第I卷（選擇題）
一、單選題
1．(2023·上海九年級專題練習(xí)）對于銳角，下列等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）如果是銳角，則下列成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·上海普陀區(qū)·九年級期末）已知在中，，，那么下列說法中正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·上海普陀區(qū)·九年級一模）在中，，，下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·上海九年級期中）在中，，下列等式中正確的是( )
A．B．C．D．
7．(2023·上海九年級課時練習(xí)）如圖，直徑為10的⊙A山經(jīng)過點C(0，5)和點0(0，0)，B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，則∠OBC的余弦值為( )
A．B．C．D．
8．(2023·上海九年級專題練習(xí)）已知在 Rt ABC 中， ?C ? 90°，AC? 8, BC ? 15 ，那么下列等式正確的是（ ）
A．B．csA=C．tan A =D．ct A=
第II卷（非選擇題）
二、解答題
9．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級其他模擬）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2與y軸相交于點A，頂點B在第二象限內(nèi)，AP⊥AB，交x軸于點P，tan∠APB＝2，點P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求點B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)m＝2時，求拋物線的表達(dá)式；
（3）如果拋物線的對稱軸與x軸相交于點C，且四邊形ACBP是梯形，求m的值．
10．(2023·上海青浦區(qū)·九年級二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋3的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，對稱軸是直線x＝1，頂點是點D．
（1）求該拋物線的解析式和頂點D的坐標(biāo)；
（2）點P為該拋物線第三象限上的一點，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時，求點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點E為x軸正半軸上的一點，當(dāng)tan（∠PBO＋∠PEO）＝時，求OE的長．
11．(2023·上海崇明區(qū)·九年級二模）如圖1，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，點F在邊AD上，EF⊥BD，垂足為G．
（1）如圖2，當(dāng)矩形ABCD為正方形時，求的值；
（2）如果＝，AF＝x，AB＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；
（3）如果AB＝4cm，以點A為圓心，3cm長為半徑的⊙A與以點B為圓心的⊙B外切．以點F為圓心的⊙F與⊙A、⊙B都內(nèi)切．求的值．
12．(2023·全國九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于，兩點，點，分別位于原點的左、右兩側(cè)，，過點的直線與軸正半軸和拋物線的交點分別為，，．
（1）求，的值；
（2）求直線的函數(shù)解析式；
（3）點在拋物線的對稱軸上且在軸下方，點在射線上，當(dāng)與相似時，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．
13．(2023·全國九年級專題練習(xí)）在中，，，點為中點，點為邊上不與端點重合的一動點，將沿折疊得，點的對應(yīng)點為點，若，則的長為__________．
14．(2023·全國九年級單元測試）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖（1），是的外接圓，點是邊上的一點，且是等邊三角形．與交于點，以為圓心、為半徑的圓交于點，連接．
（1）_____；
（2）線段、有何大小關(guān)系？證明你的猜想．
拓展應(yīng)用：如圖（2），是等邊三角形，點是延長線上的一點．點是的外接圓圓心，與相交于點．如果等邊三角形的邊長為2,請直接寫出的最小值和此時的度數(shù)．
15．(2023·全國九年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)活動﹣旋轉(zhuǎn)變換
（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC=130°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△A′B′C，連接BB′，求∠A′B′B的大??；
（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，連接BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓．
（Ⅰ）猜想：直線BB′與⊙A′的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）連接A′B，求線段A′B的長度；
（3）如圖③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，連接A′B和BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓，問：角α與角β滿足什么條件時，直線BB′與⊙A′相切，請說明理由，并求此條件下線段A′B的長度（結(jié)果用角α或角β的三角函數(shù)及字母m、n所組成的式子表示）
三、填空題
16．(2023·上海黃浦區(qū)·）已知一個銳角的正切值比余切值大，且兩者之和是，則這個銳角的正切值為________．
17．(2023·全國）如圖，在矩形中，，，對角線，交于點，點是邊上一動點．將沿翻折得到，交于點，且點在下方，連接．當(dāng)是直角三角形時，的周長為_______________________．
18．(2023·全國九年級單元測試）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cs∠EAF=，則CF=______．
19．(2023·全國九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，， P為對角線AC上一動點，過線段BP上的點M作，交AB邊于點E，交BC邊于點 F，點N為線段EF的中點，若四邊形BEPF的面積為18，則線段BN的最大值為 ________ ．
20．(2023·全國九年級專題練習(xí)）已知sinα＜csα，則銳角α的取值范圍是________．
專題06同角三角函數(shù)關(guān)系重難點專練（解析版）
第I卷（選擇題）
一、單選題
1．(2023·上海九年級專題練習(xí)）對于銳角，下列等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:A
分析：
根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系逐一判斷即可．
【詳解】
解：A．，故本選項正確；
B．，故本選項錯誤；
C． ，故本選項錯誤；
D． ，故本選項錯誤．
故選A．
【點睛】
此題考查的是同角的三角函數(shù)關(guān)系，掌握同角的三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2．(2023·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）如果是銳角，則下列成立的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
根據(jù)正弦函數(shù)是對邊比斜邊，余弦函數(shù)是鄰邊比斜邊，三角形的兩邊之和大于第三邊，可得答案.
【詳解】
解：∵a、b是直角邊，c是斜邊，
∴sin+cs=+=，
∵a+b>c，
∴>1，
∴.
故選B.
【點睛】
本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用正弦函數(shù)是對邊比斜邊，余弦函數(shù)是鄰邊比斜邊是解題關(guān)鍵.
3．(2023·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)正切的定義和同角的正切值相同即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：如下圖所示
在Rt中，=，故A不符合題意；
在Rt中，=，故B不符合題意；
∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°
∴∠A=∠BCD
∴=tan∠BCD=，故C不符合題意；
≠，故D符合題意．
故選D．
【點睛】
此題考查的是正切，掌握正切的定義和同角的正切值相同是解決此題的關(guān)鍵．
4．(2023·上海普陀區(qū)·九年級期末）已知在中，，，那么下列說法中正確的是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解答．
【詳解】
在Rt△ABC中，∠C=90°，，則csA=
A、csB=sinA=，故本選項符合題意．
B、ctA= ．故本選項不符合題意．
C、tanA= ．故本選項不符合題意．
D、ctB=tanA= ．故本選項不符合題意．
故選：A．
【點睛】
此題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵在于掌握（1）平方關(guān)系：sin2A+cs2A=1；（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比.
5．(2023·上海普陀區(qū)·九年級一模）在中，，，下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:C
分析：
直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系分別計算得出答案．
【詳解】
∵，，
∴，
∴，
故選項A，B錯誤，
∵，
∴，
故選項C正確；選項D錯誤．
故選C．
【點睛】
此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，熟練掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
6．(2023·上海九年級期中）在中，，下列等式中正確的是( )
A．B．C．D．
答案:C
分析：
根據(jù)勾股定理可以將直角三角形的第三邊求出來，然后再根據(jù)三角函數(shù)的求法根據(jù)每個選項進(jìn)行一一驗證即可得出答案.
【詳解】
如圖，根據(jù)中，，，
可得：，
A. ,故A錯誤；
B. ，故B錯誤；
C. ，故C正確；
D. ，故D錯誤.
故答案選C.
【點睛】
本題考查利用勾股定理以及三角函數(shù)解直角三角形，熟記各個三角函數(shù)的求值方法，并區(qū)分是解題關(guān)鍵，在做題時最好畫一個直角三角形進(jìn)行輔助.
7．(2023·上海九年級課時練習(xí)）如圖，直徑為10的⊙A山經(jīng)過點C(0，5)和點0(0，0)，B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，則∠OBC的余弦值為( )
A．B．C．D．
答案:C
分析：
連接CD，由直徑所對的圓周角是直角，可得CD是直徑；由同弧所對的圓周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的長可求出sin∠ODC.
【詳解】
設(shè)⊙A交x軸于另一點D，連接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD為直徑，
∵直徑為10，
∴CD=10，
∵點C（0，5）和點O（0，0），
∴OC=5，
∴sin∠ODC= = ，
∴∠ODC=30°，
∴∠OBC=∠ODC=30°，
∴cs∠OBC=cs30°= ．
故選C.
【點睛】
此題考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的知識.注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
8．(2023·上海九年級專題練習(xí)）已知在 Rt ABC 中， ?C ? 90°，AC? 8, BC ? 15 ，那么下列等式正確的是（ ）
A．B．csA=C．tan A =D．ct A=
答案:D
分析：
根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行作答.
【詳解】
由勾股定理知，AB=17；A. ,所以A錯誤；B.，所以，B錯誤；C.，所以，C錯誤；D.=，所以選D.
【點睛】
本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是本題解題關(guān)鍵.
第II卷（非選擇題）
二、解答題
9．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級其他模擬）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2與y軸相交于點A，頂點B在第二象限內(nèi)，AP⊥AB，交x軸于點P，tan∠APB＝2，點P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求點B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)m＝2時，求拋物線的表達(dá)式；
（3）如果拋物線的對稱軸與x軸相交于點C，且四邊形ACBP是梯形，求m的值．
答案:（1）點B的坐標(biāo)為（﹣4，2m﹣2）；（2）y＝﹣x2﹣2x﹣2；（3）m＝．
分析：
（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2與y軸相交于點A，可得A（0，-2），過點A作x軸的平行線交過點B與y軸的平行線于點M，交過點P與y軸的平行線于點N，證Rt△BMA∽Rt△ANP，結(jié)合tan∠APB＝2，可得BM和AM的長，即可求得B點坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m＝2時，則頂點B的坐標(biāo)為（﹣4，2），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x+4）2+2，將A點代入，即可求得拋物線的表達(dá)式；
（3）利用待定系數(shù)法求直線AC的表達(dá)式，利用四邊形ACBP是梯形，AC∥BP，求直線BP的表達(dá)式，代入B點和P點的坐標(biāo)求解m．
【詳解】
（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2與y軸相交于點A，
∴A（0，-2）
過點A作x軸的平行線交過點B與y軸的平行線于點M，交過點P與y軸的平行線于點N，
∵∠BAM+∠PAN＝90°，∠PAN+∠APN＝90°，
∴∠BAM＝∠APN，
∴Rt△BMA∽Rt△ANP，
∵tan∠APB＝2，
∴兩個三角形相似比為2，
則BM＝2AN＝2m，AM＝2PN＝2OA＝4，
則點B的坐標(biāo)為（﹣4，2m﹣2）；
（2）當(dāng)m＝2時，則頂點B的坐標(biāo)為（﹣4，2）
設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x+4）2+2，
將點A的坐標(biāo)代入上式得：﹣2＝a（0+4）2+2，解得a＝，
故拋物線的表達(dá)式為y＝（x+4）2+2＝x2﹣2x﹣2；
（3）如上圖，點C的坐標(biāo)為（﹣4，0）
設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝sx+t，則，解得
故直線AC的表達(dá)式為y＝x﹣2，
∵四邊形ACBP是梯形，
故直線AC∥BP，
故設(shè)直線BP的表達(dá)式為y＝x+p，
將點P的坐標(biāo)代入上式得：0＝m+p，
將點B的坐標(biāo)代入上式得：2m﹣2＝，
解得m＝．
【點睛】
本題是二次函數(shù)與幾何綜合．涉及相似三角形的性質(zhì)和證明、三角函數(shù)、梯形的性質(zhì)以及一次函數(shù)等相關(guān)知識．是一道綜合性較強的大題．
10．(2023·上海青浦區(qū)·九年級二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋3的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，對稱軸是直線x＝1，頂點是點D．
（1）求該拋物線的解析式和頂點D的坐標(biāo)；
（2）點P為該拋物線第三象限上的一點，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時，求點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點E為x軸正半軸上的一點，當(dāng)tan（∠PBO＋∠PEO）＝時，求OE的長．
答案:（1）y＝﹣（x﹣1）2＋4，（1，4）；（2）（﹣2，﹣5）；（3）
分析：
（1）把A（﹣1，0）代入拋物線的解析式，再由對稱軸x＝＝1，列方程組求出a、b的值；
（2）四邊形PBDC為梯形時，則PB∥CD；先求CD所在直線的解析式，再根據(jù)兩個一次函數(shù)一般式中的k值相等求直線PB的解析式且與拋物線的解析式組成方程，解方程組求出點P的坐標(biāo)；
（3）過點P作x軸的垂線，構(gòu)造以P為頂點且一個銳角的正切值為的直角三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)求OE的長．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意，得，解得，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2＋2x＋3；
∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，
∴該拋物線的頂點D的坐標(biāo)為（1，4）．
（2）如圖1，
由y＝﹣x2＋2x＋3，得C（0，3），B（3，0）．
設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋3，則k＋3＝4，解得k＝1，
∴y＝x＋3；
當(dāng)四邊形PBDC是梯形時，則PB∥CD，
設(shè)直線PB的解析式為y＝x＋m，則3＋m＝0，解得m＝﹣3，
∴y＝x﹣3．
由，得，，
∴P（﹣2，﹣5）．
（3）如圖2，
作PH⊥x軸于點H，在x軸正半軸上取一點F，使＝tan∠HPF＝，連接PF．
由（2）得，直線PB的解析式為y＝x﹣3，則G（0，﹣3），
∴OB＝OG＝3．
∵PH∥OG，
∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°，
∴∠HPF＝45°＋∠FPB；
∵tan（∠PBO＋∠PEO）＝，
∴45°＋∠PEO＝45°＋∠FPB，
∴∠PEO＝∠FPB，
又∵∠PBE＝∠FBP（公共角），
∴△PBE∽△FBP，
∴，BE?BF＝PB2，
∵HF＝PH＝×5＝，
∴BF＝﹣2﹣3＝，
又∵PH＝BH＝5，
∴PB2＝52＋52＝50，
∴BE＝50，
解得BE＝，
∴OE＝3＋＝．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定．利用同角銳角三角函數(shù)轉(zhuǎn)換角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，
11．(2023·上海崇明區(qū)·九年級二模）如圖1，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，點F在邊AD上，EF⊥BD，垂足為G．
（1）如圖2，當(dāng)矩形ABCD為正方形時，求的值；
（2）如果＝，AF＝x，AB＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；
（3）如果AB＝4cm，以點A為圓心，3cm長為半徑的⊙A與以點B為圓心的⊙B外切．以點F為圓心的⊙F與⊙A、⊙B都內(nèi)切．求的值．
答案:（1）；（2）y與x的函數(shù)關(guān)系式為，函數(shù)定義域為：x＞0；（3）
分析：
（1）延長FE交BC的延長線于點M，設(shè)正方形ABCD的邊長為k，根據(jù) 即可得到答案；
（2）延長FE交BC的延長線于M，根據(jù)tan∠ADB＝tan∠DEF即 可以得到答案；
（3）設(shè)⊙F的半徑為rcm，根據(jù)⊙A與⊙B的位置關(guān)系以及⊙F與⊙A、⊙B的位置關(guān)系，可以用含r的式子表示出AF和BF的長度，再根據(jù)勾股定理可以求得r的值，最后根據(jù)tan∠ADB＝tan∠DEF建立方程即可得到答案．
【詳解】
解：（1）如圖，延長FE交BC的延長線于點M，
設(shè)正方形ABCD的邊長為k，
則AB＝BC＝CD＝AD＝k，
∵E為CD中點，
∴DE＝CE＝ k，
∵正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BDC＝∠ADC，
∴∠BDC＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠DEF＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴DF＝DE＝k，
∵正方形ABCD中，AD∥BC，
∴ ，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴ ；
（2）如圖，延長FE交BC的延長線于M，
設(shè)DF＝a，則CM＝a，
∵， ，
∴BM＝5a，BC＝4a，
∴AF＝x＝3a，
∴a＝ ，
∴DF＝，
∵AB＝y(tǒng)，
∴DE＝ ，
∵∠ADC＝90°，EF⊥BD，
∴∠ADB＝∠DEF，
∴tan∠ADB＝tan∠DEF，
∴
∴
∴
∵x＞0，y＞0，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
函數(shù)定義域為：x＞0；
（3）設(shè)⊙F的半徑為rcm，則根據(jù)題意得：
⊙B的半徑為1cm，
AF＝ cm，BF＝cm，
∵矩形ABCD中，∠A＝90°，
∴AF2+AB2＝BF2，
∴（r﹣3）2+42＝（r﹣1）2，
∴r＝6，
即⊙F的半徑為6cm，
∴AF＝3cm，
∵tan∠ADB＝tan∠DEF，
∴
∴AD2﹣3AD﹣8＝0，
∴ 或（舍去），
∴
【點睛】
本題考查銳角三角函數(shù)、相似三角形、圓與圓的位置關(guān)系，利用銳角三角函數(shù)找比例線段是常用的方法，發(fā)現(xiàn)相等的角證明三角形相似是難點．利用相似模型添加輔助線是關(guān)鍵．
12．(2023·全國九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于，兩點，點，分別位于原點的左、右兩側(cè)，，過點的直線與軸正半軸和拋物線的交點分別為，，．
（1）求，的值；
（2）求直線的函數(shù)解析式；
（3）點在拋物線的對稱軸上且在軸下方，點在射線上，當(dāng)與相似時，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．
答案:（1）； （2） （3），，，
分析：
（1）根據(jù)，得出，，將A，B代入得出關(guān)于b，c的二元一次方程組求解即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)是，，，得出的橫坐標(biāo)為，代入拋物線解析式求出，設(shè)得解析式為：，將B，D代入求解即可；
（3）由題意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，由題意得拋物線的對稱軸為直線x=1，設(shè)對稱軸與x軸交點為M，P（1，n）且n

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