題型一：求平面的法向量
題型二：利用向量研究平行問題
題型三：利用向量研究垂直問題
題型四：異面直線所成的角
題型五：線面角
題型六：二面角
題型七：距離問題
【知識點梳理】
知識點一：直線的方向向量和平面的法向量
1、直線的方向向量：
點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達式.
知識點詮釋：
(1)在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．
(2)在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應用，可以參與向量運算或向量的坐標運算．
2、平面的法向量定義：
直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.
知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．
3、平面的法向量確定通常有兩種方法：
(1)幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；
(2)幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：
(i)設出平面的法向量為；
(ii)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標，；
(iii)根據(jù)法向量的定義建立關于x、y、z的方程；
(iv)解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．
知識點二：用向量方法判定空間中的平行關系
空間中的平行關系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．
(1)線線平行
設直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．
(2)線面平行
線面平行的判定方法一般有三種：
①設直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．
②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．
③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．
(3)面面平行
①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應的線面平行、線線平行即可．
②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．
知識點三、用向量方法判定空間的垂直關系
空間中的垂直關系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．
(1)線線垂直
設直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．
(2)線面垂直
①設直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．
②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．
(3)面面垂直
①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應的線面垂直、線線垂直．
②證明兩個平面的法向量互相垂直．
知識點四、用向量方法求空間角
(1)求異面直線所成的角
已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，
則．
知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應取其補角作為兩異面直線所成的角．
(2)求直線和平面所成的角
設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，
則有．
(3)求二面角
如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.
若分別為面的法向量，
則二面角的平面角或，
即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．
①當法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側與外側時，二面角的大小等于的夾角的大?。?br>②當法向量的方向同時指向二面角的內(nèi)側或外側時，二面角的大小等于的夾角的補角的大小．
知識點五、用向量方法求空間距離
1、求點面距的一般步驟：
①求出該平面的一個法向量；
②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應的向量；
③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．
即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．
2、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．
直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．
兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．
3、點線距
設直線l的單位方向向量為，，，設，則點P到直線l的距離 .
【典例例題】
題型一：求平面的法向量
例1．(2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學?？计谥?如圖，在棱長為3的正方體中，點在棱上，且．以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．求平面的一個法向量.

【解析】因為正方體的棱長為3，，
所以，，，則，，
設是平面的法向量，則，，
所以，
取，則，，故，
于是是平面的一個法向量(答案不唯一)．
例2．(2023·高二課時練習)在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：
(1)平面的一個法向量；
(2)平面的一個法向量.
【解析】(1)
由題意，可得,
連接AC，因為底面為正方形，所以,
又因為平面，平面，所以，
且，則AC⊥平面，
∴為平面的一個法向量. (答案不唯一).
(2)
設平面的一個法向量為，
則
令，得
∴即為平面的一個法向量.(答案不唯一).
例3．(2023·高二課時練習)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面PCD的一個法向量.
【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系A－xyz，則P(0，0，1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)即為直線PC的一個方向向量.
設平面PCD的一個法向量為＝(x，y，z).
因為D(0，，0)，所以＝(0，，－1).
則,即令y＝1，則z＝，，則
所以平面PCD的一個法向量為.
題型二：利用向量研究平行問題
例4．(2023·全國·高二專題練習)如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點.分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz.

(1)求點E、F的坐標；
(2)求證：EF∥平面ACD1.
【解析】(1)由題意，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點，
∴，
(2)，，
，，
∴，∴AC∥EF，
∵EF?平面ACD1，AC?平面ACD1，
∴EF∥平面ACD1．
例5．(2023·全國·高二專題練習)如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點在棱上，點為中點.若，證明：直線平面.
【解析】如圖所示，以點為坐標原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，
則，
若，則，，
因為平面，平面，所以，
又因為，，平面，
所以平面
平面的其中一個法向量為，
所以，即，
又因為平面，
所以平面.
例6．(2023·高二課時練習)如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點．求證：平面平面.
【解析】因為，是棱的中點，
所以，所以為正三角形.
因為為等腰梯形，，
所以.
取的中點，連接，
則，所以.
以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，
所以，，，，
所以，，
又不重合，不重合，
所以，，
因為平面， 平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面
例7．(2023·高二課時練習)已知棱長為1的正方體在空間直角坐標系中的位置如圖所示，分別為棱的中點，求證：.
【解析】因為正方體的棱長為1， 分別為棱的中點，
所以有， ， ， ，
所以，，則有，所以.
題型三：利用向量研究垂直問題
例8．(2023·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習)如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點.
(1)求證：.
(2)求證：平面.
【解析】(1)因為四邊形為矩形，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又四邊形為正方形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，
建立空間直角坐標系，
由，，得，，，，
，，.
所以，，
所以，所以，
所以
(2)由(1)知，，，.
設是平面的法向量，則，，
所以，得，
取，得，，則.
因為，所以，即與共線.
所以平面.
例9．(2023·高二課時練習)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
【解析】由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點B為坐標原點，
分別以BA，BC，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，
故 ＝(0，0，1)， ＝(－2，2，0)， ＝(－2，2，1)， ，
設平面AA1C1C的法向量為＝(x，y，z)，
則，即
令x＝1，得y＝1，故＝(1，1，0)．
設平面AEC1的法向量為＝(a，b，c)，
則，即,
令c＝4，得a＝1，b＝－1.故＝(1，－1，4)．
因為＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
所以.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
例10．(2023·高二課時練習)如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．求證：平面DEA⊥平面ECA.
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，不妨設CA＝2，則CE＝2，BD＝1，
則，
所以，
設平面ECA的一個法向量是，
則，
取，則，即，
設平面DEA的一個法向量是，
則，
取，則，即，
因為，所以，
所以平面DEA⊥平面ECA.
例11．(2023·高二課時練習)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)證明：AP⊥BC；
(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.
【解析】(1)由題意知AD⊥BC，如圖，以O為坐標原點，
以過O點且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O－xyz.
則，
可得，
∵
∴，即AP⊥BC.
(2)由(1)可得，
∵M是AP上一點，且AM＝3，
∴，
可得，
設平面BMC的法向量為，則，
令b＝1，則，即，
顯然，故∥，
∴AM⊥平面BMC.
例12．(2023·高二課時練習)如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.
【解析】如圖所示，取BC的中點O，連接AO，因為△ABC為正三角形，
所以AO⊥BC，
因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
平面ABC，則，
，平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1，
取B1C1的中點O1，以O為坐標原點，
以分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，
所以，
則，
可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，
BA1∩BD＝B，平面，
所以AB1⊥平面A1BD.
例13．(2023·高二課時練習)如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，證明：．

【解析】證明：以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：


因為正方體棱長為1，分別是的中點，
所以，
所以，
所以，
由，
所以，
即.
題型四：異面直線所成的角
例14．(2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末)已知正四棱柱中，，，點，分別是和的中點，是線段的中點，則直線和所成角的余弦值為( )

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖

建立空間直角坐標系，則，，，，，
則，，，
則，
所以異面直線和所成角的余弦值為.
故選：D.
例15．(2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中)如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如圖，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，
則，，，，，
則，，
所以，，
所以，
所以，異面直線與所成角的余弦值為.
故選：B.
例16．(2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學?？茧A段練習)如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為，則，，，，
所以，，
設和所成的角為，則，
因為，所以.
故選：B
例17．(2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】過B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.
不妨設，則，，，.
所以,.
設直線與夾角為，則.
故選：C.
例18．(2023·北京順義·高二牛欄山一中?？计谥?如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．
(1)求證：AB⊥A1C；
(2)在棱AA1上是否存在一點F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，若存在，求出AF長；若不存在，請說明理由．
【解析】(1)證明：因為AA1C1C是邊長為4的正方形，所以AC＝4，又AB＝3，BC＝5，
所以BC2＝AB2+AC2，所以AB⊥AC，
因為平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，AB?平面ABC，
所以AB⊥平面AA1C1C，因為A1C?面AA1C1C，
所以AB⊥A1C．
(2)如圖，以A為坐標原點，AC，AB，AA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，C1(4，0，4)，B(0，3，0)，設F(0，0，a)，
則(4，0，4)，(0，﹣3，a)，0＜a≤4，
因為異面直線AC1與BF所成角為60°，
所以|cs，|，
解得a＝3，所以F(0，0，3)，
則AF＝3，
所以在棱AA1上存在一點F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，此時AF＝3．
例19．(2023·河南安陽·高二?？茧A段練習)如圖：在三棱錐中，底面，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.
(1)求證：平面；
(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.
【解析】(1)證明：取中點，連接?，
∵為中點，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
∵為中點，
∴，
又?分別為?的中點，
∴，則.
∵平面，平面，
∴平面.
又，?平面.
∴平面平面，
∵平面
∴平面；
(3)因為底面，平面，平面，
所以，
因為，
所以以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，
，
依題意，設，則，
進而可得，.
由已知，得，
整理得，解得或，
所以線段的長為或.
題型五：線面角
例20．(2023·廣東深圳·高二深圳中學校考期中)如圖，在四棱錐中，底面，，底面為直角梯形，，，，點在棱上，且．

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】(1)因為底面，底面，所以，
因為，面，所以面，
因為面，所以，
因為底面為直角梯形，，，，
所以在中，，,
在中，，，
連接，，設，則，
所以，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面.
(2)因為底面，底面，
所以，
因為底面為直角梯形，所以，
所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以,
所以，
設平面的一個法向量，
所以，取，則，
設直線與平面所成角大小為，
因為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.

例21．(2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中)如圖，在長方體中，，，，交于點E.
(1)證明：直線平面；
(2)求AD與平面所成角的正弦值.
【解析】(1)證明：如圖，連接，，
長方體中，且，四邊形為平行四邊形，
則有，又平面，平面，
平面，
同理可證， 平面，
又，平面，平面平面，
又平面，直線平面；
(2)以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖：
得，，，
，，，
設平面的一個法向量為，
由，令，得，
可得平面的一個法向量為，
設AD與平面所成角大小為，
則，
與平面所成角的正弦值為.
例22．(2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末)如圖所示，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，.
(1)求證：平面；
(2)若E為PC的中點，求與平面所成角的正弦值.
【解析】(1)作，垂足為，易證，四邊形為正方形.
所以，.又，
因為，所以.
因為平面，平面，所以.
又，平面，平面，所以平面.
(2)以點為坐標原點，以所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，.
則，，.
設平面的法向量為，
由，得，
令，可得平面的一個法向量為.
設與平面所成角為，
則.
例23．(2023·廣西柳州·高二柳州地區(qū)高中?？计谥?如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，M為PC中點．
(1)求證：平面MBD；
(2)若，求直線BM與平面AMD所成角的正弦值．
【解析】(1)連接AC交BD于點O，連接OM，
由四邊形ABCD為矩形，
可知O為AC中點，M為PC中點，
所以，
又平面，平面，
所以平面MBD.
(2)以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，
則 ，
所以，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
設直線與平面所成角為，則
，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
例24．(2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？计谥?四棱錐中，底面，四邊形是正方形，.
(1)求證：平面平面；
(2)設點為棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值.
【解析】(1)如圖建立空間直角坐標系，則、、、、，
則、、、，
設平面的法向量為，則，所以，
設平面的法向量為，則，所以，
所以，所以平面平面.
(2)因為點為棱的中點，所以，所以，
設直線與平面所成角為，所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
例25．(2023·福建莆田·高二莆田華僑中學?？计谥?在三棱柱中，平面平面，側面為菱形，，，，E是的中點.
(1)求證：平面；
(2)點P在線段上(異于點，)，與平面所成角為，求的值.
【解析】(1)因為四邊形為菱形，所以，
又因為，，平面，，
所以平面.
(2)取的中點O，連接，四邊形為菱形，且，
所以.
因為平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，所以，又因為，與相交，
所以平面.取中點D，連結，
以O為原點，，，為空間基底建立直角坐標系.
則，，，，
所以，.
設平面的一個法向量為，
所以，令，則，，
所以.
設，可得點，.
由題意
解得或(舍)，即.
題型六：二面角
例26．(2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末)如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點.

(1)證明：平面平面；
(2)求銳二面角的余弦值.
【解析】(1)因為直三棱柱，
所以平面，
因為平面，
所以；
因為是等邊三角形，是棱的中點，
所以；
因為平面，且，
所以平面，
因為平面，
所以平面平面
(2)分別取的中點為，連接，
因為是等邊三角形，是中點，
所以，
因為直三棱柱，
所以平面，
因為平面，
所以，
因為為的中點，
所以，
所以
即兩兩垂直，
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
所以，
設平面的法向量為，
所以，
取，則，
平面的一個法向量為；
則，
所以銳二面角的余弦值為
例27．(2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點E在棱PB上．

(1)證明：平面平面PBC；
(2)當時，求二面角的余弦值．
【解析】(1)因為底面，平面，
所以．
因為，，所以．
所以，所以．
又因為，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．
又平面EAC，
所以平面平面PBC．
(2)解法一：
以點C為原點，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．

設點E的坐標為，因為，所以，
即，，，所以．
所以，．
設平面ACE的一個法向量為，則．
所以，取，則，．
所以平面ACE的一個法向量為．
又因為平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為．
設平面PAC與平面ACE的夾角為，
則．
所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為．
解法二：
取AB的中點G，連接CG，以點C為原點，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示
的空間直角坐標系，則，，，．

設點E的坐標為，因為，所以，
即，，，所以．
所以，．
設平面ACE的一個法向量為，則．
所以，取，則，．
所以，平面ACE的一個法向量為．
又因為平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為．
設平面PAC與平面ACE的夾角為，
則．
所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為
例28．(2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，且直線PB與CD所成角的大小為．

(1)求BC的長；
(2)求二面角的余弦值．
【解析】(1)由于平面ABCD，，所以兩兩垂直，故分別以,,所在直線為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
，,0,，,0,，,1,，,0,．
設,,，則,0,，,,．
直線與所成角大小為，
，
即，解得或(舍，
,2,，則的長為2；
(2)設平面的一個法向量為,,．
,0,，,1,，,
，令，則，，,1,．
平面的一個法向量為，
，令，則，，,
，
由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，
二面角的余弦值為．

例29．(2023·廣東深圳·高二深圳中學?？计谥?如圖，在斜三棱柱中，側面與側面都是菱形，．
(1)證明：；
(2)若，求二面角的正弦值．
【解析】(1)連接，，則和都為正三角形．
取中點，連，，則，，
又因為平面，
所以平面，
因為平面，所以.
(2)由(1)知，，又因為，所以．
如圖所示，分別以，，為正方向建立空間直角坐標系，
則，，，
設平面的法向量為，
因為，，
所以
取，則
同理，面的一個法向量為，
設二面角的大小為 ，
則，
所以，
平面與平面所成的二面角的正弦值為.
例30．(2023·湖南株洲·高二統(tǒng)考期末)如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點．

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦.
【解析】(1)證明：依題意，平面．
如圖，以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向，
建立空間直角坐標系．

依題意，可得，，，
，，，．
取的中點，連接．
因為，，，
所以，所以．
又因為平面，平面，
所以平面．
(2)因為,所以，
又因為平面，平面，
所以，且,,
所以平面，
又因為平面，所以，
且平面,
所以平面,平面,
所以，，，平面，
所以平面，故為平面的一個法向量．
設平面的法向量為，
因為
所以即，
令，得，，故．
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
例31．(2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學?？茧A段練習)在四棱錐中，，，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成角的余弦值．
【解析】(1)證明：取BD中點O，連接PO，AO．
因為，O為BD中點，所以．
在、中，因為，，， ，所以，
又在中，，所以．
又，，所以，
又，AO，平面ABCD，所以面ABCD，
又面PBD，所以面面ABCD．
(2)由于為等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點，所以，由(1)知面ABCD，
以O為原點，OA，OB，OP為x軸，y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，
所以，，，，
設平面PAD與平面PBC的法向量分別為，，
由，和得和
令，，則，，設法向量，所成的角為，
則，所以平面PAD與平面PBC所成角的余弦值為．
例32．(2023·四川廣安·高二廣安二中?？计谥?如圖，在三棱錐中，底面．，D為中點，且．
(1)求的長；
(2)求銳二面角的余弦值．
【解析】(1)因為底面，如圖建立空間直角坐標系，
設，，，，所以，，
所以，即，解得或(舍去)，
所以，所以，所以，即的長為.
(2)因為，
設平面的法向量為，則，令，則，
由(1)可知，，
設平面的法向量為，則，令，則，
所以，即銳二面角的余弦值為.
例33．(2023·福建南平·高二?？茧A段練習)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱BC的中點，AB=4，AA1=3.
(1)證明：A1D⊥B1C1；
(2)若E為棱AB上一點，且滿足A1E⊥DE，求二面角A-A1E-C的正弦值
【解析】(1)由題易知，為正三角形，連接，
由于為的中點，故.
平面，平面，
.又，，平面，
平面.
∵在正三棱柱中，，所以平面.
又平面，
；
(2)因為平面，平面，所以．
又，，，平面，
故平面．
又平面，所以．
因為為正三角形，為中點，所以點為線段上靠近點的四等分點，則．
如圖，取為的中點，以為坐標原點，分別以，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，，，，
則平面的一個法向量為．
又，，
設平面的法向量為．
則，即，
令，則，，故．
設二面角的平面角為，
則，
則二面角 的正弦值為．
例34．(2023·江西南昌·高二南昌二中?？茧A段練習)如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，，，點F為PB中點，點E在邊BC上移動．
(1)求證： 平面AFC；
(2)若二面角的大小為60°，則CE為何值時，三棱錐的體積為．
【解析】(1)連接，設，如下圖所示:
四邊形ABCD是矩形，所以是的中點， F為PB中點，所以有，
而平面，平面，由直線與平面平行的判定定理可知: 平面AFC；
(2)建立如上圖所示的空間直角坐標系，
設，，
設平面的法向量為，，則有
，
而PA⊥平面，所以是平面的法向量，
所以有，
，設，，
三棱錐的體積為，解得，
所以當時，三棱錐的體積為．
例35．(2023·云南昆明·高二統(tǒng)考期末)如圖，在直三棱柱中，側面為正方形，，，M，N分別為和的中點，為棱上的點.
(1)證明：；
(2)是否存在點D，使得平面與平面夾角的余弦值為？如果不存在，請說明理由；如果存在，求線段的長.
【解析】(1)證明：由題意，，，兩兩垂直，以A為原點，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，則，，，
所以，
因為，
所以.
(2)由題意，平面，所以平面的一個法向量為，
因為，所以，，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
設平面與平面的夾角為，則
，
整理得，，解得，
所以存在點，滿足條件.
例36．(2023·湖北·高二統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點E為棱PC的中點，．
(1)證明：平面PAD；
(2)在棱PC上是否存在點F，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
【解析】(1)在PD上找中點G，連接AG，EG，如圖：
∵G和E分別為PD和PC的中點，
∴，且，
又∵底面ABCD是直角梯形，，，
∴且．即四邊形ABEG為平行四邊形，
∴，
∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD；
(2)因為平面，平面，
所以，又，
以A為原點，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
可得，，，，，
由F為棱PC上一點，設，
，
設平面FAD的法向量為，
由可得，解得：，
令，則，則，
取平面ADC的法向量為，
則二面角的平面角滿足：,
解得：，解得：或(舍去)，
故存在滿足條件的點F，此時．
題型七：距離問題
例37．(2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學校考期中)如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線，交于點，，，，底面，設點是的中點．

(1)直線與平面所成角的正弦值；
(2)點到平面的距離.
【解析】(1)因為四邊形為菱形，所以，
又面，故以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖，

因為，，，且為中點，
則，，，，，，
故，，，
設面的法向量為，則，
令，則，，故，
所以，
故直線與平面所成角的正弦值為；
(2)由(1)可知，面的一個法向量為，
所以點到平面的距離，
故點到平面的距離為．
例38．(2023·高二課時練習)如圖，設在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)依次為的中點．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；
(2)求點到平面AEF的距離．
【解析】(1)在直三棱柱中，，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
，，
所以異面直線所成角的余弦值為．
(2)設平面AEF的一個法向量為，而，
則，令，得，又，
于是．
所以點到平面AEF的距離為．
例39．(2023·河南漯河·高二校考期末)在棱長為4的正方體中，點P在棱上，且．
(1)求直線與平面所成的角的正弦值大??；
(2)求點P到平面的距離．
【解析】(1)連接，由正方體的結構特點易知面，為垂足，所以即為所求的線面角，
∵，∴，
由勾股定理知，，
∴．
(2)
以D為坐標原點，以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
由已知，，，，，
所以，，，
設面的法向量為，
故有，
令，則，故，
故點P到平面的距離．
例40．(2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學校考期中)如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．
(1)求點到平面的距離為；
(2)求到平面的距離．
【解析】(1)以為原點，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標系，
則，
所以，
設平面的一個法向量為，
則，
令，
所以平面所的法向量為，又
所以點到平面的距離.
(2)由(1)可得平面的法向量為，
∵，∴，
，
，
∴平面，
所以到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，
由，
所以到平面的距離為.
例41．(2023·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末)如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．
(1)求異面直線與所成的角的余弦值；
(2)求異面直線與之間的距離．
【解析】(1)圖①菱形，，由余弦定理得，所以，
所以，即，又，所以，
在圖②中，，即，又平面
所以平面，即平面，
又平面，所以，如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
則，
所以，故，
則異面直線與所成的角的余弦值為；
(2)由(1)得，設是異面直線與公垂線的方向向量，
所以，令，則
所以異面直線與之間的距離為.
例42．(2023·江蘇淮安·高二淮陰中學校聯(lián)考階段練習)已知點，若點和點在直線上，則點到直線的距離為___________.
【答案】/
【解析】由題意知，點，，，
可得，則，
所以，可得，
所以點到直線的距離為.
故答案為：.
例43．(2023·安徽池州·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習)已知點，若，兩點在直線l上，則點A到直線l的距離為______.
【答案】3
【解析】依題意，而，
故與方向相同的單位向量為，
則所求距離.
故答案為:3
例44．(2023·高二課時練習)如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中點，M是棱CC1上的點，且CC1=3CM，則直線BM與B1N之間的距離為____.
【答案】
【解析】正方體的棱長為1，如圖，以D為坐標原點，所在方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，
則B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，.
設直線BM與B1N的公垂線方向上的向量，由，，
得，令x=2，則z=6，y=-7，∴，
設直線BM與B1N之間的距離為d，則d===.
故答案為：.
例45．(2023·湖南懷化·高二校聯(lián)考期末)正方體中，棱長為，則直線與的距離為__________．
【答案】
【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
則，，， ，
，，，
設和的公共法向量，
則，取，得，
直線與的距離為：．
故直線與的距離為．
故答案為：．
【過關測試】
一、單選題
1．(2023·廣東江門·高二江門市培英高級中學校考期中)已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則＝( )
A．﹣3B．3C．6D．9
【答案】B
【解析】因為，所以，解得，
所以.
故選：B
2．(2023·高二課時練習)正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由正方體的性質(zhì)：∥,∥，
，，
且平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面，
則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點B到平面的距離．
以為坐標原點，所在的直線分別為軸
建立空間直角坐標系，如圖所示：
由正方體的棱長為1，所以，，，
，，
所以，，
，．
連接，
由，，
所以，
且，
可知平面，
得平面的一個法向量為，
則兩平面間的距離：
．
故選：D.
3．(2023·高二課時練習)如圖，已知正方體的棱長為a，設，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，正方體中，棱長為，且，
可得，可得，
且，
則，
因為，所以.
故選：D.
4．(2023·高二課時練習)已知平面α的一個法向量，點在α內(nèi)，則到α的距離為( )
A．10B．3
C．D．
【答案】D
【解析】由題意，得，又知平面的一個法向量，
則到平面的距離，
故選：D.
5．(2023·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中)下列說法正確的是( )
A．若向量、共線，則向量、所在的直線平行；
B．若向量、所在的直線是異面直線，則向量、一定不共線；
C．若直線l的方向向量為，平面的法向量，則l；
D．若、、是空間三個向量，則對空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.
【答案】B
【解析】對選項A，若向量、共線，則向量、所在的直線平行或重合，故A錯誤.
對選項B，因為向量、所在的直線是異面直線，所以向量、一定不共線，
故B正確.
對選項C，因為無法判斷直線是否在平面內(nèi)，故C錯誤.
對選項D，只有、、三個向量不共面時，才有，故D錯誤.
故選：B
6．(2023·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，=λ，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則異面直線A1F與BE所成角θ的余弦值為( )

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
因為正方體的棱長為2，則A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).
所以，
又
所以，整理得到，解得(舍去),
所以，,
所以，故cs θ=，

故選：B.
7．(2023·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥?在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，為線段EF上的一動點，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】構建如下圖示的空間直角坐標系，
所以，，且，
則，，
所以，
當，夾角余弦值最小為，當，夾角余弦值最大為，
所以直線與所成角的余弦值的取值范圍是.
故選：C
8．(2023·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學?？计谀?如圖， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點，點G在線段AP上，AC與BD交于點O，，若平面，則( )
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】
如圖所示，以為坐標原點， 的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，
由題意可得 ,，
則,
所以，
設平面EFC的法向量為，
則，解得， 令，則，
所以平面EFC的一個法向量為.
因為平面EFC，則，
設，則，所以，
解得，所以，即.
故選：C
二、多選題
9．(2023·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習)下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關系的結論中，正確的是( )
A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則
B．直線的方向向量，平面的法向量是，則
C．兩個不同的平面的法向量分別是，則
D．直線的方向向量，平面的法向量是，則
【答案】AC
【解析】對于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，
則，所以，即，故正確；
對于，兩個不同的平面，的法向量分別是，
則，所以，故正確；
對于，直線的方向向量，平面的法向量是，
則，所以，即或，故錯誤；
對于，直線的方向向量，平面的法向量是，
則，所以，即，故錯誤．
故選：．
10．(2023·高二課時練習)下列命題是真命題的有( )
A．A，B，M，N是空間四點，若不能構成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面
B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直
C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥α
D．平面α經(jīng)過三點，是平面α的法向量，則u+t＝1
【答案】ABD
【解析】對于A，A，B，M，N是空間四點，若不能構成空間的一個基底，
則共面，可得A，B，M，N共面，故A正確；
對于B，，故，可得l與m垂直，故B正確；
對于C，，故，可得在α內(nèi)或l∥α，故C錯誤；
對于D，，易知，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正確．
故選：ABD．
11．(2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學?？计谥?點P在正方體的側面及其邊界上運動，并保持，若正方體邊長為
，則的可能取值是( )
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則點、、，設點，
，，
因為，則，所以，，
所以，.
故選：BC.
12．(2023·廣西·高二校聯(lián)考期中)如圖，為正方體，邊長為1，下列說法正確的是( )

A．平面B．到面的距離為
C．異面直線與的距離為D．異面直線與的夾角為
【答案】ABC
【解析】

選項A：
如圖建立空間直角坐標系，
由題意，，，，，，，
，，，
，，
所以，
又因平面，平面，，
所以平面，A正確；
B選項：
由A知為平面的法向量，
，
所以到面的距離為，
故B正確，
C選項：
，，，
設異面直線與的公共法向量為，
則，，
令，則，，
,
則異面直線與的距離為，
故C正確，
D選項：
，，
，
所以異面直線與的夾角的余弦值為，夾角為
故D錯誤，
故選：ABC
三、填空題
13．(2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學?？计谥?在空間直角坐標系中，已知點，，若點在軸上，且，則M的坐標是_____________.
【答案】
【解析】依題意，設，
因為，，，
所以，解得，
所以．
故答案為：.
14．(2023·高二課時練習)矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為__________．
【答案】
【解析】方法一：如圖，因為平面,平面,所以,
又因為是矩形，所以,
因為,所以平面,
因為平面，所以,所以為到的距離.
在矩形中，因為，所以,
在直角三角形中，由勾股定理得,
所以到的距離為.
故答案為：.
方法二：建立如圖所示坐標系，在矩形中，，
所以，所以
,所以,
所以為到的距離.
,所以到的距離為.
故答案為：

15．(2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？计谥?如圖，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.
【答案】
【解析】
依題意，以為坐標原點，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系，
由已知可得，，，，，，
則，，.
設是平面的法向量，
則，即，
令，則，，
所以是平面的一個法向量.
設與平面所成的角為，.
因為，，，
則，
所以.
因為，
所以，
所以與平面所成角的余弦值為.
故答案為：.
16．(2023·江蘇連云港·高二?？茧A段練習)已知空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為用以上知識解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為_______.
【答案】
【解析】平面的方程為，所以平面的法向量為，
平面與平面的法向量分別為，，
設直線的方向向量為，則，即，取
設直線與平面所成的角為，
則.
故答案為：.
四、解答題
17．(2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末)如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點.

(1)證明：平面平面；
(2)求銳二面角的余弦值.
【解析】(1)因為直三棱柱，
所以平面，
因為平面，
所以；
因為是等邊三角形，是棱的中點，
所以；
因為平面，且，
所以平面，
因為平面，
所以平面平面
(2)分別取的中點為，連接，
因為是等邊三角形，是中點，
所以，
因為直三棱柱，
所以平面，
因為平面，
所以，
因為為的中點，
所以，
所以
即兩兩垂直，
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
所以，
設平面的法向量為，
所以，
取，則，
平面的一個法向量為；
則，
所以銳二面角的余弦值為
18．(2023·廣東廣州·高二執(zhí)信中學?？茧A段練習)如圖，四棱錐中，平面，，，，M為棱上一點.

(1)若M為的中點，證明：平面；
(2)若，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.
【解析】(1)取中點，連接和，
因為，，且為的中點，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，則，
因為平面，平面，
所以平面，
因為M，N分別為的中點，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
又因為平面，，
所以平面平面，
因為平面，
所以平面
(2)取中點，作交于，連接，
因為，所以，
因為平面，平面，
所以，
因為，
所以，
以為坐標原點，為正交基底建立如下圖所示的空間直角坐標系，

、、、、.
所以，.
設平面的法向量，
又因為平面，
所以，
取，，，則.
又因為，
所以.
所以直線和平面所成角正弦值為.
19．(2023·北京·高二中關村中學?？计谥?如圖：在四棱錐中，底面是正方形，，，點在上，且.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)證明：在線段上存在點，使∥平面，并求線段的長.
【解析】(1)證明：，，

，同理
又，平面ABCD
平面.
(2)

如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
則
平面的法向量為，設平面的法向量為
，由有： ，取
，
設二面角的平面角為，由圖形可知，，
二面角的余弦值為.
(3)

假設存在點，使∥平面，令，，
，由∥平面，，
，即，解得
存在點，為的中點，即.
20．(2023·江蘇常州·高二常州高級中學校考期中)已知四棱錐，底面是菱形，，平面，，點滿足.

(1)求二面角的平面角的余弦值；
(2)若棱上一點到平面的距離為，試確定點的位置.
【解析】(1)連接AC交BD于O，過O作PD的平行線交PB于M，
由題意可知AC，BD，OM兩兩垂直，
以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則
則，，
設平面BDT的一個法向量
則，則，
∴平面BDT的一個法向量為
又PD⊥平面是平面BDC的一個法向量
∴，又由圖可知二面角為鈍角，
∴二面角的平面角的余弦值為；
(2)設，則
∴，
則點M到平面TBD的距離為，
解得
故點M的坐標為，即M為PC的七等分點靠近P的分點.
21．(2023·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學校聯(lián)考期中)如圖，在中，，，，可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點在線段上．

(1)當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求與平面所成角的正弦值的最大值．
【解析】(1)由題意可得：，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，
若為的中點，則，可得，
設異面直線與所成角，則.
故異面直線與所成角的余弦值為.
(2)若動點在線段上，設，
則，可得，解得，
即，則，
由題意可知：平面的法向量為，

設與平面所成角為，
則，
對于開口向上，對稱軸為，
可得當時，取到最小值，
所以的最大值為，因為，
故與平面所成角的正弦最大值為.
22．(2023·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中)如圖所示的幾何體中，平面平面，，若為的中點，為的中點，.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離；
(3)求平面與平面所成角(銳角)的余弦值.
【解析】(1)因為，，則，即有，同理，，
因為平面平面，平面平面，
又平面，因此，平面，
即AE，AB，AD兩兩垂直，以點A為原點，射線AE，AB，AD分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，的中點，又，即，
于是得，，，
設平面的法向量，則，
令，得，
因此，，即，平面，而平面，
所以平面.
(2)由(1)知，，則點F到平面的距離，
所以點到平面的距離是.
(3)由(1)知，平面的法向量，平面的一個法向量為，
依題意，，
所以，平面與平面所成角(銳角)的余弦值為.

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