一、解答題
1．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）閱讀理解
我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形．如圖1，一個矩形發(fā)生變形后成為一個平行四邊形，設(shè)這個平行四邊形相鄰兩個內(nèi)角中較小的一個內(nèi)角為α，我們把1sinα的值叫做這個平行四邊形的變形度．
(1)若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個內(nèi)角是120°，則這個平行四邊形的變形度是____；
(2)猜想證明
設(shè)矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形的面積為S2，試猜想S1，S2，1sinα之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)拓展探究
如圖2，在矩形ABCD中，點E是AD邊上的一點，且AB2=AE·AD，這個矩形發(fā)生變形后為平行四邊形A1B1C1D1，點E1為點E的對應(yīng)點，連接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面積為4m(m＞0)，平行四邊形A1B1C1D1的面積為2m(m＞0)，試求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度數(shù)．
2．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E為邊BC的中點，請僅用無刻度的直尺作圖：
（1）作BD的中點F；
（2）作BE的中點G；
（3）如圖2，△BDE的中線EF、DG交于點H，若△EGH的面積為1，則四邊形BGHF的面積為 ．
3．（2023春·江蘇南通·九年級專題練習(xí)）如圖1，矩形ABCD中，AB=15, BC=20，將矩形ABCD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形BEFG．
（1）當(dāng)點E落在BD上時，則線段DE的長度等于________；
（2）如圖2，當(dāng)點E落在AC上時，求△BCE的面積；
（3）如圖3，連接AE、CE、AG、CG，判斷線段AE與CG的位置關(guān)系且說明理由，并求CE2+AG2的值；
（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出S△BCE+S△ABG的最大值．
4．（2023春·江蘇南京·九年級南師附中樹人學(xué)校校考階段練習(xí)）將一張矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為3,0，點C的坐標(biāo)為0,4．D是BC邊上的一個動點（點D不與點B，C重合），將△ODC沿OD翻折得到△ODC'，設(shè)CD=x．
（1）如圖1，若∠COD=18°，則∠BDC'=______°；
（2）如圖2，連接AC'，當(dāng)x=2時，求△OAC'的面積；
（3）連接BC'，當(dāng)x為何值時，△BDC'為直角三角形？
5．（2023秋·江蘇宿遷·九年級南師附中宿遷分校校考期末）（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點E，Q分別在邊BC,AB上，DQ⊥AE于點O，點G，F(xiàn)分別在邊CD,AB上，GF⊥AE．求證：AE=FG；
（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，BCAB=k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG,EP交CD于點H，連接AE交GF于點O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)時k=34，若tan∠CGP=43,GF=25，求CP的長．
6．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）【問題情境】（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG，連接DG、BE，則DG與BE的數(shù)量關(guān)系是 ；
【類比探究】
（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側(cè)作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，連接DG、BE．判斷線段DG與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
【拓展提升】
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則2BG+BE的最小值為 ．
7．（2023秋·江蘇鹽城·九年級景山中學(xué)?？计谀净A(chǔ)鞏固】
(1)如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD=∠B．求證：AC2=AD?AB．
(2)【嘗試應(yīng)用】如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE=∠A，若BF=6，BE=4，求AD的長．
(3)【拓展提高】如圖3，在菱形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點，EF∥AC，AC=2EF，∠EDF=12∠BAD，則線段DE與線段EF之間的數(shù)量關(guān)系為 ，并說明理由．
8．（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知正方形ABCD，動點P在AB上運動，過點B作BE⊥射線DP于點E，連接AE．
(1)如圖1，在DE上取一點F，使DF=BE，連接AF，求證：AE=AF；
(2)如圖2，點P在AB延長線上，求證：BE+DE=2AE；
(3)如圖3，若把正方形ABCD改為矩形ABCD，且CDAD=12，其他條件不變，請猜想DE，BE和AE的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不必證明．
9．（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如果一個四邊形的對角線相等，我們稱這個四邊形為美好四邊形．
【問題提出】
（1）如圖①，點E是四邊形ABCD內(nèi)部一點，且滿足EB=EC,EA=ED,∠BEC=∠AED，請說明四邊形ABCD是美好四邊形；
【問題探究】
（2）如圖②，△ABC，請利用尺規(guī)作圖，在平面內(nèi)作出點D，使得四邊形ABCD是美好四邊形，且滿足AD=BD．保留作圖痕跡，不寫畫法；
（3）在（2）的條件下，若圖②中△ABC滿足：∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求四邊形ABCD的面積；
【問題解決】
（4）如圖③，某公園內(nèi)需要將4個信號塔分別建在A、B、C、D四處，現(xiàn)要求信號塔C建在公園內(nèi)一個湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個半徑為200m的圓，記為⊙E已知點A到該湖泊的最近距離為500m，是否存在這樣的點D，滿足AC=BD．且使得四邊形ABCD的面積最大？若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由．
10．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測）（1）【證明體驗】如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是邊AB和對角線AC上的點，∠EDF=45°．
①求證：△DBE～△DCF；
②BECF= ；
（2）【思考探究】如圖2，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F分別是邊AB和對角線AC上的點，tan∠EDF=43，BE=5，求CF的長；
（3）【拓展延伸】如圖3，菱形ABCD中，BC=5，對角線AC=6，BH⊥AD交DA的延長線于點H，E、F分別是線段HB和AC上的點，tan∠EDF=34，HE=85，求CF的長．
11．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）【結(jié)論提出】：三角形的角平分線分對邊所成的兩條線段的比等于夾這個角的兩條邊的比．
(1)【思路說明】已知：如圖1，△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC于D．試說明：BDCD=ABAC．理由：過點C作CE∥AD，交BA延長線于點E，易得BDCD=______，由CE∥AD，AD平分∠BAC可得AE= ______，代入上式得BDCD=ABAC．
(2)【直接應(yīng)用】如圖2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD=10,CD=6，在不添加輔助線的情況下直接寫出AB=______．
(3)如圖3，若四邊形ABCD為矩形，AB=8,AD=6，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，延長EF、AF分別交AB,BC于M、H兩點，當(dāng)FH=BH時．
①求BH的長；
②直接寫出AMBM=______；
(4)【拓展延伸】如圖4，若四邊形ABCD是邊長為6的菱形，∠ABC=60°，當(dāng)點E為CD邊的三等分點時，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF與BC所在直線交于點P、與AD所在直線交于點Q，請直接寫出CP的長______．
12．（2023秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）我們知道：如圖①，點B把線段AC分成兩部分，如果BCAB＝ABAC，那么稱點B為線段AC的黃金分割點．它們的比值為5-12．
(1)在圖①中，若AC＝20cm，則AB的長為 cm；
(2)如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點B對應(yīng)點H，得折痕CG．試說明：G是AB的黃金分割點；
(3)如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點E（AE＞DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點F，延長EF、CB交于點P．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．
13．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的頂點B（6，8），動點M，N同時從O點出發(fā)，點M沿射線OA方向以每秒1個單位的速度運動，點N沿線段OB方向以每秒0.6個單位的速度運動，當(dāng)點N到達(dá)點B時，點M，N同時停止運動，連接MN，設(shè)運動時間為t（秒）．
(1)求證△ONM∽△OAB；
(2)△MNB與△OAB能否相似？若能試求出所有t的值，若不能請說明理由．
14．（2023春·江蘇泰州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?12x2+bx+32與x軸正半軸交于點A，且點A的坐標(biāo)為(3,0)，過點A作垂直于x軸的直線l，P是該拋物線上的任意一點，其橫坐標(biāo)為m，過點P作PQ⊥l于點Q，M是直線l上的一點，其縱坐標(biāo)為?m+32，以PQ，QM為邊作矩形PQMN．
(1)求b的值；
(2)當(dāng)點Q與點M重合時，求m的值；
(3)當(dāng)矩形PQMN是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內(nèi)部時，求m的值．
(4)當(dāng)拋物線在矩形PQMN內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍．
15．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如果一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為倍角三角形，并稱這兩個角的公共邊為底邊．
例如：若△ABC中，∠A=2∠B，則△ABC為以邊AB為底邊的倍角三角形．
問題提出
(1)如圖，已知△ABC為倍角三角形，且∠ABC=2∠C，BD為△ABC的角平分線．
①則圖中相等的線段有______，圖中相似三角形有______；
②若點D正好在BC的垂直平分線上，且tanC=12，求tan∠ABC的值；
問題解決
(2)如圖，現(xiàn)有一塊梯形板材ABCD，AD∥BC，∠A=90°，AB=48，BC=132，AD=68，工人師傅想用這塊板材裁出一個△BCP型部件，使得點P在梯形ABCD的邊上，且△BCP為以BC為底邊的倍角三角形，工人師傅在這塊板材上的作法如下：
第一步：作BC的垂直平分線l交BC于點E；
第二步：在BC上方的直線l上截取EF=33，連接CF并延長，交AD于點P；
第三步：連接BP，得△BCP．
①請問，若按上述作法，裁得的△BCP型部件是否符合要求？請證明你的想法．
②是否存在其它滿足要求的△BCP？若存在，請在圖中畫出一種符合要求的圖形并簡要說明作法；若不存在，請說明理由．
16．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）（1）如圖①，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的動點，且∠EDF=45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，可以證明△DEF?△DMF，進(jìn)一步推出EF，AE，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系為______________；
（2）在圖①中，連接AC分別交DE和DF于P，Q兩點， 求證：△DPQ∽△DFE；
（3）如圖②，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的動點（不與端點重合），且∠EAF=60°，連接BD分別與邊AE，AF交于M，N．當(dāng)∠DAF=15°時，猜想MN，DN，BM之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
17．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，E是AB上一點，BE=2．F是BC上的動點，連接EF，H是CF上一點且HFCF=k（k為常數(shù)，k≠0），分別過點F，H作EF，BC的垂線，交點為G．設(shè)BF的長為x，GH的長為y．
(1)若x=4，y=6，則k的值是__________．
(2)若k=1時，求y的最大值．
(3)在點F從點B到點C的整個運動過程中，若線段AD上存在唯一的一點G，求此時k的值．
18．（2023秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊BC落在x軸上，點B的坐標(biāo)為?1,0，AB=3，BC=6，邊AD與y軸交于點E．
(1)點A坐標(biāo)______；點C坐標(biāo)______；
(2)在x軸上取點F3,0，直線y=kx+bk≠0經(jīng)過點E，與x軸交于點M，連接EF．
①當(dāng)∠MEF=15°時，求直線y=kx+bk≠0的函數(shù)表達(dá)式；
②當(dāng)以線段EM為直徑的圓與矩形ABCD的邊所在直線相切時，求點M的坐標(biāo)．
19．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=a(a>4)，點E在邊BC上，在AB同側(cè)以AE為邊作正方形AEFG，直線FG交直線AD于點H．
(1)如圖①，若點F是CD的中點，求a的值；
(2)如圖②，若點F在矩形ABCD內(nèi)，且GH:FH=3:1，求BE的長；
(3)連接DF，若a=8,DF=2，直接寫出GH:FH的值．
20．（2023春·江蘇南通·九年級南通田家炳中學(xué)校考開學(xué)考試）四邊形ABCD為正方形，邊長為6，點M為對角線BD上一動點（不與點B，D重合），連接CM，過點M作MN⊥CM，交射線AB于點N．
(1)如圖1，求證：MC=MN；
(2)如圖2，作射線CN交射線DB于點P．
①當(dāng)點N在邊AB上時，設(shè)BN的長為x，ΔCMN的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式：
②當(dāng)BN=3時，請直接寫出MP的長．
21．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E是邊BC上的動點，以AE為直角邊在直線BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，EF、AF與CD分別相交于點P、Q，連接EQ，過點A作AM⊥EQ，垂足為點M，過點P作PN⊥EQ，垂足為點N，設(shè)BE=m．
(1)求AM的長；
(2)用含有m的代數(shù)式表示CQ；
(3)用含有m的代數(shù)式表示PN，并求PN的最大值．
22．（2023春·江蘇南京·九年級南京外國語學(xué)校仙林分校?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，將直角的頂點E放在正方形ABCD的對角線AC上，使角的一邊交CD于點F，另一邊交CB或其延長線于點G，求證：EF=EG；
（2）如圖2，將（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他條件不變．若AB=m，BC=n，試求EFEG的值；
（3）如圖3，將直角頂點E放在矩形ABCD的對角線交點，EF、EG分別交CD與CB于點F、G，且EC平分∠FEG．若AB=2，BC=4，求EG、EF的長．
23．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）【背景】
如圖1，矩形ABCD中，AB=43，AB

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