?2022中考考點(diǎn)必殺500題
專(zhuān)練15（幾何壓軸大題）（30道）

1．（2021·江蘇蘇州·一模）如圖1，在中，，點(diǎn)P以每秒一個(gè)單位的速度沿著運(yùn)動(dòng)，始終與相切，切點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，的面積為y．y與t之間的函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，表示為圖2．

（1）當(dāng)時(shí)，的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_______；
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中求y與t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）是否存在某一時(shí)刻，使為等腰三角形？若存在求出相應(yīng)t的值，若不存在，說(shuō)明理由．
2．（2021·江蘇蘇州·二模）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如，四邊形中，若或，則四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．


【概念理解】（1）如圖1，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．
①若，則________；
②若．且時(shí)．則_______；
【拓展提升】（2）如圖，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，當(dāng)，且時(shí)，圖中之間的數(shù)量關(guān)系是 ，并證明這種關(guān)系；
【類(lèi)比應(yīng)用】（3）如圖3，在四邊形中，平分；
①求證：四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；
②如圖4，連接，當(dāng)，且時(shí)，求的值．
3．（2021·江蘇蘇州·一模）如圖，在中，，D是邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D不重合時(shí)，以為邊構(gòu)造，使，且點(diǎn)Q與點(diǎn)C在直線同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)Q落在邊上時(shí)，求t的值．
（2）在不添加輔助線的情況下，當(dāng)圖中存在全等三角形時(shí)，求與重疊部分圖形的面積．
（3）取邊的中點(diǎn)E，連接．當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．
4．（2021·江蘇淮安·二模）【問(wèn)題情境】
如圖1，在ABC中，，AD⊥BC于點(diǎn)D，，，求AD的長(zhǎng)．
【問(wèn)題解決】
小明同學(xué)是這樣分析的：將ABD沿著AB翻折得到ABE，將ACD沿著AC翻折得到ACF，延長(zhǎng)EB、FE相交于點(diǎn)G，請(qǐng)按著小明的思路解答下列問(wèn)題：
（1）由上可得四邊形AEGF是　 ?。ㄌ罹匦?、菱形、正方形中的一個(gè)）；
（2）在RtGBC中運(yùn)用勾股定理，求出AD的長(zhǎng)．
【方法提煉】通過(guò)問(wèn)題解決，小明發(fā)現(xiàn)翻折是解決問(wèn)題的有效辦法之一，它可以將問(wèn)題中的相關(guān)信息有效地集中、關(guān)聯(lián)與重組．請(qǐng)根據(jù)自己的理解，解答下列問(wèn)題：
（3）如圖2，在四邊形ABCD中，，，，，求AC的最大值．
（4）如圖3，在四邊形ABCD中，，AD＝2，M是AB上一點(diǎn)，且，，，直接寫(xiě)出CD的最大值為　 ?。?br />
5．（2021·江蘇無(wú)錫·二模）在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將沿BE翻折至的位置．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，連接CF并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)G，若，，，則GF的長(zhǎng)度為_(kāi)_______________；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處時(shí)，若，且，求BC的長(zhǎng)；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處時(shí)，延長(zhǎng)EF，與的角平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，求的值．
6．（2021·江蘇鹽城·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，連接A′C、A′D．
（1）如圖1，當(dāng)AE＝　 　時(shí)，A′D∥BE；
（2）如圖2，若AE＝3，求S△A′CB．
（3）點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠A′CB的度數(shù)是否存在最大值，若存在，求出此時(shí)線段AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

7．（2021·江蘇·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)二模）如圖，在中，，是邊上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、的與、的另一個(gè)公共點(diǎn)分別為、，連接、、．

（1）求證：∽；
（2）若，，
①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②若恰為的直徑，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
8．（2021·江蘇南京·二模）【概念學(xué)習(xí)】
在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為，若平移個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在內(nèi)或上，則稱的最小值為對(duì)該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，，則對(duì)線段的“最近覆蓋距離”為．


【概念理解】
（1）對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為_(kāi) ．
（2）如圖②，點(diǎn)是函數(shù)圖像上一點(diǎn)，且對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi) ．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖③，若一次函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為，求的取值范圍．
（4），且，將對(duì)線段的“最近覆蓋距離”記為，則的取值范圍是 ．
9．（2021·江蘇泰州·二模）閱讀理解：
如果一個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上或矩形的邊所在的直線上，我們稱這個(gè)等腰三角形為這個(gè)矩形的“友好三角形”．
解決問(wèn)題：
如圖，在矩形中，是對(duì)角線，點(diǎn)E為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作平行交或于F，連接、．

（1）若點(diǎn)E在邊上，且，以下三角形：①②③④，其中為矩形的“友好三角形”的是___________（填序號(hào)）；
（2）當(dāng)時(shí)，試判斷是否為矩形的“友好三角形”？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)為矩形的“友好三角形”時(shí)，求的長(zhǎng)．
10．（2021·江蘇南京·二模）如圖①，是外一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．已知，的半徑為3．

（1）求證：是的切線；
（2）求的長(zhǎng)；
（3）如圖②，若點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，過(guò)作，交弧于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)度是______．
11．（2021·江蘇南京·二模）學(xué)完“探索三角形相似的條件”之后，小明所在的學(xué)習(xí)小組嘗試探索四邊形相似的條件，以下是他們的思考，請(qǐng)你和他們一起完成探究過(guò)程．
【定義】四邊成比例，且四角分別相等的兩個(gè)四邊形叫做相似四邊形．
【初步思考】
（1）小明根據(jù)探索三角形相似的條件所獲得的經(jīng)驗(yàn)，考慮可以從定義出發(fā)逐步弱化條件探究四邊形相似的條件．他考慮到“四角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”可以舉出反例“矩形”，“四邊成比例的兩個(gè)四邊形相似”可以舉出反例______．所以四邊形相似的條件必須再添加條件，于是，可以從“四邊成比例，且一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似”，“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”，“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”來(lái)探究．
【深入探究】
（2）學(xué)習(xí)小組一致認(rèn)為，“四邊成比例，且一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似”是真命題，請(qǐng)結(jié)合圖形完成證明．
已知：四邊形和四邊形中，，．
求證：四邊形四邊形．證明：


（3）對(duì)于“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”，學(xué)習(xí)小組得到如下的四個(gè)命題：
①“三邊成比例，兩鄰角分別相等且只有一角為其中兩邊的夾角的兩個(gè)四邊形相似”；
②“三邊成比例，兩鄰角分別相等且都不是其中兩邊的夾角的兩個(gè)四邊形相似”；
③“三邊成比例及其兩夾角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”；
④“三邊成比例，兩對(duì)角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”．
其中真命題是______．（填寫(xiě)所有真命題的序號(hào)）
（4）請(qǐng)你完成“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個(gè)四邊形相似”的探究過(guò)程．
12．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·二模）定義：如圖（1），點(diǎn)P沿著直線l翻折到，P到的距離叫做點(diǎn)P關(guān)于l的“折距”．
已知，如圖（2），矩形中，，等腰直角中，，點(diǎn)G在上，E、B在的兩側(cè)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線上的動(dòng)點(diǎn)，把沿著直線翻折到，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，

理解：（1）當(dāng)時(shí)，
①若點(diǎn)在邊上，則點(diǎn)A關(guān)于的“折距”為_(kāi)_____；
②若點(diǎn)E關(guān)于的“折距”為12，則______．
應(yīng)用：（2）若，當(dāng)點(diǎn)、、C、D能構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求出此時(shí)x的值
拓展：（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于的“折距”為t，直接寫(xiě)出當(dāng)射線與邊有公共點(diǎn)時(shí)t的范圍．
13．（2021·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖1，在中，，，，點(diǎn)D是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿BD折疊得到，交AC于F點(diǎn)．
（1）的度數(shù)為_(kāi)_____________；
（2）當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）如圖2，若點(diǎn)E為線段的四等分點(diǎn)，連接線段CE，當(dāng)D點(diǎn)從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)C．
①當(dāng)D點(diǎn)在AB的垂直平分線上時(shí)，的值為_(kāi)_____________；
②求線段CE掃過(guò)的面積______________．

14．（2021·江蘇常州·一模）在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個(gè)全等三角形，我們稱這兩個(gè)三角形叫做“共邊全等”
（1）下列圖形中兩個(gè)三角形不是“共邊全等”是_______；

（2）如圖1，在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形中，點(diǎn)D在邊上，且，點(diǎn)E、F分別在、邊上，滿足和為“共邊全等”，求的長(zhǎng)；

（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與直線、x軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，P、Q在的邊上，當(dāng)以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與“共邊全等”時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
15．（2021·江蘇常州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，D是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，射線交直線于點(diǎn)F．
（1）連接，求的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)F在線段上，連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）以F為圓心，長(zhǎng)為半徑作，若與x軸相切于點(diǎn)T，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

16．（2021·江蘇泰州·二模）【閱讀理解】
定義：如果四邊形的某條對(duì)角線平分一組對(duì)角，那么把這條對(duì)角線叫“協(xié)和線”，該四邊形叫做“協(xié)和四邊形”．
【深入探究】
（1）如圖1，在四邊形中，，，請(qǐng)說(shuō)明：四邊形是“協(xié)和四邊形”．
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，四邊形是“協(xié)和四邊形”，為“協(xié)和線”，，，若點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，連接，，．求：
①與的面積的比；
②的正弦值．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，在菱形中，，，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，若四邊形，都是“協(xié)和四邊形”，“協(xié)和線”分別是、，求的最小值．

17．（2021·江蘇鹽城·一模）如圖，已知和均為等腰三角形，，，將這兩個(gè)三角形放置在一起．

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：
如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE，則線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是_________，_________；
（2）拓展探究：
如圖②，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E不在同一直線上，連接CE，求出線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系及BD、CE所在直線相交所成的銳角的大小（都用含的式子表示），并說(shuō)明理由：
（3）解決問(wèn)題：
如圖③，，，，連接CE、BD，在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)CE所在的直線垂直于AD時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)．
18．（2021·江蘇徐州·一模）如圖1，一副直角三角板滿足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°．將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q．
（1）如圖2，當(dāng)＝1時(shí)，＝　 ??；
（2）如圖3，當(dāng)＝2時(shí)，
①EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連接PQ，若AC＝30cm，設(shè)EQ的長(zhǎng)為xcm，△EPQ的面積為S（cm2）．求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出x的取值范圍．

19．（2021·江蘇蘇州·一模）定義：若一個(gè)三角形存在兩個(gè)內(nèi)角之差是第三個(gè)內(nèi)角的兩倍，則稱這個(gè)三角形為關(guān)于第三個(gè)內(nèi)角的“差倍角三角形”，例如，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，滿足∠A－∠B＝2∠C，所以△ABC是關(guān)于∠C的“差倍角三角形”；
（1）如圖1，△ABC是關(guān)于∠C的“差倍角三角形”（其中∠BAC＞∠B），AB＝3，BC＝9，點(diǎn)D在BC上，且∠BAD＝∠C．求AC的長(zhǎng)．
（2）如圖2，等腰三角形ABC中，點(diǎn)D是底邊BC的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（CD＜BD），且AB＝AC＝BD．求證：△ABC是關(guān)于∠B的“差倍角三角形”．
（3）如圖3，五邊形ABCDE內(nèi)接于圓，連接AC，AD與BE相交于點(diǎn)F，G，BF＝1，AB＝BC＝DE，△ABE是關(guān)于∠AEB的“差倍角三角形”．設(shè)AB＝x，CD＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
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20．（2021·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，在中，，，，射線，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接．

（1）求證：點(diǎn)、、、在同一圓上；
（2）若，則_______；
（3）①當(dāng)面積的最大時(shí)，求的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的外接圓圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)______．
21．（2021·江蘇揚(yáng)州·二模）蘇科版教材中的折紙活動(dòng)，引起了許多同學(xué)的興趣．在折紙的過(guò)程中，同學(xué)們不僅發(fā)展了空間觀念，還積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．
[操作]：矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)M是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABM沿AM折疊，折疊后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'．

[發(fā)現(xiàn)]：（1）如圖1，若點(diǎn)M、B'、D在同一條直線上，求證：△ADM為等腰三角形；
[探究]：（2）若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形對(duì)角線上，求BM的長(zhǎng)；
[拓展]：（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)B'作B'N⊥AB，當(dāng)△AB'N面積最大時(shí)，求BM的長(zhǎng)．
22．（2021·江蘇蘇州·二模）如圖（1），已知矩形中，，點(diǎn)E為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)．連接，過(guò)E作的垂線交于點(diǎn)F．


（1）探索與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）如圖（2），過(guò)F作垂線交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，連接．若點(diǎn)E從A出發(fā)沿方向以的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
①是否存在t，使得H與B重合？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
②t為何值時(shí)，是等腰三角形；
③當(dāng)時(shí)，求的面積．
23．（2021·江蘇·二模）如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°＜＜120°）得到線段AD，連接CD，CD與AB交于點(diǎn)G，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且DF＝2CF．
（1）當(dāng)∠EAB＝30°時(shí)，求∠AEC的度數(shù)；
（2）當(dāng)線段BF的長(zhǎng)取最小值時(shí)，求線段AG的長(zhǎng)；
（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出△ADE的周長(zhǎng)的最大值．

24．（2021·江蘇連云港·二模）張老師在一次校內(nèi)公開(kāi)課上展示“探析矩形折疊問(wèn)題”內(nèi)容，引起了同學(xué)的廣泛興趣，他們對(duì)折紙進(jìn)行了如下探究．如圖有一矩形紙片ABCD，，，點(diǎn)Q為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將紙片沿DQ折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．

（1）如圖1，當(dāng)射線DE與邊BC的交點(diǎn)F到點(diǎn)C的距離為3時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；
（2）如圖2，G為AD上一點(diǎn)，且，連接AE、GE．
①試判斷的值是否隨著點(diǎn)Q的位置變化而變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②連接BE，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)E到邊AD的距離為 ．
（3）如圖3，點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，連接，連接AE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，連接FH，試求面積的最小值．
25．（2021·江蘇無(wú)錫·一模）[初步嘗試]
（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為　 ??；
[思考說(shuō)理]
（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求的值；
[拓展延伸]
（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，將△ABC沿過(guò)頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM．
①求線段AC的長(zhǎng)；
②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′M與CP交于點(diǎn)F，求的取值范圍．

26．（2021·江蘇南京·二模）（1）如圖①，AB＝AC，點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，∠BAP＝30°，∠PAC＝45°．求的值；
（2）如圖②，AB＝AC，DB＝DC，點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，求證；
（3）如圖③，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，連接EF、DO相交于點(diǎn)I，連接AI并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G． 求證BG＝CG．

27．（2021·江蘇常州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為，，為外兩點(diǎn)，．給出如下定義：平移線段，使平移后的線段成為的弦（點(diǎn)，分別為點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段長(zhǎng)度的最小值稱為線段到的“優(yōu)距離”．

（1）如圖1，中的弦、是由線段平移而得，這兩條弦的位置關(guān)系是______________；在點(diǎn)，，，中，連接點(diǎn)與點(diǎn)___________的線段的長(zhǎng)度等于線段到的“優(yōu)距離”；
（2）若點(diǎn)，，線段的長(zhǎng)度是線段到的“優(yōu)距離”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____________；
（3）如圖2，若，是直線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記線段到的“優(yōu)距離”為，則的最小值是_____________；請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出取得最小值時(shí)的示意圖，并標(biāo)記相應(yīng)的字母．
28．（2021·江蘇常州·一模）已知：如圖，在四邊形中，E是邊的中點(diǎn)，連接．將沿直線折疊，將沿直線折疊，點(diǎn)同時(shí)落在邊上點(diǎn)F處．延長(zhǎng)相交于點(diǎn)G，連接．

（1）填空：直線與直線的位置關(guān)系是_______；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的條件下，若與相似，求的長(zhǎng)．
29．（2021·江蘇連云港·一模）定義：若一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則稱這個(gè)四邊形為圓美四邊形．
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是圓美四邊形的圖形的名稱__________；
（2）如圖1，在等腰中，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的⊙O交邊于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連結(jié)．若四邊形為圓美四邊形，求的值；
（3）如圖2，在中，經(jīng)過(guò)A、B的⊙O交邊于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連結(jié)，交于點(diǎn)F．若在四邊形的內(nèi)部存在一點(diǎn)P．使得，連結(jié)交于點(diǎn)G，連結(jié)，若，．
①求證：四邊形為圓美四邊形；
②若，，，求的最小值．

30．（2021·江蘇徐州·二模）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝60°，AB＝2，將一張和△ABC一樣大的紙片和△ABC重疊放置，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)（不含點(diǎn)B、C），將△OCE沿著OE翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處．

(1)直接寫(xiě)出∠OBC、∠OCB的數(shù)量關(guān)系是　 ?。?br /> (2)連接DE，設(shè)△OPE的面積為S1，△ODE的面積為S2，在點(diǎn)E取邊BC上每一點(diǎn)（除點(diǎn)B、C）的過(guò)程中，S1+S2的值是否變化？如果變化，請(qǐng)求出它的取值范圍；如果不變，請(qǐng)求出S1+S2的值；
(3)分別連接PD、PC，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，易知PO?PC＝PE?PD，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合時(shí)，PO?PC＝PE?PD是否成立？請(qǐng)?jiān)趫D3、圖4中選一種情況進(jìn)行證明．

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