【回歸教材】
1.基本不等式
如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù) 它們的幾何平均數(shù)．
2.幾個重要的不等式
（1）基本不等式：如果，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“”).
特例：（同號）.
（2）其他變形：
①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)
②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)
③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)
④重要不等式串：即
3.均值定理已知.
（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即“ ”.
（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即 ”.
4.常見求最值模型
模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
模型三：，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立；
模型四：，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立.
【典例講練】
題型一 利用基本不等式求最值
【例1-1】對勾函數(shù) 求下列函數(shù)的最值
（1）已知，則函數(shù)的最大值為___________.
（2）已知，則函數(shù)的最小值為___________.
（3）已知，則函數(shù)的最小值為___________.
【例1-2】最值定理（1）已知，則取得最大值時的值為________．
（2）若x，y為實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．18B．27C．54D．90
【例1-3】“1”的妙用 （1）若正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.
（2）已知，，且，則的最小值為__________.
【例1-4】分離常數(shù)法 當(dāng)時，函數(shù)的最小值為___________．
【例1-5】換元法 已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（ ）
A．B．C．D．
【例1-6】消元法 已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【例1-7】一元二次不等式法 已知，，，則的最大值為________．
【例1-8】拆項法是不同時為0的實數(shù)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【練習(xí)1-1】（1）已知，求函數(shù)的值域；
（2）已知，，且，求：的最小值．
【練習(xí)1-2】已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【練習(xí)1-3】已知對任意正實數(shù)，，恒有，則實數(shù)的最小值是___________.
【練習(xí)1-4】已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．C．4D．5
【練習(xí)1-5】設(shè)，，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
題型二 求數(shù)、式的范圍
【例2-1】若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則
(1)ab的取值范圍是__ ；
(2)a＋b的取值范圍是 ．
【例2-2】已知，，當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是 。
【練習(xí)2-1】若，，且，則的最小值為（ ）
A．9B．16C．49D．81
題型三 證明不等式
【例3-1】（1）設(shè)且．證明：；
（2）已知為正數(shù)，且滿足．證明：
【例3-2】設(shè)，為正實數(shù)，求證：．
【練習(xí)3-1】設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且，證明：
(1)；
(2)．
題型四 實際應(yīng)用
【例4-1】在中，角所對的邊分別為，已知，且的面積，則周長的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】的外接圓半徑，角，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．4D．
【例4-3】春節(jié)期間，車流量較大，可以通過管控車流量，提高行車安全，在某高速公路上的某時間段內(nèi)車流量（單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：萬輛/小時）與汽車的平均速度（單位：千米/小時）、平均車長（單位：米）之間滿足的函數(shù)關(guān)系（），已知某種車型的汽車的平均速度為100千米/小時時，車流量為1萬輛/小時．
(1)求該車型的平均車長；
(2)該車型的汽車在該時間段內(nèi)行駛，當(dāng)汽車的平均速度為多少時車流量達(dá)到最大值？
【練習(xí)4-1】如圖，將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，且對角線過點，已知，，那么當(dāng)_______時，矩形花壇的面積最小，最小面積為______.
【練習(xí)4-2】根據(jù)不同的程序，3D打印既能打印實心的幾何體模型，也能打印空心的幾何體模型．如圖所示的空心模型是體積為的球挖去一個三棱錐后得到的幾何體，其中，平面PAB，．不考慮打印損耗，求當(dāng)用料最省時，AC的長．
【練習(xí)4-3】在中，點P滿足，過點P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點M，N，若，（，），則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【請完成課時作業(yè)（五）】
【課時作業(yè)（五）】
A組 基礎(chǔ)題
1．若、，且，則的最小值為（ ）．
A．B．C．D．
2．已知，，且，則的最小值為（ ）
A．8B．C．9D．
3．已知是圓上一點，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
4．設(shè)內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，，則面積最大值為（ ）
A．B．C．D．3
5.雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，當(dāng)取最小值時，雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
6．若a，，，則的最大值為（ ）
A．B．C．2D．4
7．若、、均大于0，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．（多選題)設(shè)正實數(shù)m、n滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為3B．的最大值為1
C．的最小值為2D．的最小值為2
9．已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為_______．
10．已知、，若不等式恒成立，則的最大值為________．
11．已知 、， 且， 則 的最小值為________.
12．能源是國家的命脈， 降低能源消耗費用是重要抓手之一， 為此， 某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層. 某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層， 據(jù)當(dāng)年的物價， 每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民幣. 又根據(jù)建筑公司的前期研究得到， 該建筑物30 年間的每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位： 厘米） 滿足關(guān)系：， 經(jīng)測算知道， 如果不建隔熱層， 那么30年間的每年的能源消耗費用為10萬元人民幣. 設(shè)為隔熱層的建造費用與共30年的能源消耗費用總和，那么使達(dá)到最小值時， 隔熱層厚度__________厘米.
13．在中，角所對的邊分別為，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范圍.
B組 能力提升能
1．已知，，，且，則（ ）
A．有最大值B．有最大值1C．有最小值D．有最小值1
2．迷你KTV是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為，周長為，則的最大值為（ ）．（本題中取進行計算）
A．6B．C．3D．9
3．已知點P，A，B，C均在表面積為的球面上，且平面ABC，是等邊三角形，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
4．在中，為的中點，為線段上一點（異于端點），，則的最小值為______．
5．函數(shù)的最小值為______．
第 5 課時 基本不等式
編寫：廖云波
【回歸教材】
1.基本不等式
如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
2.幾個重要的不等式
（1）基本不等式：如果，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“”).
特例：（同號）.
（2）其他變形：
①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)
②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)
③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)
④重要不等式串：即
3.均值定理
已知.
（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.
（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.
4.常見求最值模型
模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
【典例講練】
題型一 利用基本不等式求最值
【例1-1】對勾函數(shù) 求下列函數(shù)的最值
（1）已知，則函數(shù)的最大值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由于 ，需要構(gòu)造函數(shù)，才能運用基本不等式.
【詳解】
因為，所以，,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故當(dāng)時，
取最大值，即.
故答案為：3.
（2）已知，則函數(shù)的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由于 ，需要構(gòu)造函數(shù)，才能運用基本不等式.
【詳解】
因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故當(dāng)時，
取最小值，即.
故答案為：3.
（3）已知，則函數(shù)的最小值為___________.
【答案】
【例1-2】最值定理（1）已知，則取得最大值時的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）積的形式轉(zhuǎn)化為和的形式，利用基本不等式求最值，并要檢驗等號成立的條件；
【詳解】
解：（1），
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．
故答案為：.
（2）若x，y為實數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．18B．27C．54D．90
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式可得答案．
【詳解】
由題意可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號成立.
故選：C．
【例1-3】“1”的妙用 （1）若正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
用“1”的代換湊配出定值后用基本不等式求得最小值．
【詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，的最小值為.
故答案為：.
（2）已知，，且，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
將目標(biāo)式中4代換成，展開由基本不等式可得.
【詳解】
因為
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
【例1-4】分離常數(shù)法 當(dāng)時，函數(shù)的最小值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】
將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】
因為，則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.
故答案為：.

【例1-5】換元法 已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用換元法和基本不等式即可求解.
【詳解】
令，，則，
即，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
故選：A.
【例1-6】消元法 已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)變形得，進而轉(zhuǎn)化為，
用湊配方式得出，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】
由，得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.
故選：B.
【例1-7】一元二次不等式法 已知，，，則的最大值為________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，可推出，而，代入所得結(jié)論即可．
【詳解】
解：，
，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，等號成立，
，
，
的最大值為．
故答案為：．
【例1-8】拆項法是不同時為0的實數(shù)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.
【詳解】
因為a，b均為正實數(shù)，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，且取等，即取等號，
即則的最大值為，
故選：A．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1-1】（1）已知，求函數(shù)的值域；
（2）已知，，且，求：的最小值．
【答案】（1）；（2）18．
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，得到，且，化簡，結(jié)合基本不等式（對勾函數(shù)法），即可求解；
（2）由，得到，化簡，結(jié)合基本不等式（“1”的妙用），即可求解.
【詳解】
（1）設(shè)，因為，可得，且，
故，
因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立．
所以函數(shù)的值域為．
（2）由，可得，即，
則．
當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，等號成立，
所以的最小值為．
【練習(xí)1-2】已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用乘1法即得.
【詳解】
∵，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng),即，時，取等號.
故選：C.
【練習(xí)1-3】已知對任意正實數(shù)，，恒有，則實數(shù)的最小值是___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
證明，由，即，結(jié)合基本不等式求出，即可得出答案.
【詳解】
解：因為，則，
則，即，
又，
因為，所以，所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，
所以，
所以，即實數(shù)的最小值是2.
故答案為：2.
【練習(xí)1-4】已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
由基本不等式得出關(guān)于的不等式，解之可得．
【詳解】
由已知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，，
又，所以，即的最小值是4，此時．
故選：C．
【練習(xí)1-5】設(shè)，，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
法一：設(shè)，進而將問題轉(zhuǎn)化為已知，求的最大值問題，再根據(jù)基本不等式求解即可；
法二：由題知進而根據(jù)三角換元得，再根據(jù)三角函數(shù)最值求解即可.
【詳解】
解：法一：（基本不等式）
設(shè)，則，
條件，
所以，即.
故選：D.
法二：（三角換元）由條件，
故可設(shè)，即，
由于，，故，解得
所以，，
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故選：D.
題型二 求數(shù)、式的范圍
【例2-1】若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則
(1)ab的取值范圍是__ ；
(2)a＋b的取值范圍是__ __．
【答案】（1）_[9，＋∞) （2）[6，＋∞)
[解析] (1)∵ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3，
令t＝eq \r(ab)>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0．
∴t≥3即eq \r(ab)≥3，∴ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時取等號．
(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤(eq \f(a＋b,2))2．
今t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0．
∴t≥6即a＋b≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時取等號．
【例2-2】已知，，當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是 。
【答案】
【解析】因為，，，
所以
.因為不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2-1】若，，且，則的最小值為（ ）
A．9B．16C．49D．81
【答案】D
【解析】
【分析】
由基本不等式結(jié)合一元二次不等式的解法得出最小值.
【詳解】
由題意得，得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
故選：D
題型三 證明不等式
【例3-1】（1）設(shè)且．證明：；
（2）已知為正數(shù)，且滿足．證明：
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）將展開可得，由題意可得，，都不為，則即可求證；
（2）利用基本不等式可得，三式相加，結(jié)合，可得結(jié)論
【詳解】
（1）因為，
所以，
因為，所以，，都不為，則，
所以.
（2）因為a，b，c為正數(shù)，，
所以，
所以，
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即
【例3-2】設(shè)，為正實數(shù)，求證：．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
利用基本不等式計算可得；
【詳解】
解：因為，為正實數(shù)，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3-1】設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且，證明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)基本不等式得到三個同向不等式，再相加即可得證；
（2）根據(jù)均值不等式可證不等式成立.
(1)
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，即，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
(2)
因為,
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
題型四 實際應(yīng)用
【例4-1】在中，角所對的邊分別為，已知，且的面積，則周長的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知利用三角形的面積公式可求的，進而可得，，由余弦定理，基本不等式可求，根據(jù)三角形的周長即可求解其最大值．
【詳解】
，
即，又，
解得，，
又，由余弦定理可得：，
，即
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
則周長的最大值是，
故選：B
【例4-2】的外接圓半徑，角，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理得，進而結(jié)合余弦定理得，再根據(jù)基本不等式得，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可.
【詳解】
解：由正弦定理得，
所以由余弦定理得： ，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，
所以.
故選：A
【例4-3】春節(jié)期間，車流量較大，可以通過管控車流量，提高行車安全，在某高速公路上的某時間段內(nèi)車流量（單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：萬輛/小時）與汽車的平均速度（單位：千米/小時）、平均車長（單位：米）之間滿足的函數(shù)關(guān)系（），已知某種車型的汽車的平均速度為100千米/小時時，車流量為1萬輛/小時．
(1)求該車型的平均車長；
(2)該車型的汽車在該時間段內(nèi)行駛，當(dāng)汽車的平均速度為多少時車流量達(dá)到最大值？
【答案】(1)5
(2)80千米/小時
【解析】
【分析】
（1）依題意當(dāng)時，，代入計算可得；
（2）由（1）可得，利用基本不等式計算可得；
(1)
解：由題意：當(dāng)時，，
，．
該車型的平均車長為5米．
(2)
解：由（1）知，函數(shù)的表達(dá)式為（）．
，．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．
故當(dāng)汽車的平均速度為千米/小時時車流量達(dá)到最大值．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)4-1】如圖，將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，且對角線過點，已知，，那么當(dāng)_______時，矩形花壇的面積最小，最小面積為______.
【答案】 4 48
【解析】
【分析】
設(shè)，則，則，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】
解：設(shè)，則，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故矩形花壇的面積最小值為．
即當(dāng)時，矩形花壇的面積最小，最小面積為48.
故答案為：4；48.
【練習(xí)4-2】根據(jù)不同的程序，3D打印既能打印實心的幾何體模型，也能打印空心的幾何體模型．如圖所示的空心模型是體積為的球挖去一個三棱錐后得到的幾何體，其中，平面PAB，．不考慮打印損耗，求當(dāng)用料最省時，AC的長．
【答案】．
【解析】
【分析】
用料最省時，即三棱錐體積最大，由垂直關(guān)系確定為球直徑，由球體積求得，設(shè)，表示出棱錐體積，由基本不等式得最大值．
【詳解】
解：設(shè)球的半徑為R，由球的體積，解得．
因為平面PAB，與平面內(nèi)直線垂直，即，，．
因為，，平面，所以平面ABC，而平面，所以．所以中點是球心，所以．
由可知，AC為截面圓的直徑，故可設(shè)，
在中，，
在中，，
所以
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
所以當(dāng)用料最省時，．
【練習(xí)4-3】在中，點P滿足，過點P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點M，N，若，（，），則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用平面向量的線性運算與共線定理，結(jié)合基本不等式即可求得的最小值．
【詳解】
連接，如圖，
中，，
點滿足，
,
，
，（，）,
,
因為，，三點共線，
所以，，,
所以=()()==，
當(dāng)且僅當(dāng),即 時取“”，
則的最小值為.
故選：A.
【請完成課時作業(yè)（五）】
【課時作業(yè)（五）】
A組 基礎(chǔ)題
1．若、，且，則的最小值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)基本不等式計算求解.
【詳解】
因為、，所以，即，所以，即，當(dāng)僅當(dāng)，即時，等號成立.
故選：A.
2．已知，，且，則的最小值為（ ）
A．8B．C．9D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由題得，再利用基本不等式“1”的代換求最值.
【詳解】
因為，，，所以，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，則的最小值為9.
故選：C
3．已知是圓上一點，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式計算可得；
【詳解】
解：因為，所以，
即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號（），
要使盡可能大，則，
依題意，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
故選：B
4．設(shè)內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由結(jié)合正弦定理可得，再利用余弦定理可求得，則可得，從而可求出面積的最大值
【詳解】
因為，
所以由正弦定理可得，得，
由余弦定理得，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以面積的最大值為，
故選：B
5．已知雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，當(dāng)取最小值時，雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由焦點坐標(biāo)可得，由，利用基本不等式取等條件可確定當(dāng)取最小值時，由此可得雙曲線離心率.
【詳解】
由題意得：；
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
當(dāng)取最小值時，雙曲線的離心率為.
故選：C.
6．若a，，，則的最大值為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【詳解】
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；
又，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，等號成立；
，解得，，
所以的最大值為
故選：A
7．若、、均大于0，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
注意,而,從而溝通了問題與已知的聯(lián)系,然后利用基本不等式求最值.
【詳解】
解：、、均大于0,
當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”,
的最大值為.
故選:C
8．（多選題)設(shè)正實數(shù)m、n滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為3B．的最大值為1
C．的最小值為2D．的最小值為2
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根據(jù)基本不等式判斷．
【詳解】
因為正實數(shù)m、n，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且m+n=2，即m=n=1時取等號，此時取得最小值3，A正確；
由 ，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時，mn取得最大值1，B正確；
因為，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時取等號，故≤2即最大值為2，C錯誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此處取得最小值2，故D正確.
故選：ABD
9．已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)均值不等式及二次不等式的解法求解即可.
【詳解】
10．已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)將分離出來，基本不等式求最值即可求解.
【詳解】
由得．
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時等號成立，
∴，∴的最大值為．
故答案為：
11．已知 ， 且， 則 的最小值為_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求最小值.
【詳解】
，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
由可得或，
故，當(dāng)且僅當(dāng)或等號成立，
故的最小值為.
故答案為：.
12．能源是國家的命脈， 降低能源消耗費用是重要抓手之一， 為此， 某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層. 某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層， 據(jù)當(dāng)年的物價， 每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民幣. 又根據(jù)建筑公司的前期研究得到， 該建筑物30 年間的每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位： 厘米） 滿足關(guān)系：， 經(jīng)測算知道， 如果不建隔熱層， 那么30年間的每年的能源消耗費用為10萬元人民幣. 設(shè)為隔熱層的建造費用與共30年的能源消耗費用總和，那么使達(dá)到最小值時， 隔熱層厚度__________厘米.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意解得參數(shù)的值，及函數(shù)的解析式，利用基本不等式求解函數(shù)的最小值即可.
【詳解】
解：由題意得，當(dāng)時，，解得，
又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
故答案為：.
13．在中，角所對的邊分別為，已知.
(1)求角的大??；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)三角恒等變換化簡，結(jié)合角度的范圍與正切函數(shù)值即可；
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式、三角形三邊的關(guān)系求解即可因為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
即，
解得或（舍去），
即的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
故答案為：4
(1)
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴.
(2)
由余弦定理可知，
代入可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，又，
∴的取值范圍是.
B組 能力提升能
1．已知，，，且，則（ ）
A．有最大值B．有最大值1C．有最小值D．有最小值1
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)，在同理得到其他不等式，將不等式相加化簡即可得出結(jié)論
【詳解】
，，
有 ① 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
② 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
③ 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
將上述①②③相加得：
（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）
有最大值
故選：A
2．迷你KTV是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為，周長為，則的最大值為（ ）．（本題中取進行計算）
A．6B．C．3D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)面積和周長的計算,可得,根據(jù)基本不等式即可求解最大值.
【詳解】
圓弧的半徑為，則，．
所以周長，面積．
所以
．
當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立．
故選：B
3．已知點P，A，B，C均在表面積為的球面上，且平面ABC，是等邊三角形，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意可得球的半徑，設(shè)底面的邊長為，則其圓的半徑，，結(jié)合體積公式和基本不等式的推廣式可求出最大值.
【詳解】
解：由題意可得球的半徑，
設(shè)底面的邊長為，則的外接圓的半徑，
所以三棱錐的高，
所以====.
當(dāng)，即時，等號成立.
故選：C.
4．在中，為的中點，為線段上一點（異于端點），，則的最小值為______．
【答案】##
【解析】
【分析】
本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)三點共線得出，最后通過基本不等式即可求出最值.
【詳解】
如圖，結(jié)合題意繪出圖象，
因為，為邊的中點，
所以，
因為三點共線，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，
故的最小值為，
故答案為：.
5．函數(shù)的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用特殊值判斷①的正確性，利用基本不等式判斷②的正確性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷③的正確性，結(jié)合對稱性判斷④的正確性.
【詳解】
④，，
表示與點的距離之和，點在軸上，
關(guān)于軸的對稱點為，如圖所示，
所以的最小值為,所以④錯誤.

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