思路設(shè)計：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進(jìn)，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做5-8題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。
第五章 有理數(shù)單元綜合提優(yōu)專練（原卷版）
錯誤率：___________易錯題號：___________
一、單選題
1．若＞0，則必有（ ）
A．＞0，＞0B．0，
C．，D．、同號
2．有理數(shù)，，, ，中，其中等于1的個數(shù)是（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
3．如圖，數(shù)軸上，點A、B、C、D表示的數(shù)分別a、b、c、d．若，且，則下列各式正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列說法正確的是（ ）
①一個數(shù)的絕對值一定是正數(shù)；②若ab＜0，a＋b＞0，則a，b異號且正數(shù)的絕對值大于負(fù)數(shù)的絕對值；③當(dāng)時，a一定是負(fù)數(shù)；④；⑤任何有理數(shù)都有倒數(shù)．
A．①②⑤B．①③④C．②④⑤D．②
5．已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上表示的點如圖所示，則下列式子中正確的是（ ）
A．a(chǎn)b>0B．a(chǎn)-b0，
∴a與b同號，
故選：D．
【名師指路】
本題考查了有理數(shù)的乘法，比較簡單，掌握ab＞0，a和b同號，ab＜0，a和b異號是關(guān)鍵．
2．有理數(shù)，，, ，中，其中等于1的個數(shù)是（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【標(biāo)準(zhǔn)答案】A
【思路指引】
分別根據(jù)有理數(shù)的乘方、絕對值的性質(zhì)及去括號的法則計算出各數(shù)即可．
【詳解詳析】
解：∵（-1）2=1；
（-1）3=-1；
-12=-1；
|-1|=1；
=1，
∴這一組數(shù)中等于1的有3個．
故選：A．
【名師指路】
本題考查的是有理數(shù)的乘方、絕對值的性質(zhì)及去括號的法則，先根據(jù)題意計算出各數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．
3．如圖，數(shù)軸上，點A、B、C、D表示的數(shù)分別a、b、c、d．若，且，則下列各式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】D
【思路指引】
先根據(jù)可得原點在點中間，且靠近點，再根據(jù)有理數(shù)的加減法與乘法運算、絕對值的意義逐項判斷即可得．
【詳解詳析】
解：，
原點在點中間，且靠近點，
，且．
A、，此項錯誤；
B、，此項錯誤；
C、由得：，所以，此項錯誤；
D、由得：，由得：，所以，此項正確；
故選：D．
【名師指路】
本題考查了數(shù)軸、有理數(shù)的加減法與乘法運算、絕對值，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
4．下列說法正確的是（ ）
①一個數(shù)的絕對值一定是正數(shù)；②若ab＜0，a＋b＞0，則a，b異號且正數(shù)的絕對值大于負(fù)數(shù)的絕對值；③當(dāng)時，a一定是負(fù)數(shù)；④；⑤任何有理數(shù)都有倒數(shù)．
A．①②⑤B．①③④C．②④⑤D．②
【標(biāo)準(zhǔn)答案】D
【思路指引】
根據(jù)絕對值的性質(zhì)、倒數(shù)及加法法則分別進(jìn)行判斷可得．
【詳解詳析】
解：①一個數(shù)的絕對值一定是正數(shù)，也可能是0，此結(jié)論錯誤
②若ab＜0，a+b＞0，則a，b異號且正數(shù)的絕對值大，正確；
③當(dāng)|a|=-a時，a不一定是負(fù)數(shù)，也可能是0，此結(jié)論錯誤；
④當(dāng)a＜0時，|-a3|=-a3，此結(jié)論錯誤；
⑤0沒有倒數(shù)，此結(jié)論錯誤；
∴正確的只有②；
故選：D．
【名師指路】
本題主要考查有理數(shù)的加法和乘法及絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的定義、性質(zhì)及加法的運算法則．
5．已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上表示的點如圖所示，則下列式子中正確的是（ ）
A．a(chǎn)b>0B．a(chǎn)-b，
∴－＜－；
∵－（－3.2）=3.2，=-3.2，
∴－（－3.2）＞－，
故答案為：＜，＞．
【名師指路】
本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握“兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小”是解題的關(guān)鍵．
14．已知|m＋3|與(n－2)2互為相反數(shù)，那么mn等于_______．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】9
【思路指引】
根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和等于0列出方程，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求出m、n的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可得解．
【詳解詳析】
解：∵|m+3|與（n-2）2互為相反數(shù)，
∴|m+3|+（n-2）2=0，
∴m+3=0，n-2=0，
解得m=-3，n=2，
所以，mn=（-3）2=9．
故答案為：9．
【名師指路】
本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0．
15．有理數(shù)在a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，再下列結(jié)論中：①；②；③；④；⑤．正確的結(jié)論有_____________（填序號）
【標(biāo)準(zhǔn)答案】①②⑤
【思路指引】
先根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得，且，再根據(jù)有理數(shù)的乘方、加減法與乘法、絕對值的性質(zhì)逐個判斷即可得．
【詳解詳析】
解：由數(shù)軸得：，且，
，結(jié)論①正確；
，
，
，即，結(jié)論②正確；
，
，即，結(jié)論③錯誤；
，
，結(jié)論④錯誤；
，且，
，
，即，結(jié)論⑤正確；
綜上，正確的結(jié)論有①②⑤，
故答案為：①②⑤．
【名師指路】
本題考查了數(shù)軸、有理數(shù)的乘方、加減法與乘法、絕對值，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)和各運算法則是解題關(guān)鍵．
16．在－5，－3，－2，1，2，7這五個數(shù)中任取兩數(shù)相乘，所得乘積中的最小數(shù)與最大數(shù)之差的絕對值為________．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】50
【思路指引】
根據(jù)有理數(shù)的乘法計算法則分別求出任取兩個數(shù)所得乘積的最大值與最小值，由此求解即可．
【詳解詳析】
解：在－5，－3，－2，1，2，7這五個數(shù)中任取兩數(shù)相乘，所得乘積中的最小數(shù)為，所得乘積中的最大數(shù)為，
∴所得乘積中的最小數(shù)與最大數(shù)之差的絕對值為，
故答案為：50．
【名師指路】
本題主要考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的減法和絕對值，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意求出任取兩個數(shù)所得乘積的最大值與最小值．
17．如圖，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在數(shù)軸上移動，當(dāng)Q移動到與A、B其中一個端點重合時，點P所對應(yīng)的數(shù)為5，且點P始終在點Q的左側(cè)，當(dāng)Q移動到線段AB的中點時，點P所對應(yīng)的數(shù)為__________．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】11或-1
【思路指引】
設(shè)PQ的長度為m，當(dāng)點Q與點A重合時，此時點P對應(yīng)的數(shù)為5，則點A對應(yīng)的數(shù)為m+5，點B對應(yīng)的數(shù)為m+17，由此即可求解；當(dāng)點Q與點B重合時，同理可得，點B對應(yīng)的數(shù)為m+5，點A對應(yīng)的數(shù)為m-7，由此即可求解．
【詳解詳析】
解：設(shè)PQ的長度為m，
當(dāng)點Q與點A重合時，此時點P對應(yīng)的數(shù)為5，則點A對應(yīng)的數(shù)為m+5，點B對應(yīng)的數(shù)為m+17
∴當(dāng)點Q到AB中點時，點P此時對應(yīng)的數(shù)為：，
當(dāng)點Q與點B重合時，同理可得，點B對應(yīng)的數(shù)為m+5，點A對應(yīng)的數(shù)為m-7，
∴點Q到AB中點時，點P此時對應(yīng)的數(shù)為：，
故答案為：11或-1．
【名師指路】
此題綜合考查了數(shù)軸上兩點的距離，用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點．
18．A是數(shù)軸上的一點，將點A沿著數(shù)軸移動3個單位長度至點B，再將點B沿著數(shù)軸移動4個單位長度至點C．若點C表示原點，用字母a，b分別表示點A，B在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)．
（1）點A表示的數(shù)可能有_________個；
（2）若，則的值為_________．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】4 3
【思路指引】
（1）根據(jù)題意分四種情況進(jìn)行討論，列式計算即可得解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)計算即可．
【詳解詳析】
解：（1）b為-4，a為-4-3=-7；
b為-4，a為-4+3=-1；
b為4，a為4-3=1；
b為4，a為4+3=7．
故點A表示的數(shù)可能有4個；
故答案為：4；
（2）∵，
∴a=-7，b=-4，
則；
a=7，b=4，
則；
∴|a-b|的值為3．
故答案為：3．
【名師指路】
本題考查了絕對值的性質(zhì)，數(shù)軸的知識，熟記向右移動加，向左移動減是解題的關(guān)鍵．
19．三個整數(shù)a，b，c滿足，且．若，則的最大值為_____．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】34
【思路指引】
根據(jù)，，可得，，，則，再由，a，b，c都是整數(shù)，得到則，根據(jù)，，即可得到，由此求解即可．
【詳解詳析】
解：∵，，
∴，，，
∴，
∵，a，b，c都是整數(shù)，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴的值最大為9+8+17=34，
故答案為：34．
【名師指路】
本題主要考查了絕對值，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到，，．
20．已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)．如：[3.2]＝3，[﹣0.7]＝﹣1．現(xiàn)定義：{x}＝[x]﹣x，如{1.5}＝[1.5]﹣1.5＝﹣0.5，則{3.9}+{﹣}＝_______．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】-1.4
【思路指引】
根據(jù)題目中的定義，將式子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的運算，再進(jìn)行計算即可求解．
【詳解詳析】
解：{3.9}+{﹣}=（3-3.9）+[-2-（-1.5）]=-0.9+(-0.5)=-1.4．
故答案為：-1.4
【名師指路】
本題考查了有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的加減運算等知識，讀懂題意，理解題目中的定義是解題關(guān)鍵．
三、解答題
21．網(wǎng)約汽車司機小楊某天上午在東西走向的大街上接送網(wǎng)約乘客，若規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，且他這天上午所接六位乘客的行車?yán)锍倘缦拢▎挝唬呵祝?br>－2，＋5，－1，＋1，－6，－2，＋8，－3，－4，＋6，通過計算回答下列問題：
（1）將最后一位乘客送到目的地時，小楊在什么位置？
（2）若汽車耗油量為0.15升/千米，這天上午小楊接送乘客，汽車共耗油多少升？
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）正東2千米處；（2）5.7升
【思路指引】
（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運算，可得答案；
（2）根據(jù)行車的耗油量，可得答案．
【詳解詳析】
解：（1），
答：將最后一位乘客送到目的地時，小楊在距他家正東2千米處；
（2）
（升）
答：這天上午小楊接送乘客，汽車共耗油5.7升．
【名師指路】
本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，利用了有理數(shù)的加法運算．
22．閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上點A，B分別表示數(shù)a，b．A，B兩點間的距離可以用符號表示，利用有理數(shù)減法和絕對值可以計算A，B兩點之間的距離．
例如：當(dāng)a＝2，b＝5時，＝5－2＝3；當(dāng)a＝2，b＝－5時，＝＝7；當(dāng)a＝－2，b＝－5時，＝＝3，綜合上述過程，發(fā)現(xiàn)點A、B之間的距離＝（也可以表示為）．
請你根據(jù)上述材料，探究回答下列問題：
（1）表示數(shù)a和－2的兩點間距離是6，則a＝ ；
（2）如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于－4和3之間，則＝
（3）代數(shù)式的最小值是 ．
（4）如圖，若點A，B，C，D在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別為a，b，c，d，則式子的最小值為 （用含有a，b，c，d的式子表示結(jié)果）
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）
【思路指引】
（1）根據(jù)題意可得： ，解出即可求解；
（2）根據(jù)題意可得： ，從而得到 ，進(jìn)而得到＝a＋4，＝3－a，即可求解；
（3）根據(jù)題意可得：當(dāng)a＝2時，代數(shù)式存在最小值，化簡即可求解；
（4）根據(jù)題意可得：原式表示 對應(yīng)點到 對應(yīng)的點的距離之和，從而得到當(dāng) 時，有最小值，即可求解．
【詳解詳析】
解：（1）根據(jù)題意得： ，
∴ 或 ，解得： 或-8；
（2）∵表示數(shù)a的點位于－4和3之間，
∴ ，
∴ ，
∴＝a＋4，＝3－a，
∴＝ a＋4＋3－a＝7；
（3） 當(dāng)a＝2時，代數(shù)式存在最小值，
∴＝1＋0＋1＝2.
所以，最小值是2；
（4）根據(jù)題意得：
，
∴原式表示 對應(yīng)點到 對應(yīng)的點的距離之和，
如圖所示，
∴當(dāng) 時，有最小值，
∴原式
．
【名師指路】
本題主要考查了絕對值得幾何意義，數(shù)軸上兩點間的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
23．計算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）－19；（2）3；（3）－3；（4）
【思路指引】
（1）寫成省略加號和的形式，再同號相加，最后計算異號加法即可；
（2）先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，同時化除為乘，再確定積的符號，計算積的絕對值即可；
（3）利用乘法的分配律簡算乘開，再計算乘法，然后加減法即可；
（4）先乘方，再計算括號內(nèi)的，最后計算加法即可．
【詳解詳析】
解：（1），
=，
=，
=-19；
（2），
=，
=，
=3；
（3），
=，
=，
=，
=-3；
（4），
=，
=，
=．
【名師指路】
本題考查有理數(shù)的混合計算，掌握含乘方的有理數(shù)混合計算法則，先乘方，再乘除，最后加減，有括號先計算小括號，中括號，大括號，能簡便運算可以簡算．
24．一年一度的“雙十一”全球購物節(jié)完美收官，來自全國各地的包裹陸續(xù)發(fā)到本地快遞公司．一快遞小哥騎三輪摩托車從公司P出發(fā)，在一條東西走向的大街上來回投遞包裹，現(xiàn)在他一天中七次連續(xù)行駛的記錄如表（我們約定向東為正，向西為負(fù)，單位：千米）
（1）快遞小哥最后一次投遞包裹結(jié)束時他在公司P的哪個方向上？距離公司P多少千米？
（2）在第 次記錄時快遞小哥距公司P地最遠(yuǎn)．
（3）如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快遞小哥投遞完所有包裹需要花汽油費多少元？
（4）如果快遞小哥從公司P出發(fā)投遞包裹時摩托車有汽油5升，那么快遞小哥在投遞完最后一個包裹后能把摩托車送回到公司P嗎，試計算說明．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）公司P的西邊，距離公司3千米；（2）五；（3）25.92元；（4）能；理由見解析
【思路指引】
（1）用有理數(shù)的加法求七個數(shù)的和，根據(jù)結(jié)果的正負(fù)號確定快遞小哥最后一次投遞包裹結(jié)束時的位置和距離；
（2）從第個數(shù)開始，分別將每一個數(shù)與它前面的幾個數(shù)相加，同時第出每一個和的絕對值，進(jìn)行比較，求出結(jié)果；
（3）將每個記錄數(shù)據(jù)的絕對值相加，就是快遞小哥這一天走的總里程，再算出總耗油量和費用；
（4）算出這一天摩托車行駛的總里程再加上結(jié)束時與公司P的距離，乘以每千米的耗油量與油箱出發(fā)時的存油量進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．
【詳解詳析】
解：（1）?2＋7?9＋10＋4?5?8＝?3（千米），
答：最后一次投遞包裹結(jié)束時快遞小哥在公司P的西邊，距離公司3千米；
（2）|?2|＝2（千米）
|?2＋7|＝5（千米），
|?2＋7?9|＝4（千米），
|?2＋7?9＋10|＝6（千米），
|?2＋7?9＋10＋4|＝10（千米），
|?2＋7?9＋10＋4?5|＝5（千米），
|?2＋7?9＋10＋4?5?8|＝3（千米），
∴第五次快遞小哥距公司P最遠(yuǎn)．
故答案為：五；
（3）|?2|＋|＋7|＋|?9|＋|＋10|＋|＋4|＋|?5|＋|?8|＝45（千米），
0.08×45＝3.6（升），
7.2×3.6＝25.92（元），
答：快遞小哥工作一天需要花汽油費25.92元．
（4）0.08×（45＋3）＝3.84（升），
3.84＜5，
答：快遞小哥在投遞完最后一次包裹后能把摩托車送回到公司P．
【名師指路】
本題從絕對值的性質(zhì)、有理數(shù)的加法和乘法、大小比較等知識點入手，較全面的考察了學(xué)生對有理數(shù)相關(guān)知識的掌握情況，是較好的基礎(chǔ)題．
25．計算：
（1）﹣8+4÷（﹣2）；
（2）﹣23+（﹣3）×[（﹣4）2+2）]﹣（﹣2）2÷（﹣2）．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）-10；（2）-60
【思路指引】
（1）根據(jù)有理數(shù)的四則混合運算法則求解即可；
（2）先計算乘方，然后根據(jù)有理數(shù)的四則混合運算法則求解即可．
【詳解詳析】
解：（1）
；
（2）
．
【名師指路】
本題主要考查了有理數(shù)的四則混合運算和含乘方的有理數(shù)四則混合運算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
26．已知：是最大的負(fù)整數(shù)，，，且，請回答問題．
（1）請直接寫出、、的值：________，________，________；
（2）在數(shù)軸上，、、所對應(yīng)的點分別為、、，點為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為，點在到之間運動時（即時），請化簡式子：（請寫出化簡過程）；
（3）在（1）（2）的條件下，點、、開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，假設(shè)秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為．請問：的值是否隨著時間的變化而改變?若變化，請說明理由；若不變，請求其值．
【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1），，；（2）；（3）不變，2
【思路指引】
（1）由a是最大的負(fù)整數(shù)，可知a的值；由絕對值的定義知，，結(jié)合條件，即可分析得到的值；
（2）當(dāng)時，，，，由絕對值的定義化簡即可得到答案；
（3）秒時，點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為，分別計算出BC和AB，由即可得到答案．
【詳解詳析】
解：（1）∵是最大的負(fù)整數(shù)
∴
∵，
∴，
又∵，
∴
故答案為：；；
（2）當(dāng)時，，，，
則：原式；
（3）不變．理由如下：
秒時，點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為
，
，即：值的不隨著時間的變化而改變．
【名師指路】
本題考查絕對值非負(fù)性，利用數(shù)軸化簡絕對值，以及數(shù)軸上的動點問題，牢記相關(guān)的知識點并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
﹣2
+7
﹣9
+10
+4
﹣5
﹣8

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