◎考點(diǎn)題型1 因式分解的概念
概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.【注意】（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.
（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是
一種運(yùn)算.
例．（2023·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期中）下列各式從左到右是分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
變式1．(2023·江蘇淮安·七年級(jí)期中）下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
變式2．(2023·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)期中）將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，得到，則，分別是（ ）
A．，B．，C．，D．，
變式3．(2023·廣西貴港·七年級(jí)期中）已知多項(xiàng)式因式分解后得到一個(gè)因式為，則m的值為（ ）
A．B．5C．D．6
◎考點(diǎn)題型2 提取公因式法
1、公因式
概念：多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.
【注意】（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.
（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.
（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母
是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.
2、提公因式法
概念：把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．
【注意】（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，
即
（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.
（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).
（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式
后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.
例．(2023·廣西貴港·七年級(jí)期中）多項(xiàng)式與 的公因式是（ ）
A．B．C．D．
變式1．(2023·湖南·耒陽(yáng)市教育研究室八年級(jí)期末）下列各式，可以分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
變式2．(2023·全國(guó)·八年級(jí)期末）將多項(xiàng)式﹣5a2bc+3ab2﹣abc各項(xiàng)提公因式后，另一個(gè)因式是（ ）
A．5ac﹣3b+cB．5bc﹣3b+cC．﹣5ac+3b+cD．﹣5bc+3b+c
變式3．(2023·浙江紹興·七年級(jí)期中）計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A．2021B．20210C．202100D．2021000
◎考點(diǎn)題型3 公式法——平方差公式
1、概念：兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，
即：
【注意】（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.
平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的
和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.
（3）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.
2、因式分解步驟
（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；
（2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式那就嘗試用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來(lái)分解．
3、因式分解注意事項(xiàng)
（1）因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；
（2）最終把多項(xiàng)式化成乘積形式；
（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．
例．（2023·四川·成都七中七年級(jí)階段練習(xí)）若，，那么的值是（ ）
A．－2B．－4C．2D．4
變式1．(2023·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）下列能用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A．B．C．D．
變式2．(2023·山東濟(jì)南·八年級(jí)期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
變式3．（2023·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）下列多項(xiàng)式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
◎考點(diǎn)題型4 公式法——完全平方公式
1、概念：兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方。
即，
形如，的式子叫做完全平方式。
【注意】（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；
（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2。右
邊是兩數(shù)的和（或差）的平方。
（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件。
（4）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。
2、因式分解步驟
（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；
（2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式那就嘗試用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來(lái)分解．
3、因式分解注意事項(xiàng)
（1）因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；
（2）最終把多項(xiàng)式化成乘積形式；
（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．
例．（2023·湖南婁底·二模）若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則m的值為（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3，1D．﹣1，3
變式1．(2023·山東濟(jì)南·八年級(jí)期末）下列各式能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
變式2．(2023·北京石景山·七年級(jí)期末）若多項(xiàng)式可以分解因式為，則的值是（ ）
A．B．C．D．
變式3．(2023·福建寧德·八年級(jí)期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
◎考點(diǎn)題型5 十字相乘法
1、概念：利用十字交叉線(xiàn)來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.
對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在 ，則
【注意】（1）在對(duì)分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，則同號(hào)(若，則異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定的符號(hào)
（2）若中的為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對(duì)為止.
2、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法
在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：
按斜線(xiàn)交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.
【注意】（1）分解思路為“看兩端，湊中間”
二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.
例．(2023·安徽宿州·八年級(jí)期中）如果多項(xiàng)式能因式分解為，則的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
變式1．(2023·安徽宿州·八年級(jí)期中）如果多項(xiàng)式能因式分解為，則的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
變式2．(2023·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室一模）將多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果正確的是（ ）
A．B．
C．D．
變式3．(2023·廣東廣州·八年級(jí)期末）若，則p，q的值分別為（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝－3，q＝4C．p＝3，q＝－4D．p＝－3，q＝－4
◎考點(diǎn)題型6分組分解法
概念：對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解——分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.
【注意】分組分解法分解因式常用的思路有：
例．（2023·四川涼山·一模）下列多項(xiàng)式中，在實(shí)數(shù)范圍不能分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2023·福建·南靖縣城關(guān)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知a，b，c是正整數(shù)，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，則a﹣c等于（ ）
A．±1B．1或11C．±11D．±1或±11
變式2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）能使分式的值為正整數(shù)的所有的值的和為（ ）
A．10B．0C．D．
變式3．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用分組分解的因式，分組正確的是（ ）
A．B．
C．D．
◎考點(diǎn)題型7 因式分解的應(yīng)用
例．(2023·福建寧德·八年級(jí)期中）已知a、b、c分別為三角形的三條邊，則的值（ ）
A．可能為零B．一定為負(fù)數(shù)C．一定為正數(shù)D．無(wú)法確定
變式1(2023·四川達(dá)州·八年級(jí)期末）一位密碼編譯愛(ài)好者的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：a-1，x-y，2，a2+1，x，a+1分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：縣，愛(ài)，我，數(shù)，學(xué)，渠．現(xiàn)將2x（a2-1）-2y（a2-1）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（ ）
A．我愛(ài)渠縣B．愛(ài)渠縣C．我愛(ài)學(xué)D．渠縣
變式2．(2023·河北唐山·七年級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為、的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為16，面積為12，則的值為（ ）
A．28B．96C．192D．200
變式3．(2023·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)期中）已知a，b，c分別是△ABC的三邊長(zhǎng)，若，，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．3B．6C．8D．12
◎考點(diǎn)題型8 因式分解在有理數(shù)簡(jiǎn)算中的應(yīng)用
例．（2023·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）2 0152-2 015一定能被（ ）整除
A．2 010B．2 012C．2 013D．2 014
變式1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：752-252=（ ）
A．50B．500C．5000D．7100
變式2．(2023·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：2-(-2)的結(jié)果是( )
A．2B．3×2C．-2D．()
變式3．(2023·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）化簡(jiǎn)：（﹣2）2003+（﹣2）2002所得的結(jié)果為（ ）
A．22002B．﹣22002C．﹣22003D．2
方法
分類(lèi)
分組方法
特點(diǎn)
分組分解法
四項(xiàng)
二項(xiàng)、二項(xiàng)
①按字母分組②按系數(shù)分組
③符合公式的兩項(xiàng)分組
三項(xiàng)、一項(xiàng)
先完全平方公式后平方差公式
五項(xiàng)
三項(xiàng)、二項(xiàng)
各組之間有公因式
六項(xiàng)
三項(xiàng)、三項(xiàng)
二項(xiàng)、二項(xiàng)、二項(xiàng)
各組之間有公因式
三項(xiàng)、二項(xiàng)、一項(xiàng)
可化為二次三項(xiàng)式
專(zhuān)題17 因式分解
【思維導(dǎo)圖】
◎考點(diǎn)題型1 因式分解的概念
概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.【注意】（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.
（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是
一種運(yùn)算.
例．（2023·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期中）下列各式從左到右是分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：根據(jù)分解因式的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．等式右邊不是整式的積，由左到右的變形不屬于分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．等式由左到右的變形屬于整式乘法，不屬于分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．等式右邊的因式不是整式，即等式由左到右的變形不屬于分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．等式由左到右的變形屬于分解因式，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的定義，注意：把多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，叫因式分解，也叫分解因式，準(zhǔn)確把握定義是解題關(guān)鍵．
變式1．(2023·江蘇淮安·七年級(jí)期中）下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．由定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，故不符合題意；
B．是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，故不符合題意；
C．x2+2x+1＝（x+1）2，是因式分解，符合題意；
D．，因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義，牢固掌握因式分解的定義，能夠根據(jù)定義對(duì)所給的式子進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．
變式2．(2023·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)期中）將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，得到，則，分別是（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：B
分析：先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算（x-9）（2x-n），根據(jù)乘法與因式分解的關(guān)系得到關(guān)于m、n的方程，求解即可．
【詳解】解：∵（x-9）（2x-n）
=2x2-18x-nx+9n
=2x2-（18+n）x+9n，
又∵2x2+mx-18因式分解得到（x-9）（2x-n），
∴2x2+mx-18=2x2-（18+n）x+9n，
∴m=-（18+n），9n=-18，
∴n=-2，m=-16．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的因式分解，掌握乘法與因式分解的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
變式3．(2023·廣西貴港·七年級(jí)期中）已知多項(xiàng)式因式分解后得到一個(gè)因式為，則m的值為（ ）
A．B．5C．D．6
答案：C
分析：令，求出x的值，代入多項(xiàng)式計(jì)算求出m的值即可．
【詳解】解：令，即
把代入多項(xiàng)式得：
解得
故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的概念，特殊值法是本題的關(guān)鍵．
◎考點(diǎn)題型2 提取公因式法
1、公因式
概念：多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.
【注意】（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.
（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.
（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母
是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.
2、提公因式法
概念：把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．
【注意】（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，
即
（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.
（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).
（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式
后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.
例．(2023·廣西貴港·七年級(jí)期中）多項(xiàng)式與 的公因式是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先對(duì)多項(xiàng)式 與進(jìn)行因式分解，再根據(jù)公因式的定義解決此題．
【詳解】解：∵，
，
∴ 與 的公因式為 ；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解以及公因式的定義，熟練掌握運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解以及公因式的定義是解決本題的關(guān)鍵．
變式1．(2023·湖南·耒陽(yáng)市教育研究室八年級(jí)期末）下列各式，可以分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根據(jù)因式分解的定義進(jìn)行逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】解：A. 不可以進(jìn)行因式分解，故該選項(xiàng)不符合題意；
B. 不可以進(jìn)行因式分解，故該選項(xiàng)不符合題意；
C. 不可以進(jìn)行因式分解，故該選項(xiàng)不符合題意；
D. 可分解因式，故該選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的概念，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式叫做因式分解．
變式2．(2023·全國(guó)·八年級(jí)期末）將多項(xiàng)式﹣5a2bc+3ab2﹣abc各項(xiàng)提公因式后，另一個(gè)因式是（ ）
A．5ac﹣3b+cB．5bc﹣3b+cC．﹣5ac+3b+cD．﹣5bc+3b+c
答案：A
分析：根據(jù)題意，提取公因式，即可求解．
【詳解】解：﹣5a2bc+3ab2﹣abc
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法因式分解，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
變式3．(2023·浙江紹興·七年級(jí)期中）計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A．2021B．20210C．202100D．2021000
答案：C
分析：首先提取公因式，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式＝2021×（32+42+72）
＝2021×（9+42+49）
＝2021×100
＝202100．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查的是因式分解的應(yīng)用及有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握因式分解的方法是解決此題的關(guān)鍵．
◎考點(diǎn)題型3 公式法——平方差公式
1、概念：兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，
即：
【注意】（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.
平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的
和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.
（3）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.
2、因式分解步驟
（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；
（2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式那就嘗試用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來(lái)分解．
3、因式分解注意事項(xiàng)
（1）因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；
（2）最終把多項(xiàng)式化成乘積形式；
（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．
例．（2023·四川·成都七中七年級(jí)階段練習(xí)）若，，那么的值是（ ）
A．－2B．－4C．2D．4
答案：C
分析：根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】∵，，
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
變式1．(2023·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）下列能用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)直接可得到答案．
【詳解】解：（-x+y）（x-y）=-（x-y）（x-y）=-（x-y）2不能用平方差公式計(jì)算，故選項(xiàng)A不符合題意；
（-x-y）（x-y）=（-y）2-x2=y2-x2，能用平方差公式計(jì)算，故選項(xiàng)B符合題意；
（x+2）（2+x）=（x+2）2不能用平方差公式計(jì)算，故選項(xiàng)C不符合題意；
（2x+3）（3x-2）沒(méi)有相同項(xiàng)，不能用平方差公式，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式的特點(diǎn)．
變式2．(2023·山東濟(jì)南·八年級(jí)期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用提公因式與平方差公式進(jìn)行分解因式，再約分化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的約分，涉及提公因式、平方差公式進(jìn)行分解因式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
變式3．（2023·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）下列多項(xiàng)式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：直接利用平方差公式:,分解因式判斷即可．
【詳解】解：A、x2+4，無(wú)法分解因式，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、，無(wú)法運(yùn)用平方差公式分解因式，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，能運(yùn)用平方差公式分解因式，故此選項(xiàng)符合題意；
D、，指數(shù)不是2，無(wú)法運(yùn)用平方差公式分解因式，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C
【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵．
◎考點(diǎn)題型4 公式法——完全平方公式
1、概念：兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方。
即，
形如，的式子叫做完全平方式。
【注意】（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；
（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2。右
邊是兩數(shù)的和（或差）的平方。
（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件。
（4）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。
2、因式分解步驟
（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；
（2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式那就嘗試用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來(lái)分解．
3、因式分解注意事項(xiàng)
（1）因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；
（2）最終把多項(xiàng)式化成乘積形式；
（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．
例．（2023·湖南婁底·二模）若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則m的值為（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3，1D．﹣1，3
答案：D
分析：利用完全平方公式的運(yùn)算判斷即可．
【詳解】∵ x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，
∴ m﹣1＝±2，
解得：m＝﹣1或m＝3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查使用完全平方公式的條件，屬于基礎(chǔ)題．
變式1．(2023·山東濟(jì)南·八年級(jí)期末）下列各式能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根據(jù)完全平方式的特征：a2±2ab+b2，判斷即可．
【詳解】解：A．x2+1，缺少積的2倍項(xiàng)，不能用完全平方公式進(jìn)行分解因式，故A不符合題意；
B．x2+2x-1，缺少兩數(shù)的平方的和，不能用完全平方公式進(jìn)行分解因式，故B不符合題意；
C．x2+3x+9，積的2倍項(xiàng)的系數(shù)不符，不能用完全平方公式進(jìn)行分解因式，故C不符合題意；
D．，故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式的特征是解題的關(guān)鍵．
變式2．(2023·北京石景山·七年級(jí)期末）若多項(xiàng)式可以分解因式為，則的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解∶由題意得∶
，
4-ax+x2=4-4x +x2，
∴a=4，
故選∶C．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法， 熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
變式3．(2023·福建寧德·八年級(jí)期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)( 或式)的平方和的形式，另-項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)( 或式)的積的2倍，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解∶A、，不符合完全平方公式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，不符合完全平方公式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，不符合完全平方公式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，符合完全平方公式，故此選項(xiàng)正確；
故選∶D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟練掌握完全平方公式的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
◎考點(diǎn)題型5 十字相乘法
1、概念：利用十字交叉線(xiàn)來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.
對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在 ，則
【注意】（1）在對(duì)分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，則同號(hào)(若，則異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定的符號(hào)
（2）若中的為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對(duì)為止.
2、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法
在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：
按斜線(xiàn)交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.
【注意】（1）分解思路為“看兩端，湊中間”
二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.
例．(2023·安徽宿州·八年級(jí)期中）如果多項(xiàng)式能因式分解為，則的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
答案：A
分析：根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式可得m、n的值，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解—十字相乘法，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
變式1．(2023·安徽宿州·八年級(jí)期中）如果多項(xiàng)式能因式分解為，則的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
答案：A
分析：根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式可得m、n的值，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解—十字相乘法，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
變式2．(2023·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室一模）將多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果正確的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：先運(yùn)用完全平方公式展開(kāi)，然后再合并，最后運(yùn)用十字相乘法因式分解即可．
【詳解】解：
=
=
=．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用完全平方公式計(jì)算、十字相乘法因式分解等知識(shí)點(diǎn)，掌握運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分解是解答本題的關(guān)鍵．
變式3．(2023·廣東廣州·八年級(jí)期末）若，則p，q的值分別為（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝－3，q＝4C．p＝3，q＝－4D．p＝－3，q＝－4
答案：B
分析：根據(jù)因式分解，進(jìn)而即可求得的值
【詳解】解：，
p，q的值分別為
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
◎考點(diǎn)題型6分組分解法
概念：對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解——分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.
【注意】分組分解法分解因式常用的思路有：
例．（2023·四川涼山·一模）下列多項(xiàng)式中，在實(shí)數(shù)范圍不能分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根據(jù)因式分解的方法與步驟進(jìn)行判斷即可
【詳解】解：A．原式不能分解，符合題意；
B．原式，不符合題意；
C．原式，不符合題意；
D．原式，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟練掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的關(guān)鍵，注意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式時(shí)2要寫(xiě)成．
變式1．（2023·福建·南靖縣城關(guān)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知a，b，c是正整數(shù)，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，則a﹣c等于（ ）
A．±1B．1或11C．±11D．±1或±11
答案：B
分析：根據(jù)因式分解的分組分解法即可求解．
【詳解】解：a2-ab-ac+bc=11，
（a2-ab）-（ac-bc）=11，
a（a-b）-c（a-b）=11，
（a-b）（a-c）=11，
∵a＞b，
∴a-b＞0，a，b，c是正整數(shù)，
∴a-b=1或11，a-c=11或1．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握分組分解法分解因式．
變式2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）能使分式的值為正整數(shù)的所有的值的和為（ ）
A．10B．0C．D．
答案：D
分析：先把分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)分式的值為正整數(shù)求出x的值，再將所有符合條件的x的值相加即可．
【詳解】∵，
∴，
，若
分式的值為正整數(shù)，則，，，，所以，1，0，，所以.故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，能利用分組分解法對(duì)原分式的分母因式分解是解決此題的關(guān)鍵.
變式3．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）用分組分解的因式，分組正確的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：把二、三、四項(xiàng)作為一組，第一項(xiàng)作為一組，然后根據(jù)完全平方公式和平方差公式分解即可.
【詳解】
=
=
=.
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法分解因式，正確分組是解答本題的關(guān)鍵.
◎考點(diǎn)題型7 因式分解的應(yīng)用
例．(2023·福建寧德·八年級(jí)期中）已知a、b、c分別為三角形的三條邊，則的值（ ）
A．可能為零B．一定為負(fù)數(shù)C．一定為正數(shù)D．無(wú)法確定
答案：B
分析：根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，結(jié)合平方差公式即可求解．
【詳解】解：∵a、b、c分別為三角形的三條邊，
∴， ，
∴．
∵，
∴，即的值一定為負(fù)數(shù)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系．掌握平方差公式及三角形三邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
變式1(2023·四川達(dá)州·八年級(jí)期末）一位密碼編譯愛(ài)好者的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：a-1，x-y，2，a2+1，x，a+1分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：縣，愛(ài)，我，數(shù)，學(xué)，渠．現(xiàn)將2x（a2-1）-2y（a2-1）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（ ）
A．我愛(ài)渠縣B．愛(ài)渠縣C．我愛(ài)學(xué)D．渠縣
答案：A
分析：先提取公因式，再根據(jù)平方差公式對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，從而得到呈現(xiàn)的密碼信息．
【詳解】解：2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）
＝2（a2﹣1）（x﹣y）
＝2（a﹣1）（a+1）（x﹣y）
＝2（x﹣y）（a+1）（a﹣1），
結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：我愛(ài)渠縣，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解﹣分組分解法，一定要注意把每一個(gè)多項(xiàng)式分解到不能再分解為止．
變式2．(2023·河北唐山·七年級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為、的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為16，面積為12，則的值為（ ）
A．28B．96C．192D．200
答案：B
分析：根據(jù)題意得出a+b=8，ab=12，然后將整式因式分解化簡(jiǎn)整體帶入求解即可
【詳解】解：∵邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為16，面積為12，
∴a+b=8，ab=12，
則a2b+ab2=ab(a+b)=12×8=96．
故選：B．
【點(diǎn)睛】題目主要考查利用整體代入法求代數(shù)式的值，理解題意是解題關(guān)鍵．
變式3．(2023·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)期中）已知a，b，c分別是△ABC的三邊長(zhǎng)，若，，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．3B．6C．8D．12
答案：B
分析：先把因式分解可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ABC的周長(zhǎng)是6．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，將已知等式移項(xiàng)后因式分解是求解本題的關(guān)鍵．
◎考點(diǎn)題型8 因式分解在有理數(shù)簡(jiǎn)算中的應(yīng)用
例．（2023·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）2 0152-2 015一定能被（ ）整除
A．2 010B．2 012C．2 013D．2 014
答案：D
【詳解】解析：2 0152-2 015=2 015×（2 015-1）=2 015×2 014，所以一定能被2 014整除.故選D.
變式1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：752-252=（ ）
A．50B．500C．5000D．7100
答案：C
【詳解】原式=（75+25）×（75-25）=100×50=5000，
故選C．
考點(diǎn)：因式分解的運(yùn)用．
變式2．(2023·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：2-(-2)的結(jié)果是( )
A．2B．3×2C．-2D．()
答案：B
【詳解】22014-(-2)2015=22014+22015=22014(1+2)=3×22014.
故選B.
變式3．(2023·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）化簡(jiǎn)：（﹣2）2003+（﹣2）2002所得的結(jié)果為（ ）
A．22002B．﹣22002C．﹣22003D．2
答案：B
【詳解】試題解析：原式
故選B.
方法
分類(lèi)
分組方法
特點(diǎn)
分組分解法
四項(xiàng)
二項(xiàng)、二項(xiàng)
①按字母分組②按系數(shù)分組
③符合公式的兩項(xiàng)分組
三項(xiàng)、一項(xiàng)
先完全平方公式后平方差公式
五項(xiàng)
三項(xiàng)、二項(xiàng)
各組之間有公因式
六項(xiàng)
三項(xiàng)、三項(xiàng)
二項(xiàng)、二項(xiàng)、二項(xiàng)
各組之間有公因式
三項(xiàng)、二項(xiàng)、一項(xiàng)
可化為二次三項(xiàng)式

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