似；
如下圖所示，連接BQ、AQ
則BQ=，AQ=，其中AB＜BQ＜AQ
∴，
∴≠
∴和不相似；
綜上：點N和點A、B所構(gòu)成的三角形與相似；
（2）延長AB至E，使BE=AB，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，點E正好落在格點上，如下圖所示
∴，
∴=＋
=．
【點睛】
此題考查的是勾股定理與網(wǎng)格問題、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法則是解題關(guān)鍵．
25．（1）；（2）見解析
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
（1）根據(jù)重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍，分析得到DE=BC，再根據(jù)向量的加法法則，首尾順次相連，由三角形法則即可求解；
（2）取AD的中點J，延長CB到I，使BI=DE，以BJ、BI為鄰邊作平行四邊形BJKI，邊接BK，則即是所求作的向量．
【詳解】
解：（1）如圖，連接AG并延長交BC于點F，則GF=AG，
，
，
，
， ，

（2），
，
作AD的中點J，
，
延長CB到I，使得BI=DE，
，
以BJ、BI為鄰邊作平行四邊形BJKI，則，
∴即是所求的求作的向量
【點睛】本題考查了向量的知識，掌握法則向量的平行四邊形法則，向量的三角形法則是解題的關(guān)鍵．
26．（1）；（2）；作圖見解析
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
（1）先求出AE占AC得幾分之幾，然后再根據(jù)向量運算的三角形法則計算即可；
（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CF占CD得幾分之幾，然后再根據(jù)向量運算的三角形法則以及平行四邊形法則計算并畫圖即可．
【詳解】
解：（1）∵平行四邊形中
∴AO=OC=AC
∵OE=EC=OC=AC
∴AE=AO+OC=AC+AC=AC
∵
∴；
故答案為；
（2）∵EC=AC,AE=AC
∴
∵平行四邊形
∴AB//CD
∴△FCE∽△BAE
∴,即FC=
∵AB//FC
∴,即
∴
故答案為：．
【點睛】
本題主要考査了平面向量的三角形法則、平行四邊形法則等知識，靈活運用向量運算的運算法則成為解答本題的關(guān)鍵．
27．（1）；（2）①；②作圖見解析．
【來源】上海市崇明區(qū)2020-2021學年九年級第一學期教學質(zhì)量調(diào)研數(shù)學測試卷（一模）
分析：
（1）先求出AB，再據(jù)平行線分線段成比例，寫出關(guān)于AE、AC、AD、AB的等比式，問題可解．
（2）①以AD，DE為邊作平行四邊形ADEF，，先再求得，據(jù)問題可解；②以BD、DE為邊作平行四邊形即可．
【詳解】
解：（1）∵，
∴，
∴．
（2）①如下圖
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
∴
又，
∴
∵四邊形ADEF是平行四邊形
∴
∴，
②如下圖，和是分別在、方向上的分向量．
28．（1）a=2，頂點；（2）
【來源】上海市奉賢區(qū)2020-2021學年九年級上學期期末數(shù)學試題（一模）
分析：
（1）根據(jù)對稱軸方程可求出a值，即可得出拋物線的解析式，化成二次函數(shù)的頂點式即可得頂點坐標；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式可得出A點坐標，根據(jù)B、P兩點坐標可得PB//OA，PB=2OA，可用a表示出PB，進而根據(jù)可表示出OB．
【詳解】
（1）∵對稱軸是直線，
∴，
解得：a=2，
∴拋物線的解析式為=，
∴頂點P坐標為（1，4）．
（2）∵，
∴當x=0時，y=3，
∴A（0，3），
∴OA=3，
∵P（1，4），B（1，-2），
∴PB//OA，PB=6，
∴PB=2OA，
∴，
∴．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及平行向量的計算，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及向量的運算法則是解題關(guān)鍵．
29．（1）；（2），
【來源】專題7.1 向量的線性運算-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學精選考點專項突破題集（上海專用）
分析：
（1）先證△CEG∽△CBA，再證△ECG∽△EFD，然后求解即可；
（2）先證，，再證，然后再由得出結(jié)論即可．
【詳解】
解：（1）∵AB∥GE，
∴∠B=∠DEC，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEG∽△CBA，
∴，
∴CE=2BE=4，
同理△ECG∽△EFD，
∴，
∴CE=2FC=4，
∴FC=2，
∴BF=BE+EC+FC=2+4+2=8；
（2），由（1）可知BE=CF=EC，
∴，，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點睛】
本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定與向量，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)與判定．
30．（1）；（2）．
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點專練）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
（1）由平行線的性質(zhì)得到△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，可得，即，根據(jù)可求出的值；
（2）根據(jù)可得，所以=，根據(jù)=，即可得出答案．
【詳解】
解：（1）∵，
∴∠AND=∠B，∠AND=∠AMB，∠ANE=∠AMC，∠AEN=∠C，
∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴=；
（2）∵，
∴，
∴==，
∵=，
∴．
【點睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，向量等相關(guān)知識．熟練掌握定理并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
31．（1），；（2）作圖見詳解 ．
【來源】上海市上海市上海交通大學附屬中學2020-2021學年九年級上學期期中數(shù)學試題
分析：
（1）由DE∥BC得到△EDA∽△CBA，由AE=AC，得到ED=BC，所以，根據(jù)向量加減法法則即可得到，；
（2）作DF∥AB交BC于G，由平行線分線段成比例性質(zhì)可知，在，上的分向量
【詳解】
（1）∵F為AC的中點，，∴，
∴
∵DE∥BC
∴△EDA∽△CBA
∵AE=AC，ED=BC
（2）作圖如下：作GF∥AB交BC于G，
∵F為AC中點，
∴ G為BC中點，F(xiàn)G=AB，
∴在上的分向量，
在上的分向量
【點睛】
本題考查平面向量與作圖問題，掌握向量的運算的法則，會用矢量的加法進行求解，掌握向量作圖的方法是解題關(guān)鍵
32．（1）；（2）
【來源】上海市民辦華二浦東實驗中學2020-2021學年九年級上學期期中數(shù)學試題
分析：
（1）由AD=DE=EB，DF∥BC，EG∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，易得，則可判定FG∥AB，即可證明平行四邊形；
（2）由DF∥BC，F(xiàn)G∥AB，根據(jù)（1）中線段的關(guān)系及向量的解法即可求得答案．
【詳解】
（1）證明：∵，
∴；
∵，，
∴，，
∴
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形．
（2）∵，，
∴，，
∴=，
即：；
故：=．
【點睛】
此題考查了平面向量的知識以及平行線分線段成比例定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．
33．
【來源】專題7.1 向量的線性運算-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學精選考點專項突破題集（上海專用）
分析：
過點A作交EF于點G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根據(jù)向量的三角形法則求出BH，即可得解．
【詳解】
解：如圖，過點A作交EF于點G，交BC于H
四邊形ADFG、GFCH、ADCH均為平行四邊形
，
若，
則
故答案為：．
【點睛】
本題考查了平面向量、梯形、平行四邊形與相似三角形相結(jié)合，關(guān)鍵在于作平行線表示出BH，熟記向量的平行四邊形法則和三角形法則是解題的關(guān)鍵．
34．
【來源】上海市嘉定區(qū)2018-2019學年九年級上期中數(shù)學試題
分析：
先畫出示意圖，然后可得MN是梯形ABCD的中位線，繼而可用若表示出．
【詳解】
解：示意圖如下：
∵CD=2AB，，
∴，
∵點M、N分別是腰AD、BC的中點，
∴MN是梯形ABCD的中位線，
∴．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了平面向量的知識及梯形的知識，解答本題的關(guān)鍵是判斷出MN是梯形ABCD的中位線，注意熟練掌握梯形中位線的性質(zhì)．
35．+．
【來源】滬教版八年級數(shù)學下第二十二章《四邊形》全章復習鞏固練習
分析：
首先由AM是△ABC的中線，即可求得的長，又由=+，即可求得答案．
【詳解】
解：∵AM是△ABC的中線，，
∴==
∵，
∴=+=+．
故答案為+．
36．
【來源】2021年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學二模試題
分析：
如圖，延長AE到H，使得EH=AE，連接BH，CH．求出，證明
即可解決問題．
【詳解】
如圖，延長AE到H，使得EH=AE，連接BH，CH．

∵AE=EH，BE=EC，
∴四邊形ABHC是平行四邊形，
∴AC=BH，AC∥BH，
∵，
∵G是重心，
∴，
∵AE=EH，
∴，
∴.
【點睛】
本題考查三角形的重心，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
37．=2-
【來源】2013屆上海市松江區(qū)九年級下學期3月月考數(shù)學試卷
解析：
試題分析：解：由題可知；=- ,=-.又D是BC的中點，∴=∴-=-∴=2-．
考點：向量的定義及向量的加減運算法則．
點評：本題屬于高中范疇，在課文必修4中主要考察學生對向量的三角形，平行四邊形加減運算法則的領會程度，對于初中生來說可不必做，高中生做起來很容易的，屬于基礎題．
38．．
【來源】2021年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學5月調(diào)研試題
分析：
利用平面向量的線性運算法則結(jié)合圖形計算即可．
【詳解】
如圖，連接AG交BC于T．
∵G是△ABC的重心，
∴BT＝CT，AG＝2GT，
∴，
∴，
∵GD∥AB，
∴，
∴BD＝BT，
∴．
故答案為：．
【點睛】
本題考查平面向量的線性運算．三角形的中線是三角形三條邊上的中線的交點，這是解題的關(guān)鍵．
39．
【來源】2021年上海市青浦區(qū)中考數(shù)學二模試題
分析：
利用三角形法則求出，再利用重心的性質(zhì)求出，利用三角形法則求出，再由DC＝BD可得結(jié)論．
【詳解】
解：∵＝＋，
∴＝＋，
∵G是△ABC的重心，
∴GD＝AG，
∴＝＋，
∴，
∴，
∵DC＝BD，
∴．
故答案為：．
【點睛】
本題考查平面向量的線性運算、三角形法則、三角形的重心，熟練掌握相關(guān)基本知識是解答的關(guān)鍵．
40．
【來源】2021年上海市金山區(qū)九年級第二學期期中質(zhì)量監(jiān)測（二模）數(shù)學試題
分析：
根據(jù)中線的性質(zhì)可得OA＝2OD，根據(jù)平面向量三角形法則可求出，進而求出，根據(jù)平面向量三角形法則即可得答案．
【詳解】
∵AD，BE是△ABC的中線，
∴OA＝2OD，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：
【點睛】
本題考查三角形的重心的性質(zhì)及平面向量的運算，熟練掌握重心的性質(zhì)及平面向量的運算法則是解題關(guān)鍵．
41．
【來源】2021年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學二模試題
分析：
根據(jù)三角形中位線定理和已知條件求得EF=BC；然后在△AEF中，利用三角形法則得到；最后易得．
【詳解】
解：如圖，在△ABC中，D、E分別為邊AB、AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，且EF=BC．
∵，
∴．
又∵EF＝DE，
∴．
∵，
∴．
∵點E是AC的中點，
∴．
故答案是：．
．
【點睛】
本題考查了三角形中位線定理，平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考?？碱}型．
42．
【來源】2021年上海市崇明區(qū)中考數(shù)學二模試題
分析：
利用三角形法則求出，再利用三角形重心的性質(zhì)求出即可．
【詳解】
解：如圖，
∵D是BC的中點，
∴，
∴，
∵G是重心，
∴GD＝AD，
∴，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了向量和三角形的重心等的有關(guān)知識，解決本題的關(guān)鍵是熟記向量的運算公式和三角形重心的性質(zhì)，考查了學生的計算能力．
43．
【來源】2021年上海市閔行區(qū)中考數(shù)學二模試題
分析：
在中，點D為中點，可以推出CD＝AB＝AD＝BD，由等邊三角形判定推出△ACD為等邊三角形，由翻折的性質(zhì)可△ECD為等邊三角形，∠EDC＝∠ACD＝60°，DE＝AC且DE//AC，即，根據(jù)向量的加法求出即可．
【詳解】
解：將沿直線翻折后，點A落在點E處，如圖，
在中，點D為中點，
∴CD＝AB＝AD＝BD，
∵，
∴△ACD為等邊三角形，
∵△ECD由△ACD沿CD翻折得，
∴△ECD為等邊三角形，
∴DE＝DC＝AC，∠EDC＝∠ACD＝60°
∴DE//AC，
∴
∵設，，
∴，即
∴
即＝，
故答案為：
【點睛】
本題考查了向量的加法運算，直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半，等邊三角形的判定，翻折的性質(zhì)，找出是解題的關(guān)鍵．
44．
【來源】2021年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學二模試題
分析：
根據(jù)∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，可證，則有，可得AB＝3，BD＝1，可求得，然后根據(jù) 求解即可．
【詳解】
解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴，
∴，
∴
∴AB＝3，
∴BD＝1，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
【點睛】
本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平面向量等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．
45．
【來源】上海市金山區(qū)2020-2021學年初三上學期數(shù)學一模
分析：
根據(jù)題意得，再求出，由即可求出結(jié)果．
【詳解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴．
故答案是：．
【點睛】
本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的計算方法．
46．
【來源】上海市浦東新區(qū)2020-2021學年初三上學期數(shù)學一模
分析：
根據(jù)計算即可．
【詳解】
解：∵，，
∴
，
故答案為： ．
【點睛】
此題考查了平面向量的知識．注意掌握三角形法則的應用是解決本題的關(guān)鍵．
47．
【來源】上海市靜安區(qū)2020-2021學年初三上學期數(shù)學一模
分析：
先證明△AOD∽△COB，推出=，求出，由三角形法則得出即可根據(jù)求出答案．
【詳解】
∵OB=2OD，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴=，
∴，
∵,
∴=，
故答案為：．
【點睛】
此題考查了平面向量的知識與相似三角形的判定及性質(zhì)，解題時注意三角形法則的應用．
48．
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
根據(jù)向量的線性運算以及實數(shù)與向量相乘的運算法則計算即可．
【詳解】
解：
=
=．
故答案為．
【點睛】
本題主要考查了向量的線性運算以及實數(shù)與向量相乘，掌握相關(guān)運算法則成為解答本題的關(guān)鍵．
49．
【來源】專題13 平面向量的線性運算（考點）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點微專題（上海專用）
分析：
由說明向量與向量是共線向量，又是同向向量，由，說明向量與向量是2倍關(guān)系，即，再利用和向量求向量即可
【詳解】
∵ ，，
∴
∴
故答案為：
【點睛】
本題考查方向相同的共線向量與向量的倍分關(guān)系，以及和向量問題，掌握方向相同的共線向量與向量的倍分關(guān)系，以及和向量，利用方向相同的共線向量進行線性計算，會利用平行四邊形法則求和向量是解題關(guān)鍵
50．
【來源】第七章 相似三角形（7）（向量的概念和線性運算）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學考點 核心考點清單（上海專用）
分析：
先去括號，然后進行向量的加減即可．
【詳解】
解：
故答案為：
【點睛】
本題考查了平面向量的知識，屬于基礎題，掌握向量的加減運算是關(guān)鍵．

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