第03講概率的綜合運(yùn)用（五大題型）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：古典概型
題型二：概率的基本性質(zhì)
題型三：事件的獨(dú)立性
題型四：隨機(jī)模擬
題型五：概率的綜合運(yùn)用
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)1、古典概型
(1)古典概型
考察這些試驗(yàn)的共同特征，就是要看它們的樣本點(diǎn)及樣本空間有哪些共性．可以發(fā)現(xiàn)，它們具有如下共同特征：
①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；
②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．
我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型(classical mdels f prbability)，簡(jiǎn)稱古典概型．
(2)概率公式
一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率
P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(n?A?,n?Ω?).
其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)2、概率的基本性質(zhì)
一般地，概率有如下性質(zhì)：
性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0.
性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.
性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么
P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．
性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
知識(shí)點(diǎn)3、事件A與B相互獨(dú)立
對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立．
(1)事件A與B是相互獨(dú)立的，那么A與B， A與B， A與B也是否相互獨(dú)立.
(2)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).
【典例例題】
題型一：古典概型
例1．(2023·高一課時(shí)練習(xí))某停車場(chǎng)臨時(shí)停車按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每輛汽車一次停車不超過(guò)1小時(shí)時(shí)收費(fèi)6元，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)8元(不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙兩人在該地停車，兩人停車都不超過(guò)4小時(shí).
(1)若甲停車1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率為，停車費(fèi)多于14元的概率為，求甲的停車費(fèi)為6元的概率；
(2)若甲、乙兩人每人停車的時(shí)長(zhǎng)在每個(gè)時(shí)段的可能性相同，求甲、乙兩人停車費(fèi)之和為28元的概率.
例2．(2023·江蘇·高一專題練習(xí))清明期間，某校為緬懷革命先烈，要求學(xué)生通過(guò)前往革命烈士紀(jì)念館或者線上網(wǎng)絡(luò)的方式參與“清明祭英烈”活動(dòng)，學(xué)生只能選擇一種方式參加.已知該中學(xué)初一、初二、初三3個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，為了解學(xué)生參與“清明祭英烈”活動(dòng)的方式，現(xiàn)采用分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù).
(1)求，的值；
(2)從該校各年級(jí)被調(diào)查且選擇線上網(wǎng)絡(luò)方式參與“清明祭英烈”活動(dòng)的學(xué)生人任選兩人，求這兩人是同一個(gè)年級(jí)的概率.
例3．(2023·江蘇·高一專題練習(xí))某區(qū)為了全面提升高中體育特長(zhǎng)生的身體素質(zhì)，開(kāi)設(shè)“田徑隊(duì)”和“足球隊(duì)”專業(yè)訓(xùn)練，在學(xué)年末體育素質(zhì)達(dá)標(biāo)測(cè)試時(shí)，從這兩支隊(duì)伍中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行專項(xiàng)體能測(cè)試，得到如下頻率分布直方圖：
(1)估計(jì)兩組測(cè)試的平均成績(jī)，
(2)若測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的為優(yōu)秀，從兩組測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中按分層抽樣的方法選出7人參加學(xué)校代表隊(duì)，再?gòu)倪@人中選出2人做正，副隊(duì)長(zhǎng)，求正、副隊(duì)長(zhǎng)都來(lái)自“田徑隊(duì)”的概率．
正、副隊(duì)長(zhǎng)都來(lái)自“田徑隊(duì)”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6個(gè)，
故正、副隊(duì)長(zhǎng)都來(lái)自“田徑隊(duì)”的概率為．
例4．(2023·江蘇·高一專題練習(xí))隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，新高考改革的推進(jìn)，越來(lái)越多的普通高中學(xué)校認(rèn)識(shí)到了生涯規(guī)劃教育對(duì)學(xué)生發(fā)展的重要性，生涯規(guī)劃知識(shí)大賽可以鼓勵(lì)學(xué)生樹(shù)立正確的學(xué)習(xí)觀、生活觀.某校高一年級(jí)1000名學(xué)生參加生涯規(guī)劃知識(shí)大賽初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間內(nèi)，學(xué)校將初賽成績(jī)分成5組：加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試估計(jì)這1000名學(xué)生初賽成績(jī)的平均數(shù)(同一組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表)；
(2)為了幫學(xué)生制定合理的生涯規(guī)劃學(xué)習(xí)計(jì)劃，學(xué)校從成績(jī)不足70分的兩組學(xué)生中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人，然后再?gòu)某槿〉?人中任意選取2人進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，求選取的2人中恰有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.
例5．(2023·江蘇無(wú)錫·高一輔仁高中?？计谀?甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則是：在一個(gè)不透明的盒子中裝有質(zhì)地、大小完全相同且編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)球，甲先隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為a，放回后乙再隨機(jī)摸出一個(gè)球，也記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為b，記錄摸球結(jié)果(a，b)，如果，算甲贏，否則算乙贏．
(1)求的概率；
(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型二：概率的基本性質(zhì)
例6．(2023·高一課時(shí)練習(xí))將一顆質(zhì)地均勻的骰子(各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6)先后拋擲3次，至少出現(xiàn)1次6點(diǎn)向上的概率是( )．
A．B．C．D．
例7．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A或事件B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為( )
A．B．C．D．
例8．(2023·甘肅慶陽(yáng)·高一?？计谥?某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：
其中污染指數(shù)時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；時(shí)，空氣質(zhì)量為良；時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染，該城市2017年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為( )
A．B．C．D．
例9．(2023·高一課時(shí)練習(xí))拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件為“向上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”，則概率( )
A．B．C．D．
題型三：事件的獨(dú)立性
例10．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))兩個(gè)黑幫幫主甲和乙決定以如下方式?jīng)Q斗：甲帶了一名手下A ，而乙?guī)Я藘擅窒潞?，?guī)定任意一名手下向敵方成員開(kāi)槍時(shí)，會(huì)隨機(jī)命中敵方的一個(gè)尚未倒下的人，且命中每個(gè)人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就會(huì)倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中兩次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，決斗立刻結(jié)束，未倒下的一人勝出.決斗開(kāi)始時(shí)，A先向敵方成員開(kāi)槍，之后若B未倒下，則B向敵方成員開(kāi)槍，之后按C，A，B，C，A，B，……的順序依次進(jìn)行，則甲最終獲勝的概率是( )
A．B．C．D．
例11．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))從高一(男、女生人數(shù)相同,人數(shù)很多)抽三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，記事件A為“三名學(xué)生都是女生”，事件B為“三名學(xué)生都是男生”，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生”，事件D為“三名學(xué)生不都是女生”，則以下錯(cuò)誤的是( )
A．B．
C．事件A與事件B互斥D．事件A與事件C對(duì)立
例12．(2023·江蘇·高一專題練習(xí))某中學(xué)的“信息”“足球”“攝影”三個(gè)社團(tuán)考核挑選新社員，已知高一某新生對(duì)這三個(gè)社團(tuán)都很感興趣，決定三個(gè)考核都參加，假設(shè)他通過(guò)“信息”“足球”“攝影”三個(gè)社團(tuán)考核的概率依次為，，，且他是否通過(guò)每個(gè)考核相互獨(dú)立，若三個(gè)社團(tuán)考核他都通過(guò)的概率為，至少通過(guò)一個(gè)社團(tuán)考核的概率為，則( )
A．B．C．D．
例13．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))有6個(gè)大小相同的小球，其中1個(gè)黑色，2個(gè)藍(lán)色，3個(gè)紅色．采用放回方式從中隨機(jī)取2次球，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取紅球”，乙表示事件“第二次取藍(lán)球”，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”，丁表示事件“與兩次取出相同顏色的球”，則( )
A．甲與乙相互獨(dú)立B．甲與丙相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立D．乙與丁相互獨(dú)立
例14．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))籃球隊(duì)的5名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊(duì)員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開(kāi)始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為( )
A．B．C．D．
題型四：隨機(jī)模擬
例15．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》有“米谷粒分”題,現(xiàn)有類似的題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)532石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得54粒內(nèi)夾谷6粒，則這批米內(nèi)夾谷約為
A．59石B．60石C．61石D．62石
例16．(2023·高一課時(shí)練習(xí))假定某運(yùn)動(dòng)員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：
據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為_(kāi)_____．
例17．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第998次拋擲恰好出現(xiàn)“正面向上”的概率為_(kāi)____________．
例18．(2023·高一課時(shí)練習(xí))利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算y=x2與y=4圍成的面積時(shí),利用計(jì)算器產(chǎn)生兩組0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND,b1=RAND,然后進(jìn)行平移與伸縮變換,a=4a1-2,b=4b1,試驗(yàn)進(jìn)行100次,前98次中落在所求面積區(qū)域內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)為65,已知最后兩次試驗(yàn)的隨機(jī)數(shù)a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,那么本次模擬得出的面積的近似值為_(kāi)____.
題型五：概率的綜合運(yùn)用
例19．(2023·江蘇·高一專題練習(xí))進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會(huì)?經(jīng)濟(jì)?生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事.為了普及垃圾分類知識(shí),某學(xué)校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為，乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲、乙兩位同學(xué)中恰有一人答對(duì)的概率為.
(1)求的值及每題甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)答對(duì)的概率；
(2)試求兩人答對(duì)的題數(shù)之和為3的概率.
例20．(2023·江蘇·高一專題練習(xí))某中學(xué)為了解高一年級(jí)數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽的得分情況，從參賽的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這50名學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?5分和95分之間，將數(shù)據(jù)按照如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組和第八組人數(shù)相同，第七組的人數(shù)為3人．
(1)求第六組的頻率；若比賽成績(jī)由高到低的前15%為優(yōu)秀等級(jí)，試估計(jì)該校參賽的高一年級(jí)1000名學(xué)生的成績(jī)中優(yōu)秀等級(jí)的最低分?jǐn)?shù)(精確到0.1)；
(2)若從樣本中成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，記他們的成績(jī)分別為x，y，從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，求事件E的概率．
①事件E：；
②事件E：．
注：如果①②都做，只按第①個(gè)計(jì)分．
例21．(2023·江蘇·高一專題練習(xí))11分制乒乓球比賽，每贏1球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．已知甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行11分制乒乓球比賽，雙方10：10平后，甲先發(fā)球?假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)求事件“兩人又打了2個(gè)球比賽結(jié)束”的概率：
(2)求事件“兩人又打了4個(gè)球比賽結(jié)束且甲獲勝”的概率．
例22．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))我市某校為了解高一新生對(duì)物理科與歷史科方向的選擇意向，對(duì)1000名高一新生發(fā)放意向選擇調(diào)查表，統(tǒng)計(jì)知，有600名學(xué)生選擇物理科，400名學(xué)生選擇歷史科.分別從選擇物理科和歷史科的學(xué)生中隨機(jī)各抽取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)得如下累計(jì)表(下表)：
(1)利用表中數(shù)據(jù)，試分析數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)學(xué)生選擇物理科或歷史科的影響，并繪制選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖(如圖)；
(2)從數(shù)學(xué)成績(jī)不低于70分的選擇物理科和歷史科的學(xué)生中各取一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，求選取物理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)至少高于選取歷史科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)一個(gè)分?jǐn)?shù)段的概率.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．(2023春·河南洛陽(yáng)·高一洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知集合，且，則關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根或的概率為( )
A．B．C．D．
2．(2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí))某中學(xué)舉行疾病防控知識(shí)競(jìng)賽，其中某道題甲隊(duì)答對(duì)該題的概率為，乙隊(duì)和丙隊(duì)答對(duì)該題的概率都是.若各隊(duì)答題的結(jié)果相互獨(dú)立且都進(jìn)行了答題.則甲、乙、丙三支競(jìng)賽隊(duì)伍中恰有一支隊(duì)伍答對(duì)該題的概率為( )
A．B．C．D．
3．(2023春·河南·高一校聯(lián)考期末)在一次考試中，小明同學(xué)將比較難的第8題、第12題、第16題留到最后做，做每道題的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)小明同學(xué)做對(duì)第8、12、16題的概率從小到大依次為，，，做這三道題的次序隨機(jī)，小明連對(duì)兩題的概率為p，則( )
A．p與先做哪道題次序有關(guān)B．第8題定為次序2，p最大
C．第12題定為次序2，p最大D．第16題定為次序2，p最大
4．(2023春·河南·高一校聯(lián)考期末)連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子兩次，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，，則( )
A．事件“是偶數(shù)”與“a為奇數(shù)，b為偶數(shù)”互為對(duì)立事件
B．事件“”發(fā)生的概率為
C．事件“”與“”互為互斥事件
D．事件“且”的概率為
5．(2023·高一課時(shí)練習(xí))從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是( )
A．至少有1個(gè)白球，都是白球B．至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球
C．恰有1個(gè)白球，恰有2個(gè)白球D．至少有1個(gè)白球，都是紅球
6．(2023春·高一課時(shí)練習(xí))下列說(shuō)法正確的是( )
A．當(dāng)A，B不互斥時(shí)，可由公式計(jì)算的概率
B．A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小
C．若，則事件A與B是對(duì)立事件
D．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大
7．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))下列說(shuō)法正確的是( )
A．若，為兩個(gè)事件，則“與互斥”是“與相互對(duì)立”的必要不充分條件
B．若，為兩個(gè)事件，則
C．若事件，，兩兩互斥，則
D．若事件，滿足，則與相互對(duì)立
8．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，采用七局四勝制，先贏四局者獲勝，沒(méi)有平局、甲每局贏的概率為，已知前兩局甲輸了，則甲最后獲勝的概率為( )
A．B．C．D．
二、多選題
9．(2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí))已知事件A，B，且，則( )
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果A與B相互獨(dú)立，那么
D．如果A與B相互獨(dú)立，那么
10．(2023春·高一單元測(cè)試)某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：
記該籃球運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀，投中三分球?yàn)槭录﨎，沒(méi)投中為事件C，用頻率估計(jì)概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是( )
A．B．
C．D．
11．(2023春·高一課時(shí)練習(xí))下列命題中，正確的是( )
A．若事件A，B互斥，則
B．若事件A，B相互獨(dú)立，則
C．若事件A，B，C兩兩互斥，則
D．若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則
12．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))甲袋中有2個(gè)黑球，2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，這些小球除顏色外完全相同.從甲、乙兩袋中各任取1個(gè)球，則下列結(jié)論正確的是( )
A．2個(gè)球都是黑球的概率為B．2個(gè)球都是白球的概率為
C．1個(gè)黑球1個(gè)白球的概率為D．2個(gè)球中最多有1個(gè)黑球的概率為
三、填空題
13．(2023春·高一課時(shí)練習(xí))已知，.(1)如果，那么______，______，______；(2)如果A，B互斥，那么______，______，______.
14．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))隨著阿根廷隊(duì)的奪冠，2022年卡塔爾足球世界杯落下帷幕.根據(jù)足球比賽規(guī)則，兩支球隊(duì)先進(jìn)行90分鐘常規(guī)賽.若比分相同，則進(jìn)行30分鐘加時(shí)賽；如果在加時(shí)賽比分依舊相同，則進(jìn)入5球點(diǎn)球大賽.若甲、乙兩隊(duì)在常規(guī)賽與加時(shí)賽中得分均相同，則甲、乙兩隊(duì)輪流進(jìn)行5輪點(diǎn)球射門(mén)，進(jìn)球得1分，不進(jìn)球不得分.假設(shè)甲隊(duì)每次進(jìn)球的概率均為0.8，乙隊(duì)每次進(jìn)球的概率均為0.5，且在前兩輪點(diǎn)球中，乙隊(duì)領(lǐng)先一球，已知每輪點(diǎn)球大賽結(jié)果相互獨(dú)立，則最終甲隊(duì)獲勝的概率為_(kāi)_____.
15．(2023·江蘇·高一專題練習(xí))甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨(dú)立且無(wú)平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲勝第一局，乙勝第二局的概率為_(kāi)__________．
16．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))課外活動(dòng)期間，幾名籃球愛(ài)好者在體育老師指導(dǎo)下進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，約定每人最多投籃10次，若某同學(xué)第n次投籃進(jìn)球?yàn)槭状芜B續(xù)進(jìn)球，則該同學(xué)得分且停止投籃.例如：某同學(xué)前兩次均投籃進(jìn)球，則得10分，且停止投籃.已知同學(xué)甲每次投籃進(jìn)球的概率均為，則甲在第2次投籃恰好進(jìn)球，且得5分時(shí)停止投籃的概率為_(kāi)__________.
四、解答題
17．(2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí))甲、乙兩同學(xué)組成“星隊(duì)”參加“慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立周年”知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)有、兩類問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則如下：
①競(jìng)賽開(kāi)始時(shí)，甲、乙兩同學(xué)各自先從類問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答，答錯(cuò)的同學(xué)本輪競(jìng)賽結(jié)束；答對(duì)的同學(xué)再?gòu)念悊?wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答，無(wú)論答對(duì)與否，本輪競(jìng)賽結(jié)束．
②若在本輪競(jìng)賽中甲、乙兩同學(xué)合計(jì)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)不少于個(gè)，則“星隊(duì)”可進(jìn)入下一輪．已知甲同學(xué)能答對(duì)類中問(wèn)題的概率為，能答對(duì)類中問(wèn)題的概率為．乙同學(xué)能答對(duì)類中問(wèn)題的概率為，答對(duì)類中問(wèn)題的概率為．
(1)設(shè)“甲答對(duì)個(gè)，個(gè)，個(gè)問(wèn)題”分別記為事件、、，求事件、、的概率；
(2)求“星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪的概率．
18．(2023春·江蘇無(wú)錫·高一錫東高中?？茧A段練習(xí))本學(xué)期初，某校為檢驗(yàn)高三學(xué)生網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的效果，對(duì)全校高三學(xué)生進(jìn)行期初數(shù)學(xué)測(cè)試(滿分100)，并從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，以此為樣本，分成，，，，五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．

(1)求圖中的值；
(2)估計(jì)該校高三學(xué)生期初數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和85%分位數(shù)；
(3)為進(jìn)一步了解學(xué)困生的學(xué)習(xí)情況，從數(shù)學(xué)成績(jī)低于70分的學(xué)生中，分層抽樣6人，再?gòu)?人中任取2人，求此2人分?jǐn)?shù)都在的概率．
19．(2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí))本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人來(lái)該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次)，設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為，，兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為，，兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．
(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；
(2)求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為4元的概率．
甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同可分為租車費(fèi)都為0元、2元、4元三種情況．
租車費(fèi)都為0元的概率為，租車費(fèi)都為2元的概率為，租車費(fèi)都為4元的概率為.
所以甲、乙所付租車費(fèi)用相同的概率為.
(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為，則“”表示“兩人的租車費(fèi)用之和為4元”，
其可能的情況是甲、乙的租車費(fèi)分別為①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．
所以可得，
即甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為4元的概率為.
20．(2023春·安徽·高一安徽省潁上第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))某學(xué)校需要從甲、乙兩名學(xué)生中選一人參加全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，現(xiàn)整理了近期兩人5次模擬考試的成績(jī)，結(jié)果如下表：
(1)如果根據(jù)甲、乙兩人近5次的考試成績(jī)，你認(rèn)為選誰(shuí)參加較合適？并說(shuō)明理由；
(2)如果按照如下方案推薦參加全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽：
方案一：每人從5道備選題中任意抽出1道，若答對(duì)，則可參加全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，否則被淘汰；
方案二：每人從5道備選題中任意抽出3道，若至少答對(duì)其中2道，則可參加全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，否則被淘汰.
已知學(xué)生甲只會(huì)5道備選題中的3道，那么學(xué)生甲選擇哪種答題方案可參加全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的可能性更大？并說(shuō)明理由.
21．(2023春·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí))某校組織了所有學(xué)生參加黨史知識(shí)測(cè)試，該校一數(shù)學(xué)興趣小組從所有成績(jī)(滿分100分，最低分50分)中，隨機(jī)調(diào)查了200名參與者的測(cè)試成績(jī)，將他們的成績(jī)按，，，，分組，并繪制出了部分頻率分布直方圖如圖所示．

(1)請(qǐng)將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；
(2)估計(jì)該校所有學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)；
(3)從成績(jī)?cè)?，?nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取2人開(kāi)座談會(huì)，求這2人來(lái)自不同分組的概率．
22．(2023春·河南·高一校聯(lián)考期末)大學(xué)畢業(yè)生小張和小李通過(guò)了某單位的招聘筆試考試，正在積極準(zhǔn)備結(jié)構(gòu)化面試，每天相互進(jìn)行多輪測(cè)試，每輪由小張和小李各回答一個(gè)問(wèn)題，已知小張每輪答對(duì)的概率為，小李每輪答對(duì)的概率為．在每輪活動(dòng)中，小張和小李答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．
(1)求兩人在兩輪活動(dòng)中都答對(duì)的概率；
(2)求兩人在兩輪活動(dòng)中至少答對(duì)3道題的概率；
(3)求兩人在三輪活動(dòng)中，小張和小李各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率．
年級(jí)人數(shù)方式
初一年級(jí)
初二年級(jí)
初三年級(jí)
前往革命烈士紀(jì)念館
2a-1
8
10
線上網(wǎng)絡(luò)
a
b
2
污染指數(shù)
30
60
100
110
130
140
概率
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
分?jǐn)?shù)段
物理人數(shù)
歷史人數(shù)
投籃次數(shù)
投中兩分球的次數(shù)
投中三分球的次數(shù)
100
55
18
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲的成績(jī)(分)
78
80
65
85
92
乙的成績(jī)(分)
75
86
70
95
74

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