◎題型1：三角形的有關(guān)概念
三角形的定義： 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
備注：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的邊：即組成三角形的線段；
②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；
③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.
（2）三角形定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.
(3) 三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．
例．(2023·江蘇·宜興市實驗中學七年級階段練習）將一個三角形紙片剪開分成兩個三角形，這兩個三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形B．都是鈍角三角形
C．都是銳角三角形D．是一個直角三角形和一個鈍角三角形
變式1．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，與沒有公共邊的三角形是( )
A．B．C．D．
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形，其中符合三角形概念的是（ ）
A．B．C．D．
變式3．(2023·全國·七年級）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，能畫出與“格點”面積相等的“格點正方形”有（ ）個．
A．2B．4C．6D．8
◎題型2：三角形的個數(shù)問題
例．（2023·重慶巫溪·八年級期末）如圖，其中第①個圖形中有1個三角形，第②個圖形中有3個三角形，第③個圖形中有6個三角形，…，按此規(guī)律變化，第⑥個圖形中三角形的個數(shù)是（ ）
A．10B．15C．21D．28
變式1．（2023·福建·模擬預測）如圖是由18根完全相同的火柴棒擺成的圖形，如果拿掉其中的3根，剩下的圖形中恰好有7個三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
變式2．（2023·重慶南開中學七年級期中）如圖，圖①中有3個以為高的三角形，圖②中有10個以為高的三角形．圖③中有為高的三角形，…，以此類推．則圖⑥中以為高的三角形的個數(shù)為（ ）
A．55B．78C．96D．105
變式3．(2023·浙江·溫州育英學校八年級階段練習）圖中，三角形的個數(shù)為（ ）
A．5B．6C．7D．8
◎題型3：三角形的分類
(1)按角分類：
備注：①銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形;
②鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.
(2)按邊分類：
備注：①等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;
②等邊三角形：三邊都相等的三角形.
例．(2023·重慶市第七中學校七年級期中）在中，，比小，則是（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．無法判斷
變式1．(2023·湖北黃石·八年級期末）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（ ）
A．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形
B．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形
D．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形
變式2．（2023·寧夏·固原市原州區(qū)三營中學八年級階段練習）一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，這個三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形
變式3．（2023·全國·七年級課時練習）銳角中，，則的范圍是（ ）
A．B．
C．D．
◎題型4：三角形的穩(wěn)定性
三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.
備注：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．
（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個道理．
（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．
例．(2023·河北保定外國語學校一模）能用三角形的穩(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（ ）
A．B．C．D．
變式1．(2023·重慶巴南·八年級期末）木工師傅要使一個四邊形木架（用四根木條釘成）不變型，至少要再釘上n根木條，這里的n=（ ）
A．0B．1C．2D．3
變式2．(2023··八年級期末）如圖，工人師傅在安裝木制門框時，為防止變形，常常釘上兩條斜拉的木條，這樣做的數(shù)學依據(jù)是（ ）
A．兩點確定一條直線
B．兩點之間，線段最短
C．三角形具有穩(wěn)定性
D．三角形的任意兩邊之和大于第三邊
變式3．（2023·陜西渭南·八年級期中）下列物品不是利用三角形穩(wěn)定性的是（ ）
A．自行車的三角形車架B．三角形房架
C．高架橋的三角形結(jié)構(gòu)D．伸縮晾衣架
◎題型5：三角形的三邊關(guān)系
定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.
推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.
備注：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.
（2）三邊關(guān)系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．
（3）證明線段之間的不等關(guān)系.
例．(2023·重慶巴蜀中學七年級期中）下列三條線段，首尾順次相連不能圍成三角形的是（ ）
A．2、4、5B．10、10、10C．3、3、6D．7、24、25
變式1．(2023·湖北武漢·八年級期中）如圖，在中，若D，E分別為的中點，若，則的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
變式2．(2023·四川達州·七年級期末）若一個等腰三角形的周長為32，則該等腰三角形的腰長x的取值范圍是（ ）
A．0＜x＜32B．0＜x＜16C．8＜x＜16D．8＜x＜32
變式3．(2023·山東泰安·七年級期末）在中，、、的對邊分別是、、，則下列條件不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．，D．
◎題型6：三角形的高
從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．
三角形的高的數(shù)學語言：
如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
備注：（1）三角形的高是線段；
（2）三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三條高：
(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點也在三角形內(nèi)部；
(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三條高的交點是直角的頂點.
例．(2023·浙江杭州·中考真題）如圖，CD⊥AB于點D，已知∠ABC是鈍角，則（ ）
A．線段CD是ABC的AC邊上的高線B．線段CD是ABC的AB邊上的高線
C．線段AD是ABC的BC邊上的高線D．線段AD是ABC的AC邊上的高線
變式1．(2023·陜西師大附中三模）如圖，是的高，是的角平分線，，則的大小是（ ）
A．B．C．D．
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線．則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．BF＝CFB．∠BAF＝∠CAF
C．∠B＋∠BAD＝90°D．
變式3．（2023·山東·乳山市教學研究中心二模）【信息閱讀】垂心的定義：三角形的三條高（或高所在的直線）交于一點，該點叫三角形的垂心．
【問題解決】如圖，在中，，，H為的垂心，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
◎題型7：三角形的中線
三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．
三角形的中線的數(shù)學語言：
如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.
備注：（1）三角形的中線是線段；
(2)三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；
(3)三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫三角形的重心；
(4)中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.
例．(2023·山東省濟南實驗初級中學七年級期中）如圖，在中，BD為AC邊上的中線，已知，，的周長為20，則的周長為（ ）
A．17B．23C．25D．28
變式1．(2023·河北保定·三模）下列尺規(guī)作圖，能確定是的中線的是（ ）
A．B．
C．D．
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）在三條邊都不相等的三角形中，同一條邊上的中線、高和這邊所對角的角平分線，最短的是（ ）
A．角平分線B．高C．中線D．不能確定
變式3．(2023·河北邯鄲·七年級階段練習）如圖，在中，已知點，，分別為邊，，的中點，且陰影部分圖形面積等于4平方厘米，則的面積為（ ）
A．8平方厘米B．12平方厘米C．16平方厘米D．18平方厘米
◎題型8：三角形的角平分線
三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.
三角形的角平分線的數(shù)學語言：
如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
備注：（1）三角形的角平分線是線段；
（2）一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；
（3）三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心；
（4）可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線.
例．(2023·河北·中考真題）如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（ ）
A．中線B．中位線C．高線D．角平分線
變式1．(2023·廣東佛山·七年級階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部B．等邊三角形一角的平分線是一條射線
C．三個角對應相等的三角形全等D．兩直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．
變式2．（2023·江蘇·無錫市僑誼實驗中學三模）如圖為一張銳角三角形紙片ABC，小明想要通過折紙的方式折出如下線段：①BC邊上的中線AD，②BC邊上的角平分線AE，③BC邊上的高AF．根據(jù)所學知識與相關(guān)活動經(jīng)驗可知：上述三條線中，所有能夠通過折紙折出的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
變式3．(2023·浙江杭州·八年級期末）在中，線段AP，AQ，AR分別是BC邊上的高線，中線和角平分線，則（ ）
A．B．C．D．
專題01 與三角形有關(guān)的線段
【思維導圖】
◎題型1：三角形的有關(guān)概念
三角形的定義： 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
備注：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的邊：即組成三角形的線段；
②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；
③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.
（2）三角形定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.
(3) 三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．
例．(2023·江蘇·宜興市實驗中學七年級階段練習）將一個三角形紙片剪開分成兩個三角形，這兩個三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形B．都是鈍角三角形
C．都是銳角三角形D．是一個直角三角形和一個鈍角三角形
答案：C
【解析】
分析：
分三種情況討論，即可得到這兩個三角形不可能都是銳角三角形．
【詳解】
如圖，沿三角形一邊上的高剪開即可得到兩個直角三角形．
如圖，鈍角三角形沿虛線剪開即可得到兩個鈍角三角形．
如圖，直角三角形沿虛線剪開即可得到一個直角三角形和一個鈍角三角形．
因為剪開的邊上的兩個角互補，故這兩個三角形不可能都是銳角三角形．
故選：C
【點睛】
本題主要考查了三角形的分類，理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．
變式1．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，與沒有公共邊的三角形是( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
直接找兩個三角形的公共邊即可．
【詳解】
解：三角形的公共邊即兩個三角形共同的邊．
，兩個三角形沒有公共邊；
，兩個三角形的公共邊為；
，兩個三角形的公共邊為；
，兩個三角形的公共邊為．
故選．
【點睛】
此題考查了學生對三角形的認識．注意要審清題意，按題目要求解題．
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形，其中符合三角形概念的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根據(jù)三角形的定義判斷即可．
【詳解】
三角形是由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形．
故選D．
【點睛】
本題主要考查了三角形的定義考查，準確理解是解題的關(guān)鍵．
變式3．(2023·全國·七年級）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，能畫出與“格點”面積相等的“格點正方形”有（ ）個．
A．2B．4C．6D．8
答案：C
【解析】
分析：
求出的面積為4，然后作出面積為4的格點正方形即可．
【詳解】
解：，
則可畫出的格點正方形如圖：
共有6個，
故選：C．
【點睛】
本題考查了格點圖形的面積計算，掌握基本圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
◎題型2：三角形的個數(shù)問題
例．（2023·重慶巫溪·八年級期末）如圖，其中第①個圖形中有1個三角形，第②個圖形中有3個三角形，第③個圖形中有6個三角形，…，按此規(guī)律變化，第⑥個圖形中三角形的個數(shù)是（ ）
A．10B．15C．21D．28
答案：C
【解析】
分析：
根據(jù)各圖形三角形的個數(shù)即可找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可解答．
【詳解】
解：第①個圖中三角形的個數(shù)為1；
第②個圖中三角形的個數(shù)為3=1+2；
第③個圖中三角形的個數(shù)為6=1+2+3；
…，
故第n個圖中三角形的個數(shù)為，
故第⑥個圖形中三角形的個數(shù)為：，
故選：C．
【點睛】
本題考查的是規(guī)律性問題，解答規(guī)律型問題時，通常是根據(jù)簡單的例子找出一般化規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律去求特定的值．
變式1．（2023·福建·模擬預測）如圖是由18根完全相同的火柴棒擺成的圖形，如果拿掉其中的3根，剩下的圖形中恰好有7個三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
答案：A
【解析】
分析：
根據(jù)各選項畫出相應圖形，再數(shù)三角形的個數(shù)即可得．
【詳解】
A、拿掉，，后，剩下的圖形如下：
圖形中恰好有7個三角形，此項符合題意；
B、拿掉，，后，剩下的圖形如下：
圖形中有4個三角形，此項不符題意；
C、拿掉，，后，剩下的圖形如下：
圖形中有6個三角形，此項不符題意；
D、拿掉，，后，剩下的圖形如下：
圖形中有9個三角形，此項不符題意；
故選：A．
【點睛】
本題考查了三角形的概念，正確畫出剩下的圖形是解題關(guān)鍵．
變式2．（2023·重慶南開中學七年級期中）如圖，圖①中有3個以為高的三角形，圖②中有10個以為高的三角形．圖③中有為高的三角形，…，以此類推．則圖⑥中以為高的三角形的個數(shù)為（ ）
A．55B．78C．96D．105
答案：B
【解析】
分析：
結(jié)合圖形探索三角形個數(shù)的規(guī)律，從而求解．
【詳解】
解：第①個圖形中有1+2=3個三角形；
第②個圖形中有1+2+3+4=10個三角形；
第③個圖形中有1+2+3+4+5+6=21個三角形；
…
第n個圖形中由1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)個三角形
∴第⑥個圖形三角形個數(shù)為1+2+3+…+12=6×13=78個，
故選：B．
【點睛】
本題主要考查圖形的變化規(guī)律，得到第n個圖形中三角形的個數(shù)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．
變式3．(2023·浙江·溫州育英學校八年級階段練習）圖中，三角形的個數(shù)為（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：A
【解析】
分析：
根據(jù)三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形數(shù)出三角形的個數(shù)．
【詳解】
解：圖中是三角形的有：△ABC、△ADE、△BDF、△DEF、△CEF共5個．
故選A．
【點睛】
此題考查三角形，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì).
◎題型3：三角形的分類
(1)按角分類：
備注：①銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形;
②鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.
(2)按邊分類：
備注：①等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;
②等邊三角形：三邊都相等的三角形.
例．(2023·重慶市第七中學校七年級期中）在中，，比小，則是（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．無法判斷
答案：C
【解析】
分析：
根據(jù)，比小，求出和的度數(shù)，作出選擇即可．
【詳解】
解：∵中，，比小，
∴，
∴，
∴是銳角三角形，
故選：C．
【點睛】
本題考查了角度的計算，三角形內(nèi)角和定理，掌握鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形的角的特征是解答本題的關(guān)鍵．
變式1．(2023·湖北黃石·八年級期末）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（ ）
A．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形
B．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形
D．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形
答案：B
【解析】
分析：
根據(jù)三角形按照邊的分類方法解答．
【詳解】
解：根據(jù)三角形的分類，三角形可以分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分為底邊和腰不相等的三角形和底邊三角形，
故選擇B．
【點睛】
本題考查三角形的分類，牢記三角形按照邊的分類方法是解決問題的關(guān)鍵．
變式2．（2023·寧夏·固原市原州區(qū)三營中學八年級階段練習）一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，這個三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形
答案：A
【解析】
分析：
利用三角形內(nèi)角和定理求出三角形的內(nèi)角即可判斷．
【詳解】
解：∵三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，
∴這個三角形的內(nèi)角分別為，，,
∴這個三角形是直角三角形，
故選A．
【點睛】
本題考查三角形內(nèi)角和定理和三角形的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．
變式3．（2023·全國·七年級課時練習）銳角中，，則的范圍是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根據(jù)銳角三角形的定義：三個角都小于90度的三角形和三角形內(nèi)角和定理進行求解即可．
【詳解】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=2∠B，∠A＜90°，∠B＜90°，∠C＜90°，
∴∠A+3∠B=180°，2∠B＜90°，
∴∠A=180°-3∠B＜90°，∠B

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