【回歸教材】
1.冪函數(shù)定義
一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．
2.五種常見冪函數(shù)
3.冪函數(shù)性質(zhì)
冪函數(shù)，在
①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
【典例講練】
題型一 冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)
【例1-1】已知函數(shù)冪函數(shù)，且在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C．或 D．
【例1-2】圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（ ）
、、 B．、、
C．、、 D．、、
【例1-3】若，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則m的值為（ ）
A．0B．1C．0或1D．
【練習(xí)1-2】如圖，①②③④對應(yīng)四個(gè)冪函數(shù)的圖像，其中①對應(yīng)的冪函數(shù)是（ ）
B．
C．D．
題型二 冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
【例2-1】已知，則（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】冪函數(shù)過點(diǎn)，則______，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【例2-3】冪函數(shù)y＝（m∈Z）的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)m的值為________.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知，，，則的大小關(guān)系是_____________.
【練習(xí)2-2】不等式的解為______．
題型三 冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例3-1】【多選題】已知，且，若，則的大小關(guān)系可以是（ ）
A． B．C．D．
【例3-2】已知，分別是方程，的根，則（ ）
A．1B．2C．D．
【例3-3】已知是方程的實(shí)根，則關(guān)于實(shí)數(shù)的判斷正確的是（ ）
① ② ③ ④
A．①④B．②③C．①③D．②④
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】已知，，，若，則a、b、c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【練習(xí)3-2】已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且滿足：，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．B．C．D．
【請完成課時(shí)作業(yè)（十三）】
【課時(shí)作業(yè)（十三）】
A組 基礎(chǔ)題
1．冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是 （ ）
B．
C．D．
2．已知冪函數(shù)上單調(diào)遞增，則（ ）
A．0B．C．D．
3．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則下列關(guān)于說法正確的是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)
C．在單調(diào)遞減D．定義域?yàn)?br>4．已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
6．設(shè)，，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
7．在函數(shù)，，，，四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使成立的函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
8．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則（ ）
A．-2B．0C．1D．2
9．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列不等式一定不成立的為（ ）
A．B．C．D．
10．【多選題】若，，則（ ）
A．B．C．D．
11．【多選題】已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，以下說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
12．函數(shù)y定義域是_____，值域是_______；奇偶性：_______，單調(diào)區(qū)間________．
13．寫出一個(gè)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)______．
①定義域?yàn)?；②在單調(diào)遞增；③．
14．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為________.
B組 能力提升能
1．若，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知是方程的根，是方程的根，則（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函數(shù)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
函數(shù)
圖象
性質(zhì)
定義域
值域
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
非奇非偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
第 7 課時(shí) 冪函數(shù)及冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
編寫：廖云波
【回歸教材】
1.冪函數(shù)定義
一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．
2.五種常見冪函數(shù)
3.冪函數(shù)性質(zhì)
冪函數(shù)，在
①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
【典例講練】
題型一 冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)
【例1-1】已知函數(shù)冪函數(shù)，且在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】A
因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，則，即，解得或.
若，函數(shù)解析式為，該函數(shù)在定義域上不單調(diào)，舍去；
若，函數(shù)解析式為，該函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，合乎題意.
綜上所述，.
故選：A.
【例1-2】圖中C1、C2、C3為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（ ）
A．、、B．、、C．、、D．、、
【答案】D
由冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，
可得：圖中C1對應(yīng)的，C2對應(yīng)的，C3對應(yīng)的，
結(jié)合選項(xiàng)知，指數(shù)的值依次可以是．
故選：D.
【例1-3】若，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
因?yàn)檫^定點(diǎn)，
將圖象向右平移一個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得：，
所以過定點(diǎn).
故答案為.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則m的值為（ ）
A．0B．1C．0或1D．
【答案】A
由題意，冪函數(shù)，可得，解得或，
當(dāng)時(shí)，可得，可得在上單調(diào)遞減，符合題意；
當(dāng)時(shí)，可得，可得在上無單調(diào)性，不符合題意，
綜上可得，實(shí)數(shù)的值為.
故選：A.
【練習(xí)1-2】如圖，①②③④對應(yīng)四個(gè)冪函數(shù)的圖像，其中①對應(yīng)的冪函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
根據(jù)函數(shù)圖象可得：①對應(yīng)的冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且增長速度越來越慢，故，故D選項(xiàng)符合要求.
故選：D
題型二 冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
【例2-1】已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
整理可得，利用冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷．
【詳解】
，
冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，
∴
故選：A．
【例2-2】冪函數(shù)過點(diǎn)，則______，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)所過的點(diǎn)求解析式，再由所得冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式，求a的范圍.
【詳解】
設(shè)冪函數(shù)解析式為，將代入得，
所以，在上單調(diào)遞減，
所以，可得．
故答案為：，
【例2-3】冪函數(shù)y＝（m∈Z）的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)m的值為________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)圖象可判斷單調(diào)性，進(jìn)而可得，為整數(shù)，由驗(yàn)證是否是偶函數(shù)即可求解.
【詳解】
有圖象可知：該冪函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，解得，,故可取，又因?yàn)樵摵瘮?shù)為偶函數(shù)，所以為偶數(shù)，故
故答案為：
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知，，，則的大小關(guān)系是_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】
由冪函數(shù)的單調(diào)性求解即可
【詳解】
，，，則
，
，
，
又冪函數(shù)在單調(diào)遞增，，
所以
【練習(xí)2-2】不等式的解為______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可
【詳解】
將不等式轉(zhuǎn)化成
（Ⅰ） ，解得 ；
（Ⅱ） ，解得 ；
（Ⅲ） ，此時(shí)無解；
綜上，不等式的解集為：
故答案為：
題型三 冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例3-1】【多選題】已知，且，若，則的大小關(guān)系可以是（ ）
A． B．C．D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，的圖象，然后觀察與他們的交點(diǎn)即可得到答案.
【詳解】
如圖，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，的圖象，
當(dāng)直線與三者都相交時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的值，由圖知，當(dāng)從大變到小時(shí)，依次出現(xiàn)c＜a＜b、a＜c＜b、a＜b＜c．
故選：ACD.
【例3-2】已知，分別是方程，的根，則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意可得，分別是函數(shù)，的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于的圖象與圖象關(guān)于直線對稱，而直線也關(guān)于直線對稱，所以兩交點(diǎn)的中點(diǎn)就是直線與的交點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出的值
【詳解】
由題意可得是函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
因?yàn)榈膱D象與圖象關(guān)于直線對稱，而直線也關(guān)于直線對稱，
所以線段的中點(diǎn)就是直線與的交點(diǎn)，
由，得，即線段的中點(diǎn)為，
所以，得，
故選：B
【例3-3】已知是方程的實(shí)根，則關(guān)于實(shí)數(shù)的判斷正確的是（ ）
① ② ③ ④
A．①④B．②③C．①③D．②④
【答案】B
【解析】
【分析】
由進(jìn)行化簡，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出正確答案.
【詳解】
單調(diào)遞增，
，
又在上單增，.
而，
故，
故選：B
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】已知，，，若，則a、b、c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性可知的范圍，即可求解.
【詳解】
由，所以，，，
所以，
故選：B
【練習(xí)3-2】已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且滿足：，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出4個(gè)零點(diǎn)的關(guān)系及范圍，進(jìn)而得出結(jié)論.
【詳解】
函數(shù)的四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，就是函數(shù)與兩個(gè)圖象四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
作出函數(shù)的圖象，
由圖象可知，故A正確；
由，可得或，結(jié)合圖象可知，故B錯(cuò)誤；
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象得出，所以，故C正確；
又，且，
所以，即，
所以，故D正確.
故選：B.
【請完成課時(shí)作業(yè)（十三）】
【課時(shí)作業(yè)（十三）】
A組 基礎(chǔ)題
1．冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，即可判斷；
【詳解】
根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，
在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，
所以由圖像得：，
故選：D
2．已知冪函數(shù)上單調(diào)遞增，則（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意可得且，從而可求出的值
【詳解】
因?yàn)閮绾瘮?shù)上單調(diào)遞增，
所以且，
解得，
故選：A
3．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則下列關(guān)于說法正確的是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)
C．在單調(diào)遞減D．定義域?yàn)?br>【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)冪函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象的點(diǎn)求得解析式，由其定義域可判斷D,繼而判斷A,B,由其單調(diào)性判斷C.
【詳解】
設(shè)冪函數(shù)，
由題意得： ，
故，定義域?yàn)?，故D錯(cuò)誤；
定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，為非奇非偶函數(shù)，A，B錯(cuò)誤；
由于 ，故在在單調(diào)遞減，C正確，
故選：C
4．已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而解出不等式即可.
【詳解】
由題意，，易知函數(shù)在R上單調(diào)遞減（減+減），而，所以.
故選：D.
5．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，由此即可得到結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br>又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.
故選：B.
6．設(shè)，，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意和三角函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br>則，
，
，
所以，
故選：D
7．在函數(shù)，，，，四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使成立的函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先判斷使成立的函數(shù)圖象“上凸”，再結(jié)合圖像依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，使成立，
則表示連接兩點(diǎn)的線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于曲線在中點(diǎn)處的縱坐標(biāo)，
即的圖象“上凸”，
由圖象可直觀得到：當(dāng)時(shí)，，，的圖象都不是上凸的，
只有為“上凸”的函數(shù)．
故選：A．
8．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則（ ）
A．-2B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知構(gòu)造函數(shù)，利用，，及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性即可得出結(jié)果.
【詳解】
構(gòu)建函數(shù)，則為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.
由，，
得，，所以.
故選：B.
9．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列不等式一定不成立的為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷不同取值情況a、b、c的大小關(guān)系，即可得結(jié)果.
【詳解】
由的圖象如下：
由圖知：當(dāng)時(shí)，，D可能；
當(dāng)時(shí)，，B可能；
當(dāng)時(shí)，，A可能.
故選：C
10．【多選題】若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
由指對冪函數(shù)的單調(diào)性及指對冪運(yùn)算依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】
對于A，由為增函數(shù)知，A正確；對于B，由在為增函數(shù)知，B正確；
對于C，取，則，則，C錯(cuò)誤；
對于D，易得，則，則，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
11．【多選題】已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，以下說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
將問題轉(zhuǎn)化為與、、的交點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍及數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，及指對冪函數(shù)的性質(zhì)判斷a、b、c的范圍.
【詳解】
由題設(shè)，，，，
所以，問題可轉(zhuǎn)化為與、、的交點(diǎn)問題，函數(shù)圖象如下：
由圖及、對稱性知：，且，
所以A、D正確，B、C錯(cuò)誤.
故選：AD
12．3．函數(shù)y定義域是_____，值域是_______；奇偶性：_______，單調(diào)區(qū)間________．
【答案】 {x|x≠0} {y|y＞0} 偶函數(shù) (﹣∞，0)，(0，＋∞)．
【解析】
【分析】
把函數(shù)y化為根式的形式，求出它的定義域和值域；再根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷，即可得出正確的結(jié)論．
【詳解】
∵函數(shù)y，
∴x2≠0，
解得x≠0，
∴函數(shù)y的定義域是{x|x≠0}；
又y＞0，
∴函數(shù)y的值域是{y|y＞0}；
又對定義域內(nèi)的任意x，有f(﹣x)f(x)，
∴y＝f(x)是定義域上的偶函數(shù)；
又y＝f(x)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)是減函數(shù)，
x＜0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，
∴(﹣∞，0)和(0，＋∞)是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
故答案為：{x|x≠0}；{y|y＞0}；偶函數(shù)；(﹣∞，0)，(0，＋∞)．
13．寫出一個(gè)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)______．
①定義域?yàn)?；②在單調(diào)遞增；③．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、運(yùn)算求得符合題意的函數(shù).
【詳解】
的定義域?yàn)?，在區(qū)間遞增，
且，
所以符合題意.
故答案為：（答案不唯一）
14．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到，代入不等式得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解得答案.
【詳解】
冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，解得.
，故，，.
當(dāng)時(shí) ，不關(guān)于軸對稱，舍去；
當(dāng)時(shí) ，關(guān)于軸對稱，滿足；
當(dāng)時(shí) ，不關(guān)于軸對稱，舍去；
故，，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，
故或或，解得或.
故答案為：
B組 能力提升能
1．若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最大值，再利用作差法判斷、，即可得解；
【詳解】
解：令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以
又
所以，即.
故選：A
2．已知是方程的根，是方程的根，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析可知是與的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，是與的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，利用對稱性可求得結(jié)果.
【詳解】
方程可變形為，方程可變形為，
所以，是與的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，是與的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
因?yàn)榕c互為反函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
在函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由可得，則點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以，故.
故選：D.
3．設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可比較的大小，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性可比較出，從而可比較出三個(gè)數(shù)的大小
【詳解】
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，
所以，
因?yàn)?，所以，即?br>令（），得，
所以在上遞增，
所以，所以，
令，則，即，即，
所以，
故選：D
4．已知函數(shù)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用數(shù)形結(jié)合，作出函數(shù)的圖象與直線，可得，即求.
【詳解】
∵函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
作出函數(shù)與直線的圖象，如圖
則，即，
∴.
故選：D.
函數(shù)
圖象
性質(zhì)
定義域
值域
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
非奇非偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)

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