考點一 中心對稱圖形的識別 考點二 畫已知圖形關(guān)于某點對稱的圖形
考點三 根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積、長度、角 考點四 中心對稱圖形規(guī)律問題
考點五 求關(guān)于原點對稱的點的坐標 考點六 已知兩點關(guān)于原點對稱，求參數(shù)
考點一 中心對稱圖形的識別
例題：（2022·四川成都·八年級期末）數(shù)學中的對稱之美無處不在，下列四幅常見的垃圾分類標志圖案不考慮文字說明中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．有害垃圾 B．可回收物 C．廚余垃圾 D．其他垃圾
【變式訓練】
1．（2022·北京門頭溝·八年級期末）下列關(guān)于奧運會的剪紙圖形中是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·廣東茂名·八年級期末）如圖，所給圖形中是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
考點二 畫已知圖形關(guān)于某點對稱的圖形
例題：（2022·寧夏石嘴山·九年級期末）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，的頂點均在格點上，點C的坐標為．
(1)畫出關(guān)于原點O的中心對稱圖形．
(2)將繞點A1逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，畫出，并直接寫出點C2的坐標．
【變式訓練】
1．（2021·甘肅天水·七年級期末）如圖，已知△ABC和過點O的兩條互相垂直的直線x、y．
(1)畫出△ABC關(guān)于點O對稱的△A1B1C1；
(2)畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的△A2B2C2．
2．（2022·遼寧鐵嶺·八年級期末）如圖，將置于平面直角坐標系中，，，．
(1)將向右平移6個單位長度得到，請畫出；
(2)以點O為對稱中心，畫出與成中心對稱的；
(3)若將繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標．
考點三 根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積、長度、角
例題：（2021·甘肅天水·七年級期末）如圖，△ABC和△DEF關(guān)于點O中心對稱，若OB=4，則OE的長為______．
【變式訓練】
1．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC和△DEC關(guān)于點C成中心對稱，若，，，則AE的長是____________．
2．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，直線、垂直相交于點，曲線關(guān)于點成中心對稱，點的對稱點是點，于點，于點．若，，則陰影部分的面積之和為__________．
考點四 中心對稱圖形規(guī)律問題
例題：（2022·江西上饒·九年級期末）如圖，平面直角坐標系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1于點B2成中心對稱，如此作下去，則△B2020A2021B2021的頂點A2021的坐標是___
【變式訓練】
1．（2022·山東青島·八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為，，．點M從坐標原點O出發(fā)，第一次跳躍到點，使得點與點O關(guān)于點A成中心對稱；第二次跳躍到點，使得點與點關(guān)于點B成中心對稱；第三次跳躍到點，使得點與點關(guān)于點C成中心對稱；第四次跳躍到點，使得點與點關(guān)于點A成中心對稱；…，依此方式跳躍，點的坐標是_________．
2．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，再作△B2A2B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱．
（1）直接寫出B1，B2，B3，的坐標分別為 ， ， ；
（2）連接A1B2，求A1B2的長．
考點五 求關(guān)于原點對稱的點的坐標
例題：（2021·四川綿陽·九年級階段練習）已知點M的坐標是(﹣3,4),則點M關(guān)于原點對稱的點的坐標是( )
A．(3,4)B．(3,﹣4)C．(﹣3,﹣4)D．(4,﹣3)
【變式訓練】
1．（2023·福建泉州·八年級期末）點關(guān)于原點對稱的點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江西贛州·九年級期末）已知點，點Q與點P關(guān)于原點對稱，則點Q的坐標是______．
考點六 已知兩點關(guān)于原點對稱，求參數(shù)
例題：（2022·湖南婁底·八年級期末）點和點關(guān)于原點對稱，則的值為（ ）
A．9B．C．1D．
【變式訓練】
1．（2022·福建福州·九年級期末）若點與點關(guān)于原點成中心對稱，則m的值是______．
2．（2022·全國·九年級課時練習）若點P（a，2）點Q（﹣4，b）關(guān)于原點對稱，則點M（a，b）在第___象限．
一、選擇題
1．（2022·四川廣元·九年級期末）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京通州·八年級期中）點關(guān)于坐標原點對稱的點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川巴中·八年級期末）在平面直角坐標系中，點與點關(guān)于原點對稱，則的值為（ ）
A．B．C．2D．4
4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）如圖，在平行四邊形中，點為對角線的交點，，過點的直線分別交和于點、，折疊平行四邊形后，點落在點處，點落在點處，若，則的長為（ ）
A．5B．4.5C．4D．3.5
二、填空題
5．（2021·廣東云浮·九年級期末）點關(guān)于原點的中心對稱點是__________．
6．（2022·江蘇·淮安市浦東實驗中學八年級期中）如圖，與關(guān)于點C成中心對稱，若，則______________．
7．（2022年山東省濟寧市創(chuàng)新聯(lián)盟第五次中考模擬數(shù)學試題）圖中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的個數(shù)為______．
8．（2022·湖南湘西·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點P（﹣3，5）與點Q（3，m﹣2）關(guān)于原點對稱，則m＝_____．
三、解答題
9．（2022·遼寧大連·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
(1)點C關(guān)于原點對稱的點的坐標為 ；
(2)畫出△ABC繞著點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形△A1B1C1，寫出△A1B1C1各頂點的坐標．
10．（2021·貴州·凱里市第四中學九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
(1)若△ABC經(jīng)過向右平移4個單位長度后得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出頂點A1，B1的坐標；
(2)若△ABC和△A2B2C2關(guān)于原點O中心對稱，畫出△A2B2C2，并寫出△A2B2C2各頂點的坐標；
(3)將△ABC繞著點O逆時針時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A3B3C3，畫出△A3B3C3，并寫出△A3B3C3各頂點的坐標．
11．（2022·山東淄博·七年級期末）如圖，在直角坐標系內(nèi)，已知點．
(1)圖中點B的坐標是 ；
(2)點B關(guān)于原點對稱的點D的坐標是 ；點A關(guān)于y軸對稱的點C的坐標是 ；
(3)四邊形ABCD的面積是 ；
(4)在y軸上找一點F，使，那么點F的坐標為 ．
12．（2022·吉林· 八年級期中）如圖①，在中，，．點P從點A出發(fā)，沿折線AB—BC以每秒個單位長度的速度向點C運動．同時點D從點C出發(fā)，沿CA以每秒2個單位長度的速度向點A運動，點P到達點C時，點P、D同時停止運動．當點P不與點A、C重合時，作點P關(guān)于直線AC的對稱點Q，連結(jié)PQ交AC于點E，連結(jié)DP、DQ．設點P的運動時間為t秒．
(1)線段AC的長度為_______；
(2)用含t的代數(shù)式表示線段DE的長；
(3)當為銳角三角形時，求t的取值范圍；
(4)如圖②，點P在BC上運動，點D運動到點E的上方，當?shù)拿娣e與的面積相等時，直接寫出t的值．
專題11 中心對稱
考點一 中心對稱圖形的識別 考點二 畫已知圖形關(guān)于某點對稱的圖形
考點三 根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積、長度、角 考點四 中心對稱圖形規(guī)律問題
考點五 求關(guān)于原點對稱的點的坐標 考點六 已知兩點關(guān)于原點對稱，求參數(shù)
考點一 中心對稱圖形的識別
例題：（2022·四川成都·八年級期末）數(shù)學中的對稱之美無處不在，下列四幅常見的垃圾分類標志圖案不考慮文字說明中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．有害垃圾 B．可回收物 C．廚余垃圾 D．其他垃圾
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【詳解】
解：既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
B.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：．
【點睛】
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
【變式訓練】
1．（2022·北京門頭溝·八年級期末）下列關(guān)于奧運會的剪紙圖形中是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【詳解】
解：選項A、B、C都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：D．
【點睛】
本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．（2022·廣東茂名·八年級期末）如圖，所給圖形中是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，進而判斷得出答案．
【詳解】
A. 不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C. 是中心對稱圖形，故此選項合題意；
D. 不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
故選C
【點睛】
本題考查的是中心對稱圖形的概念，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
考點二 畫已知圖形關(guān)于某點對稱的圖形
例題：（2022·寧夏石嘴山·九年級期末）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，的頂點均在格點上，點C的坐標為．
(1)畫出關(guān)于原點O的中心對稱圖形．
(2)將繞點A1逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，畫出，并直接寫出點C2的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)見解析，點C2的坐標為（2，1）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)確定各對應點，順次連線即可得到圖形；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定各對應點，順次連線即可得到圖形及對應點的坐標．
（1）解：如圖，即為所求；
（2）如圖，即為所求；點C2的坐標為（2，1）．
【點睛】
此題考查中心對稱的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是正確解題的關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．（2021·甘肅天水·七年級期末）如圖，已知△ABC和過點O的兩條互相垂直的直線x、y．
(1)畫出△ABC關(guān)于點O對稱的△A1B1C1；
(2)畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的△A2B2C2．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；
（2）分別作出A，B，C的對應點A2，B2，C2即可．
（1）解：如圖，為所作：；
（2）解：如圖，為所作．
【點睛】
本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，中心對稱等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．
2．（2022·遼寧鐵嶺·八年級期末）如圖，將置于平面直角坐標系中，，，．
(1)將向右平移6個單位長度得到，請畫出；
(2)以點O為對稱中心，畫出與成中心對稱的；
(3)若將繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）先將點A、B、C分別平移，然后順次連接即可；
（2）先找出點、、關(guān)于原點O的對稱點，然后順次連接即可；
（3）連接B，C，交于一點即為旋轉(zhuǎn)中心，直接讀出坐標即可．
（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）如圖所示，即為所求；
（3）連接B，C，交于一點即為旋轉(zhuǎn)中心，∴旋轉(zhuǎn)中心為（-3，0）．
【點睛】
題目主要考查圖形的平移及中心對稱圖形的作法，旋轉(zhuǎn)中心的確定，熟練掌握圖形的平移及中心對稱圖形的作法是解題關(guān)鍵．
考點三 根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積、長度、角
例題：（2021·甘肅天水·七年級期末）如圖，△ABC和△DEF關(guān)于點O中心對稱，若OB=4，則OE的長為______．
【答案】4
【解析】
【分析】
利用中心對稱圖形的性質(zhì)解決問題即可．
【詳解】
解：∵△ABC和△DEF關(guān)于點O中心對稱，
∴點B與點E關(guān)于點O中心對稱，
∴OB=OE，
∵OB=4，
∴OE=4，
故答案為：4．
【點睛】
本題考查中心對稱等知識，解題的關(guān)鍵熟練掌握中心對稱的性質(zhì)．用到的知識點：關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分．
【變式訓練】
1．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC和△DEC關(guān)于點C成中心對稱，若，，，則AE的長是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)中心對稱的性質(zhì)AB=DE，DC=AC及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的長．
【詳解】
解：∵△DEC與△ABC關(guān)于點C成中心對稱，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝1，AC＝DC＝，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝1，
∵∠D＝90°，
∴AE＝，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了中心對稱的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟記中心對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，直線、垂直相交于點，曲線關(guān)于點成中心對稱，點的對稱點是點，于點，于點．若，，則陰影部分的面積之和為__________．
【答案】12.
【解析】
【分析】
根據(jù)中心對稱圖形的概念，以及長方形的面積公式即可解答．
【詳解】
解：如圖，
∵直線a、b垂直相交于點O，曲線C關(guān)于點O成中心對稱，點A的對稱點是點A'，AB⊥a于點B，A'D⊥b于點D，OB=4，OD=3，
∴AB=3，
∴圖形①與圖形②面積相等，
∴陰影部分的面積之和=長方形ABOE的面積=4×3=12．
故答案為12．
【點睛】
本題主要考查了長方形的面積及中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
考點四 中心對稱圖形規(guī)律問題
例題：（2022·江西上饒·九年級期末）如圖，平面直角坐標系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1于點B2成中心對稱，如此作下去，則△B2020A2021B2021的頂點A2021的坐標是___
【答案】
【解析】
【分析】
首先根據(jù)△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，可得A1的坐標為(1，)，B1的坐標為(2，0)；然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，分別求出點A2、A3、A4的坐標各是多少；最后總結(jié)出An的坐標的規(guī)律，求出A2021的坐標是多少即可．
【詳解】
解：∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，
∴A1的坐標為(1，)，B1的坐標為(2，0)，
∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，
∴點A2與點A1關(guān)于點B1成中心對稱，
∵，，
∴點A2的坐標是，
∵△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱，
∴點A3與點A2關(guān)于點B2成中心對稱，
∵，，
∴點A3的坐標是，
∵△B3A4B4與△B3A3B2關(guān)于點B3成中心對稱，
∴點A4與點A3關(guān)于點B3成中心對稱，
∵，
∴點A4的坐標是，
……，
∴An的橫坐標是：2n-1，
當n為奇數(shù)時，An的縱坐標是，當n為偶數(shù)時，An的縱坐標是，
∴頂點A2021的坐標是，
故答案為：．
【點睛】
此題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標特點、坐標與圖形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和中心對稱的性質(zhì)，通過找規(guī)律判斷出An的橫坐標和縱坐標是解題的關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．（2022·山東青島·八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為，，．點M從坐標原點O出發(fā)，第一次跳躍到點，使得點與點O關(guān)于點A成中心對稱；第二次跳躍到點，使得點與點關(guān)于點B成中心對稱；第三次跳躍到點，使得點與點關(guān)于點C成中心對稱；第四次跳躍到點，使得點與點關(guān)于點A成中心對稱；…，依此方式跳躍，點的坐標是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出點、、的坐標，發(fā)現(xiàn)每三個點循環(huán)一次，即每跳動三次就會回到原點O，用，所以正好在原點，即可得出的坐標．
【詳解】
解：∵點M從坐標原點O出發(fā)，第一次跳躍到點M1，點M1與點O關(guān)于點A成中心對稱，點的坐標為（1，1），
點的坐標為（2，2），
點與點M1關(guān)于點B成中心對稱，點的坐標為（3，0），
點的坐標為（4，-2），
點與點M2關(guān)于點C成中心對稱，點C的坐標為（2，-1），
點的坐標為（0，0），
點又回到了原點，
∴按照此規(guī)律跳躍，每三個點循環(huán)一次，
，
∴點正好在原點，
∴點的坐標為（0，0）．
故答案為：（0，0）．
【點睛】
本題主要考查了規(guī)律探究、點的坐標以及中心對稱的性質(zhì)，找出變化規(guī)律，確定每3個點循環(huán)一次是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，再作△B2A2B3與△B2A2B1關(guān)于點B2成中心對稱．
（1）直接寫出B1，B2，B3，的坐標分別為 ， ， ；
（2）連接A1B2，求A1B2的長．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由題意易得，然后問題可求解；
（2）過點作軸于點H，由題意易得，則有，然后根據(jù)勾股定理可求解．
【詳解】
解：（1）∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，
∴，
∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點B1成中心對稱，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
故答案為；
（2）過點作軸于點H，如圖所示：
∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在中，．
【點睛】
本題主要考查平面直角坐標系中點的坐標、等邊三角形的性質(zhì)、中心對稱的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．
考點五 求關(guān)于原點對稱的點的坐標
例題：（2021·四川綿陽·九年級階段練習）已知點M的坐標是(﹣3,4),則點M關(guān)于原點對稱的點的坐標是( )
A．(3,4)B．(3,﹣4)C．(﹣3,﹣4)D．(4,﹣3)
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的特征作答即可．
【詳解】
由于關(guān)于原點對稱的點橫、縱坐標互為相反數(shù)，
則點M關(guān)于原點對稱的點的坐標是(3,﹣4)．
故選B．
【點睛】
本題考查關(guān)于原點對稱的點的特征，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握該特征．
【變式訓練】
1．（2023·福建泉州·八年級期末）點關(guān)于原點對稱的點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)，據(jù)此判斷即可．
【詳解】
根據(jù)“關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)”可知：
點關(guān)于原點對稱的點的坐標是（-2，-3）．
故選：C．
【點睛】
本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，利用關(guān)于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)．
2．（2022·江西贛州·九年級期末）已知點，點Q與點P關(guān)于原點對稱，則點Q的坐標是______．
【答案】
【解析】
【分析】
直角坐標系上一點（x，y）關(guān)于原點對稱的點為（-x，-y）．
【詳解】
解：∵直角坐標系上一點（x，y）關(guān)于原點對稱的點為（-x，-y），
∴點Q的坐標為，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了坐標與圖形－原點對稱，解題的關(guān)鍵是熟知直角坐標系上一點（x，y）關(guān)于原點對稱的點為（-x，-y）．
考點六 已知兩點關(guān)于原點對稱，求參數(shù)
例題：（2022·湖南婁底·八年級期末）點和點關(guān)于原點對稱，則的值為（ ）
A．9B．C．1D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標均互為相反數(shù)可求出的值，再代入計算即可得．
【詳解】
解：點和點關(guān)于原點對稱，
，即，
則，
故選：D．
【點睛】
本題考查了關(guān)于原點對稱的點坐標規(guī)律，熟練掌握關(guān)于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標均互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．（2022·福建福州·九年級期末）若點與點關(guān)于原點成中心對稱，則m的值是______．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)，可得答案．
【詳解】
解：∵點與點關(guān)于原點成中心對稱，
∴m=-3，
故答案為：-3．
【點睛】
本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，關(guān)于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)．
2．（2022·全國·九年級課時練習）若點P（a，2）點Q（﹣4，b）關(guān)于原點對稱，則點M（a，b）在第___象限．
【答案】四
【解析】
【分析】
根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別互為相反數(shù)，求出點M的坐標，再根據(jù)各個象限的點的坐標的符號特點判斷即可．
【詳解】
解：∵點P（a，2）點Q（﹣4，b）關(guān)于原點對稱，
∴a＝4，b＝﹣2，
則點M（4，﹣2）在第四象限．
故答案為：四．
【點睛】
此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)以及各象限點的坐標特征，正確掌握各象限內(nèi)點的坐標特征是解題關(guān)鍵．四個象限的符號特點分別是：第一象限（＋，＋）；第二象限（?，＋）；第三象限（?，?）；第四象限（＋，?）．
一、選擇題
1．（2022·四川廣元·九年級期末）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【詳解】
解：A．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選項符合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A．
【點睛】
本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．（2022·北京通州·八年級期中）點關(guān)于坐標原點對稱的點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
讓兩點的橫縱坐標均互為相反數(shù)可得所求的坐標．
【詳解】
解：兩點關(guān)于原點對稱，
橫坐標為1，縱坐標為．
故選：B．
【點睛】
考查關(guān)于原點對稱的坐標的特點：兩點的橫坐標互為相反數(shù)；縱坐標互為相反數(shù)．
3．（2022·四川巴中·八年級期末）在平面直角坐標系中，點與點關(guān)于原點對稱，則的值為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)：橫坐標和縱坐標都互為相反數(shù)得出a，b的值，進而得出答案．
【詳解】
解：∵點與點關(guān)于原點對稱，
∴b=3，a=-1，
∴a+b=2．
故選：C．
【點睛】
此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．
4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）如圖，在平行四邊形中，點為對角線的交點，，過點的直線分別交和于點、，折疊平行四邊形后，點落在點處，點落在點處，若，則的長為（ ）
A．5B．4.5C．4D．3.5
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心為對角線的交點，則，再根據(jù)平行線四邊形的性質(zhì)，可知，繼而即可求得
【詳解】
平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心為對角線的交點，根據(jù)題意，則
則點和點關(guān)于中心對稱
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
故選C．
【點睛】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，中心對稱圖形的性質(zhì)，理解中心對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．中心對稱圖形性質(zhì)：①對稱中心平分中心對稱圖形內(nèi)通過該點的任意線段且使中心對稱圖形的面積被平分②成中心對稱的兩個圖形全等．
二、填空題
5．（2021·廣東云浮·九年級期末）點關(guān)于原點的中心對稱點是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)關(guān)于原點的中心對稱點坐標變化規(guī)律解答即可．
【詳解】
解：點關(guān)于原點的中心對稱點是，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了關(guān)于原點的中心對稱點坐標變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是知道關(guān)于原點的中心對稱點的橫縱坐標與原來點的橫縱坐標互為相反數(shù)．
6．（2022·江蘇·淮安市浦東實驗中學八年級期中）如圖，與關(guān)于點C成中心對稱，若，則______________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根據(jù)中心對稱的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】
∵△ABC與△DEC關(guān)于點C成中心對稱，
∴CA=CD，CB=CE，
∵∠ACB=∠DCE
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE，
∵AB=4，
∴DE=4，
故答案為：4．
【點睛】
本題考查中心對稱，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
7．（2022年山東省濟寧市創(chuàng)新聯(lián)盟第五次中考模擬數(shù)學試題）圖中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的個數(shù)為______．
【答案】0
【解析】
【詳解】
解：①不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
②不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
③不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
④是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
⑤不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．
故答案為：0
【點睛】
本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
8．（2022·湖南湘西·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點P（﹣3，5）與點Q（3，m﹣2）關(guān)于原點對稱，則m＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即求關(guān)于原點的對稱點時，橫、縱坐標都變成原數(shù)的相反數(shù)．
【詳解】
解：根據(jù)、兩點關(guān)于原點對稱，則橫、縱坐標均互為相反數(shù)，
，
，
故答案為：．
【點睛】
本題主要考查了平面直角坐標系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱時橫、縱坐標均互為相反數(shù)這一特征，熟練掌握該特征是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
9．（2022·遼寧大連·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
(1)點C關(guān)于原點對稱的點的坐標為 ；
(2)畫出△ABC繞著點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的圖形△A1B1C1，寫出△A1B1C1各頂點的坐標．
【答案】(1)（1．-3）．
(2)畫圖見解析，A1（5，3），B1（1，2），C1（3，1）．
【解析】
【分析】
（1）關(guān)于原點對稱的兩個點，橫坐標，縱坐標都互為相反數(shù)，根據(jù)原理可直接得到答案；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可．
(1)
解：點C（-1，3）關(guān)于原點的對稱點的坐標為（1，-3）．
故答案為：（1．-3）．
(2)
如圖，△A1B1C1即為所求，
∴A1（5，3），B1（1，2），C1（3，1）．
【點睛】
本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，中心對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
10．（2021·貴州·凱里市第四中學九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
(1)若△ABC經(jīng)過向右平移4個單位長度后得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出頂點A1，B1的坐標；
(2)若△ABC和△A2B2C2關(guān)于原點O中心對稱，畫出△A2B2C2，并寫出△A2B2C2各頂點的坐標；
(3)將△ABC繞著點O逆時針時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A3B3C3，畫出△A3B3C3，并寫出△A3B3C3各頂點的坐標．
【答案】(1)見解析；A1（1，5），B1（2，1）
(2)見解析；A2（3，-5），B2（2，-1），C2（1，-3）
(3)見解析；A3（-5，-3），B3（-1，-2），C3（-3，-1）
【解析】
【分析】
（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；
（2）根據(jù)中心對稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A2，B2，C2即可；
（3）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A3，B3，C3．
(1)
解：如圖，△A1B1C1即為所求，A1（1，5），B1（2，1）；
;
(2)
解：如圖，△A2B2C2即為所求，A2（3，-5），B2（2，-1），C2（1，-3）；
(3)
解：如圖，△A3B3C3即為所求，A3（-5，-3），B3（-1，-2），C3（-3，-1）．
【點睛】
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，中心對稱變換，平移變換的運用，解題時注意：確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離．決定圖形旋轉(zhuǎn)后位置的因素有：旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心．
11．（2022·山東淄博·七年級期末）如圖，在直角坐標系內(nèi)，已知點．
(1)圖中點B的坐標是 ；
(2)點B關(guān)于原點對稱的點D的坐標是 ；點A關(guān)于y軸對稱的點C的坐標是 ；
(3)四邊形ABCD的面積是 ；
(4)在y軸上找一點F，使，那么點F的坐標為 ．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)8；
(4)或．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)坐標的意義即可得出B的坐標；
（2）根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱與y軸對稱的關(guān)系分別得到點D與點C的坐標；
（3）根據(jù)，利用坐標即可求出；
（4）設，依據(jù)題意，即可求出y，最后得出點F的坐標．
(1)
解：過點B作x軸的垂線，垂足所對應的數(shù)為-3，因此點B的橫坐標為-3，過點B作y軸的垂線，垂足所對應的數(shù)為4，因此點B的縱坐標為4，
點，
故答案為：；
(2)
如圖：由于關(guān)于原點對稱的兩個點的橫縱坐標均互為相反數(shù)，
∴點關(guān)于原點對稱點，
由于關(guān)于y軸對稱的兩個點，其橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，
∴關(guān)于y軸對稱點，
故答案為：，；
(3)
由題意可知，如圖：
故答案為：8；
(4)
如圖：設，由（3）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
得y=1或-3，
∴點或，
故答案為：或．
【點睛】
此題考查了點的坐標，關(guān)于原點對稱、y軸對稱的點坐標的關(guān)系，絕對值以及利用坐標求相應圖形的面積等相關(guān)內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是將坐標轉(zhuǎn)化為線段的長．
12．（2022·吉林· 八年級期中）如圖①，在中，，．點P從點A出發(fā)，沿折線AB—BC以每秒個單位長度的速度向點C運動．同時點D從點C出發(fā)，沿CA以每秒2個單位長度的速度向點A運動，點P到達點C時，點P、D同時停止運動．當點P不與點A、C重合時，作點P關(guān)于直線AC的對稱點Q，連結(jié)PQ交AC于點E，連結(jié)DP、DQ．設點P的運動時間為t秒．
(1)線段AC的長度為_______；
(2)用含t的代數(shù)式表示線段DE的長；
(3)當為銳角三角形時，求t的取值范圍；
(4)如圖②，點P在BC上運動，點D運動到點E的上方，當?shù)拿娣e與的面積相等時，直接寫出t的值．
【答案】(1)12
(2)
(3)當或時，為銳角三角形；
(4)t的值為3或．
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求解；
（2）分三種情況：當時，P在AB上；當時，P在BC上，D在E下方，當時，P在BC上，D在E上方來分別求解；
（3）求出當是等腰直角三角形時，t的值，即可得當或時，為銳角三角形；
（4）過D作于K，分別表示出，，列方程即可得到答案．
(1)
解：∵，，
∴．
故答案為：12；
(2)
解：當，P在AB上，如下圖．
∵點P關(guān)于直線AC的對稱點Q，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
當時，P在BC上，D在E下方，如下圖．
∵，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴，
而，
∴，
當時，P在BC上，D在E上方，如下圖．
∵，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴，
而，
∴．
綜上所述，；
(3)
解：當是等腰直角三角形時，則，
當點P在線段AB上時，如下圖．
此時，
由（2）知，
∴，
∴，
當點P在線段BC上時，如下圖．
此時，
由（2）知，
∴，
解得，
∴或時，為銳角三角形；
(4)
解：過D作于K，如下圖．
∵，是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得或．
即t的值為3或．
【點睛】
本題考查等腰直角三角形中的幾何變換，涉及勾股定理，三角形面積，動點問題等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應用對稱的性質(zhì)及等腰直角三角形三邊的關(guān)系．

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