題型一：雙曲線的定義、條件
題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：雙曲線的綜合問(wèn)題
題型四：軌跡方程
題型五：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
題型六：求雙曲線的離心率
題型七：求雙曲線離心率的取值范圍
題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍
題型九：雙曲線中的范圍與最值問(wèn)題
題型十：焦點(diǎn)三角形
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義
在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于0且)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、 雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解；
2、若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：()，則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若()，則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；
3、 若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線(包括端點(diǎn))；
4、若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；
5、若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線．
知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；
2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中
橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：
方程Ax2+By2=C(A、B、C均不為零)表示雙曲線的條件
方程Ax2+By2=C可化為，即，
所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線．
當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；
當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
3、當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式．此時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．
4、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．
5、雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．
6、對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．
知識(shí)點(diǎn)三：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；
②定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程．
知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
雙曲線(a＞0，b＞0)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
范圍
雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的．因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x≤-a或x≥a．
對(duì)稱性
對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(a＞0，b＞0)，把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時(shí)換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線(a＞0，b＞0)是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心．
頂點(diǎn)
①雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)．
②雙曲線(a＞0，b＞0)與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為
A1(-a，0)，A2(a，0)，頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)．
③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)B1(0，-b)，B2(0，b)為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸．實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a(chǎn)叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)．
①雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．
②雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上．
③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線．
離心率
①雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．
②因?yàn)閏＞a＞0，所以雙曲線的離心率．
由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開(kāi)口大小，越大，e也越大，雙曲線開(kāi)口就越開(kāi)闊．所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線開(kāi)口的大小程度．
③等軸雙曲線，所以離心率．
漸近線
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2、A1作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個(gè)矩形(如圖)，矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是．
我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永不相交．
知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較
知識(shí)點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．
對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．
知識(shí)點(diǎn)五：雙曲線的漸近線
(1)已知雙曲線方程求漸近線方程：
若雙曲線方程為，則其漸近線方程為
已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．
(2)已知漸近線方程求雙曲線方程：
若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可．
(3)與雙曲線有公共漸近線的雙曲線
與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上)
(4)等軸雙曲線的漸近線
等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為．
知識(shí)點(diǎn)六：雙曲線中a，b，c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2．
雙曲線，如圖：
(1)實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距
(2)離心率：；
(3)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；
【典例例題】
題型一：雙曲線的定義、條件
例1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )
A．雙曲線B．雙曲線左支
C．雙曲線右支D．一條射線
【答案】C
【解析】因?yàn)?的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之差為2，又因?yàn)?，所以由雙曲線的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是雙曲線右支．故選：C
例2．方程所表示的曲線是( )
A．圓的一部分B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分D．直線的一部分
【答案】C
【解析】方程兩邊平方后可整理出雙曲線的方程，由于的值只能取大于等于1的數(shù)，推斷出方程表示的曲線為雙曲線的一部分．兩邊平方，可變?yōu)?，即，表示的曲線為雙曲線的一部分；故選：C．
題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例3．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)為，，且雙曲線上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差為2；
(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.
【解析】(1)因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)方程為：，
又焦點(diǎn)為，，故可得，
又雙曲線上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差為2，即，則，
又.
故雙曲線方程為：.
(2)因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線方程為，
又其焦距為10，故可得；
又該雙曲線過(guò)點(diǎn)，則，故，
故雙曲線方程為：.
(3)不妨設(shè)雙曲線方程為：，
因其過(guò)點(diǎn)，，故可得，聯(lián)立方程組可得：，
故所求雙曲線方程為：.
題型三：雙曲線的綜合問(wèn)題
例4．(多選題)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形為矩形且，則下列正確的是( )
A．B．E的漸近線方程為
C．矩形的面積為D．E的離心率為
【答案】AD
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖，由題意可得：四邊形為矩形，
由雙曲線的定義可得：，則，
對(duì)A：∵四邊形為矩形，則，A正確；
對(duì)B：由選項(xiàng)A可得：，則，，
注意到雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上，則E的漸近線方程為，B錯(cuò)誤；
對(duì)C：矩形的面積為，C錯(cuò)誤；
對(duì)D：由A選項(xiàng)知，，所以，D正確.故選：AD.
題型四：軌跡方程
例5．已知，若動(dòng)點(diǎn)P滿足直線與直線的斜率之積為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)橹本€與直線的斜率之積為，所以，整理得.故選：C.
例6．動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圓N：的圓心為，半徑為，且，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則，即.即點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為，實(shí)軸長(zhǎng)為，
虛軸長(zhǎng)為的雙曲線上，且點(diǎn)在靠近于點(diǎn)這一支上，故動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是故選：A
例7．已知一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓和都外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)動(dòng)圓半徑為，由于動(dòng)圓P與兩圓和都外切，所以，，即，可知?jiǎng)訄AP圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的左支，即，，，所以動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為，
故選：A.
題型五：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
例8．已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線的左?右頂點(diǎn)和原點(diǎn)把線段四等分，則該雙曲線的焦距為( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】因?yàn)槭请p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線的左?右頂點(diǎn)和原點(diǎn)把線段四等分，
所以，即，即，又因?yàn)?，解得，所以c=2，所以該雙曲線的焦距為.故選：D
例9．已知雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為12，則雙曲線C的焦距為( )
A．30B．24C．15D．12
【答案】A
【解析】依題意，右焦點(diǎn)到漸近線的距離，解得，所以雙曲線C的焦距為30.故選：A.
題型六：求雙曲線的離心率
例10．若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)的值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題設(shè)且，故，所以，雙曲線漸近線為，其中一條與平行，所以，則.故選：A
例11．已知雙曲線()的左右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在第一象限且在的漸近線上，是以為斜邊的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為( )
A．B．C．3D．2
【答案】A
【解析】雙曲線的漸近線為，設(shè)，，則，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限且在的漸近線上，是以為斜邊的等腰直角三角形，所以點(diǎn)在漸近線上，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A
題型七：求雙曲線離心率的取值范圍
例12．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，又，所以，，又，即，，所以離心率．故選：C．
例13．已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A．B．(1，2)
C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)殡p曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且直線AB垂直x軸，所以，
因?yàn)槭氢g角三角形，所以是鈍角，即，
因?yàn)檫^(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，所以，又，
所以，即，即，解得或(舍去)，
所以雙曲線的離心率的取值范圍是，故選：D
例14．已知雙曲線=1(a>0，b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1(﹣c，0)，F(xiàn)2(c，0)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍是( )
A．(2，+∞)B．(1，2)C．(1，)D．(2，)
【答案】D
【解析】，，
，，，解得，
.故選：D
題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍
例15．已知，是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，若C的離心率為，則的值為_(kāi)_____．
【答案】3
【解析】由及雙曲線的定義可得，所以，，因?yàn)?，在中，由余弦定理可得?br>即，所以，即，解得或(舍去).
故答案為：3
例16．若雙曲線的離心率不大于，則C的虛軸長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，解得?br>則，故虛軸長(zhǎng).故答案為：.
題型九：雙曲線中的范圍與最值問(wèn)題
例17．已知雙曲線的方程為，如圖所示，點(diǎn)，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)為其圓心，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則的最小值為_(kāi)_____
【答案】.
【解析】由雙曲線，可得，則，如圖所示，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義，可得，
所以，又由是圓上的點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得等號(hào)，即的最小值為.故答案為：.
例18．已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線左支上，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)______________.
【答案】9
【解析】記雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，根據(jù)雙曲線的定義可得，先求出，再由圓的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.記雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，根據(jù)雙曲線的定義可得，則，
因此，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)；
又為圓的圓心，即，且該圓的半徑為，
則，即，因?yàn)闉閳A上一點(diǎn)，
根據(jù)圓的性質(zhì)可得，，即，，，四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
題型十：焦點(diǎn)三角形
例19．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且，則△的面積為_(kāi)___.
【答案】16
【解析】雙曲線，所以，，所以，，
是雙曲線左支上的點(diǎn)，，，在△中，由余弦定理得，
，△的面積為.故答案為：.
例20．已知點(diǎn)分別是雙曲線的下、上焦點(diǎn)，若點(diǎn)是雙曲線下支上的點(diǎn)，且，則的面積為_(kāi)_______.
【答案】16
【解析】因?yàn)槭请p曲線下支上的點(diǎn)，所以，兩邊平方得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cs ∠F1PF2==0，所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16
故答案為：
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．與兩圓及都外切的圓的圓心的軌跡為( )
A．橢圓B．雙曲線的一支C．拋物線D．圓
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑為；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，設(shè)所求動(dòng)圓圓心為，圓的半徑為，
由于動(dòng)圓與圓、圓均外切，則，所以，，因此動(dòng)圓的圓心的軌跡為雙曲線的一支.故選：B.
2．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由點(diǎn)，，可得，又由，
可得，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
且，可得，則，所以點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：C.
3．已知雙曲線上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為10，則的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為( )
A．3或7B．6或14C．3D．7
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，是的中位線，∴，
∵，，∴或，∴或，故選：A.
4．已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則三角形的面積為( )
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
而，
且，所以，故，
故選：D.
二、填空題
5．已知直線和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則t的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由消去y得：，由于l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，
則直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為正，且不等，
于是，解得，所以t的取值范圍是.故答案為：
6．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P，Q為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，若，且的面積為4，則雙曲線的離心率__________.
【答案】
【解析】∵雙曲線的右焦點(diǎn)，，設(shè)其左焦點(diǎn)為，，P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，，由的面積為4，，得，又，故.
又由雙曲線的對(duì)稱性可得，，，故離心率.
故答案為：
三、解答題
7．已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)P是雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，求的值．
【解析】(1)由題意設(shè)雙曲線的方程為(，)，()，
由橢圓得到焦點(diǎn)為，橢圓的離心率為.
因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則，
因?yàn)殡p曲線與橢圓的離心率之和為，所以雙曲線的離心率為，
則，即，所以，故雙曲線的方程是.
(2)由(1)結(jié)合雙曲線和橢圓的定義得：，，
解得：或，又，
所以在由余弦定理得：，
故的值為.
8．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：(，)的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，，分別是線段，的中點(diǎn)，且，．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)，，當(dāng)與，不重合時(shí)，設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值．
【解析】(1)因?yàn)?，，分別是線段，，的中點(diǎn)，
所以，．
因?yàn)?，所以?br>所以由雙曲線的定義知，解得．
設(shè)雙曲線的半焦距為()．
因?yàn)?，所以?br>所以，所以．
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)設(shè)()，則，
所以，所以，所以．
因?yàn)?，，所以?br>所以，為定值．橢圓
雙曲線
根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a
根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2(b＞0)
0＜a＜c，
c2－a2=b2(b＞0)
，
(a＞b＞0)
，
(a＞0，b＞0，a不一定大于b)
(a最大)
(c最大)
標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì)
焦點(diǎn)
，
，
焦距
范圍
，
，
對(duì)稱性
關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱
頂點(diǎn)

軸
實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=
離心率
漸近線方程

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