一、解答題
1．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)校考一模）定義：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余，那么我們稱這個(gè)四邊形為“對(duì)角互余四邊形”．
(1)利用下面哪組圖形可以得到一個(gè)對(duì)角互余四邊形______（填寫(xiě)序號(hào)）
①兩個(gè)等腰三角形；②兩個(gè)等邊三角形；③兩個(gè)直角三角形；④兩個(gè)全等三角形
(2)如圖1，在對(duì)角互余四邊形ABCD中，∠D=30°，且AC⊥BC，AC⊥AD．若BC=1，求四邊形ABCD的面積和周長(zhǎng)．
(3)如圖2，在四邊形ABCD中，連接AC，∠BAC=90°，點(diǎn)O是△ACD外接圓的圓心，連接OA，∠OAC=∠ABC．求證：四邊形ABCD是“對(duì)角互余四邊形”；
(4)在（3）的條件下，如圖3，已知AD=a，DC=b，AB=3AC，連接BD，求BD2的值．（結(jié)果用帶有a，b的代數(shù)式表示）
2．（2023·江蘇蘇州·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，銳角△ABC中∠A的平分線交BC于點(diǎn)E，交△ABC的外接圓于點(diǎn)D、邊BC的中點(diǎn)為M．
(1)求證：MD垂直BC；
(2)若AC=5，BC=6，AB=7，求BDAD的值；
(3)作∠ACB的平分線交AD于點(diǎn)P，若將線段MP繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)P恰好與△ABC外接圓上的點(diǎn)P'重合，則tan∠BAC= ．
3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）定義：若一個(gè)四邊形能被其中的一條對(duì)角線分割成兩個(gè)相似三角形，則稱這個(gè)四邊形為“師梅四邊形”，這條對(duì)角線稱為“師梅線”．我們熟知的平行四邊形就是“師梅四邊形”．
(1)如圖1，BD平分∠ABC，BD=42，BC=10．四邊形ABCD是被BD分割成的“師梅四邊形”，求AB長(zhǎng)；
(2)如圖2，平面直角坐標(biāo)系中，A、B分別是x軸和y軸上的點(diǎn)，且OA=3，OB=2，若點(diǎn)C是直線y=x在第一象限上的一點(diǎn)，且OC是四邊形OACB的“師梅線”，求四邊形OACB的面積．
(3)如圖3，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠ABC=60°點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)F，連接AF，∠DAF=30°，①求證：四邊形ABCF是“師梅四邊形”；②若△ABC的面積為63，求線段BF的長(zhǎng)．
4．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？家荒＃靖拍顚W(xué)習(xí)】
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，若⊙O平移d個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在⊙O內(nèi)或⊙O上，則稱d的最小值為⊙O對(duì)該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，A3,0,B4,0，則⊙O對(duì)線段AB的“最近覆蓋距離”為3．
【概念理解】
（1）⊙O對(duì)點(diǎn)3,4的“最近覆蓋距離”為_(kāi) ．
（2）如圖②，點(diǎn)Р是函數(shù)y=2x+4圖像上一點(diǎn)，且⊙O對(duì)點(diǎn)Р的“最近覆蓋距離”為3，則點(diǎn)Р的坐標(biāo)為_(kāi) ．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖③，若一次函數(shù)y=kx+4的圖像上存在點(diǎn)C，使⊙O對(duì)點(diǎn)C的“最近覆蓋距離”為1，求k的取值范圍．
（4）D(3,m)、E(4,m+1)，且?40，
∴BF=26．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類討論思想，熟練運(yùn)用相似三角形判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
4．（2023·江蘇揚(yáng)州·?？家荒＃靖拍顚W(xué)習(xí)】
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，若⊙O平移d個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在⊙O內(nèi)或⊙O上，則稱d的最小值為⊙O對(duì)該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，A3,0,B4,0，則⊙O對(duì)線段AB的“最近覆蓋距離”為3．
【概念理解】
（1）⊙O對(duì)點(diǎn)3,4的“最近覆蓋距離”為_(kāi) ．
（2）如圖②，點(diǎn)Р是函數(shù)y=2x+4圖像上一點(diǎn)，且⊙O對(duì)點(diǎn)Р的“最近覆蓋距離”為3，則點(diǎn)Р的坐標(biāo)為_(kāi) ．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖③，若一次函數(shù)y=kx+4的圖像上存在點(diǎn)C，使⊙O對(duì)點(diǎn)C的“最近覆蓋距離”為1，求k的取值范圍．
（4）D(3,m)、E(4,m+1)，且?4

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