題型一：空間向量的坐標(biāo)表示
題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
題型三：空間向量的共線(xiàn)與共面
題型四：空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示
題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示
題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示
題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一、空間直角坐標(biāo)系
1、空間直角坐標(biāo)系
從空間某一定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是 SKIPIF 1 < 0 平面、yOz平面、zOx平面.
2、右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.
3、空間點(diǎn)的坐標(biāo)
空間一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來(lái)表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).
知識(shí)點(diǎn)二、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)
1、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法
通過(guò)該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個(gè)坐標(biāo).
特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 ；坐標(biāo)平面 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 .
2、空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則有
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ；
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ；
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ；
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ；
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于坐標(biāo)平面 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ；
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于坐標(biāo)平面 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ；
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于坐標(biāo)平面 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 .
知識(shí)點(diǎn)三、 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)空間兩點(diǎn)的距離公式
若 SKIPIF 1 < 0 ，則
① SKIPIF 1 < 0
即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。
② SKIPIF 1 < 0 ，
或 SKIPIF 1 < 0 .
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝牲c(diǎn)間距離公式是模長(zhǎng)公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)表示，然后再用模長(zhǎng)公式推出。
(2)空間線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)
空間中有兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 .
(3)向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算
若 SKIPIF 1 < 0 ，則
① SKIPIF 1 < 0 ;
② SKIPIF 1 < 0 ;
③ SKIPIF 1 < 0 ;
(4)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
若 SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0
即：空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。
(5)空間向量長(zhǎng)度及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式
若 SKIPIF 1 < 0 ，則
(1) SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 .
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 的范圍是 SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0 .
③用此公式求異面直線(xiàn)所成角等角度時(shí)，要注意所求角度與θ的關(guān)系(相等，互余，互補(bǔ))。
(6)空間向量平行和垂直的條件
若 SKIPIF 1 < 0 ，則
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
規(guī)定： SKIPIF 1 < 0 與任意空間向量平行或垂直
作用：證明線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)線(xiàn)垂直.
【典例例題】
題型一：空間向量的坐標(biāo)表示
例1．已知平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 .故選：D
例2．已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即，所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 故答案為： SKIPIF 1 < 0
例3．已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線(xiàn)段AB上靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分點(diǎn)，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為_(kāi)__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由題設(shè)， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0
題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
例4．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ( )
A．-11B．3C．4D．15
【答案】C
【解析】由已知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .故選：C．
例5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】∵向量 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .故選:B.
題型三：空間向量的共線(xiàn)與共面
例6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線(xiàn)，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ( )
A．-2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線(xiàn)，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故選：B.
例7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 共面，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 共面，則設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故選：D.
題型四：空間向量模長(zhǎng)坐標(biāo)表示
例8．設(shè)空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ＝______．
【答案】3
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，則顯然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故答案為：3.
題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示
例9．在空間直角坐標(biāo)系中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】4
【解析】由題意得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：4
題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示
例10．已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0
題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示
例11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因?yàn)橄蛄?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為鈍角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0
例12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角為鈍角，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的范圍是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)橄蛄?SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角為鈍角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線(xiàn)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線(xiàn)同向，綜上可得 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0
例13．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為銳角，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)橄蛄?SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為銳角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．若向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故選：D.
3．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ,若三個(gè)向量 SKIPIF 1 < 0 共面,則實(shí)數(shù)m等于( )
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 共面可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故選：A．
4．長(zhǎng)方體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，E為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)，F(xiàn)為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)，又 SKIPIF 1 < 0 ，則長(zhǎng)方體的高 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
5．設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故選：C．
6．已知空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線(xiàn) SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取得最小值時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因點(diǎn)Q在直線(xiàn) SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動(dòng)，則 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)點(diǎn)Q SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 .故選：C
二、填空題
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為_(kāi)_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故答案為： SKIPIF 1 < 0
8．已知空間向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，則存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案為： SKIPIF 1 < 0
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為銳角，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)橄蛄?SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為銳角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
而當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
三、解答題
10．已知空間三點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，求k．
【解析】(1)由題可知， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
11．如圖，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的距離；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】(1)如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為原點(diǎn)，分別以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 ，依題意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 .
(2)依題意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．

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第06講 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（七大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義：

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