初中數(shù)學華師大版九年級上冊第22章一元二次方程22.1 一元二次方程課前預習課件ppt-課件下載-教習網(wǎng)

第22章　一元二次方程
22.1　一元二次方程
知識點1　一元二次方程的定義
1.(2024河南周口項城期中)下列方程,是一元二次方程的是 ?(　????)A.x2-?=1　　　??? ?B.3x2+x=26C.2x2-3xy+4=0　　　????D.ax2+bx+c=0
2.(易錯題)(教材變式·P20T1)(2023福建漳州東盛教育集團期中)若方程(m-2)?-2x-4=0是關于x的一元二次方程,則m=????　　?.
易錯警示????　　要使一個方程為一元二次方程,除了要保證未知數(shù)的最高次數(shù)是2,還要保證二次項系數(shù)不為0.
知識點2　一元二次方程的一般形式
3.(2024吉林長春農安期中)一元二次方程3x2-x-2=0的二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項分別是?(　????)A.3,-1,-2　　　????B.3,1,-2C.3,-1,2　　　????D.3,1,2
解析　方程3x2-x-2=0的二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項分別是3,-1,-2.
4.(2024湖南邵陽期中)將一元二次方程(2x-1)(x+2)=3化成一般形式正確的是?(　????)A.2x2+3x-5=0　　　????B.2x2+3x+1=0C.2x2-3x-5=0　　　????D.2x2+3x-2=3
解析????(2x-1)(x+2)=3,去括號得2x2+4x-x-2=3,移項得2x2+4x-x- 2-3=0,合并同類項得2x2+3x-5=0.
知識點3　一元二次方程的根
5.(2024河南開封火電中學月考)若x=1是方程x2-2x+a=0的根, 則a的值為?(　????)A.1　　　????B.-1　　　????C.0　　　????D.-2
解析　∵x=1是方程x2-2x+a=0的根,∴1-2+a=0,∴a=1.
6.(整體思想)(2023山東棗莊中考)若x=3是關于x的方程ax2-bx =6的解,則2 023-6a+2b的值為　　　????.
解析　把x=3代入方程ax2-bx=6得9a-3b=6,即3a-b=2,則原式= 2 023-2(3a-b)=2 023-4=2 019.
7.(一題多解)(2024河南駐馬店西平人和中學月考)已知x=a是一元二次方程x2-2 023x+1=0的一個根,試求a2-2 022a-?的值.
解析　解法1(整體代入法):將x=a代入方程x2-2 023x+1=0得a2 -2 023a+1=0,變形得a2+1=2 023a,a2=2 023a-1,∴a2-2 022a- ?=2 023a-1-2 022a-?=a-1-a=-1.解法2(變化待求式子):將x=a代入方程x2-2 023x+1=0得a2-2 02 3a+1=0,∴a2-2 022a-?=a2-2 023a+1+a-1-?=a-1-?=?=?=?=-1.
知識點4　由實際問題列一元二次方程
8.(2024河南周口西華二模)下圖是某公司去年8—12月的生產成本統(tǒng)計圖,設9—11月每個月生產成本的下降率都為x,根據(jù)圖中信息,得到x所滿足的方程是?(　????)?
A.15(1+x)2=30　　　????B.30(1-2x)2=15C.30(1-x)2=15　　　????D.15(1+2x)2=30
解析????9—11月每個月生產成本的下降率都為x,∵該公司9 月、11月的生產成本分別為30萬元、15萬元,∴x所滿足的方程為30(1-x)2=15.
方法解讀　求增長率(或降低率)的數(shù)學模型　　設a是變化前的量,b是變化后的量,x表示每次的平均變化率(x>0),若x表示增長率,n表示增長的次數(shù),則a(1+x)n=b;若x 表示降低率,n表示降低的次數(shù),則a(1-x)n=b.
9.(跨學科·語文)(2024河南新鄉(xiāng)輝縣期中)讀詩詞,列方程:大江東去浪淘盡,千古風流人物;而立之年督東吳,早逝英年兩位數(shù);十位恰小個位三,個位平方與壽符.(大意:周瑜英年早逝,逝世時的年齡是一個兩位數(shù),十位上的數(shù)字比個位上的數(shù) 字小3,個位上的數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世時的年齡),設周瑜逝世時年齡個位上的數(shù)字為x,則列出的方程正確的是?(　????)A.10x+(x-3)=x2　　B.10(x-3)+x=x2
C.10x+(x-3)=(x-3)2D.10(x-3)+x=(x-3)2
解析　∵周瑜逝世時年齡個位上的數(shù)字為x,且十位上的數(shù) 字比個位上的數(shù)字小3,∴周瑜逝世時年齡十位上的數(shù)字為(x -3),根據(jù)題意得10(x-3)+x=x2.
10.(新獨家原創(chuàng))中國目前是世界上高鐵運營里程最長、在建規(guī)模最大、運行速度最快的國家,中國高鐵也成為中國人引以為傲的國家名片.高鐵某交通路線從北京出發(fā),?？空军c 依次為北京西站—涿州站—高碑店站—保定站—……—成都西站,若從北京西站到成都西站共設計了56種往返車票,這條線路共有多少個站點?設這條線路共有x個站點,則x滿足的方程的一般形式為　　　　　　????.
解析　由題意列方程得x(x-1)=56,整理成一般形式為x2-x-56= 0.
11.(2024河南南陽實驗學校二模,5,★☆☆)若關于x的一元二次方程(x+2)2=m(2x+1)中不含常數(shù)項,則m的值是?(　????)A.2　　　????B.-2C.4　　　????D.-4
解析　整理方程(x+2)2=m(2x+1)可得x2+(4-2m)x+4-m=0,因為關于x的一元二次方程(x+2)2=m(2x+1)中不含常數(shù)項,所以4-m =0,解得m=4.
12.(2024河南洛陽新安一模,8,★★☆)春意復蘇,洛陽綠化工程正在如火如荼地進行著,某工程隊計劃將一塊長64 m,寬40 m的矩形場地建設成綠化廣場(如圖),廣場內部修建三條寬相等的小路,其余區(qū)域進行綠化.若使綠化區(qū)域的面積為廣場總面積的80%,求小路的寬,設小路的寬為x m,則可列方程為 ?(　????)?
A.(64-2x)(40-x)=64×40×80% 　　　????B.(40-2x)(64-x)=64×40×80%C.64x+2×40x-2x2=64×40×80% 　　　????D.64x+2×40x=64×40×(1-80%)
解析　經(jīng)平移后,綠化區(qū)域為長(64-2x)米,寬(40-x)米的矩形, 根據(jù)矩形的面積公式和綠化區(qū)域的面積為廣場總面積的8 0%可列方程為(64-2x)(40-x)=64×40×80%.
13.(2022四川遂寧中考,9,★★☆)已知m為方程x2+3x-2 022=0 的根,那么m3+2m2-2 025m+2 022的值為?(　????)A.-2 022　　　????B.0C.2 022　　　????D.4 044
解析　∵m為方程x2+3x-2 022=0的根,∴m2+3m-2 022=0,∴m2 +3m=2 022,∴原式=m3+3m2-m2-3m-2 022m+2 022=m(m2+3m)- (m2+3m)-2 022m+2 022=2 022m-2 022-2 022m+2 022=0.
14.(新考向·開放型試題)(2022湖南岳陽華容模擬,13,★☆☆) 構造一個一元二次方程,要求:①常數(shù)項不為0;②有一個根為 -1.這個一元二次方程可以是　　　　　　?? ??(寫出一個即可).
答案不唯一,如x2-1=0
15.(2022海南海口一中期中,13,★☆☆)已知關于x的一元二次方程x2+mx+2=0與x2+2x+m=0有一個公共根,則此公共根是 x=　　　????,m=　　　????.
解析　設兩方程的公共根為t,則t2+mt+2=0①,t2+2t+m=0②,① -②整理得(m-2)t=m-2,由題意得m-2≠0,∴t=1,即x=1,把t=1代入①得1+m+2=0,解得m=-3.故x=1,m=-3.
16.(情境題·數(shù)學文化)(2024北京七中二模改編,15,★★☆)我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載有“圓中方形” 問題:“今有圓田一段,中間有個方池.丈量田地待耕犁,恰好三分在記,池面至周有數(shù),每邊三步無疑.內方圓徑若能知,堪作算中第一.”其大意:有一塊圓形的田,中間有一塊正方形水池,測量出除水池外圓內可耕地的面積恰好為72平方步,從水池邊到圓周,每邊相距3步遠.如果你能求出正方形的邊長和圓的直徑,那么你的計算水平就是第一了.如圖,設正方形的邊長是x步,則列出的方程是　　　　　　　????.
17.(2024河南新鄉(xiāng)封丘縣二模,23,★★☆)已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).(1)若a+c=-b,求證:x=1必是該方程的一個根;(2)若方程必有一根是x=-1,求此時a,b,c之間的關系.
解析????(1)證明:由a+c=-b得a+b+c=0,故當x=1時,ax2+bx+c=a× 12+b×1+c=a+b+c=0,所以x=1必是該方程的一個根.(2)當x=-1時,代入方程得,a-b+c=0,∴當a,b,c之間的關系滿足a -b+c=0時,方程必有一根是x=-1.
18.(運算能力)閱讀下列材料:設m(m≠0)是方程x2-3x+1=0的一個根,則m2-3m+1=0.兩邊同乘?得m-3+?=0,即m+?=3,故m2+?=?-2=32-2=7.解答下列問題:(1)若n(n≠0)是方程x2+4x+1=0的一個根,求n+?和n2+?的值;(2)若t(t≠0)是方程2x2-7x+2=0的一個根,求t+?和t2+?的值.