高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點(diǎn)題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第08課時(shí)直線與雙曲線的位置關(guān)系(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【回歸教材】
1.直線與雙曲線的位置關(guān)系
將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為
若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；
若即，
①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；
②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；
③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點(diǎn)．
2.直線與雙曲線的相交弦
設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則
=
或
3.雙曲線的中點(diǎn)弦問題
遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解.
在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率；
涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化
【典例講練】
題型一直線與雙曲線位置關(guān)系
【例1-1】已知雙曲線x2－y2=4，直線l：y=k(x－1)，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù).
【例1-2】若過點(diǎn)的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】過且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【練習(xí)1-2】直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則斜率k的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
題型二雙曲線的弦長
【例2-1】過雙曲線－＝1的焦點(diǎn)且與x軸垂直的弦的長度為________.
【例2-2】求直線被雙曲線截得的弦長.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】已知，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與曲線的右支交于兩點(diǎn)，則的周長的最小值為（）
A．B．C．D．
【練習(xí)2-2】設(shè)?分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且也為拋物線的的焦點(diǎn)，若點(diǎn)，，是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).
(1)雙曲線C的方程；
(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點(diǎn)，求.
題型三中點(diǎn)弦問題
【例3-1】雙曲線：被斜率為的直線截得的弦的中點(diǎn)為則雙曲線的離心率為 ______.
【例3-2】已知雙曲線的實(shí)軸長為2，一條漸近線方程為
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】已知雙曲線，
(1)過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若為弦的中點(diǎn)，求直線的方程；
(2)是否存在直線，使得為被該雙曲線所截弦的中點(diǎn)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.
題型四直線與雙曲線的綜合應(yīng)用
【例4-1】直線l：與雙曲線C：交于不同的兩點(diǎn)A、B．
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(2)若雙曲線C的右焦點(diǎn)為F，是否存在實(shí)數(shù)k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
【例4-2】已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與該雙曲線兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)，．
(1)若，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；
(2)設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)E，，，證明：為定值．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】設(shè)雙曲線，其虛軸長為，且離心率為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)的動直線與雙曲線的左右兩支曲線分別交于點(diǎn)、，在線段上取點(diǎn)使得，證明：點(diǎn)落在某一定直線上．
【練習(xí)4-2】已知雙曲線C的方程為，離心率為，右頂點(diǎn)為(2，0)
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過的直線與雙曲線C的一支交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．
【完成課時(shí)作業(yè)（五十七）】
【課時(shí)作業(yè)（五十七）】
A組基礎(chǔ)題
1．直線與雙曲線的位置關(guān)系是（）
A．相切B．相交C．相離D．無法確定
2．已知是雙曲線（，）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，直線與軸垂直，且，那么雙曲線的離心率是（）
A．B．C．2D．3
3．過雙曲線：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（）
A．B．2C．D．
4．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且位于第一象限，若直線的斜率為，則的內(nèi)切圓的面積為（）
A．B．C．D．
5．【多選題】已知雙曲線，則下列說法正確的（）
A．雙曲線C的離心率等于半焦距的長
B．雙曲線與雙曲線C有相同的漸近線
C．直線被雙曲線C截得的弦長為
D．直線與雙曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)只可能為0，1，2
6．已知雙曲線，過作直線與雙曲線交于A、兩點(diǎn)，且為弦的中點(diǎn)，則直線的方程為________________.
7．雙曲線C：(，)的焦點(diǎn)為、，P在雙曲線右支上，且，為C的漸近線方程，若的面積為，則雙曲線C的焦距長為______．
8．已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦距為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程；
（2）若斜率為2的直線與交于，兩點(diǎn)．且，求．
9.已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)F與點(diǎn)的連線與一條漸近線平行.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A?B，試問是否存在一定點(diǎn)P，使恒成立，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
B組能力提升
1．【多選題】已知雙曲線，的左右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上兩點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，點(diǎn)P為雙曲線C右支上上一動點(diǎn)，記直線PA，PB的斜率分別為，，若，，則下列說法正確的是（）
A． B． C．的面積為 D．的面積為1
2．若雙曲線上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線：對稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
3．已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面積．
4．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立： ①M(fèi)在上；②；③．
第 8 課時(shí) 直線與雙曲線的位置關(guān)系
編寫：廖云波
【回歸教材】
1.直線與雙曲線的位置關(guān)系
將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為
若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；
若即，
①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；
②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；
③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點(diǎn)．
2.直線與雙曲線的相交弦
設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則
=
或
3.雙曲線的中點(diǎn)弦問題
遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解.
在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率；
涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化
【典例講練】
題型一直線與雙曲線位置關(guān)系
【例1-1】已知雙曲線x2－y2=4，直線l：y=k(x－1)，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解析】聯(lián)立方程組消去y，并依x聚項(xiàng)整理得：(1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0 ①
(1)當(dāng)1－k2=0即k=±1時(shí)，方程①可化為2x=5，x=，方程組只有一組解，
故直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)(實(shí)質(zhì)上是直線與漸近線平行時(shí)的兩種情況，相交但不相切).
(2)當(dāng)1－k2≠0時(shí)，即k≠±1，此時(shí)有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)，
則k∈，方程組有兩解，故直線與雙曲線有兩交點(diǎn).
(3)若4－3k2=0(k2≠1)，則k=±，方程組有解，故直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)(相切的情況).
(4)若4－3k2

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