題型一：異面直線所成的角
題型二：線面角
題型三：二面角
題型四：距離問題
題型五：體積問題
【知識點梳理】
知識點1、求點線、點面、線面距離的方法
(1)若P是平面外一點，a是平面內(nèi)的一條直線，過P作平面的垂線PO，O為垂足，過O作OA⊥a，連接PA，則以PA⊥a．則線段PA的長即為P點到直線a的距離(如圖所示)．
(2)一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫直線與平面的距離．
(3)求點面距離的常用方法：①直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個直角三角形來求解．
②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解．
③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解．
知識點2、異面直線所成角的常用方法
求異面直線所成角的一般步驟：
(1)找(或作出)異面直線所成的角——用平移法，若題設(shè)中有中點，?？紤]中位線．
(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．
(3)結(jié)論——設(shè)(2)所求角大小為θ．若，則θ即為所求；若，則即為所求．
知識點3、直線與平面所成角的常用方法
求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟
(1)確定斜線與平面的交點(斜足)；
(2)通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；
(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形．
知識點4、作二面角的三種常用方法
(1)定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖①，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角．

(2)垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，∠AOB為二面角α-l-β的平面角．
(3)垂線法：過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個平面作垂線，垂足為B，由點B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則為二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖③，為二面角的平面角．
知識點5、求體積的常用方法
選擇合適的底面，再利用體積公式求解．
【典例例題】
題型一：異面直線所成的角
例1．如圖，在長方體中，，且為的中點，則直線與所成角的大小為( )

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取的中點，連接，所以，直線與所成角即為直線與所成的，所以，，，
在中由余弦定理可得,
因為，所以.故選：C.
題型二：線面角
例2．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】(1)連接，交于點，連接，
四邊形為菱形，為中點，又為中點，，
平面，平面，平面.
(2)取中點，連接，
，，為等邊三角形，又為中點，；
平面，平面，，
，平面，平面，
即為直線與平面所成角，
，，
又，，，
即直線與平面所成角的正弦值為.
題型三：二面角
例3．如圖，在四棱錐中，底面是菱形．

(1)若點E是PD的中點，證明：平面；
(2)若， ，且平面平面，求二面角的正切值．
【解析】(1)連接交于M，連接，
因為底面是菱形，所以M為的中點，
又點E是PD的中點，故為的中位線，
故，而平面，平面，故平面；
(2)設(shè)為的中點，連接，因為，故,
因為平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，而平面，故，
底面是菱形，故，作交于N，
則，且N為的中點，
連接，因為平面，
故平面，則即為二面角的平面角，
設(shè)，則,，則，則，
由于為的中點，N為的中點，故，
而平面，平面，故，
所以，即二面角的正切值為2.
例4．四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E為AD的中點，F(xiàn)為PC中點．

(1)求證：平面；
(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值；
(3)求二面角的正弦值．
【解析】(1)取的中點，連接，因為點為的中點，所以，
又，所以，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，所以平面；
(2)四邊形為菱形，，
，為等邊三角形，，
在中，是中點，，
平面，平面，，
，平面，平面，平面，
斜線在平面內(nèi)的射影為，即是與平面所成角的平面角，
平面，平面，，
在中，，在中，，
平面，平面，，
在中，，與平面所成角的正切值為．
(3)在平面中，過點作，垂足為，連結(jié)，
平面，平面，，
，平面，
平面，又平面，
是二面角的平面角，
在中，，，，
在中，，，，在中，，
由余弦定理得，
二面角的正弦值為．
題型四：距離問題
例5．在四棱錐中，，，，，為等邊三角形，．
(1)證明：平面平面PBC；
(2)求點C到平面PAB的距離．
【解析】(1)證明：取CD的中點E，連接PE，AE，如圖，
易知，，，
在中，由余弦定理得，，
則，故，
由，，，同理可得且，
故為二面角的平面角，
又，則，故，故平面平面ABCD，
又CE與AB平行且相等，且，則四邊形ABCE為矩形，
故．又平面ABCD，平面平面，
故平面PCD，又平面PBC，則平面平面PBC．
(2)連接AC，設(shè)C到平面PAB的距離為h，
由(1)得平面平面PCD，，由面面垂直的性質(zhì)定理，同理可得平面ABCD，
，即，
∵，，，，平面AEP，則平面AEP，
又，故平面AEP，平面AEP，故，
故，故，解得．
例6．在直角梯形中(如圖一)，，，.將沿折起，使(如圖二).

(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)為線段的中點，求點到直線的距離.
【解析】(1)取的中點，連接，如圖所示：
因為，，則四邊形為正方形，所以，
因為，所以.
因為，，，平面，所以平面.
又因為平面，所以.
因為，，，平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
(2)取的中點，連接，
因為平面，，所以平面，
又因為平面，所以.
因為，所以.
因為，，，平面，
所以平面，
又因為平面，所以.
因為，，且，所以，
即點 E 到直線 CD 的距離為.
題型五：體積問題
例7．如圖，在正四棱錐中，，，、、分別為中點.

(1)求證：平面；
(2)三棱錐的體積.
【解析】(1)證明： 連接，∵四邊形為正方形，、分別為中點，∴，
又五點共面，平面，平面， ∴平面，
(2)在正四棱錐中，連接交于點，連接，
則平面，又平面，所以，
所以， ，
因為，為中點.
所以，
故.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．在二面角中，，，，，且，，若，，，則二面角的余弦值為( )

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意畫出圖形：在平面內(nèi)，過A作，過點作，交于點，連接.，，平面.又，是二面角的平面角.
由矩形得，.在中，由勾股定理得.
是等邊三角形，，.二面角的余弦值為故選：.
2．如圖，矩形ABCD中，，正方形ADEF的邊長為1，且平面平面ADEF，則異面直線BD與FC所成角的余弦值為( )

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取AF的中點G，連接AC交BD于O點，如圖所示，
則，且，異面直線與所成角即直線與所成角，
由平面平面，，平面平面，
平面知，平面，又平面，
所以，由題易知，所以，
則，，，
則在中，由余弦定理知，，
由兩直線夾角取值范圍為，則直線與所成角即異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C
3．在正方體中，點是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取的中點為，連接，如下圖所示：
利用正方體性質(zhì)可得，且，所以可得是平行四邊形，即，
所以異面直線與所成的角的平面角即為，
不妨設(shè)正方體棱長為，易知；
取的中點為，連接，易知，所以.故選：A
4．如圖所示，四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是( )
A．
B．平面SCD
C．直線SA與平面SBD所成的角等于
D．直線SA與平面SBD所成的角等于直線SC與平面SBD所成的角.
【答案】C
【解析】對于A，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，
因為為正方形，所以，又平面，，所以平面，
因為平面，所以，故A正確；
對于B，因為，平面，平面，所以平面SCD，故B正確；
對于C，設(shè)交于，連，由A知，平面SBD，則是直線SA與平面SBD所成的角，
設(shè)，，則，，只有當(dāng)，即，即時，才有，故C不正確；
對于D，由C知，是直線SA與平面SBD所成的角，是直線與平面SBD所成的角，因為，，，所以與全等，所以，故D正確.
二 、填空題
5．如圖，在棱長為1的正方體中，點A到平面距離是______．

【答案】
【解析】，為邊長為的等邊三角形，設(shè)到平面的距離為，
根據(jù)，則，解得.故答案為：.
6．在四棱錐中，所有側(cè)棱長都為，底面是邊長為的正方形，O是P在平面ABCD內(nèi)的射影，M是PC的中點，則異面直線OP與BM所成角為___________
【答案】
【解析】由題意可知底面是邊長為的正方形,所有側(cè)棱長都為，則四棱錐為正四棱錐,為正方形的中心,取的中點為,連接，又因為M是PC的中點，則，
則即為所求，因為平面，所以平面,則，
，則，因為，
所以.故答案為：.
7．如圖，在直三棱柱中，，，直線與平面所成的角_________．

【答案】
【解析】因為在直三棱柱中，平面，平面，所以，
因為，所以，因為，平面，所以平面，
所以為直線與平面所成的角，
因為，，所以為等腰直角三角形，所以，
所以直線與平面所成的角為，故答案為：
三、解答題
8．如圖，在直三棱柱中，，，點為中點，連接、交于點，點為中點．

(1)求證：//平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求點到面的距離．
【解析】(1)(1)直三棱柱，四邊形為平行四邊形
為的中點 為的中點，，
又平面，平面，平面.
(2)四邊形為平行四邊形，，
平行四邊形為菱形，即
三棱柱為直三棱柱， 平面，
平面，，，，
，，平面，平面，
平面，，
，，平面，平面，
平面 ， 平面平面
(3)法一：連接，設(shè)點到平面的距離為，
平面，平面，
，為三棱錐高，
在直角中，，.
在直角中，，.
在直角中，，，.
在等腰中，，
，，， ，
點到平面的距離為.
在平行四邊形中，因為為的中點，且點平面，
所以點到平面的距離等于點到平面的距離，故點到平面的距離為.
方法二：(綜合法)作，垂足為，連接，作，垂足為.
平面，平面，，
，，平面，
平面，平面，，
，，平面，
平面， 即為點到平面的距離，
在直角中， ；在直角中， ，
， 點到平面的距離為.
在平行四邊形中，因為為的中點，且點平面，
所以點到平面的距離等于點到平面的距離，故點到平面的距離為.
9．如圖，在三棱臺中，AB=BC=CA=2DF=2，F(xiàn)C=1，∠ACF=∠BCF=90°，G為線段AC中點，H為線段BC上的點，平面FGH．

(1)求證：點H為線段BC的中點；
(2)求三棱臺的表面積；
(3)求二面角的正弦值．
【解析】(1)連接CD，設(shè)，連接HO、DG
∵平面FGH，平面CBD，平面平面FGH=HO，∴
∵四邊形DFCG是正方形，O是CD的中點，∴點H是BC的中點．
(2)三棱臺中，∵為等邊三角形，∴為等邊三角形，EF=DE=1．
上底面為等邊三角形，其邊長為1，面積為，
下底面為等邊三角形，其邊長為2，面積為，
側(cè)面ADFC和側(cè)面EFCB為直角梯形，面積為，
側(cè)面ADEB為等腰梯形，，作出側(cè)面ADEB的圖形，如圖所示：
過點作，則有，所以，
故面積為．，
所以，三棱臺的表面積為：．
(3)∵，，且，∴平面ABC，∴平面平面ACDF，
過H作HM垂直于AC，交AC于M，則平面ACDF，
作HN垂直于GF于N，連接MN，則∠HNM即為二面角的平面角，
因為是邊長為2的正三角形，所以點到距離為，
又因為為的中點，所以，
由題意可知，，，
在中，由余弦定理可得，
所以，
由三角形面積相等可得，解得，所以，即二面角的正弦值為.
10．如圖，邊長為4的正方形中，點分別為的中點．將分別沿折起，使三點重合于點P．
(1)求證：；
(2)求三棱錐的體積；
(3)求二面角的余弦值．
【解析】(1)證明：因為在正方形中，折疊后即有，
又平面，所以平面，而平面,故；
(2)由題意知，故，故；
(3)取線段的中點G，連接，
因為，所以有，平面,平面,
所以即為二面角的平面角，
又由(1)得平面，平面，
故,而,,
故,即二面角的余弦值為.

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