題組一：數(shù)與式的計(jì)算、解分式方程與不等式、概率、統(tǒng)計(jì)、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、四邊形的簡單計(jì)算與證明、圓的有關(guān)計(jì)算與證明、反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何壓軸題、二次函數(shù)綜合題
1．（2023春?崇川區(qū)校級月考）計(jì)算：
（1）計(jì)算：|1?3|?(4?π)0+2tan60°+(?12)?2；
（2）先化簡：(83?x?x?3)÷x2?1x2?6x+9，再從中選一個(gè)合適的整數(shù)x代入求值．
2．（2023?天寧區(qū)校級模擬）（1）解分式方程：x2x?1+31?2x=2；
（2）解不等式組：7x+2≥4(x?1)x+3≥2x．
3．（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖，甲、乙兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分割成三個(gè)面積相等和兩個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤甲上標(biāo)注的數(shù)字分別是﹣1，﹣6，8，轉(zhuǎn)盤乙上標(biāo)注的數(shù)字分別是﹣4，5．（規(guī)定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)一次）．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲，指針指向正數(shù)的概率是 ；
（2）若同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤甲的指針?biāo)赶虻臄?shù)記為a，轉(zhuǎn)盤乙的指針?biāo)赶虻臄?shù)記為b，求滿足a+b＜0的概率．
4．（2023?金壇區(qū)一模）為慶祝中國共青團(tuán)成立100周年，某校團(tuán)委開展四項(xiàng)活動(dòng)：A項(xiàng)參觀學(xué)習(xí)，B項(xiàng)團(tuán)史宣講，C項(xiàng)經(jīng)典誦讀，D項(xiàng)文學(xué)創(chuàng)作，要求每位學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)必須且只能參加其中一項(xiàng)活動(dòng)．從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，調(diào)查他們參加活動(dòng)的意向，將收集的數(shù)據(jù)整理后，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
（1）本次調(diào)查的樣本容量是 ，B項(xiàng)活動(dòng)所在扇形的圓心角的大小是 °；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）若該校有2000名學(xué)生，請估計(jì)其中意向參加“參觀學(xué)習(xí)”活動(dòng)的人數(shù)．
5．（2023?南京一模）如圖，河流的兩岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上A、B兩處間的距離為50米，為了測量河流的寬度，某人在河岸MN的C處測得∠BCN＝35°，然后沿河岸走了120米到達(dá)D處，測得∠ADN＝70°．求河流的寬度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
6．（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE∥AC，且DE=12AC，連接CE．
（1）求證：四邊形OCED為矩形；
（2）連接AE，若BD＝6，AE=73，求菱形ABCD的邊長．
7．（2023?建湖縣一模）如圖，⊙O的半徑是25cm，AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，點(diǎn)E是半徑OA上一點(diǎn)，CE交⊙O于點(diǎn)D，且PD＝PE．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若tan∠ACD=12，求：BD和AC的長．
8．（2023?蘇州一模）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=mx的圖像交于點(diǎn)A（1，2n）和點(diǎn)B（3n﹣6，2），與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接OA，OB，在直線AC上是否存在點(diǎn)D，使△OCD的面積是△AOB面積的34？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
9．（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D、E分別是邊AB、邊BC上的點(diǎn)，連接CD，∠CDE＝∠B，F(xiàn)是DE延長線上一點(diǎn)，連接CF，∠FCE＝∠ACD．
（1）判斷△CDF的形狀，并說明理由；
（2）若AD＝4，求EFDE的值；
（3）若sinB=35，BD＝BE．
①求BDDE的值；
②求CF的長．
10．（2023?金壇區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣4的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（3，﹣4），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接AB，BC．
（1）填空：b＝ ；
（2）點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PT⊥x軸，垂足為T，PT交AB于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；
（3）點(diǎn)D是y軸正半軸上一點(diǎn)，若∠BDC＝∠ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
題組二：數(shù)與式的計(jì)算、解方程組與不等式、概率、統(tǒng)計(jì)、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、圓的有關(guān)計(jì)算與證明、一次函數(shù)的應(yīng)用、基本作圖、幾何壓軸題、二次函數(shù)新定義問題
11．（2023?海陵區(qū)一模）（1）計(jì)算：（?13）﹣2﹣|3?3|+2sin30°﹣（π﹣2023）0；
（2）化簡：(a2?4a2?4a+4?12?a)÷2a2?2a．
12．（2023?天寧區(qū)校級模擬）解方程組和不等式組：
（1）x+2y=4x?y=1；
（2）2x+1＞7?xx≤x+32．
13．（2023?淮陰區(qū)一模）從2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取運(yùn)動(dòng)會志愿者．
（1）隨機(jī)抽取1名，恰好是女生的概率為 ；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，寫出抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率．
14．（2023?天寧區(qū)校級模擬）2023年2月，C市從甲、乙兩校各抽取10名學(xué)生參加全市數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平監(jiān)測．樣本學(xué)生數(shù)學(xué)測試成績（滿分100分）如表：
（1）表中a＝ ；b＝ ；
（2）請結(jié)合平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)這幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量，評判甲、乙兩校樣本學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績；
（3）若甲、乙兩校學(xué)生都超過2000人，按照C市的抽樣方法，用樣本學(xué)生數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩?？傮w數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平可行嗎？為什么？
15．（2023?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測站，A在B的正東方向，AB＝2（單位：km），有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．
（1）點(diǎn)P到海岸線l的距離；
（2）小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處，此時(shí)，從B測得小船在北偏西15°的方向，則點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的離為 km．
（注：上述兩小題的結(jié)果都保留根號）
16．（2023?南京一模）如圖，在△ABC中，CA＝CB，E為AB上一點(diǎn)，作EF∥BC，與AC交于點(diǎn)F，經(jīng)過點(diǎn)A、E、F的⊙O與BC相切于點(diǎn)D，連接AD、ED、FD．
（1）求證△BDE∽△BAD；
（2）若AE＝10，BE＝8，求CD的長．
17．（2023?沭陽縣模擬）某市在城中村改造中，需要種植A、B兩種不同的樹苗共3000棵，經(jīng)招標(biāo)，承包商以15萬元的報(bào)價(jià)中標(biāo)承包了這項(xiàng)工程，根據(jù)調(diào)查及相關(guān)資料表明，A、B兩種樹苗的成本價(jià)及成活率如表：
設(shè)種植A種樹苗x棵，承包商獲得的利潤為y元．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）政府要求栽植這批樹苗的成活率不低于93%，承包商應(yīng)如何選種樹苗才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）在達(dá)到（2）中政府的要求并獲得最大利潤的前提下，承包商用綠化隊(duì)的40人種植這兩種樹苗，已知每人每天可種植A種樹苗6棵或B種樹苗3棵，如何分配人數(shù)才能使種植A、B兩種樹苗同時(shí)完工．
18．（2023?錫山區(qū)模擬）（1）如圖1，在銳角△ABC的外部找一點(diǎn)D，使得點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，且∠BDC+∠BAC＝180°，請用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）中，若AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°，則線段AD的長為 ．（如需畫草圖，請使用圖2）
19．（2023?濱湖區(qū)一模）如圖1，在直角三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．
[數(shù)學(xué)活動(dòng)]
將三角形紙片ABC進(jìn)行以下操作：第一步：折疊三角形紙片ABC使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕DE，然后展開鋪平；第二步：將△DEC繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△DFG，點(diǎn)E、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)F、G，直線GF與邊AC交于點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合），與邊AB交于點(diǎn)N．
[數(shù)學(xué)思考]
（1）折痕DE的長為 ；
（2）在△DEC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷MF與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
[數(shù)學(xué)探究]
（3）如圖2，在△DEC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)直線GF經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求AM的長；
[問題延伸]
（4）如圖3，若直角三角形紙片ABC的兩直角邊AB＝AC＝4，按上邊[數(shù)學(xué)活動(dòng)]的步驟操作，在點(diǎn)G從點(diǎn)C開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°的過程中，設(shè)△DFG與△ABC的重疊部分的面積為S，求S的最小值．小明在探究這個(gè)問題的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°和45°時(shí)，S的值比較小，你能在小明探究的基礎(chǔ)上，求出S的最小值嗎？請直接寫出答案．
20．（2023?邗江區(qū)校級一模）對于二次函數(shù)給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）的圖象頂點(diǎn)為P（不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合），以O(shè)P為邊構(gòu)造正方形OPMN，則稱正方形OPMN為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的關(guān)聯(lián)正方形，稱二次函數(shù)y＝ax2+bx+c為正方形OPMN的關(guān)聯(lián)二次函數(shù)．若關(guān)聯(lián)正方形的頂點(diǎn)落在二次函數(shù)圖象上，則稱此點(diǎn)為伴隨點(diǎn)．
（1）如圖，直接寫出二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2的關(guān)聯(lián)正方形OPMN頂點(diǎn)N的坐標(biāo) ，并驗(yàn)證點(diǎn)N是否為伴隨點(diǎn) （填“是“或“否“）：
（2）當(dāng)二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+c的關(guān)聯(lián)正方形OPMN的頂點(diǎn)P與N位于x軸的兩側(cè)時(shí)，請解答下列問題：
①若關(guān)聯(lián)正方形OPMN的頂點(diǎn)M、N在x軸的異側(cè)時(shí)，求c的取值范圍：
②當(dāng)關(guān)聯(lián)正方形OPMN的頂點(diǎn)M是伴隨點(diǎn)時(shí)，求關(guān)聯(lián)函數(shù)y＝﹣x2+4x+c的解析式；
③關(guān)聯(lián)正方形OPMN被二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+c圖象的對稱軸分成的兩部分的面積分別為S1與S2，若S1≤13S2，請直接寫出c的取值范圍．
題組三：數(shù)與式的計(jì)算、解分式方程與不等式、概率、統(tǒng)計(jì)、四邊形的簡單計(jì)算與證明、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、相似與格點(diǎn)作圖、圓的有關(guān)計(jì)算與證明、幾何壓軸題、二次函數(shù)推理計(jì)算與證明
21．（2023?淮陰區(qū)一模）（1）計(jì)算：（﹣3）2+（π?12）0﹣|﹣4|；
（2）化簡：（1?1a+1）?a2+2a+1a．
22．（2023?錫山區(qū)模擬）（1）解方程：1x?2+1?x2?x=3；
（2）解不等式：3x?3＞x+12(2x?1)≤5x?1．
23．（2023?天寧區(qū)校級模擬）為傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，提高學(xué)生文化素養(yǎng)，學(xué)校舉辦“經(jīng)典誦讀”比賽，比賽題目分為“詩詞之風(fēng)”、“散文之韻”、“戲劇之雅”三組（依次記為A，B，C）．甲、乙兩名同學(xué)參加比賽，其中一名同學(xué)從三組題目中隨機(jī)抽取一組，然后放回，另一名同學(xué)再隨機(jī)抽取一組．
（1）甲抽到A組題目的概率是 ；
（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求甲、乙兩名同學(xué)抽到不同題目的概率．
24．（2023?泗陽縣校級一模）某中學(xué)對學(xué)生進(jìn)行“綜合素質(zhì)評價(jià)”，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的評價(jià)結(jié)果分為A、B、C、D、E五個(gè)等級，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息，解答下列問題．
（1）本次抽樣調(diào)查的學(xué)生有 人；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：B組對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 ；
（3）該學(xué)校共有3500名學(xué)生，估計(jì)該校A等級的人數(shù)．
25．（2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．
你贊同誰的證法？若贊成小潔的說法，請你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．
26．（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖1是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖2是小明鍛煉時(shí)上半身由ON位置運(yùn)動(dòng)到底面CD垂直的OM位置時(shí)的示意圖，已知AC＝0.8米，BD＝0.2米，α＝30°（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，2≈1.41）．
（1）求AB的長；
（2）若ON＝0.7米，求M、N兩點(diǎn)的距離（精確到0.1米）．
27．（2023?常州模擬）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，且每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按要求完成如圖畫圖．（要求僅用無刻度的直尺，且保留必要的畫圖痕跡）
（1）在圖1中，以BO為邊，畫出△OBC，使△OBC∽△ABO，C為格點(diǎn)；
（2）在圖2中，以點(diǎn)O為位似中心．畫出△ODE，使△ODE與△OAB位似，且位似比k=ODOA=2，點(diǎn)D、E為格點(diǎn)；
（3）在圖3中，在OA邊上找一個(gè)點(diǎn)F，且滿足AFOF=3．
28．（2023?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，過點(diǎn)D作PQ∥AB分別交CA、CB延長線于P、Q，連接BD．
（1）求證：PQ是⊙O的切線；
（2）求證：BD2＝AC?BQ；
（3）若AC、BQ的長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+4＝0的兩實(shí)根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半徑．
29．（2023?泗陽縣校級一模）【問題提出】
在一次折紙活動(dòng)課上，老師提出這樣一個(gè)問題：如何把一張正方形的紙通過折疊的方式等分成若干份？
【解決問題】
以下是某個(gè)小組的活動(dòng)過程：若是等分成兩份，如圖①直接對折，四等分、八等分在二等分的基礎(chǔ)上進(jìn)行對折即可，那三等分呢？
學(xué)習(xí)過相似三角形的相關(guān)知識后，小明提出了如下方法：如圖②，折出AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接AF、CE交對角線BD于點(diǎn)G、H，過點(diǎn)G、H折出AB、CD的平行線，折痕MN、PQ三等分正方形紙片．
（1）小明的想法正確嗎？若正確，請證明：
【類比學(xué)習(xí)】
（2）尺規(guī)作圖：如圖③，請你用尺規(guī)作圖，作線段AB的三等分點(diǎn)．（保留作圖痕跡，并簡要說明作法）
30．（2023?秦淮區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x＝ ；
（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最大值與最小值的差為8，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）若a＜0，對于二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)t≤x1≤t+1，x2≥3時(shí)，均滿足y1≥y2，請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出t的取值范圍．
題組四：數(shù)與式的計(jì)算、解方程、概率、統(tǒng)計(jì)、四邊形的簡單計(jì)算與證明、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、圓的有關(guān)計(jì)算與證明、一次函數(shù)的應(yīng)用、幾何壓軸題、二次函數(shù)綜合題
31．（2023?錫山區(qū)模擬）計(jì)算：
（1）8+(?12)?1?4cs45°；
（2）2（m﹣1）2﹣（2m+3）（2m﹣3）．
32．（2023?常州模擬）解下列方程：
（1）3x?5x?2=1?12?x；
（2）x2﹣4x+2＝0．
33．（2023?建湖縣一模）“雙減”政策下，將課后服務(wù)作為學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要陣地，聚力打造高品質(zhì)和高成效的服務(wù)課程，推動(dòng)提升課后服務(wù)質(zhì)量，助力學(xué)生全面健康成長．某校確立了A：科技：B：運(yùn)動(dòng)；C：藝術(shù)；D：項(xiàng)目化研究四大課程領(lǐng)域（每人限報(bào)一個(gè)）、若該校小陸和小明兩名同學(xué)各隨機(jī)選擇一個(gè)課程領(lǐng)域．
（1）小陸選擇項(xiàng)目化研究課程領(lǐng)域的概率是 ．
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求小陸和小明選擇同一個(gè)課程領(lǐng)域的概率．
34．（2023?建湖縣一模）今年的4月15日是第八個(gè)全民國家安全教育日，某校為了解學(xué)生的安全意識，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，把學(xué)生的安全意識分成“淡薄”、“一般”、“較強(qiáng)”、“很強(qiáng)”四個(gè)層次類別，并繪制如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）這次調(diào)查一共抽取了 名學(xué)生，請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“較強(qiáng)”層次類別所占圓心角的為 ；
（3）若該校有1800名學(xué)生，現(xiàn)要對安全意識為“淡薄”、“一般”的學(xué)生強(qiáng)化安全教育，請根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估算，全校需要強(qiáng)化安全教育的學(xué)生共有多少名？
35．（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖，矩形紙片ABCD，點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿直線EF折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合．
（1）請用直尺和圓規(guī)作出直線EF（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接BE，DF，判斷四邊形BFDE的形狀，并證明你的結(jié)論．
36．（2023?沛縣模擬）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校門口安裝一款紅外線體溫檢測儀，該設(shè)備通過探測人體紅外輻射的能量對進(jìn)入測溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速體溫檢測，無需人員停留和接觸．如圖所示，BF是水平地面，其中EF是測溫區(qū)域，測溫儀安裝在校門AB上的點(diǎn)A處，已知∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
（1）∠ACG＝ 度，∠ADG＝ 度．
（2）學(xué)生DF身高1.5米，當(dāng)攝像頭安裝高度BA＝3.5米時(shí)，求出圖中BF的長度；（結(jié)果保留根號）
（3）為了達(dá)到良好的檢測效果，測溫區(qū)EF的長不低于3米，請計(jì)算得出設(shè)備的最低安裝高度BA是多少？（結(jié)果保留1位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73）
37．（2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬）如圖，已知BF是⊙O的直徑，A為⊙O上（異于B、F）一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線MA與FB的延長線交于點(diǎn)M，G為BF上一點(diǎn)，AG的延長線交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，∠MAE+∠AFM＝90°．
（1）求證：AM∥EF；
（2）MA＝62，BE＝2，記△AMF的面積為S1，記△AEF的面積為S2，記△EFG的面積為S3，若S1?S3=35S22，求⊙O的半徑．
38．（2023?秦淮區(qū)校級模擬）小明早晨從家里出發(fā)勻速步行去上學(xué)，中途沒有停下來，小明的媽媽在小明出發(fā)后10分鐘，發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本沒帶，于是她帶上課本立即勻速騎車按小明上學(xué)的路線追趕小明，結(jié)果與小明同時(shí)到達(dá)學(xué)校．已知小明在整個(gè)上學(xué)途中，他出發(fā)后t分鐘時(shí)，他所在的位置與家的距離為s千米，且s與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖中的折線段OA﹣AB所示．
（1）試求線段OA所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）請解釋圖中線段AB的實(shí)際意義；
（3）請?jiān)谒o的圖中畫出小明的媽媽在追趕小明的過中，她所在位置與家的距離s（千米）與小明出發(fā)后的時(shí)間t（分鐘）之間函數(shù)關(guān)系的圖象．（注：請標(biāo)注出必要的數(shù)據(jù)）
39．（2023?錫山區(qū)校級模擬）問題提出：已知矩形ABCD，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB，交BD于點(diǎn)F．將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，則AE′與DF′有怎樣的數(shù)量關(guān)系．
【問題探究】
探究一：如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB，交BD于點(diǎn)F．
（1）如圖1，直接寫出DFAE的值 ；
（2）將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接AE、DF，猜想DF與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
探究二：如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB，交BD于點(diǎn)F．
如圖3，若四邊形ABCD為矩形，ABBC=22，將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α≤90）得到△E′BF′（E、F的對應(yīng)點(diǎn)分別為E′、F′點(diǎn)），連接AE′、DF′，則AE'DF'的值是否隨著α的變化而變化．若變化，請說明變化情況；若不變，請求出AE'DF'的值．
【一般規(guī)律】
如圖3，若四邊形ABCD為矩形，BC＝mAB，其它條件都不變，將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，連接AE′，DF′，請直接寫出AE′與DF′的數(shù)量關(guān)系．
40．（2023?姑蘇區(qū)校級模擬）如圖1，拋物線y＝（x﹣m）2﹣2m+1（m為常數(shù)）與x軸交于 A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）下列說法正確的是 （填序號）．
①該拋物線開口向上；
②該拋物線與y軸的交點(diǎn)始終在x軸的上方；
③該拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝﹣2x+1上．
（2）如圖2，若直線y＝﹣2x+1與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，試說明：線段MN的長是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E是直線y＝﹣2x+1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（圖3），當(dāng)EN：MN＝1：2時(shí)，△BMN與△BEM相似，求此時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
樣本學(xué)生成績
平均數(shù)
方差
中位數(shù)
眾數(shù)
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76
b
品種
購買價(jià)（元/棵）
成活率
A
28
90%
B
40
95%
小惠：
證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
小潔：
這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明．
2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（江蘇專用）
專題25江蘇中考數(shù)學(xué)大題滿分訓(xùn)練02（最新模擬40題：每日一練押題訓(xùn)練）
題組一：數(shù)與式的計(jì)算、解分式方程與不等式、概率、統(tǒng)計(jì)、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、四邊形的簡單計(jì)算與證明、圓的有關(guān)計(jì)算與證明、反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何壓軸題、二次函數(shù)綜合題
1．（2023春?崇川區(qū)校級月考）計(jì)算：
（1）計(jì)算：|1?3|?(4?π)0+2tan60°+(?12)?2；
（2）先化簡：(83?x?x?3)÷x2?1x2?6x+9，再從中選一個(gè)合適的整數(shù)x代入求值．
【考點(diǎn)】分式的化簡求值；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．
【答案】（1）33+2；
（2）3﹣x，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝1．
【分析】（1）先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合計(jì)算法則求解即可；
（2）先根據(jù)分式的混合計(jì)算法則化簡，然后根據(jù)分式有意義的條件選擇一個(gè)合適的值代值計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）原式=3?1?1+2×3+4
=3?1?1+23+4
=33+2；
（2）(83?x?x?3)÷x2?1x2?6x+9=(83?x?3x?x23?x?9?3x3?x)÷x2?1x2?6x+9
=(8?3x+x2?9+3x3?x)÷x2?1(x?3)2=x2?13?x?(x?3)2x2?1
＝3﹣x，
∵分式要有意義，
∴3?x≠0，x2?1≠0，
∴x≠±1且x≠3，
∴可以選取x＝2，
當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝3﹣2＝1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡求值，實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
2．（2023?天寧區(qū)校級模擬）（1）解分式方程：x2x?1+31?2x=2；
（2）解不等式組：7x+2≥4(x?1)x+3≥2x．
【考點(diǎn)】解分式方程；解一元一次不等式組．
【答案】（1）x=?13；
（2）﹣2≤x≤3．
【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；
（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．
【詳解】解：（1）去分母得：x﹣3＝2（2x﹣1），
解得：x=?13，
檢驗(yàn)：把x=?13代入得：2x﹣1≠0，
∴分式方程的解為x=?13；
（2）7x+2≥4(x?1)①x+3≥2x②，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x≤3，
∴不等式組的解集為﹣2≤x≤3．
【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及解一元一次不等式組，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．
3．（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖，甲、乙兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分割成三個(gè)面積相等和兩個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤甲上標(biāo)注的數(shù)字分別是﹣1，﹣6，8，轉(zhuǎn)盤乙上標(biāo)注的數(shù)字分別是﹣4，5．（規(guī)定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)一次）．
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲，指針指向正數(shù)的概率是 13 ；
（2）若同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤甲的指針?biāo)赶虻臄?shù)記為a，轉(zhuǎn)盤乙的指針?biāo)赶虻臄?shù)記為b，求滿足a+b＜0的概率．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法．
【答案】（1）13．
（2）12．
【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算即可．
（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和滿足a+b＜0的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【詳解】解：（1）由題意得，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲，指針指向正數(shù)的概率是13．
故答案為：13．
（2）畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，a+b的值分別為：﹣5，4，﹣10，﹣1，4，13，
其中滿足a+b＜0的結(jié)果有3種，
∴滿足a+b＜0的概率為36=12．
【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2023?金壇區(qū)一模）為慶祝中國共青團(tuán)成立100周年，某校團(tuán)委開展四項(xiàng)活動(dòng)：A項(xiàng)參觀學(xué)習(xí)，B項(xiàng)團(tuán)史宣講，C項(xiàng)經(jīng)典誦讀，D項(xiàng)文學(xué)創(chuàng)作，要求每位學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)必須且只能參加其中一項(xiàng)活動(dòng)．從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，調(diào)查他們參加活動(dòng)的意向，將收集的數(shù)據(jù)整理后，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
（1）本次調(diào)查的樣本容量是 80 ，B項(xiàng)活動(dòng)所在扇形的圓心角的大小是 54 °；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）若該校有2000名學(xué)生，請估計(jì)其中意向參加“參觀學(xué)習(xí)”活動(dòng)的人數(shù)．
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；總體、個(gè)體、樣本、樣本容量；用樣本估計(jì)總體；扇形統(tǒng)計(jì)圖．
【答案】（1）80，54；
（2）見解答；
（3）800人．
【分析】（1）根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖提供的信息列式計(jì)算即可；
（2）計(jì)算條形統(tǒng)計(jì)圖中C項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)，畫圖即可；
（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體列式計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）本次調(diào)查的樣本容量是16÷20%＝80，B項(xiàng)活動(dòng)所在扇形的圓心角的大小是360°×1280=54°，
故答案為：80，54；
（2）條形統(tǒng)計(jì)圖中C項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)是80﹣32﹣12﹣16＝20（人），
（3）2000×3280=800（人），
答：該校意向參加“參觀學(xué)習(xí)”活動(dòng)的人數(shù)約為800人．
【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?南京一模）如圖，河流的兩岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上A、B兩處間的距離為50米，為了測量河流的寬度，某人在河岸MN的C處測得∠BCN＝35°，然后沿河岸走了120米到達(dá)D處，測得∠ADN＝70°．求河流的寬度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．
【答案】180米．
【分析】過點(diǎn)A作AF⊥MN于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥MN于點(diǎn)E，設(shè)AF＝BE＝x，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列出方程即可求出x的值．
【詳解】解：過點(diǎn)A作AF⊥MN于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥MN于點(diǎn)E，
∴四邊形ABEF是矩形，
∴AB＝FE＝50（米），AF＝BE，
設(shè)AF＝BE＝x（米），
在Rt△ADF中，
tan∠ADF=AFDF，
∴DF=xtan70°=x2.75，
在Rt△BCE中，
tan∠BCE=BECE，
∴0.7≈x120+x2.75+50，
解得：x≈180（米），
答：河流的寬度為180米．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．
6．（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE∥AC，且DE=12AC，連接CE．
（1）求證：四邊形OCED為矩形；
（2）連接AE，若BD＝6，AE=73，求菱形ABCD的邊長．
【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．
【答案】（1）證明見解析；
（2）5．
【分析】（1）先證四邊形OCED是平行四邊形，再由∠DOC＝90°，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理和菱形的性質(zhì)解答即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC=12AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE=12AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四邊形OCED是矩形；
（2）解：由（1）可知，平行四邊形OCED是矩形，
∴∠ECA＝90°，EC＝OD=12BD＝3，DE＝OC=12AC，
由勾股定理可得，AC=AE2?EC2=73?9=8，
∴OC＝4，
∴DC=OC2+OD2=42+32=5，
∴菱形ABCD的邊長＝5．
【點(diǎn)睛】此題考查矩形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)解答．
7．（2023?建湖縣一模）如圖，⊙O的半徑是25cm，AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，點(diǎn)E是半徑OA上一點(diǎn)，CE交⊙O于點(diǎn)D，且PD＝PE．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若tan∠ACD=12，求：BD和AC的長．
【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形；圓周角定理．
【答案】（1）證明見解析；（2）BD＝8cm，AC＝210cm．
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)推出∠ODC+∠PDE＝90°，得到半徑OD⊥PD，即可證明PD是⊙O的切線；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出AC的長，由tanB＝tan∠ACD=12，令A(yù)D＝xcm，應(yīng)用勾股定理求出x，即可求出BD長．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵PD＝PE，
∴∠PDE＝∠PED，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵OC⊥AB，
∴∠EOC＝90°，
∴∠OCD+∠OEC＝90°，
∴∠ODC+∠OEC＝90°，
∵∠PED＝∠OEC，
∴∠ODC+∠PED＝90°，
∴∠ODC+∠PDE＝90°，
∴半徑OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切線；
（2）解：∵∠AOC＝90°，AO＝CO，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=2AO，
∵圓的半徑是25cm，
∴AC=2×25=210（cm），
∵∠B＝∠ACD，
∴tanB＝tan∠ACD=12，
∴ADBD=12，
令A(yù)D＝xcm，則BD＝2xcm，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AB=AD2+BD2=x2+(2x)2=5x＝45（cm），
∴x＝4，
∴BD＝2x＝8（cm）．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，勾股定理，圓周角定理，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握切線的判定方法；由tanB＝tan∠ACD=12，求BD的長．
8．（2023?蘇州一模）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=mx的圖像交于點(diǎn)A（1，2n）和點(diǎn)B（3n﹣6，2），與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接OA，OB，在直線AC上是否存在點(diǎn)D，使△OCD的面積是△AOB面積的34？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．
【答案】（1）一次函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2x+8，反比例函數(shù)表達(dá)式為y=6x；
（2）點(diǎn)D坐標(biāo)為（2.5，3）或（5.5，﹣3）．
【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=mx的圖像上，可得1?2n＝2（3n﹣6），求出n的值，可得點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，再待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式和反比例函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求出△AOB的面積，設(shè)D點(diǎn)縱坐標(biāo)為t，根據(jù)△OCD的面積=12×4|t|=6，求出t的值，即可確定點(diǎn)D坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=mx的圖像交于點(diǎn)A（1，2n）和點(diǎn)B（3n﹣6，2），
∴1?2n＝2（3n﹣6），
解得n＝3，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，6），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，2），
∴m＝1×6＝6，
將點(diǎn)A（1，6）和點(diǎn)B（3，2）代入一次函數(shù)y＝kx+b，
得k+b=63k+b=2，
解得k=?2b=8，
∴一次函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2x+8，反比例函數(shù)表達(dá)式為y=6x；
（2）∵一次函數(shù)y＝﹣2x+8的圖像與x軸交于點(diǎn)C，
當(dāng)y＝﹣2x+8＝0時(shí)，x＝4，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0），
∴OC＝4，
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC
=12×4×6?12×4×2
＝8，
∵△OCD的面積是△AOB面積的34，
∴△OCD的面積為34×8＝6，
設(shè)D點(diǎn)縱坐標(biāo)為t，
∴12×4|t|=6，
解得t＝3或t＝﹣3，
∵點(diǎn)D在直線AC上，
∴3＝﹣2x+8或﹣3＝﹣2x+8，
解得x＝2.5或x＝5.5，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2.5，3）或（5.5，﹣3）．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求解析式，三角形面積等，熟練掌握待定系法求解析式是解題的關(guān)鍵．
9．（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D、E分別是邊AB、邊BC上的點(diǎn)，連接CD，∠CDE＝∠B，F(xiàn)是DE延長線上一點(diǎn)，連接CF，∠FCE＝∠ACD．
（1）判斷△CDF的形狀，并說明理由；
（2）若AD＝4，求EFDE的值；
（3）若sinB=35，BD＝BE．
①求BDDE的值；
②求CF的長．
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】（1）結(jié)論：△CDF是等腰三角形．證明見解析部分；
（2）23；
（3）①102；
②CF＝210．
【分析】（1）證明∠FCD＝∠FDC即可；
（2）利用等腰三角形的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（3）①過點(diǎn)E作EK⊥AB于點(diǎn)K，由題意得：sinB=35，推出EKBE=35，推出EK=35BE=35BD，推出BK=45BD，推出DK=15BD．可得DE=DK2+EK2=105BD；
②證明△CDE∽△CBD，推出DEBD=CDCB，推出105BDBD=CD16，可得CD=16105．由（1）知：△ABC∽△FCD，推出BCCD=ABCF，可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）結(jié)論：△CDF是等腰三角形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，，
∵∠FCE＝∠ACD，
∴∠FCD＝∠ACB，
∵∠CDE＝∠B，
∴∠FCD＝∠CDF，
∴FC＝FD，
∴△FCD是等腰三角形；
（2）∵∠ECF＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCF．
∵∠B＝∠CDE，
∴△ABC∽△FCD，
∴∠BAC＝∠F．
∵AB＝AC，
∴FD＝FC．
∵∠BAC＝∠F，∠ACD＝∠FCE，
∴△ACD∽△FCE，
∴ACAD=CFEF，
∵AB＝10，AD＝4，
∴CFEF=104=52，
∵DE+EF＝FC，
∴EFDE=23；
（3）①過點(diǎn)E作EK⊥AB于點(diǎn)K，如圖，
由題意得：sinB=35，
∴EKBE=35，
∴EK=35BE=35BD，
∴BK=45BD，
∴DK=15BD．
∴DE=DK2+EK2=105BD，
∴BDDE=102；
②∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴DEBD=CDCB，
∴105BDBD=CD16，
∴CD=16105．
由（1）知：△ABC∽△FCD，
∴BCCD=ABCF，
∴1616105=10CF．
∴CF＝210．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．
10．（2023?金壇區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣4的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（3，﹣4），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接AB，BC．
（1）填空：b＝ ﹣3 ；
（2）點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PT⊥x軸，垂足為T，PT交AB于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；
（3）點(diǎn)D是y軸正半軸上一點(diǎn)，若∠BDC＝∠ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）﹣3；
（2）PQ的最大值是4；
（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，53）．
【分析】（1）將點(diǎn)A（3，﹣4）代入y＝x2+bx﹣4即可求解；
（2）利用二次函數(shù)解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，表示出PQ的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得PQ的最大值；
（3）證明△BCD∽△ECB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得CD的長，即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）將點(diǎn)A（3，﹣4）代入y＝x2+bx﹣4得：
9+3b﹣4＝﹣4，解得b＝﹣3，
故答案為：﹣3；
（2）∵b＝﹣3，
∴二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4，
解方程x2﹣3x﹣4＝0，得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（﹣1，0），
設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y＝kx+m，
直線AB交y軸于點(diǎn)F．
∵A（3，﹣4），
∴3k+m=?4?k+m=0，解得k=?1m=?1，
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y＝﹣x﹣1，
設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣3m﹣4），
則Q（m，﹣m﹣1）．
∴PQ＝﹣m﹣1﹣m2+3m+4＝﹣m2+2m+3＝﹣（m﹣1）2+4．
∴當(dāng)m＝1時(shí)，PQ的最大值是4；
（3）如圖，設(shè)AB交y軸于E，
∵二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4，令x＝0，則y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∵直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y＝﹣x﹣1，
∴E（0，﹣1），
∵B（﹣1，0），
∴CE＝3，BC=12+42=17，
∵∠BDC＝∠ABC，∠BCD＝∠ECB，
∴△BCD∽△ECB，
∴CDCB=CBCE，即CD17=173，
∴CD=173，
∴OD＝CD﹣OC=173?4=53，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，53）．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了待定系數(shù)法求拋物線和直線的解析式、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題組二：數(shù)與式的計(jì)算、解方程組與不等式、概率、統(tǒng)計(jì)、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、圓的有關(guān)計(jì)算與證明、一次函數(shù)的應(yīng)用、基本作圖、幾何壓軸題、二次函數(shù)新定義問題
11．（2023?海陵區(qū)一模）（1）計(jì)算：（?13）﹣2﹣|3?3|+2sin30°﹣（π﹣2023）0；
（2）化簡：(a2?4a2?4a+4?12?a)÷2a2?2a．
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；分式的化簡求值；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
【答案】（1）6+3；
（2）a(a+3)2．
【分析】（1）分別根據(jù)零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡即可．
【詳解】解：（1）原式＝9﹣（3?3）+2×12?1
＝9﹣3+3+1﹣1
＝6+3；
（2）原式＝（(a+2)(a?2)(a?2)2+1a?2）?a(a?2)2
＝（a+2a?2+1a?2）?a(a?2)2
=a+3a?2?a(a?2)2
=a(a+3)2．
【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算及分式的化簡求值，熟知零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
12．（2023?天寧區(qū)校級模擬）解方程組和不等式組：
（1）x+2y=4x?y=1；
（2）2x+1＞7?xx≤x+32．
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；二元一次方程組的解；解二元一次方程組．
【答案】（1）x=2y=1；
（2）2＜x≤3．
【分析】（1）利用加減消元法求解即可；
（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】解：（1）x+2y=4①x?y=1②，
①+②×2，得：3x＝6，
解得x＝2，
將x＝2代入②，得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
則方程組的解為x=2y=1；
（2）由2x+1＞7﹣x得：x＞2，
由x≤x+32得：x≤3，
則不等式組的解集為2＜x≤3．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解二元一次方程組和一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
13．（2023?淮陰區(qū)一模）從2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取運(yùn)動(dòng)會志愿者．
（1）隨機(jī)抽取1名，恰好是女生的概率為 12 ；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，寫出抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．
【答案】（1）12．
（2）23．
【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算即可．
（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【詳解】解：（1）∵有2名男生和2名女生，
∴隨機(jī)抽取1名，恰好是女生的概率為24=12．
故答案為：12．
（2）設(shè)2名男生分別記為A，B，2名女生分別記為C，D，
畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的結(jié)果有AC，AD，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共8種，
∴抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率為812=23．
【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
14．（2023?天寧區(qū)校級模擬）2023年2月，C市從甲、乙兩校各抽取10名學(xué)生參加全市數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平監(jiān)測．樣本學(xué)生數(shù)學(xué)測試成績（滿分100分）如表：
（1）表中a＝ 79 ；b＝ 76 ；
（2）請結(jié)合平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)這幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量，評判甲、乙兩校樣本學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績；
（3）若甲、乙兩校學(xué)生都超過2000人，按照C市的抽樣方法，用樣本學(xué)生數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩?？傮w數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平可行嗎？為什么？
【考點(diǎn)】方差；用樣本估計(jì)總體；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．
【答案】（1）79，76；
（2）乙校成績更加穩(wěn)定，理由見解答；
（3）不可以按照C市的抽樣方法，用樣本學(xué)生數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩?？傮w數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，理由見解答．
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念分析求解即可；
（2）結(jié)合平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差的意義進(jìn)行分析評判；
（3）統(tǒng)計(jì)調(diào)查要考慮總體的大小來確定樣本容量的大小．
【詳解】解：（1）將甲校樣本學(xué)生成績從小到大排序?yàn)椋?0，66，66，66，78，80，81，82，83，94，位于第5個(gè)和第6個(gè)的數(shù)據(jù)分別是78和80，
∴a=78+802=79，
在乙校樣本學(xué)生成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的是76，
∴b＝76，
故答案為：79，76；
（2）由題意，甲乙兩校平均數(shù)相同，乙校方差小于甲校，
∴乙校成績更加穩(wěn)定；
（3）甲、乙兩校學(xué)生都超過2000人，不可以按照C市的抽樣方法，用樣本學(xué)生數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩校總體數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，因?yàn)镃市的抽樣方法是各校抽取了10人，樣本容量較小，而甲乙兩校的學(xué)生人數(shù)太多，評估出來的數(shù)據(jù)不夠精確，所以不能用這10個(gè)人的成績來評估全校2000 多人的成績．
【點(diǎn)睛】本題考查眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)，樣本估計(jì)總體，頻數(shù)分布表等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
15．（2023?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測站，A在B的正東方向，AB＝2（單位：km），有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．
（1）點(diǎn)P到海岸線l的距離；
（2）小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處，此時(shí)，從B測得小船在北偏西15°的方向，則點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的離為 2 km．
（注：上述兩小題的結(jié)果都保留根號）
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．
【答案】（1）（3?1）km；
（2）2．
【分析】（1）過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)PD＝xkm，先解Rt△PBD，用含x的代數(shù)式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代數(shù)式表示AD，然后根據(jù)BD+AD＝AB，列出關(guān)于x的方程，解方程即可；
（2）過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，先解Rt△ABF，得出BF=12AB＝1km，再解Rt△BCF，得出BC=2BF=2km．
【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．設(shè)PD＝xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，
∴BD＝PD＝xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD=3PD=3xkm．
∵BD+AD＝AB，
∴x+3x＝2，
∴x=3?1，
∴點(diǎn)P到海岸線l的距離為（3?1）km，
（2）如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F．
根據(jù)題意得：∠ABC＝105°，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，
∴BF=12AB＝1km．
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°．
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，
∴BC=2BF=2km，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離為2km，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，難度適中．通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
16．（2023?南京一模）如圖，在△ABC中，CA＝CB，E為AB上一點(diǎn)，作EF∥BC，與AC交于點(diǎn)F，經(jīng)過點(diǎn)A、E、F的⊙O與BC相切于點(diǎn)D，連接AD、ED、FD．
（1）求證△BDE∽△BAD；
（2）若AE＝10，BE＝8，求CD的長．
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；切線的性質(zhì)．
【答案】（1）證明見解析；（2）CD＝24．
【分析】（1）連接OD，利用切線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)定理求得BD，設(shè)CD＝x，則BC＝AC＝x+12，利用角平分線的性質(zhì)定理列出比例式，解比例式即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接OD，如圖，
∵BC為⊙O的切線，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴ED=DF，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵FE∥BC，
∴∠BDE＝∠FED．
∵∠FED＝∠CAD，
∴∠BDE＝∠BAD，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD；
（2）解：∵△BDE∽△BAD，
∴BDBE=BABD，
∵AB＝BE+AE＝10+8＝18，
∴BD8=18BD，
∴BD＝12．
設(shè)CD＝x，則BC＝AC＝x+12．
由（1）知：∠BAD＝∠CAD，
∴BDCD=ABAC，
∴12x=18x+12，
解得：x＝24，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝24是原方程的根，
∴CD＝24．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂徑定理，角平分線的性質(zhì)，連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．
17．（2023?沭陽縣模擬）某市在城中村改造中，需要種植A、B兩種不同的樹苗共3000棵，經(jīng)招標(biāo)，承包商以15萬元的報(bào)價(jià)中標(biāo)承包了這項(xiàng)工程，根據(jù)調(diào)查及相關(guān)資料表明，A、B兩種樹苗的成本價(jià)及成活率如表：
設(shè)種植A種樹苗x棵，承包商獲得的利潤為y元．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）政府要求栽植這批樹苗的成活率不低于93%，承包商應(yīng)如何選種樹苗才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）在達(dá)到（2）中政府的要求并獲得最大利潤的前提下，承包商用綠化隊(duì)的40人種植這兩種樹苗，已知每人每天可種植A種樹苗6棵或B種樹苗3棵，如何分配人數(shù)才能使種植A、B兩種樹苗同時(shí)完工．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由購買A種樹苗x棵，可得出購買B種樹苗（3000﹣x）棵，根據(jù)“總利潤＝報(bào)價(jià)﹣購買A種樹苗錢數(shù)﹣購買B種樹苗錢數(shù)”即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)政府要求栽植這批樹苗的成活率不低于93%，即可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題；
（3）設(shè)安排m人種植A種樹苗，則有（40﹣m）人種植B種樹苗，根據(jù)每人每天可種植A種樹苗6棵或B種樹苗3棵且同時(shí)完工，可列出關(guān)于m的分式方程，解分式方程求出m的值，檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，得：購買B種樹苗（3000﹣x）棵，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝150000﹣28x﹣40（3000﹣x）＝12x+30000（0≤x≤3000）．
（2）根據(jù)題意，得：90%x+95%（3000﹣x）≥93%×3000，
解得：x≤1200，
∵y＝12x+30000中k＝12＞0，
∴當(dāng)x＝1200，3000﹣1200＝1800時(shí)，y取最大值，最大值為44400．
答：購買A種樹苗1200棵，B種樹苗1800棵時(shí)，承包商應(yīng)的利潤最大，最大利潤為44400元．
（3）設(shè)安排m人種植A種樹苗，則有（40﹣m）人種植B種樹苗，
根據(jù)題意，得：12006m=18003(40?m)，
解得：m＝10．
經(jīng)檢驗(yàn)，m＝10是分式方程的解，且符合實(shí)際，此時(shí)40﹣10＝30（人）．
答：安排10人種植A種樹苗，30人種植B種樹苗，恰好同時(shí)完工．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出不等式；（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出分式方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式（不等式或方程）是關(guān)鍵．
18．（2023?錫山區(qū)模擬）（1）如圖1，在銳角△ABC的外部找一點(diǎn)D，使得點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，且∠BDC+∠BAC＝180°，請用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）中，若AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°，則線段AD的長為 1033 ．（如需畫草圖，請使用圖2）
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．
【答案】（1）見解答；
（2）1033．
【分析】（1）作∠BAC的平分線，再作AB，AC的垂直平分線，確定△ABC的外接圓的圓心，作圓，與∠BAC的平分線的交點(diǎn)即為點(diǎn)D；
（2）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延長線于N．利用全等三角形的性質(zhì)證明AM＝AN＝5，最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求解．
【詳解】解：（1）如下圖：點(diǎn)D即為所求；
（2）如圖1，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延長線于N，
∴∠BMD＝∠DNC＝90°，
∵D在∠BAC的平分線上，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴DM＝DN，CD＝BD，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM＝CN，
∵DM＝DN，AD＝AD，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），
∴AM＝AN，
∵AB+AC＝AM+BM+AN﹣CN＝2AN＝10，
∴AN＝5，
∴AD=ANcs30°=1033，
故答案為：1033．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，三角形的外接圓，三角形的角平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
19．（2023?濱湖區(qū)一模）如圖1，在直角三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．
[數(shù)學(xué)活動(dòng)]
將三角形紙片ABC進(jìn)行以下操作：第一步：折疊三角形紙片ABC使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕DE，然后展開鋪平；第二步：將△DEC繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△DFG，點(diǎn)E、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)F、G，直線GF與邊AC交于點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合），與邊AB交于點(diǎn)N．
[數(shù)學(xué)思考]
（1）折痕DE的長為 3 ；
（2）在△DEC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷MF與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
[數(shù)學(xué)探究]
（3）如圖2，在△DEC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)直線GF經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求AM的長；
[問題延伸]
（4）如圖3，若直角三角形紙片ABC的兩直角邊AB＝AC＝4，按上邊[數(shù)學(xué)活動(dòng)]的步驟操作，在點(diǎn)G從點(diǎn)C開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°的過程中，設(shè)△DFG與△ABC的重疊部分的面積為S，求S的最小值．小明在探究這個(gè)問題的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°和45°時(shí)，S的值比較小，你能在小明探究的基礎(chǔ)上，求出S的最小值嗎？請直接寫出答案．
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】（1）3；
（2）MF＝ME，證明見解答過程；
（3）74；
（4）12﹣63．
【分析】（1）通過證明DE是中位線，可得DE＝3；
（2）連接DM，根據(jù)HL證Rt△DMF≌Rt△DME，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)角相等得出BM＝MC，設(shè)MC＝BM＝x，根據(jù)勾股定理求出x的值，根據(jù)AM＝AC﹣CM求出AM的值即可；
（4）設(shè)DG交AC邊于R，由（2）知Rt△DMF≌Rt△DME，由旋轉(zhuǎn)變化知當(dāng)Rt△DMF≌Rt△DME≌Rt△DRE時(shí)S有最小值，即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時(shí)△GMR的面積最大，此時(shí)S有最小值，求出此時(shí)的S值即可．
【詳解】解：（1）由折疊可知：AE＝EC，DE⊥AC，
∴DE∥AB，
∴CDBD=ECAE=1，
∴DC＝BD，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=12AB＝3，
故答案為：3；
（2）MF＝ME，證明如下：
連接DM，
由旋轉(zhuǎn)知，DE＝DF，∠DFM＝∠DEM＝90°，
在Rt△DMF和Rt△DME中，
DE=DFDM=DM，
∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），
∴MF＝ME；
（3）∵DG＝DB＝DC，
∴∠G＝∠DBG，
∴∠G＝∠C，
∴∠MBC＝∠C，
∴BM＝MC，
設(shè)BM＝MC＝x，
在Rt△ABM中，BM2＝AB2+AM2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得x=254，
∴AM＝AC﹣CM＝8?254=74；
（4）設(shè)DG交AC邊于R，由（2）知Rt△DMF≌Rt△DME，由旋轉(zhuǎn)變化知當(dāng)Rt△DMF≌Rt△DME≌Rt△DRE時(shí)S有最小值，即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時(shí)△GMR的面積最大，此時(shí)S有最小值，
如下圖所示：
∵AB＝AC＝4，
∴DE＝DF＝2，
延長DF交AC于T，則∠TDE＝30°，∠DTM＝60°，
∴DT=DEcs30°=433，
即FT＝DT﹣DF=433?2，
∴FM＝FT?tan60°＝4﹣23，
∴MR＝2FM＝8﹣43，
∴S＝S△DFM+S△DMR=12×2×（4﹣23）+12×2×（8﹣43）＝12﹣63．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．
20．（2023?邗江區(qū)校級一模）對于二次函數(shù)給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）的圖象頂點(diǎn)為P（不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合），以O(shè)P為邊構(gòu)造正方形OPMN，則稱正方形OPMN為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的關(guān)聯(lián)正方形，稱二次函數(shù)y＝ax2+bx+c為正方形OPMN的關(guān)聯(lián)二次函數(shù)．若關(guān)聯(lián)正方形的頂點(diǎn)落在二次函數(shù)圖象上，則稱此點(diǎn)為伴隨點(diǎn)．
（1）如圖，直接寫出二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2的關(guān)聯(lián)正方形OPMN頂點(diǎn)N的坐標(biāo) （﹣2，1）或（2，﹣1） ，并驗(yàn)證點(diǎn)N是否為伴隨點(diǎn) 否 （填“是“或“否“）：
（2）當(dāng)二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+c的關(guān)聯(lián)正方形OPMN的頂點(diǎn)P與N位于x軸的兩側(cè)時(shí)，請解答下列問題：
①若關(guān)聯(lián)正方形OPMN的頂點(diǎn)M、N在x軸的異側(cè)時(shí)，求c的取值范圍：
②當(dāng)關(guān)聯(lián)正方形OPMN的頂點(diǎn)M是伴隨點(diǎn)時(shí)，求關(guān)聯(lián)函數(shù)y＝﹣x2+4x+c的解析式；
③關(guān)聯(lián)正方形OPMN被二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+c圖象的對稱軸分成的兩部分的面積分別為S1與S2，若S1≤13S2，請直接寫出c的取值范圍．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由點(diǎn)P坐標(biāo)，畫出正方形OPMN的大致位置，發(fā)現(xiàn)MN可以在OP的左右兩側(cè)，故需分類討論．分別過點(diǎn)P、N作x軸長垂線段PA、NB，易證△BON≌△APO，故有BO＝PA＝2，BN＝AO＝1．根據(jù)點(diǎn)N在第二或第四象限的位置得到點(diǎn)N坐標(biāo)，把N的橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求得的函數(shù)值與N的縱坐標(biāo)不相等，故點(diǎn)N不著二次函數(shù)圖象上，不是伴隨點(diǎn)．
（2）①用配方法求點(diǎn)P坐標(biāo)，畫出正方形OPMN的大致位置，由（1）可證得△BON≌△APO，故有BN＝OA＝2，BO＝PA＝|c+4|．由于點(diǎn)M、N在x軸的異側(cè)，由圖可知PA＞BN．分別討論點(diǎn)P在第一象限和第四象限時(shí)PA的長（用c表示），即得到關(guān)于c的不等式，進(jìn)而求得c的取值范圍．
②過點(diǎn)M作直線PA的垂線段MC，構(gòu)造△PCM≌△OAP，故有CM＝PA＝|c+4|，PC＝OA＝2．若點(diǎn)P在第一象限時(shí)，根據(jù)c+4＞0求得用c表示點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)，由點(diǎn)M為伴隨點(diǎn)可知點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上，把點(diǎn)M坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得到關(guān)于c的方程，解方程并討論c的取值即可．若點(diǎn)P在第四象限，則點(diǎn)M在點(diǎn)P上方，但二次函數(shù)圖象開口向下，不可能經(jīng)過點(diǎn)M，即此時(shí)M不可能為伴隨點(diǎn)．
③由S1≤13S2，可得S1≤14S正方形OPMN．畫圖可知，當(dāng)點(diǎn)P、M在x軸同側(cè)時(shí)對稱軸與ON交于點(diǎn)D，S1＝S△POD，故有12OP?OD≤14OP2解得OD≤12ON．又由AD∥BN可證△OAD∽△OBN，通過對應(yīng)邊成比例得OA≤12OB，把含c的式子代入解不等式即求得c的范圍．當(dāng)點(diǎn)P、M在x軸異側(cè)時(shí)，同理可求c的取值范圍．
【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)N作NB⊥x軸于點(diǎn)B
∴∠PAO＝∠OBN＝90°
∵二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2頂點(diǎn)P（﹣1，﹣2）
∴PA＝2，OA＝1
∵四邊形OPMN是正方形
∴OP＝ON，∠PON＝90°
∴∠AOP+∠BON＝∠BON+∠BNO＝90°
∴∠AOP＝∠BNO
在△BON與△APO中
∠OBN=∠PAO∠BNO=∠AOPON=PO
∴△BON≌△APO（AAS）
∴BO＝PA＝2，BN＝AO＝1
若MN在OP左側(cè)，則點(diǎn)N在第二象限，N（﹣2，1）
∵x＝﹣2時(shí)，y＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣1≠1
∴點(diǎn)N不在二次函數(shù)的圖象上
∴N（﹣2，1）不是伴隨點(diǎn)
若MN在OP右側(cè)，則點(diǎn)N在第四象限，N（2，﹣1）
∵x＝2時(shí)，y＝（2+1）2﹣2＝7≠﹣1
∴N（2，﹣1）不是伴隨點(diǎn)
故答案為：（﹣2，1）或（2，﹣1）；否．
（2）過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)N作NB⊥x軸于點(diǎn)B
由（1）可得：△BON≌△APO
∵y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+c+4
∴P（2，c+4）
∴BN＝OA＝2，BO＝PA＝|c+4|
①i）如圖2，若點(diǎn)P在第一象限
∵P與N位于x軸的兩側(cè)，點(diǎn)M、N在x軸的異側(cè)
∴點(diǎn)N在第四象限，PA＞BN
∴c+4＞0c+4＞2 解得：c＞﹣2
ii）如圖3，若點(diǎn)P在第四象限
∴點(diǎn)N在第一象限，PA＞BN
∴c+4＜0?(c+4)＞2 解得：c＜﹣6
綜上所述，點(diǎn)M、N在x軸的異側(cè)時(shí)，c的取值范圍為c＜﹣6或c＞﹣2．
②過點(diǎn)M作MC⊥PA于點(diǎn)C
∴∠MCP＝∠PAO＝90°
∴∠PMC+∠MPC＝∠MPC+∠OPA＝90°
∴∠PMC＝∠OPA
在△PCM與△OAP中
∠PCM=∠OAP∠PMC=∠OPAPM=OP
∴△PCM≌△OAP（AAS）
∴CM＝PA＝|c+4|，PC＝OA＝2
i）如圖2，若點(diǎn)P在第一象限，則c+4＞0
∴xM＝OA+CM＝2+c+4＝c+6，yM＝y(tǒng)P﹣PC＝c+4﹣2＝c+2
∴M（c+6，c+2）
∵點(diǎn)M是伴隨點(diǎn)，即點(diǎn)M在二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+c圖象上
∴﹣（c+6）2+4（c+6）+c＝c+2
解得：c1＝﹣4?2（舍去），c2＝﹣4+2
ii）如圖3，若點(diǎn)P在第四象限，則點(diǎn)M在點(diǎn)P上方
∵二次函數(shù)圖象開口向下
∴點(diǎn)M不可能在二次函數(shù)圖象上，即不可能為伴隨點(diǎn)
綜上所述，關(guān)聯(lián)函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+2?4
③∵S1≤13S2，S1+S2＝S正方形OPMN
∴S2≥3S1
∴S1+S2≥4S1
∴S1≤14S正方形OPMN
i）如圖4，當(dāng)點(diǎn)P、M在x軸同側(cè)時(shí)（由①可知c＜﹣6或c＞﹣2），對稱軸與ON交于點(diǎn)D
∴S1＝S△POD=12OP?OD
∴12OP?OD≤14OP2
∴OD≤12OP，即OD≤12ON
∵AD∥BN
∴△OAD∽△OBN
∴OAOB=ODON≤12
∴OA≤12OB
∴2≤12|c+4|
解得：c≥0或c≤﹣8
ii）如圖5，當(dāng)點(diǎn)P、M在x軸異側(cè)時(shí)（﹣6＜c＜﹣2），對稱軸與MN交于點(diǎn)E
延長MC交BN于F
∴MF＝OA＝2
∴S1＝S△PME=12PM?ME
∴12PM?ME≤14PM2
∴ME≤12PM，即ME≤12MN
∴MC≤12MF
∴|c+4|≤1且c≠﹣4，
解得：﹣5≤c≤﹣3且c≠﹣4．
綜上所述，S1≤13S2時(shí)c的取值范圍為c≤﹣8或﹣5≤c≤﹣3且c≠﹣4或c≥0．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解和性質(zhì)運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元一次不等式（組）的解法，一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性質(zhì)．由于正方形頂點(diǎn)位置的不確定，故每小題都需根據(jù)情況抓住相同點(diǎn)和不同點(diǎn)進(jìn)行分類討論．討論正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，常在正方形內(nèi)構(gòu)造弦圖得到全等三角形，再利用全等三角形性質(zhì)計(jì)算．
題組三：數(shù)與式的計(jì)算、解分式方程與不等式、概率、統(tǒng)計(jì)、四邊形的簡單計(jì)算與證明、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、相似與格點(diǎn)作圖、圓的有關(guān)計(jì)算與證明、幾何壓軸題、二次函數(shù)推理計(jì)算與證明
21．（2023?淮陰區(qū)一模）（1）計(jì)算：（﹣3）2+（π?12）0﹣|﹣4|；
（2）化簡：（1?1a+1）?a2+2a+1a．
【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算；零指數(shù)冪；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．
【答案】（1）6；
（2）a+1．
【分析】（1）先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、去絕對值；然后計(jì)算加減法；
（2）先計(jì)算括號內(nèi)的，然后對分式的分子進(jìn)行因式分解，通過約分進(jìn)行化簡．
【詳解】解：（1）（﹣3）2+（π?12）0﹣|﹣4|
＝9+1﹣4
＝6；
（2）（1?1a+1）?a2+2a+1a
=a+1?1a+1?(a+1)2a
＝a+1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，把分式化到最簡是解答（2）題的關(guān)鍵．
22．（2023?錫山區(qū)模擬）（1）解方程：1x?2+1?x2?x=3；
（2）解不等式：3x?3＞x+12(2x?1)≤5x?1．
【考點(diǎn)】解分式方程；解一元一次不等式組．
【答案】（1）x＝3；
（2）x＞2．
【分析】（1）方程兩邊都乘x﹣2得出1﹣（1﹣x）＝3（x﹣2），求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（2）先求出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集即可．
【詳解】解：（1）1x?2+1?x2?x=3，
方程兩邊都乘x﹣2，得1﹣（1﹣x）＝3（x﹣2），
解得：x＝3，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，x﹣2≠0，
所以x＝3是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝3；
（2）3x?3＞x+1①2(2x?1)≤5x?1②，
解不等式①，得x＞2，
解不等式②，得x≥﹣1，
所以不等式組的解集是x＞2．
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程和解一元一次不等式組，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解（1）的關(guān)鍵，能根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集是解（2）的關(guān)鍵．
23．（2023?天寧區(qū)校級模擬）為傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，提高學(xué)生文化素養(yǎng)，學(xué)校舉辦“經(jīng)典誦讀”比賽，比賽題目分為“詩詞之風(fēng)”、“散文之韻”、“戲劇之雅”三組（依次記為A，B，C）．甲、乙兩名同學(xué)參加比賽，其中一名同學(xué)從三組題目中隨機(jī)抽取一組，然后放回，另一名同學(xué)再隨機(jī)抽取一組．
（1）甲抽到A組題目的概率是 13 ；
（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求甲、乙兩名同學(xué)抽到不同題目的概率．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．
【答案】（1）13．
（2）23．
【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算即可．
（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和甲、乙兩名同學(xué)抽到不同題目的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【詳解】解：（1）∵共有A，B，C三組題目，
∴甲抽到A組題目的概率是13．
故答案為：13．
（2）畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩名同學(xué)抽到不同題目的結(jié)果有AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6種，
∴甲、乙兩名同學(xué)抽到不同題目的概率為69=23．
【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
24．（2023?泗陽縣校級一模）某中學(xué)對學(xué)生進(jìn)行“綜合素質(zhì)評價(jià)”，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的評價(jià)結(jié)果分為A、B、C、D、E五個(gè)等級，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息，解答下列問題．
（1）本次抽樣調(diào)查的學(xué)生有 100 人；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：B組對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 108° ；
（3）該學(xué)校共有3500名學(xué)生，估計(jì)該校A等級的人數(shù)．
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；用樣本估計(jì)總體；扇形統(tǒng)計(jì)圖．
【答案】（1）100；
（2）補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖見解答；108°；
（3）估計(jì)該校A等級的學(xué)生有700人．
【分析】（1）根據(jù)A等級的人數(shù)和所占的百分比，可以計(jì)算出本次抽取的學(xué)生人數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出B等級的人數(shù)，然后即可將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；根據(jù)B等級的和（1）中的結(jié)果，可以計(jì)算出B組對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；
（3）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖中A等級所占的百分比，可以計(jì)算出該校A等級的人數(shù)．
【詳解】解：（1）20÷20%＝100（人），
即本次抽樣調(diào)查的學(xué)生有100人，
故答案為：100；
（2）B等級的學(xué)生有：100﹣20﹣30﹣10﹣10＝30（人），
補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如右圖所示，
B組對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×30100=108°，
故答案為：108°；
（3）3500×20%＝700（人），
答：估計(jì)該校A等級的學(xué)生有700人．
【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
25．（2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．
你贊同誰的證法？若贊成小潔的說法，請你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．
【考點(diǎn)】菱形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)．
【答案】贊成小潔的說法，補(bǔ)充條件：OA＝OC，證明見解答過程．
【分析】根據(jù)“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”進(jìn)行分析推理．
【詳解】解：贊成小潔的說法，補(bǔ)充條件：OA＝OC，證明如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，掌握平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形以及菱形的判定方法：（1）四條邊相等的四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，是解題關(guān)鍵．
26．（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖1是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖2是小明鍛煉時(shí)上半身由ON位置運(yùn)動(dòng)到底面CD垂直的OM位置時(shí)的示意圖，已知AC＝0.8米，BD＝0.2米，α＝30°（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，2≈1.41）．
（1）求AB的長；
（2）若ON＝0.7米，求M、N兩點(diǎn)的距離（精確到0.1米）．
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．
【答案】（1）1.2米．
（2）1.2米．
【分析】（1）過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，從而可知AE＝0.6米，然后根據(jù)∠ABE＝30°，可知AB＝2AE．
（2）過點(diǎn)N作FN⊥MO的延長線于點(diǎn)F，然后根據(jù)∠ONF＝∠ABE＝30°，可知OF=12ON＝0.35（米），最后利用勾股定理分別求出FN與MN的長度．
【詳解】解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，
∴四邊形BECD是矩形，
∴BD＝CE＝0.2（米），
∴AE＝AC﹣CE＝0.8﹣0.2＝0.6（米），
∵∠ABE＝30°，
∴AB＝2AE＝1.2（米）．
（2）過點(diǎn)N作FN⊥MO的延長線于點(diǎn)F，
∴FN∥BE，
∴∠ONF＝∠ABE＝30°，
∴OF=12ON＝0.35（米），
在Rt△ONF中，
由勾股定理可知：NF=0．72?0.352=0.353（米），
∴MF＝OM+OF＝ON+OF＝1.05（米），
在Rt△MNF中，
由勾股定理可知：MN=1.052+(0.353)2≈1.2（米）．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，本題屬于中等題型．
27．（2023?常州模擬）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，且每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按要求完成如圖畫圖．（要求僅用無刻度的直尺，且保留必要的畫圖痕跡）
（1）在圖1中，以BO為邊，畫出△OBC，使△OBC∽△ABO，C為格點(diǎn)；
（2）在圖2中，以點(diǎn)O為位似中心．畫出△ODE，使△ODE與△OAB位似，且位似比k=ODOA=2，點(diǎn)D、E為格點(diǎn)；
（3）在圖3中，在OA邊上找一個(gè)點(diǎn)F，且滿足AFOF=3．
【考點(diǎn)】作圖﹣位似變換．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析；
（3）見解析．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)畫出△OBC，使△OBC∽△ABO；
（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)即可畫出△ODE；
（3）取格點(diǎn)P，Q，連接PQ，交AO于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求作的點(diǎn)．
【詳解】解：（1）如圖所示，△OBC即為所求；
（2）解：如圖所示，△ODE即為所求；
（3）解：如圖所示，取格點(diǎn)P，Q，連接PQ，交AO于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求作的點(diǎn)．
∵△AQF∽△OPF，
∴AFFO=AQOP=3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖﹣相似變換，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28．（2023?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，過點(diǎn)D作PQ∥AB分別交CA、CB延長線于P、Q，連接BD．
（1）求證：PQ是⊙O的切線；
（2）求證：BD2＝AC?BQ；
（3）若AC、BQ的長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+4＝0的兩實(shí)根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半徑．
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；根與系數(shù)的關(guān)系；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；切線的判定與性質(zhì)．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）10．
【分析】（1）欲證明PQ是⊙O切線，只要證明OD⊥PQ即可；
（2）連接AD，根據(jù)等腰三角形的判定得到AD＝BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意得到AC?BQ＝16，得到BD＝4，由（1）知PQ是⊙O的切線，由切線的性質(zhì)得到OD⊥PQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥AB，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BE＝3DE，根據(jù)勾股定理得到BE=3105，設(shè)OB＝OD＝R，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，
∵∠ACD＝∠ABD
∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠BDQ，
如圖，連接OB，OD，交AB于E，
，
則∠O＝2∠DCB＝2∠BDQ，∠OBD＝∠ODB，
在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O＝180°，
∴2∠ODB+2∠BDQ＝180°，
∴∠ODB+∠O＝90°，
∵OD是半徑，
∴PQ是⊙O的切線；
（2）如圖，連接AD，
由（1）知PQ是⊙O的切線，
∴∠BDQ＝∠DCB＝∠ACD＝∠BCD＝∠BAD，
∴AD＝BD，
∵∠BDQ＝∠ACD，
∴△BDQ∽△ACD，
∴ADBQ=ACBD，
∴BD2＝AC?BQ；
（3）∵AC、BQ的長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+4＝0的兩實(shí)根，
∴AC?BQ＝4，
由（2）得BD2＝AC?BQ，
∴BD2＝4，
∴BD＝2，
由（1）知PQ是⊙O的切線，
∴OD⊥PQ，
∵PQ∥AB，
∴OD⊥AB，
由（1）得∠PCD＝∠ABD，
∵tan∠PCD=13，
∴tan∠ABD=13，
∴BE＝3DE，
∴DE2+（3DE）2＝BD2＝4，
∴DE=105，
∴BE=3105，
設(shè)OB＝OD＝R，
∴OE=R?105，
∵OB2＝OE2+BE2，
∴R2=(R?510)2+(3105)2，
解得：R=10，
∴⊙O的半徑R=10．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．
29．（2023?泗陽縣校級一模）【問題提出】
在一次折紙活動(dòng)課上，老師提出這樣一個(gè)問題：如何把一張正方形的紙通過折疊的方式等分成若干份？
【解決問題】
以下是某個(gè)小組的活動(dòng)過程：若是等分成兩份，如圖①直接對折，四等分、八等分在二等分的基礎(chǔ)上進(jìn)行對折即可，那三等分呢？
學(xué)習(xí)過相似三角形的相關(guān)知識后，小明提出了如下方法：如圖②，折出AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接AF、CE交對角線BD于點(diǎn)G、H，過點(diǎn)G、H折出AB、CD的平行線，折痕MN、PQ三等分正方形紙片．
（1）小明的想法正確嗎？若正確，請證明：
【類比學(xué)習(xí)】
（2）尺規(guī)作圖：如圖③，請你用尺規(guī)作圖，作線段AB的三等分點(diǎn)．（保留作圖痕跡，并簡要說明作法）
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】（1）小明的想法正確；
（2）見解析．
【分析】（1）根據(jù)△BFG∽△DAG，可得BGGD=12，同理，DHBH=12，再利用平行線分線段成比例定理可得；
（2）任意作一條射線AM，截取AE＝ED＝DC，連接BC，分別作∠ADG＝∠ACB＝∠AEN，即可得出線段AB的三等分點(diǎn)N、G．
【詳解】解：（1）小明的想法正確，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△BFG∽△DAG，
∴BGDG=BFAD，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴BF=12BC，
∴BGGD=12，
同理，DHBH=12，
∴BG＝GH＝DH，
∵M(jìn)N∥PQ∥AB，
∴AM＝MP＝PD，
∴折痕MN、PQ三等分正方形紙片，
∴小明的想法正確；
（2）如圖，任意作一條射線AM，截取AE＝ED＝DC，連接BC，
分別作∠ADG＝∠ACB＝∠AEN，即可得出線段AB的三等分點(diǎn)N、G．
【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，尺規(guī)作圖等知識，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．
30．（2023?秦淮區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x＝ 1 ；
（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最大值與最小值的差為8，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）若a＜0，對于二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)t≤x1≤t+1，x2≥3時(shí)，均滿足y1≥y2，請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出t的取值范圍．
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的最值．
【答案】（1）1；
（2）y＝2x2﹣4x或y＝﹣2x2+4x；
（3）﹣1≤t≤2．
【分析】（1）由對稱軸是直線x=?b2a，可求解；
（2）分a＞0或a＜0兩種情況討論，求出y的最大值和最小值，即可求解；
（3）利用函數(shù)圖象的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：（1）由題意可得：對稱軸是直線x=??2a2a=1，
故答案為：1；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，
∵對稱軸為直線x＝1，
當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值為﹣a，
當(dāng)x＝3時(shí)，y有最大值為3a，
∴3a﹣（﹣a）＝8，
∴a＝2，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝2x2﹣4x，
當(dāng)a＜0時(shí)，同理可得y有最大值為﹣a，y有最小值為3a，
∴﹣a﹣3a＝8，
∴a＝﹣2，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣2x2+4x，
綜上所述，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x2﹣4x或y＝﹣2x2+4x；
（3）∵a＜0，對稱軸為直線x＝1，
∴x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大，x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，x＝﹣1和x＝3時(shí)的函數(shù)值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3時(shí)，均滿足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識，利用分類思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
題組四：數(shù)與式的計(jì)算、解方程、概率、統(tǒng)計(jì)、四邊形的簡單計(jì)算與證明、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、圓的有關(guān)計(jì)算與證明、一次函數(shù)的應(yīng)用、幾何壓軸題、二次函數(shù)綜合題
31．（2023?錫山區(qū)模擬）計(jì)算：
（1）8+(?12)?1?4cs45°；
（2）2（m﹣1）2﹣（2m+3）（2m﹣3）．
【考點(diǎn)】平方差公式；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；完全平方公式．
【答案】（1）﹣2；
（2）﹣2m2﹣4m+11．
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義、特殊角銳角三角函數(shù)值解答即可；
（2）利用完全平方公式及平方差公式進(jìn)行解答．
【詳解】解：（1）原式＝22?2﹣4×22
＝22?2﹣22
＝﹣2；
（2）原式＝2（m2﹣2m+1）﹣[（2m）2﹣32]
＝2m2﹣4m+2﹣（4m2﹣9）
＝2m2﹣4m+2﹣4m2+9
＝﹣2m2﹣4m+11．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和整式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
32．（2023?常州模擬）解下列方程：
（1）3x?5x?2=1?12?x；
（2）x2﹣4x+2＝0．
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法；解分式方程．
【答案】（1）無解．
（2）x1＝2+2，x2＝2?2．
【分析】（1）先兩邊都乘以x﹣2化分式方程為整式方程，解之求出x的值，再檢驗(yàn)即可得出答案；
（2）利用配方法求解即可．
【詳解】解：（1）兩邊都乘以x﹣2，得：3x﹣5＝x﹣2+1，
解得x＝2，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是原方程的增根，
所以原方程無解；
（2）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2=2或x﹣2=?2，
解得x1＝2+2，x2＝2?2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
33．（2023?建湖縣一模）“雙減”政策下，將課后服務(wù)作為學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要陣地，聚力打造高品質(zhì)和高成效的服務(wù)課程，推動(dòng)提升課后服務(wù)質(zhì)量，助力學(xué)生全面健康成長．某校確立了A：科技：B：運(yùn)動(dòng)；C：藝術(shù)；D：項(xiàng)目化研究四大課程領(lǐng)域（每人限報(bào)一個(gè)）、若該校小陸和小明兩名同學(xué)各隨機(jī)選擇一個(gè)課程領(lǐng)域．
（1）小陸選擇項(xiàng)目化研究課程領(lǐng)域的概率是 14 ．
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求小陸和小明選擇同一個(gè)課程領(lǐng)域的概率．
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法．
【答案】（1）14；
（2）14．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中小麗和小寧選同一個(gè)課程的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：（1）小陸選擇項(xiàng)目化研究課程領(lǐng)域的概率是14，
故答案為：14；
（2）畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中小麗和小寧選同一個(gè)課程的結(jié)果有4種，
∴小陸和小明選同一個(gè)課程的概率為416=14．
【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，用列表法或畫樹狀圖法不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．
34．（2023?建湖縣一模）今年的4月15日是第八個(gè)全民國家安全教育日，某校為了解學(xué)生的安全意識，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，把學(xué)生的安全意識分成“淡薄”、“一般”、“較強(qiáng)”、“很強(qiáng)”四個(gè)層次類別，并繪制如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）這次調(diào)查一共抽取了 200 名學(xué)生，請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“較強(qiáng)”層次類別所占圓心角的為 72° ；
（3）若該校有1800名學(xué)生，現(xiàn)要對安全意識為“淡薄”、“一般”的學(xué)生強(qiáng)化安全教育，請根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估算，全校需要強(qiáng)化安全教育的學(xué)生共有多少名？
【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本估計(jì)總體；扇形統(tǒng)計(jì)圖．
【答案】（1）200；
（2）72°；
（3）全校需要強(qiáng)化安全教育的學(xué)生人數(shù)為450名．
【分析】（1）用一般層次的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；用總?cè)藬?shù)減其它層次人數(shù)，計(jì)算出較強(qiáng)層次的人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）用360°乘以“較強(qiáng)”層次所占的百分比，即可得到扇形統(tǒng)計(jì)圖中“較強(qiáng)”層次所占圓心角；
（3）用1800乘以樣本中“淡薄”和“一般”層次所占的百分比即可．
【詳解】解：（1）30÷15%＝200（名），
∴這次調(diào)查一共抽取了200名學(xué)生，
（2）∵較強(qiáng)層次的人數(shù)為200﹣20﹣30﹣110＝40（名），
∴補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下，
故答案為：200；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“較強(qiáng)”層次所占圓心角為360°×40200=72°．
故答案為：72°；
（3）1800×20+30200=450（名），
∴估計(jì)全校需要強(qiáng)化安全教育的學(xué)生人數(shù)為450名．
【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖相關(guān)聯(lián)，掌握題意由條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖得出必要的信息和數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
35．（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖，矩形紙片ABCD，點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿直線EF折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合．
（1）請用直尺和圓規(guī)作出直線EF（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接BE，DF，判斷四邊形BFDE的形狀，并證明你的結(jié)論．
【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)．
【答案】（1）作圖見解答；
（2）四邊形BFDE為菱形．理由見解答．
【分析】（1）作BD的垂直平分線交AD于E點(diǎn)，交BC于F點(diǎn)；
（2）先利用折疊的性質(zhì)得到EF垂直平分BD，則OB＝OD，再證明△DOE≌△BOF得到OE＝OF，然后利用EF和BD互相垂直平分可判斷四邊形BFDE為菱形．
【詳解】解：（1）如圖，EF為所作；
（2）EF交BD于O點(diǎn)，如圖，
∵矩形紙片沿直線EF折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，
∴EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
∠EDO=∠FBOOD=OB∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴OE＝OF，
∴EF和BD互相垂直平分，
∴四邊形BFDE為菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．
36．（2023?沛縣模擬）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校門口安裝一款紅外線體溫檢測儀，該設(shè)備通過探測人體紅外輻射的能量對進(jìn)入測溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速體溫檢測，無需人員停留和接觸．如圖所示，BF是水平地面，其中EF是測溫區(qū)域，測溫儀安裝在校門AB上的點(diǎn)A處，已知∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
（1）∠ACG＝ 60 度，∠ADG＝ 30 度．
（2）學(xué)生DF身高1.5米，當(dāng)攝像頭安裝高度BA＝3.5米時(shí)，求出圖中BF的長度；（結(jié)果保留根號）
（3）為了達(dá)到良好的檢測效果，測溫區(qū)EF的長不低于3米，請計(jì)算得出設(shè)備的最低安裝高度BA是多少？（結(jié)果保留1位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73）
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．
【答案】（1）60，30；
（2）23米；
（3）設(shè)備的最低安裝高度BA是4.1米．
【分析】（1）根據(jù)題意得出∠CAG＝∠DAG﹣∠DAC＝30°，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解；
（2）根據(jù)題意，先求得AG＝2，解Rt△ADG即可求解；
（3）根據(jù)題意得出AC＝CD＝3，解Rt△AGC，得出AG=233，然后根據(jù)AB＝AG+GB，即可求解．
【詳解】解：（1）依題意，DG⊥AG，
∵∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
∴∠CAG＝∠DAG﹣∠DAC＝30°，
∴∠ACG＝90°﹣∠CAG＝60°；∠ADG＝90°﹣∠DAG＝30°，
故答案為：60；30；
（2）∵AB＝3.5，DF＝1.5，
∴AG＝AB﹣BG＝3.5﹣1.5＝2，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴GD=AGtan∠ADG=233=23（米），
∵BF＝GD，
∴圖中BF的長度為23米；
（3）∵∠DAC＝30°，∠ADG＝30°，
∴AC＝CD＝3，
∴AG=AC?cs∠CAG=3×32=323（米），
∴BA＝AG+GB=332+1.5≈4.1（米），
∴設(shè)備的最低安裝高度BA是4.1米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
37．（2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬）如圖，已知BF是⊙O的直徑，A為⊙O上（異于B、F）一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線MA與FB的延長線交于點(diǎn)M，G為BF上一點(diǎn)，AG的延長線交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，∠MAE+∠AFM＝90°．
（1）求證：AM∥EF；
（2）MA＝62，BE＝2，記△AMF的面積為S1，記△AEF的面積為S2，記△EFG的面積為S3，若S1?S3=35S22，求⊙O的半徑．
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）⊙O的半徑為3．
【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠BAF＝90°，從而可得∠ABF+∠AFB＝90°，進(jìn)而可得∠ABF＝∠MAE，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠ABF＝∠AEF，從而可得∠MAE＝∠AEF，最后利用平行線的判定，即可解答；
（2）設(shè)△AGF的面積為S4，△AGM的面積為S5，AGGE=t，則S4S3=t，從而可得S4＝tS3，根據(jù)已知易得S1＝S4+S5，S2＝S4+S3，再證明8字模型相似三角形△AGM∽△EGF，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得S5＝t2S3，然后根據(jù)已知S1?S3=35S22，進(jìn)行計(jì)算求出t的值，從而可得AGGE=32，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)可求出EF的長，最后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠BEF＝90°，從而在Rt△BEF中，利用勾股定理可求出BF的長，即可解答．
【解答】（1）證明：∵BF是⊙O的直徑，
∴∠BAF＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵∠MAE+∠AFM＝90°，
∴∠ABF＝∠MAE，
∵∠ABF＝∠AEF，
∴∠MAE＝∠AEF，
∴AM∥EF；
（2）解：設(shè)△AGF的面積為S4，△AGM的面積為S5，AGGE=t，
∴S4S3=t，
∴S4＝tS3，
∵△AMF的面積為S1，△AEF的面積為S2，△EFG的面積為S3，
∴S1＝S4+S5，S2＝S4+S3，
∵∠MAE＝∠AEF，∠AGM＝∠EGF，
∴△AGM∽△EGF，
∴S5S3=（AGGE）2＝t2，
∴S5＝t2S3，
∵S1?S3=35S22，
∴（S4+S5）?S3=35（S4+S3）2，
∴（tS3+t2S3）?S3=35（tS3+S3）2，
整理得：2t2﹣t﹣3＝0，
解得：t=32或t＝﹣1（舍去），
∴AGGE=32，
∵△AGM∽△EGF，
∴AMEF=AGGE，
∴62EF=32，
∴EF＝42，
∵BF是⊙O的直徑，
∴∠BEF＝90°，
∵BE＝2，
∴BF=BE2+EF2=22+(42)2=36=6，
∴⊙O的半徑為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
38．（2023?秦淮區(qū)校級模擬）小明早晨從家里出發(fā)勻速步行去上學(xué)，中途沒有停下來，小明的媽媽在小明出發(fā)后10分鐘，發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本沒帶，于是她帶上課本立即勻速騎車按小明上學(xué)的路線追趕小明，結(jié)果與小明同時(shí)到達(dá)學(xué)校．已知小明在整個(gè)上學(xué)途中，他出發(fā)后t分鐘時(shí)，他所在的位置與家的距離為s千米，且s與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖中的折線段OA﹣AB所示．
（1）試求線段OA所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）請解釋圖中線段AB的實(shí)際意義；
（3）請?jiān)谒o的圖中畫出小明的媽媽在追趕小明的過中，她所在位置與家的距離s（千米）與小明出發(fā)后的時(shí)間t（分鐘）之間函數(shù)關(guān)系的圖象．（注：請標(biāo)注出必要的數(shù)據(jù)）
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）s=112t(0≤t≤12)；（2）小明出發(fā)12分鐘后，沿著以他家為圓心，1千米為半徑的圓弧形道路上勻速步行了8分鐘；（3）見解析．
【分析】（1）OA為正比例函數(shù)圖象，可以用待定系數(shù)法求出；
（2）AB段離家距離沒發(fā)生變化說明在以家為圓心做曲線運(yùn)動(dòng)；
（3）媽媽的速度正好是小明的2倍，所以媽媽走弧線路用（20﹣12）÷2＝4分鐘．
【詳解】解：（1）線段OA對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：s=112t(0≤t≤12)；
（2）圖中線段AB的實(shí)際意義是：小明出發(fā)12分鐘后，沿著以他家為圓心，1千米為半徑的圓弧形道路上勻速步行了8分鐘；
（3）由圖像可知，小明花20分鐘到達(dá)學(xué)校，則小明的媽媽花20﹣10＝10分鐘到達(dá)學(xué)校，可知小明媽媽的速度是小明的2倍，即：小明花12分鐘走1千米，則媽媽花6分鐘走1千米，
∴D（16，1），
小明花20﹣12＝8分鐘走圓弧形道路，
則媽媽花4分鐘走圓弧形道路，故B（20，1）．
媽媽的圖象經(jīng)過（10，0），（16，1），（20，1），
如圖中折線段CD﹣DB就是所作圖象．
【點(diǎn)睛】本題通過一次函數(shù)的應(yīng)用來考查從圖象上獲取信息的能力．特別作一次函數(shù)圖象，關(guān)鍵在于確定點(diǎn)，點(diǎn)確定好了，連接就可以得到函數(shù)圖象．
39．（2023?錫山區(qū)校級模擬）問題提出：已知矩形ABCD，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB，交BD于點(diǎn)F．將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，則AE′與DF′有怎樣的數(shù)量關(guān)系．
【問題探究】
探究一：如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB，交BD于點(diǎn)F．
（1）如圖1，直接寫出DFAE的值 2 ；
（2）將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接AE、DF，猜想DF與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
探究二：如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB，交BD于點(diǎn)F．
如圖3，若四邊形ABCD為矩形，ABBC=22，將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α≤90）得到△E′BF′（E、F的對應(yīng)點(diǎn)分別為E′、F′點(diǎn)），連接AE′、DF′，則AE'DF'的值是否隨著α的變化而變化．若變化，請說明變化情況；若不變，請求出AE'DF'的值．
【一般規(guī)律】
如圖3，若四邊形ABCD為矩形，BC＝mAB，其它條件都不變，將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，連接AE′，DF′，請直接寫出AE′與DF′的數(shù)量關(guān)系．
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】問題探究：
探究一：（1）2；
（2）DF=2AE，理由見解析過程；
探究二：DF′=3AE′；
一般規(guī)律：DF=1+m2AE．
【分析】問題探究
探究一：（1）直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出BFBE=BDAB=2，進(jìn)而得出△ABE∽△DBF，即可得出結(jié)論；
探究二：
先畫出圖形得到圖3，利用勾股定理得到BD=3AB，再證明△BEF∽△BAD得到BEAB=BFBD，則BFBE=BDBA=3，接著利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，所以BF'BE'=BDBA=3，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性質(zhì)可得DF'AE'=BDAB=3；
一般規(guī)律
作FM⊥AD，垂足為M．依據(jù)勾股定理可得Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=1+m2AB，再根據(jù)△DMF∽△ABD，可得DFMF=DBAB=1+m2，即可得出DF=1+m2AE；
【詳解】解：問題探究：
探究一：（1）∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠ABD＝45°，BD=2AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝∠ABD＝45°，
∴BE＝EF，
∴BF=2BE，
∴DF＝BD﹣BF=2AB?2BE=2（AB﹣BE）=2AE，
∴DFAE=2，
故答案為：2；
（2）DF=2AE，
理由：由（1）知，BF=2BE，BD=2AB，
∴BFBE=BDAB=2，
由旋轉(zhuǎn)知，∠ABE＝∠DBF，
∴△ABE∽△DBF，
∴DFAE=BDAB=2，
∴DF=2AE；
探究二：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD＝BC=2AB，
∴BD=3AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴BEAB=BFBD，
∴BFBE=BDBA=3，
∵△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，
∴∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，
∴BF'BE'=BDBA=3，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴DF'AE'=BDAB=3．
即DF′=3AE′；
一般規(guī)律：
AE與DF的數(shù)量關(guān)系是：DF=1+m2AE；
理由：如圖，作FM⊥AD，垂足為M．
∵∠A＝∠AEF＝∠AMF＝90°，
∴四邊形AEFM是矩形，
∴FM＝AE，
∵AD＝BC＝mAB，
∴Rt△ABD中，BD=1+m2AB，
∵M(jìn)F∥AB，
∴△DMF∽△ABD，
∴DFMF=DBAB=1+m2，
∴DF=1+m2MF=1+m2AE．
【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△BCE是等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．
40．（2023?姑蘇區(qū)校級模擬）如圖1，拋物線y＝（x﹣m）2﹣2m+1（m為常數(shù)）與x軸交于 A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）下列說法正確的是 ①②③ （填序號）．
①該拋物線開口向上；
②該拋物線與y軸的交點(diǎn)始終在x軸的上方；
③該拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝﹣2x+1上．
（2）如圖2，若直線y＝﹣2x+1與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，試說明：線段MN的長是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E是直線y＝﹣2x+1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（圖3），當(dāng)EN：MN＝1：2時(shí)，△BMN與△BEM相似，求此時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）①②③；
（2）線段MN的長度是定值25，理由見解答；
（3）拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣3）2﹣5．
【分析】（1）由二次項(xiàng)系數(shù)判定①，令x＝0計(jì)算y的值判定②，由解析式得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入直線判定③；
（2）聯(lián)立直線解析式和拋物線解析式得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而由根與系數(shù)的關(guān)系得到點(diǎn)M和點(diǎn)N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式求得線段MN的長度，判定是否為定值；
（3）先根據(jù)DN：MN＝1：2算出DN的長度，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，再將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出m得到相關(guān)拋物線的解析式，進(jìn)而聯(lián)立直線和拋物線的解析式求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)進(jìn)行判定三角形是否相似，進(jìn)而求解．
【詳解】解：（1）由y＝（x﹣m）2﹣2m+1得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣2m+1），二次項(xiàng)系數(shù)為1，
∴開口向上，故①正確，符合題意；
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，
∴點(diǎn)C不一定在y軸正半軸上，故②錯(cuò)誤，不符合題意；
將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y＝﹣2x+1，得﹣2m+1＝﹣2m+1，故③正確，符合題意；
故答案為：①②③；
（2）由y=?2x+1y=(x?m)2?2m+1，得：x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則
x1+x2＝2m﹣2，x1?x2＝m2﹣2m，
∴MN2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝（x1﹣x2）2+（2x1+1+2x2﹣1）2＝5[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝5[（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）2]＝20，
則MN＝25，
∴線段MN的長度是定值25；
（3）∵DN：MN＝1：2，
∴DN25=12，
∴DN=5，
對直線y＝﹣2x+1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，
∴D（0，1），OD＝1，
設(shè)N（x，﹣2x+1），則
DN=x2+(?2x+1?1)2=5，
解得：x＝﹣1或x＝1，
∴N（﹣1，3）或（1，﹣1），
將N（﹣1，3）代入y＝（x﹣m）2﹣2m+1，得3＝（﹣1﹣m）2﹣2m+1，
解得：m＝1或m＝﹣1，
當(dāng)m＝1時(shí)，y＝x2﹣2x，
令y＝0時(shí)，x＝0或x＝2，
∴A（0，0），B（2，0），
由y=x2?2xy=?2x+1，得：x=1y=?1或x=?1y=3，
∴M（1，﹣1），N（﹣1，3），符合條件；
∴MB=1+1=2，MD=12+(?2)2=5，
∴MB：MN≠M(fèi)D：MB，
∴△MBN與△MDB不相似，舍去；
當(dāng)m＝﹣1時(shí)，y＝x2+2x+4，
令y＝0時(shí)，x2+2x+4＝0，無解；
將N（1，﹣1）代入y＝（x﹣m）2﹣2m+1，得﹣1＝（1﹣m）2﹣2m+1，
解得：m＝1或m＝3，
當(dāng)m＝1時(shí)，不符合條件，舍去；
當(dāng)m＝3時(shí)，y＝x2﹣6x+4，
由y=x2?6x+4y=?2x+1，解得：x=1y=?1或x=3y=?5，
∴N（1，﹣1），M（3，﹣5），
當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣6x+4＝0，
解得：x＝3?5或x＝3+5，
∴A（3?5，0），B（3+5，0），
∴BM=30，DM＝35，
∵M(jìn)N＝25，
∴MN：BM＝25：30=6：3，BM：DM=30：35=6：3，
∴MN：BM＝BM：DM，
∵∠BMN＝∠DMB，
∴△BMN∽△DMB，
綜上所述，m＝3時(shí)，△MBN與△MDB相似．
則拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣3）2﹣5．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、相似三角形的判定、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會將題目中的語句和相關(guān)的知識點(diǎn)連接解題．
樣本學(xué)生成績
平均數(shù)
方差
中位數(shù)
眾數(shù)
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76
b
品種
購買價(jià)（元/棵）
成活率
A
28
90%
B
40
95%
小惠：
證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
小潔：
這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明．

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題20閱讀材料與創(chuàng)新型綜合問題(江蘇最新模擬30題)(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題20閱讀材料與創(chuàng)新型綜合問題(江蘇最新模擬30題)(原卷版+解析)，共114頁。試卷主要包含了解答題，四象限角，等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題19二次函數(shù)與特殊四邊形綜合問題(最新模擬40題預(yù)測)(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題19二次函數(shù)與特殊四邊形綜合問題(最新模擬40題預(yù)測)(原卷版+解析)，共90頁。試卷主要包含了解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題17二次函數(shù)與角度及數(shù)量關(guān)系綜合問題(最新模擬40題預(yù)測)(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題17二次函數(shù)與角度及數(shù)量關(guān)系綜合問題(最新模擬40題預(yù)測)(原卷版+解析)，共126頁。試卷主要包含了解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題16二次函數(shù)與線段、周長最值問題(最新模擬40題預(yù)測)(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題16二次函數(shù)與線段、周長最值問題(最新模擬40題預(yù)測)(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題12概率的有關(guān)計(jì)算(江蘇真題25道模擬30道)(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題12概率的有關(guān)計(jì)算(江蘇真題25道模擬30道)(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題11統(tǒng)計(jì)的有關(guān)計(jì)算(江蘇真題25道模擬30道)(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題11統(tǒng)計(jì)的有關(guān)計(jì)算(江蘇真題25道模擬30道)(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題10圓的有關(guān)計(jì)算與證明(江蘇真題25道模擬30道)(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍【江蘇專用】專題10圓的有關(guān)計(jì)算與證明(江蘇真題25道模擬30道)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部