題型一：不含參數(shù)(含參數(shù))的直線與圓的位置關(guān)系
題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)
題型三：切線與切線長問題
題型四：弦長問題
題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系
題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)
題型七：公共弦與切點(diǎn)弦問題
題型八：公切線問題
題型九：圓中范圍與最值問題
題型十：圓系問題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系
1、直線與圓的位置關(guān)系：
(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)．
2、直線與圓的位置關(guān)系的判定：
(1)代數(shù)法：
判斷直線 SKIPIF 1 < 0 與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓C有公共點(diǎn)．
有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓C相交；
有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓C相切；
無實(shí)數(shù)解時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓C相離．
(2)幾何法：
由圓C的圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 與圓的半徑 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系判斷：
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓C相交；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓C相切；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓C相離．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
(1)當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理解得．
(2)當(dāng)直線和圓相交時(shí)，有關(guān)弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時(shí)還用到垂徑定理．
(3)當(dāng)直線和圓相離時(shí)，常討論圓上的點(diǎn)到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來解決．
知識(shí)點(diǎn)二：圓的切線方程的求法
1、點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在圓上，如圖．
法一：利用切線的斜率 SKIPIF 1 < 0 與圓心和該點(diǎn)連線的斜率 SKIPIF 1 < 0
的乘積等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
法二：圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離等于半徑 SKIPIF 1 < 0 ．
2、點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在圓外，則設(shè)切線方程： SKIPIF 1 < 0 ，變成一般式： SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出 SKIPIF 1 < 0 ．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．
常見圓的切線方程：
(1)過圓 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的切線方程是 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)過圓 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的切線方程是
SKIPIF 1 < 0 ．
知識(shí)點(diǎn)三：求直線被圓截得的弦長的方法
1、應(yīng)用圓中直角三角形：半徑 SKIPIF 1 < 0 ，圓心到直線的距離 SKIPIF 1 < 0 ，弦長 SKIPIF 1 < 0 具有的關(guān)系 SKIPIF 1 < 0 ，這也是求弦長最常用的方法．
2、利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長．
知識(shí)點(diǎn)四：圓與圓的位置關(guān)系
1、圓與圓的位置關(guān)系：
(1)圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點(diǎn)．
2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：
(1)代數(shù)法：
判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．
有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；
有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；
方程組無解時(shí)，兩圓相離．
(2)幾何法：
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，兩圓的圓心距為 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，兩圓相交；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，兩圓外切；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，兩圓外離；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，兩圓內(nèi)切；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，兩圓內(nèi)含．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來確定，這種方法運(yùn)算量?。部衫么鷶?shù)法，但是利用代數(shù)法解決時(shí)，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無解時(shí)，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來確定．因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法．
3、兩圓公共弦長的求法有兩種：
方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長．
方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．
4、兩圓公切線的條數(shù)
與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．
(1)兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；
(2)兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；
(3)兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；
(4)兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；
(5)兩圓內(nèi)含時(shí)，無公切線．
【典例例題】
題型一：不含參數(shù)(含參數(shù))的直線與圓的位置關(guān)系
例1．直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 的位置關(guān)系為( )
A．相交B．相切C．相離D．與 SKIPIF 1 < 0 的值有關(guān)
【答案】A
【解析】直線 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此直線 SKIPIF 1 < 0 恒過定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，即點(diǎn)A在圓 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，所以直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相交.故選：A
例2．已知直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ，則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A．對(duì) SKIPIF 1 < 0 ，直線恒過一定點(diǎn)
B． SKIPIF 1 < 0 ，使直線與圓相切
C．對(duì) SKIPIF 1 < 0 ，直線與圓一定相交
D．直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】直線 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即直線恒過定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；
圓 SKIPIF 1 < 0 ，即圓 SKIPIF 1 < 0 ，圓心 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在圓內(nèi)，所以直線與圓一定相交，故B錯(cuò)誤，故C正確，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)直線與圓相交且直線被圓所截得的弦長最短，最短弦長 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確，
故選：B.
題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)
例3．直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 沒有公共點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是( )
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因?yàn)閳A SKIPIF 1 < 0 的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離大于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；故選：A.
例4．關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有兩解，則k的范圍為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根據(jù)題意可知， SKIPIF 1 < 0 表示的直線恒過定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，對(duì) SKIPIF 1 < 0 兩邊同平方并移項(xiàng)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 表示的是圓 SKIPIF 1 < 0 的上半部分，若關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有兩解，
即直線 SKIPIF 1 < 0 與上半圓 SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象如下圖所示：
易知 SKIPIF 1 < 0 ，定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)之間的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)直線從 SKIPIF 1 < 0 位置繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到 SKIPIF 1 < 0 位置時(shí)滿足題意，所以需滿足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故選：C
題型三：切線與切線長問題
例15．圓 SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處的切線方程為____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】設(shè)圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 將 SKIPIF 1 < 0 代入圓的方程成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在圓上， SKIPIF 1 < 0 與切線垂直，所以切線斜率 SKIPIF 1 < 0 ，切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
例6．由直線 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 向圓 SKIPIF 1 < 0 引切線，則切線長的最小值為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】設(shè)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的切線與圓 SKIPIF 1 < 0 相切于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 垂直時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取最小值，且最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即切線長的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
例7．已知圓 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為直線 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，過 SKIPIF 1 < 0 作圓 SKIPIF 1 < 0 的切線 SKIPIF 1 < 0 ，切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積的最小值為________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由題知，⊙M： SKIPIF 1 < 0 ，圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的最短距離為 SKIPIF 1 < 0 ，所以切線長 SKIPIF 1 < 0 ，故四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題型四：弦長問題
例8．若直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，則弦 SKIPIF 1 < 0 的長為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由圓的方程得：圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
例9．圓 SKIPIF 1 < 0 的一條弦以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為中點(diǎn)，則該弦的斜率為 __．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /-0.5
【解析】將 SKIPIF 1 < 0 配方得 SKIPIF 1 < 0 ，圓心為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 弦以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 該弦的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ．故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
例10．設(shè) SKIPIF 1 < 0 為實(shí)數(shù)，若直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相交于M，N兩點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】－1或3
【解析】圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ，圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 的一般方程為 SKIPIF 1 < 0 ，所以圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化簡可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故答案為：-1或3.
題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系
例11．圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 的位置關(guān)系是( )
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切
【答案】C
【解析】兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ，可知半徑 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故兩圓相交，故選： SKIPIF 1 < 0 .
例12．已知圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ，則圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 的位置關(guān)系為( )
A．相交B．外切C．外離D．內(nèi)含
【答案】A
【解析】因?yàn)閳A SKIPIF 1 < 0 圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓 SKIPIF 1 < 0 圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，易知， SKIPIF 1 < 0 ，所以圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相交.故選：A.
題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)
例13．已知圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 和圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 外切，則實(shí)數(shù)m的值為_________.
【答案】3
【解析】圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .又∵兩圓外切，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得m=3.故答案為：3．
例14．已知圓 SKIPIF 1 < 0 ，以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為圓心，半徑為r的圓與圓C有公共點(diǎn)，則r的取值范圍為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由題知 SKIPIF 1 < 0 的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，兩圓心的距離 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)閮蓤A有公共點(diǎn)，即相交或相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故答案為： SKIPIF 1 < 0
題型七：公共弦與切點(diǎn)弦問題
例15．已知圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 過圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)閳A SKIPIF 1 < 0 過圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，兩圓的方程相減可得相交弦方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
例16．已知圓 SKIPIF 1 < 0 和圓 SKIPIF 1 < 0 ，則圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 的公共弦的弦長__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，滿足兩圓相交有公共弦，兩圓公共弦所在直線方程為兩圓方程作差得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，則公共弦長為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
例17．過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作圓 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A、B，則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根據(jù)題意，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作圓 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則以 SKIPIF 1 < 0 為圓心， SKIPIF 1 < 0 為半徑為圓為 SKIPIF 1 < 0 ，即圓 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為兩圓的公共弦所在的直線，則有 SKIPIF 1 < 0 ，變形可得： SKIPIF 1 < 0 ；
即直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0
題型八：公切線問題
例18．已知圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 恰有兩條公切線，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可知圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ；
因?yàn)閳A SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 恰有兩條公切線，所以圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相交，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
例19．已知圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ，則圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 的公切線方程是___________________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圓 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 .
圓 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 .
圓心角 SKIPIF 1 < 0 ，所以兩圓相內(nèi)切.由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以兩圓切點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以公切線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以公切線的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
題型九：圓中范圍與最值問題
例20．圓 SKIPIF 1 < 0 上恰好有兩點(diǎn)到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為 SKIPIF 1 < 0 ，所以圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0
則圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
例21．設(shè)圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離等于 SKIPIF 1 < 0 ,則圓半徑 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)閳A上恰有相異兩點(diǎn)到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離等于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0
例22．已知圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 上任一點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 上任一點(diǎn)，
則圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線的距離 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題型十：圓系問題
例23．已知圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求公共弦AB所在的直線方程；
(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程；
(3)求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．
【解析】(1)將兩圓方程相減得x－2y＋4＝0，此即為所求直線方程．
(2)設(shè)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 為常數(shù))，
則圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ；又圓心在直線y＝－x上，故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故所求方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)由題意可知以線段AB為直徑的圓面積最?。畠蓤A心所在直線方程為2x＋y＋3＝0，
與直線AB方程聯(lián)立得所求圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，由弦長公式可知所求圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ．
故面積最小的圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．直線 SKIPIF 1 < 0 被圓 SKIPIF 1 < 0 截得的弦長為1，則半徑 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故選：B
2．已知圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 ，求兩圓的公共弦所在的直線方程( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】將兩個(gè)圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.故選：D.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，圓 SKIPIF 1 < 0 ，圓 SKIPIF 1 < 0 ， 若直線 SKIPIF 1 < 0 過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且與圓 SKIPIF 1 < 0 相切，則直線 SKIPIF 1 < 0 被圓 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦長為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，由直線與圓 SKIPIF 1 < 0 相切，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，又圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓 SKIPIF 1 < 0 圓心到直線距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 被圓 SKIPIF 1 < 0 所截弦長為 SKIPIF 1 < 0 .故選：A
4．若圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 外切，則 SKIPIF 1 < 0 ＝( )
A．21B．19C．9D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】依題意可得圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，且兩圓外切，則 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C.
5．在平面直角坐標(biāo)系中， SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓 SKIPIF 1 < 0 的半徑為3，直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互相垂直，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積的最大值為( )
A．10B．12C．13D．15
【答案】B
【解析】設(shè)圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互相垂直，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．故選：B．
二、填空題
6．若直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相切，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】圓 SKIPIF 1 < 0 可化為 SKIPIF 1 < 0 .因?yàn)橹本€ SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或7.故答案為： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
7．已知圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相交，則它們的公共弦所在的直線方程是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由題意， SKIPIF 1 < 0 圓 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相交， SKIPIF 1 < 0 兩圓的方程作差得 SKIPIF 1 < 0 ，
即公式弦所在直線方程為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
8．若直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】因?yàn)榍€ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
曲線可化為 SKIPIF 1 < 0 ，兩邊同時(shí)平方有： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲線 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為圓心， SKIPIF 1 < 0 為半徑的圓的一部分，而直線 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是斜率為1的直線，畫圖象如下：
由于直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 過 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 過 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，由圖象可知 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 與圓相切時(shí)： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 即為 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上的截距，由圖象可知 SKIPIF 1 < 0 ，綜上： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
三、解答題
9．已知圓C過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求圓C的方程；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 與圓C交于兩點(diǎn)A，B，且 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值．
【解析】(1)設(shè)圓的一般方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故圓的一般方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由(1)可得：圓心 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
則圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以m的值為 SKIPIF 1 < 0 .
10．已知圓 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明：直線 SKIPIF 1 < 0 和圓 SKIPIF 1 < 0 恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 和圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及此時(shí)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【解析】(1)直線 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 所以不論 SKIPIF 1 < 0 取何值，直線 SKIPIF 1 < 0 必過定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
圓 SKIPIF 1 < 0 ，圓心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部，
則直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 恒有兩個(gè)交點(diǎn).
(2)直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過圓 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，圓心 SKIPIF 1 < 0 ，
記圓心到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為d.
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以當(dāng)d最大時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
所以當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，被圓 SKIPIF 1 < 0 截得的弦 SKIPIF 1 < 0 最短，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，又直線 SKIPIF 1 < 0 過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取得最小值時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上： SKIPIF 1 < 0 最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)直線 SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0 .

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