高考數(shù)學一輪復習【考點題型歸納講練】導學案（新高考專用）第5課時指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

【回歸教材】
1.根式的概念及性質(zhì)
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做，叫做．
（2）性質(zhì)：①(且)；
②當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，
2.分數(shù)指數(shù)冪
①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；
②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；
③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于；0的負分數(shù)指數(shù)冪．
3.指數(shù)冪的運算性質(zhì)
①； ②； ③.
4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（1）指數(shù)函數(shù)的概念
函數(shù)(，且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是．
（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
【典例講練】
題型一指數(shù)式的計算
【例1-1】(1)； (2)
【例1-2】化簡下列各式：
(1)； (2)．
歸納總結：
【練習1-1】計算：．
【練習1-2】化簡（式中字母都是正數(shù)）：
(1)； (2)．
題型二指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
【例2-1】如圖所示，函數(shù)的圖像是（）
A． B． C．D．
【例2-2】已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【例2-3】函數(shù)的大致圖像是（）
A．B．C．D．
【例2-4】已知函數(shù)(，)恒過定點，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
歸納總結：
【練習2-1】如圖中的曲線C1，C2，C3，C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，已知對應函數(shù)的底數(shù)的值可取為，，，，則相應于曲線C1，C2，C3，C4，依次為（）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【練習2-2】已知函數(shù) (為常數(shù))，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．
【練習2-3】若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是______.
題型三比較指數(shù)冪的大小
【例3-1】已知，，，則a，b，c的大小關系為____.(用“” 連接)
【例3-2】按從小到大的順序，可將，，重新排列為___________.
【練習3-1】已知，則a，b中較大的數(shù)是___________.
【練習3-2】已知，，，則a，b，c三個數(shù)的大小關系是___________.
題型四解簡單的指數(shù)方程或不等式
【例4-1】若不等式成立，則實數(shù)x的取值范圍是______．
【例4-2】已知函數(shù)，則不等式的解集為______．
歸納總結：
【練習4-1】不等式恒成立，則的取值范圍是_________．
題型五指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用
【例5-1】函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是_________.
【例5-2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間___________.
【例5-3】已知的最小值為2，則m的取值范圍為______________
【例5-4】已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是______．
歸納總結：
【練習5-1】若關于的不等式的解集包含區(qū)間，則的取值范圍為____________
【練習5-2】設函數(shù)，則滿足的的取值范圍是___________．
【練習5-3】若函數(shù)(且)在上的最大值為14，求a的值.
【請完成課時作業(yè)（十一）】
【課時作業(yè)（十一）】
A組基礎題
1．已知全集，集合，，則（）
A．B．
C．D．
2．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）
A．或B．C．D．且
3．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）
A． B． C． D．
4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則a＝（）
A．1B．2C．0D．-2
6．若定義運算，則函數(shù)的值域是（）
A．(-∞，+∞)B．[1，+∞)C．(0.+∞)D．(0，1]
7．已知，則（）
A．B．C．D．
8．企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過凈化處理后才可排放，某企業(yè)在凈化處理廢氣的過程中污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關系為（其中，k是正的常數(shù)）．如果在前10h消除了20%的污染物，則20h后廢氣中污染物的含量是未處理前的（）
A．40%B．50%C．64%D．81%
9．設函數(shù)，若，則_____________.
10．函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為______.
11．函數(shù)在的值域為______．
12．若直線與函數(shù)的圖像有兩個公共點，則a的取值范圍是______．
13．函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為________．
14．若函數(shù)（且）在區(qū)間上的最小值為，求的值．
B組能力提升能
1．已知函數(shù)，若存在最小值，則實數(shù)的范圍是（）
A． B． C． D．
2．已知函數(shù)，若方程有兩個不同實根，則實數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
3．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
4．已知函數(shù)若關于的方程有5個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為___________.
5．已知函數(shù).
(1)當時，求的值域； (2)若有最大值16，求的值.底數(shù)
圖象
性質(zhì)
定義域為，值域為
圖象過定點
當時，恒有；
當時，恒有
當時，恒有；
當時，恒有
在定義域上為
在定義域上為
注意
指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象和性質(zhì)與的取值有關，
應分與來研究
第 5 課時指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
編寫：廖云波
【回歸教材】
根式的概念及性質(zhì)
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．
（2）性質(zhì)：①(且)；
②當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，
2、分數(shù)指數(shù)冪
①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；
②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；
③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．
3、指數(shù)冪的運算性質(zhì)
①； ②； ③.
4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（1）指數(shù)函數(shù)的概念
函數(shù)(，且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是．
（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
【典例講練】
題型一指數(shù)式的計算
【例1-1】(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)625
【解析】
【分析】
由對數(shù)和指數(shù)的運算求解即可.
(1)
(2)
原式
.
【例1-2】化簡下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）（2）將根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算法則計算可得；
(1)
解：
．
(2)
解：
．
歸納總結：
【練習1-1】計算：___．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
應用有理指數(shù)冪的運算法則化簡求值即可.
【詳解】
原式.
故答案為：
【練習1-2】化簡（式中字母都是正數(shù)）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）同底數(shù)冪的乘除法法則進行計算；（2）把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再利用指數(shù)冪的運算法則進行計算.
(1)
(2)
題型二指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
【例2-1】如圖所示，函數(shù)的圖像是（）
A． B． C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
將原函數(shù)變形為分段函數(shù)，根據(jù)及時的函數(shù)值即可得解.
【詳解】
，
時，時，.
故選：B.
【例2-2】已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函數(shù)有兩個不同的零點，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有兩個交點，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合可得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
函數(shù)有兩個不同的零點，
即為函數(shù)與直線有兩個交點，
函數(shù)圖象如圖所示：
所以，
故選：D.
【例2-3】函數(shù)的大致圖像是（）
A．B．C．D．
【答案】C
解：由函數(shù)，
得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除AB，
當時，，
所以函數(shù)在上是減函數(shù)，故排除D.
故選：C.
【例2-4】已知函數(shù)(，)恒過定點，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
且恒過定點則函數(shù)恒過定點且是單調(diào)遞增函數(shù)，其圖象不經(jīng)過第二象限.
故選：B
歸納總結：
【練習2-1】如圖中的曲線C1，C2，C3，C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，已知對應函數(shù)的底數(shù)的值可取為，，，，則相應于曲線C1，C2，C3，C4，依次為（）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】D
【解析】
【分析】
作直線，根據(jù)圖象得出答案.
【詳解】
設曲線C1，C2，C3，C4對應解析式的底數(shù)為，作直線，如下圖所示
由圖可知，，即曲線C1，C2，C3，C4，依次為，，，
故選：D
【練習2-2】已知函數(shù) (為常數(shù))，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題意得到，從而得到當時，函數(shù)為增函數(shù)，再根據(jù)題意即可得到答案.
【詳解】
因為函數(shù)，
當時，函數(shù)為增函數(shù)，
而已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即的取值范圍為．
故答案為：
【練習2-3】若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】
就的取值分類討論后可得a的取值范圍.
【詳解】
直線與的圖象有兩個公共點，
故有兩個不同的解，
故和共有兩個不同的解，
因為，故有且只有一個實數(shù)解.
若，則，故無解，而只有一個解，
故有且只有一個實數(shù)解，與題設矛盾，舍；
若，因為只有一個解，故需有一解，
故，故.
故答案為：.
題型三比較指數(shù)冪的大小
【例3-1】已知，，，則a，b，c的大小關系為____.(用“” 連接)
【答案】
【解析】
【分析】
利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及冪函數(shù)的單調(diào)性即得．
【詳解】
由于函數(shù)在R上是減函數(shù)，且，
，
由于函數(shù)在上是增函數(shù)，且，
∴，
故，，的大小關系是.
故答案為：.
【例3-2】按從小到大的順序，可將，，重新排列為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】
解：∵，，
∴，
故答案為：.
歸納總結：
【練習3-1】已知，則a，b中較大的數(shù)是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指數(shù)的性質(zhì)有，結合冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷大小關系.
【詳解】
由，
所以，較大的數(shù)是.
故答案為：.
【練習3-2】已知，，，則a，b，c三個數(shù)的大小關系是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)，同底，可比較，的大小，利用指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，將，的指數(shù)部分化為一致，結合冪函數(shù)的單調(diào)性，可比較，的大?。?br>【詳解】
解：，故函數(shù)為減函數(shù)
故
，故函數(shù)為減函數(shù)
又，
故答案為：
題型四解簡單的指數(shù)方程或不等式
【例4-1】若不等式成立，則實數(shù)x的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
化成同底數(shù)的指數(shù)不等式，結合單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】
等價于，又為增函數(shù)，故，即，解得.
故答案為：
【例4-2】已知函數(shù)，則不等式的解集為______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)解析式分類討論，得到不等式組，解得即可；
【詳解】
解：因為，又，即或，
解得或，綜上可得原不等式的解集為；
故答案為：
歸納總結：
【練習4-1】不等式恒成立，則的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由在R上遞增，將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立求解.
【詳解】
解：因為在R上遞增，
所以不等式恒成立，
即，恒成立，
亦即恒成立，
則，
解得，
故的取值范圍是．
故答案為：
題型五指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用
【例5-1】函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”，即可求解.
【詳解】
令，
根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知，內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
外層函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)#在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
故答案為：.
【例5-2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間___________.
【答案】增區(qū)間為，減區(qū)間為
【解析】
【分析】
由換元法，結合復合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】
設t＝>0，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x

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