人教版八年級數(shù)學上冊重要考點題型精講精練專題04三角形的有關(guān)模型問題(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

【思維導圖】
◎考點1：多邊形截角后的邊數(shù)問題
例．(2023·全國·八年級）若一個多邊形截去一個角后變成了六邊形，則原來多邊形的邊數(shù)可能是（）
A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8
變式1．（2023·全國·八年級專題練習）將一個多邊形紙片沿一條直線剪下一個三角形后，變成一個六邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是
A．5B．6C．7D．8
變式2．(2023·廣西桂林·八年級期中）將一個四邊形截去一個角后，它不可能是（）
A．六邊形B．五邊形C．四邊形D．三角形
變式3．（2023·全國·八年級專題練習）一個四邊形截去一個角后內(nèi)角個數(shù)是（）
A．3B．4C．5D．3、4、5
◎考點2：多邊形的周長問題
例．(2023·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E．△ABC的周長為19，△ACE的周長為13，則AB的長為（）
A．3B．6C．12D．16
變式1．（2023·黑龍江·樺南實驗中學八年級期中）如圖，在ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點，EC=4，ABC的周長為23，則ABD的周長為（）
A．14B．15C．16D．17
變式2．（2023·重慶市江津第五中學校八年級期中）如圖，在菱形中，，則以為邊的正方形的周長為( )
A．12B．8C．16D．20
變式3．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，木工師傅從邊長為90cm的正三角形木板上鋸出一正六邊形木塊，那么正六邊形木板的邊長為（）
A．34cmB．32cmC．30cmD．28cm
◎考點3:網(wǎng)格中多邊形的面積問題
例．（2023·全國·八年級專題練習）某正方形園地是由邊長為1的四個小正方形組成的，現(xiàn)要在園地上建一個花壇（陰影部分）使花壇面積是園地面積的一半，以下圖中設計不合要求的是( )．
A．B．C．D．
變式1．（2023·全國·八年級專題練習）如圖為一張方格紙，紙上有一灰色三角形，其頂點均位于某兩網(wǎng)格線的交點上，若每一小正方形的邊長均為1，則灰色三角形的面積為（）
A．7B．7.5C．8D．8.5
變式2．（2023·河北·西安市長安區(qū)第十中學八年級階段練習）如圖小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（）
A．25B．12.5C．9D．8.5
變式3．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在邊長為的小正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形圖中①，②，③，④四個格點多邊形的面積分別記為下列說法正確的是（）
A．B．C．D．
◎考點4：多或少算一個角的問題
例．（2023·全國·八年級專題練習）在計算一個多邊形內(nèi)角和時，多加了一個角，得到的內(nèi)角和為1500°，那么原多邊形的邊數(shù)為（）
A．9B．10C．11D．10或11
變式1．（2023·廣東·惠州一中八年級期中）一個多邊形少算一個內(nèi)角，其余內(nèi)角之和是1500°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）
A．8B．9C．10D．11
變式2．（2023·云南·永善縣墨翰中學八年級階段練習）一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的邊數(shù)為（）
A．7B．7或9C．8或9D．7或8或9
變式3．（2023·全國·八年級專題練習）一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為，那么原多邊形的邊數(shù)為（）
A．5B．5或6C．6或7或8D．7或8或9
◎考點5：多邊形截角后的內(nèi)角和問題
例．（2023·黑龍江·齊齊哈爾市第二十八中學八年級期中）將一個多邊形切去一個角后所得的多邊形內(nèi)角和為2880°．則原多邊形的邊數(shù)為（）．
A．15或16B．15或16或17C．16或17或18D．17或18或19
變式1．（2023·全國·八年級階段練習）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是（）
A．10或11B．11或12或13C．11或12D．10或11或12
變式2．（2023·新疆師范大學附屬中學八年級期中）如圖，沿著虛線將四邊形紙片剪成兩部分，如果所得兩個圖形的內(nèi)角和相等，則符合條件的剪法是（）

A．①②B．①③C．②④D．③④
變式3．（2023·青?！の鲗幨泻：袑W八年級階段練習）一個多邊形截取一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)不可能的是( )
A．10B．11C．12D．13
◎考點6：復雜圖形的內(nèi)角和問題
例．（2023·湖南懷化·八年級期末）如圖1六邊形的內(nèi)角和為度，如圖2六邊形的內(nèi)角和為度，則________．
變式1.（2023·全國·八年級專題練習）（1）如圖1，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（2）如圖2，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
變式3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為__．
◎考點7：雙角平分線問題
例．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，在中，和的平分線相交于點O，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
變式1．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，在中，，是的內(nèi)角的平分線與外角的平分線的交點；是的內(nèi)角的平分線與外角的平分線的交點；是的內(nèi)角的平分線與外角的平分線的交點；依次這樣下去，則的度數(shù)為（）
A．2°B．4°C．8°D．16°
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖7，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分別是BA，CD延長線上的點，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F．下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正確的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
變式3．（2023·安徽·馬鞍山市成功學校八年級期中）（1）如圖1所示，BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，試說明：∠D=90°+∠A．
（2）探究，請直接寫出下列兩種情況的結(jié)果，并任選一種情況說明理由：
①如圖2所示，BD，CD分別是△ABC兩個外角∠EBC和∠FCB的平分線，試探究∠A與∠D之間的等量關(guān)系；
②如圖3所示，BD，CD分別是△ABC一個內(nèi)角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線，試探究∠A與∠D之間的等量關(guān)系．
◎考點8：A字模型
例．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（）．
A．B．C．D．
變式1．（2012·江蘇南通·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C＝70o，沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（）
A．360oB．250oC．180oD．140o
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點E，則________．
變式3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為_________．
◎考點9：8字模型
例．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
變式1．(2023·全國·八年級課時練習）如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M
（1）如圖1，當α＝90°時，∠AMD的度數(shù)為 °；
（2）如圖2，當α＝60°時，求∠AMD的度數(shù)；
（3）如圖3，當OCD繞O點任意旋轉(zhuǎn)時，∠AMD與α是否存在著確定的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請你用α表示∠AMD，并用圖3進行證明；若不確定，說明理由．
變式3．（2023·山西臨汾·七年級期末）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“字形”，試說明：．
（2）如圖②，，分別平分，，若，，求的度數(shù)．
（3）如圖（3），直線平分，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________；
（4）如圖（4），直線平分的外角，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________．
◎考點10：燕尾角模型
例．(2023·全國·八年級課時練習）模型規(guī)律：如圖1，延長交于點D，則．因為凹四邊形形似箭頭，其四角具有“”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．
模型應用
（1）直接應用：
①如圖2，，則__________；
②如圖3，__________；
（2）拓展應用：
①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點，已知，，則__________；
②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；
③如圖6，、的角平分線、交于點D，已知，則__________；
④如圖7，、的角平分線、交于點D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為__________．
變式1．(2023·全國·八年級專題練習）如圖(1)所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
（1）觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：
①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、圖(1)XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX =__________°；
②如圖(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；（寫出解答過程）
③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，則∠A的度數(shù)=__________°．
變式2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，中，（1）若、的三等分線交于點、，請用表示、；（2）若、的等分線交于點、（、依次從下到上），請用表示，.
變式3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，是的平分線，CH是的平分線，與CH交于點，若，，求的度數(shù).
◎考點11：角平分線和高相結(jié)合模型
例．(2023·全國·八年級）（1）如圖①，△ABC中，點D、E在邊BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：
①∠CAE的度數(shù)；
②∠DAE的度數(shù)．
（2）如圖②，若把（1）中的條件“AD⊥BC”變成“F為AE延長線上一點，且FD⊥BC”，其他條件不變，求出∠DFE的度數(shù)．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F為EA延長線上一點，F(xiàn)D⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），試猜想∠DFE的度數(shù)（用α，β表示），請自己作出對應圖形并說明理由．
專題4 三角形的有關(guān)模型問題
【思維導圖】
◎考點1：多邊形截角后的邊數(shù)問題
例．(2023·全國·八年級）若一個多邊形截去一個角后變成了六邊形，則原來多邊形的邊數(shù)可能是（）
A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8
答案：C
【解析】
分析：
實際畫圖，動手操作一下，可知六邊形可以是五邊形、六邊形、七邊形截去一個角后得到．
【詳解】
解：如圖，原來多邊形的邊數(shù)可能是5，6，7．
故選C
【點睛】
本題考查的是截去一個多邊形的一個角，解此類問題的關(guān)鍵是要從多方面考慮，注意不能漏掉其中的任何一種情況．
變式1．（2023·全國·八年級專題練習）將一個多邊形紙片沿一條直線剪下一個三角形后，變成一個六邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是
A．5B．6C．7D．8
答案：D
【解析】
分析：
根據(jù)一個邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是邊形或邊形或邊形即可得出答案．
【詳解】
如圖可知，原來多邊形的邊數(shù)可能是5，6，7．不可能是8．
故選：．
【點睛】
本題考查了多邊形，剪去一個角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個相鄰頂點，則少了一條邊；經(jīng)過一個頂點和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條領(lǐng)邊，邊數(shù)增加．
變式2．(2023·廣西桂林·八年級期中）將一個四邊形截去一個角后，它不可能是（）
A．六邊形B．五邊形C．四邊形D．三角形
答案：A
【解析】
【詳解】
試題解析：當截線為經(jīng)過四邊形對角2個頂點的直線時，剩余圖形為三角形；
當截線為經(jīng)過四邊形一組對邊的直線時，剩余圖形是四邊形；
當截線為只經(jīng)過四邊形一組鄰邊的一條直線時，剩余圖形是五邊形；
∴剩余圖形不可能是六邊形，
故選A.
變式3．（2023·全國·八年級專題練習）一個四邊形截去一個角后內(nèi)角個數(shù)是（）
A．3B．4C．5D．3、4、5
答案：D
【解析】
【詳解】
如圖可知，一個四邊形截去一個角后變成三角形或四邊形或五邊形，
故內(nèi)角個數(shù)是為3、4或5.
故選D.
◎考點2：多邊形的周長問題
例．(2023·上海·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E．△ABC的周長為19，△ACE的周長為13，則AB的長為（）
A．3B．6C．12D．16
答案：B
【解析】
分析：
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長公式即可得到結(jié)論．
【詳解】
∵AB的垂直平分線交AB于點D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周長＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周長＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周長﹣△ACE的周長＝19﹣13＝6，
故選：B．
【點睛】
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形周長等知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握運用垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
變式1．（2023·黑龍江·樺南實驗中學八年級期中）如圖，在ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點，EC=4，ABC的周長為23，則ABD的周長為（）
A．14B．15C．16D．17
答案：B
【解析】
分析：
由垂直平分線的性質(zhì)和三角形周長的意義可得解答．
【詳解】
解：由DE為AC的垂直平分線可得：AC=2EC=8，AD=DC，
∴△ ABD的周長=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，
∵△ ABC的周長為23，即AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23-AC=23-8=15，即△ ABD的周長為15，
故選B ．
【點睛】
本題考查垂直平分線與三角形周長的綜合應用，靈活運用垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式2．（2023·重慶市江津第五中學校八年級期中）如圖，在菱形中，，則以為邊的正方形的周長為( )
A．12B．8C．16D．20
答案：C
【解析】
分析：
證明是等邊三角形，得出，求正方形周長
【詳解】
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴正方形的周長為.
故選C.
【點睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及正方形的周長公式，是較為常見的幾何題目
變式3．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，木工師傅從邊長為90cm的正三角形木板上鋸出一正六邊形木塊，那么正六邊形木板的邊長為（）
A．34cmB．32cmC．30cmD．28cm
答案：C
【解析】
【詳解】
圖中小三角形也是正三角形，且邊長等于正六邊形的邊長，
所以正六邊形的周長是正三角形的周長的,正六邊形的周長為90×3×=180cm，
所以正六邊形的邊長是180÷6=30cm.
故選C.
◎考點3:網(wǎng)格中多邊形的面積問題
例．（2023·全國·八年級專題練習）某正方形園地是由邊長為1的四個小正方形組成的，現(xiàn)要在園地上建一個花壇（陰影部分）使花壇面積是園地面積的一半，以下圖中設計不合要求的是( )．
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
【詳解】
試題分析：運用面積公式、割補法求陰影部分面積，再與題目的要求比較．
解答：解：花壇面積為4m2，一半為2m2，
A、陰影部分面積為2×2÷2=2m2，
B、陰影部分面積為1×1+1×1÷2+1×2÷2=2.5m2，不符合要求；
C、陰影部分面積為1×1÷2×4=2m2，
D、把圖中上面兩個扇形移下來，剛回拼成兩個小正方形，面積為2m2；
故選B．
考點: 組合圖形的面積．
變式1．（2023·全國·八年級專題練習）如圖為一張方格紙，紙上有一灰色三角形，其頂點均位于某兩網(wǎng)格線的交點上，若每一小正方形的邊長均為1，則灰色三角形的面積為（）
A．7B．7.5C．8D．8.5
答案：A
【解析】
分析：
利用正方形的面積減去三個直角三角形的面積即可求得．
【詳解】
解：灰色三角形的面積為：4×4-×3×2-×1×4-×2×4=7，
故選：A．
【點睛】
本題考查識圖能力，關(guān)鍵看到灰色三角形的面積等于正方形方格紙的面積減去周圍三個三角形的面積得解．
變式2．（2023·河北·西安市長安區(qū)第十中學八年級階段練習）如圖小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（）
A．25B．12.5C．9D．8.5
答案：B
【解析】
【詳解】
試題分析：根據(jù)求差法，讓大正方形面積減去周圍四個直角三角形的面積即可解答．
試題解析：如圖：
小方格都是邊長為1的正方形，
∴四邊形EFGH是正方形，S□EFGH=EF?FG=5×5=25
S△AED=DE?AE=×1×2=1，
S△DCH=?CH?DH=×2×4=4，
S△BCG=BG?GC=×2×3=3，
S△AFB=FB?AF=×3×3=4．5．
S四邊形ABCD=S□EFGH-S△AED-S△DCH-S△BCG-S△AFB=25-1-4-3-4．5=12．5．
故選B．
考點：三角形的面積．
變式3．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在邊長為的小正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形圖中①，②，③，④四個格點多邊形的面積分別記為下列說法正確的是（）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根據(jù)題意判斷格點多邊形的面積，依次將計算出來，再找到等量關(guān)系．
【詳解】
觀察圖形可得
∴，
故選：．
【點睛】
本題考查了新概念的理解，通過表格獲取需要的信息，找到關(guān)于面積的等量關(guān)系．
◎考點4：多或少算一個角的問題
例．（2023·全國·八年級專題練習）在計算一個多邊形內(nèi)角和時，多加了一個角，得到的內(nèi)角和為1500°，那么原多邊形的邊數(shù)為（）
A．9B．10C．11D．10或11
答案：B
【解析】
分析：
設多加上的一個角的度數(shù)為x，原多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，列出等式，進而即可求解．
【詳解】
設多加上的一個角的度數(shù)為x，原多邊形的邊數(shù)為n，
則(n-2)×180+x=1500，
(n-2)×180=8×180+60-x，
∵n-2為正整數(shù)，
∴60-x能被180整除，
又∵x＞0，
∴60-x=0，
∴(n-2)×180=8×180，
∴n=10，
故選B
【點睛】
本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，根據(jù)定理，列出方程，是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023·廣東·惠州一中八年級期中）一個多邊形少算一個內(nèi)角，其余內(nèi)角之和是1500°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）
A．8B．9C．10D．11
答案：D
【解析】
分析：
根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是(n-2)?180°，可以得到內(nèi)角和一定是180度的整數(shù)倍，即可求解．
【詳解】
，
則正多邊形的邊數(shù)是8+1+2=11．
故選：D．
【點睛】
本題考查了根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，掌握n邊形的內(nèi)角和公式(n-2)?180°是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2023·云南·永善縣墨翰中學八年級階段練習）一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的邊數(shù)為（）
A．7B．7或9C．8或9D．7或8或9
答案：D
【解析】
分析：
求得內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)．
【詳解】
解：設切去一角后的多邊形為n邊形．
則（n-2）?180°=1080°，
解得：n=8，
∵一個多邊形切去一個角后形成的多邊形邊數(shù)有三種可能：比原多邊形邊數(shù)小1、相等、大1，
∴原多邊形的邊數(shù)可能為7或8或9，
故選：D．
【點睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握一個多邊形截去一個角后它的邊數(shù)可能增加1、可能減少1或不變是解題的關(guān)鍵．
變式3．（2023·全國·八年級專題練習）一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為，那么原多邊形的邊數(shù)為（）
A．5B．5或6C．6或7或8D．7或8或9
答案：C
【解析】
分析：
利用多邊形內(nèi)角和公式：，得出截后的是幾邊形，分以下三種情況進行討論：(1)不經(jīng)過頂點，(2)經(jīng)過一個頂點，(3)經(jīng)過2個頂點，即可得出結(jié)果．
【詳解】
解：設截后的多邊形為邊形
解得：
(1)頂點剪，則比原來邊數(shù)多1
(2)過一個頂點剪，則和原來的邊數(shù)相同
(3)過兩個頂點剪，則比原來的邊數(shù)少1
則原多邊形的邊數(shù)為6或7或8
故選：C．
【點睛】
本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和公式，正確的掌握多邊形的內(nèi)角和公式以及分情況進行討論是解題的關(guān)鍵．
◎考點5：多邊形截角后的內(nèi)角和問題
例．（2023·黑龍江·齊齊哈爾市第二十八中學八年級期中）將一個多邊形切去一個角后所得的多邊形內(nèi)角和為2880°．則原多邊形的邊數(shù)為（）．
A．15或16B．15或16或17C．16或17或18D．17或18或19
答案：D
【解析】
分析：
因為一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和即可解決問題．
【詳解】
解：多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2）?180°（n≥3且n是整數(shù)），一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，
根據(jù)題意得（n-2）?180°=2880°，
解得：n=18，
則多邊形的邊數(shù)是17，18，19．
故選：D．
【點睛】
本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，本題容易出現(xiàn)的錯誤是：認為截取一個角后角的個數(shù)減少1．
變式1．（2023·全國·八年級階段練習）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是（）
A．10或11B．11或12或13C．11或12D．10或11或12
答案：D
【解析】
分析：
首先求出截角后的多邊形邊數(shù)，然后再根據(jù)切去的位置求原來的多邊形邊數(shù)．
【詳解】
解：設截角后的多邊形邊數(shù)為n，
則有：（n-2）×180°=1620°，
解得：n=11，
如圖1，從角兩邊的線段中間部分切去一個角后，在原邊數(shù)基礎上增加一條邊，為12邊形；
如圖2，從角的一邊中間部分，另一邊與另一頂點連結(jié)點處截取一個角，邊數(shù)不增也不減，是11邊形；；
如圖3，從另外兩個頂點處切去一個角，邊數(shù)減少1為10邊形
∴可得原來多邊形的邊數(shù)為10或11或12：
故選D．
【點睛】
本題考查多邊形的綜合運用，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的剪拼是解題關(guān)鍵．
變式2．（2023·新疆師范大學附屬中學八年級期中）如圖，沿著虛線將四邊形紙片剪成兩部分，如果所得兩個圖形的內(nèi)角和相等，則符合條件的剪法是（）

A．①②B．①③C．②④D．③④
答案：B
【解析】
分析：
根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理逐一判斷即可得答案．
【詳解】
三角形內(nèi)角和為180°，四邊形內(nèi)角和為360°，五邊形內(nèi)角和為（5-2）×180°=540°，
①剪開后的兩個圖形是四邊形，它們的內(nèi)角和都是360°，符合條件，
②剪開后的兩個圖形是五邊形和三角形，它們的內(nèi)角和分別是540°和180°，不符合條件，
③剪開后的兩個圖形都是三角形，它們的內(nèi)角和是180°，符合條件，
④剪開后的兩個圖形是三角形和四邊形，它們的內(nèi)角和分別是180°和360°，不符合條件，
∴符合條件的剪法是①③，
故選：B．
【點睛】
本題考查多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．
變式3．（2023·青?！の鲗幨泻：袑W八年級階段練習）一個多邊形截取一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)不可能的是( )
A．10B．11C．12D．13
答案：D
【解析】
分析：
根據(jù)多邊形內(nèi)角公式求出截取一個角之后的多邊形的邊長，從而推出原來的多邊形邊數(shù)的可能性．
【詳解】
解：根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，列式：，解得，
一個多邊形截取一個角之后，有可能邊數(shù)減少1，有可能邊數(shù)不變，也有可能邊數(shù)增加1，
∴原來的多邊形邊數(shù)可能是：12、11、10．
故選：D．
【點睛】
本題考查多邊形內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式．
◎考點6：復雜圖形的內(nèi)角和問題
例．（2023·湖南懷化·八年級期末）如圖1六邊形的內(nèi)角和為度，如圖2六邊形的內(nèi)角和為度，則________．
答案：0
【解析】
分析：
將兩個六邊形分別進行拆分，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和計算即可得出答案.
【詳解】
如圖1所示，將原六邊形分成了兩個三角形和一個四邊形，
∴=180°×2+360°=720°
如圖2所示，將原六邊形分成了四個三角形
∴=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案為0.
【點睛】
本題考查的是三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和，難度適中，解題關(guān)鍵是將所求六邊形拆分成幾個三角形和四邊形的形式進行求解.
變式1.（2023·全國·八年級專題練習）（1）如圖1，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（2）如圖2，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．
答案：

【解析】
分析：
（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得；
（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和可求得，，再利用三角形內(nèi)角關(guān)系可得，進而可求得．
【詳解】
解：（1）∵在中，，
在中，，
∴，
故答案為；
（2）如圖，∵，，
∴．
∵，
∴．
故答案為．
【點睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和定理及多邊形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
答案：900°
【解析】
分析：
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案．
【詳解】
解：連EF，GI，如圖
，
∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案為：900°．
【點睛】
本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．
變式3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為__．
答案：1080°
【解析】
分析：
連KF，GI，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理得到7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內(nèi)角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)．
【詳解】
解：連KF，GI，如圖，
∵7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)為1080°．
故答案為：1080°．
【點睛】
本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．
◎考點7：雙角平分線問題
例．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，在中，和的平分線相交于點O，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
設，利用角平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)得，所以求解即可．
【詳解】
解：設，則，
∵，
∴，
∵OB，OC平分和，
∴，即，解之得：，
故選：A．
【點睛】
本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系進行求解．
變式1．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，在中，，是的內(nèi)角的平分線與外角的平分線的交點；是的內(nèi)角的平分線與外角的平分線的交點；是的內(nèi)角的平分線與外角的平分線的交點；依次這樣下去，則的度數(shù)為（）
A．2°B．4°C．8°D．16°
答案：A
【解析】
分析：
根據(jù)角平分線的定義得∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠PCE＝∠PBC＋∠P，于是得到（∠A＋∠ABC）＝∠PBC＋∠P＝∠ABC＋∠P，然后整理可得∠P＝∠A，同理得到結(jié)論．
【詳解】
解：∵△ABC的內(nèi)角平分線BP與外角平分線CP1交于P1，
∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC＋∠P1，
∴（∠A＋∠ABC）＝∠P1BC＋∠P1＝∠ABC＋∠P1，
∴∠P1＝∠A＝×128°＝64°，
同理∠P2＝∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故選：A．
【點睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖7，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分別是BA，CD延長線上的點，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F．下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正確的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
答案：C
【解析】
分析：
先根據(jù)AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，由三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：標注角度如圖所示：
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正確；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯誤；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正確；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正確．
故選：C．
【點睛】
本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的計算，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和等于180°．
變式3．（2023·安徽·馬鞍山市成功學校八年級期中）（1）如圖1所示，BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，試說明：∠D=90°+∠A．
（2）探究，請直接寫出下列兩種情況的結(jié)果，并任選一種情況說明理由：
①如圖2所示，BD，CD分別是△ABC兩個外角∠EBC和∠FCB的平分線，試探究∠A與∠D之間的等量關(guān)系；
②如圖3所示，BD，CD分別是△ABC一個內(nèi)角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線，試探究∠A與∠D之間的等量關(guān)系．
答案：（1）證明見解析；（2）①∠A=180°?2∠D，理由見解析；②∠A=2∠D，理由見解析
【解析】
分析：
（1）首先利用角平分線性質(zhì)得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，據(jù)此進一步加以變形求證即可；
（2）①首先理由角平分線性質(zhì)得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)進一步整理得出∠A?2(∠DBC+∠DCB)=-180°，據(jù)此進一步加以分析證明即可；②利用三角形外角性質(zhì)可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分線性質(zhì)得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再結(jié)合∠A+∠ABC=∠ACE進一步證明即可.
【詳解】
（1）∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠D=180°?(∠DBC+∠DCB)
=180°?(∠ABC+∠ACB)
=180°?(180°?∠A)
=180°?90°+∠A
=90°+∠A，
即：∠D=90°+∠A；
（2）①∠A=180°?2∠D，理由如下：
∵BD，CD分別是∠EBC和∠FCB的平分線，
∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180°?(∠A+∠ACB)=180°?2∠DBC，
∠ACB=180°?(∠A+∠ABC)=180°?2∠DCB，
∴∠A+180°?2∠DBC+180°?2∠DCB=180°，
∴∠A?2(∠DBC+∠DCB)=?180°，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180°?∠D，
∴∠A?2(∠DBC+∠DCB)=∠A?2(180°?∠D)=?180°，
即：∠A?360°+2∠D=?180°，
∴2∠D=180°?∠A，
即：∠A=180°?2∠D；
②∠A=2∠D，理由如下：
∵∠DCE是△ABC的一個外角，
∴∠DCE=∠DBC+∠D，
∵BD，CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線，
∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，
∴∠A=2∠D.
【點睛】
本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理與三角形外角性質(zhì)及角平分線性質(zhì)的綜合運用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.
◎考點8：A字模型
例．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平角的概念計算即可．
【詳解】
解：，
，
，
故選：D．
【點睛】
本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應用，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2012·江蘇南通·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C＝70o，沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（）
A．360oB．250oC．180oD．140o
答案：B
【解析】
分析：
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B=110°，進而利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案．
【詳解】
解：∵△ABC中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C =110°，
∴∠1+∠2=360°-110°=250°，
故選B．
【點睛】
本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出∠A+∠B的度數(shù)是解題關(guān)鍵.
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點E，則________．
答案：61°
【解析】
分析：
先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角定義求得∠DAC+∠ACF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠EAC+∠ECA的度數(shù)，即可解答．
【詳解】
解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案為：61°．
【點睛】
本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、平角定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解答的關(guān)鍵．
變式3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為_________．
答案：
【解析】
分析：
根據(jù)平角的定義求出，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】
解：如圖
，，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】
本題考查三角形外角的性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎題．
◎考點9：8字模型
例．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
答案：D
【解析】
分析：
利用三角形的外角性質(zhì)，對頂角相等逐一判斷即可．
【詳解】
∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故選項A，B，C正確，
故選D．
【點睛】
本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式1．(2023·全國·八年級課時練習）如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
【詳解】
∵如圖可知，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
故選．
點睛：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理即三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此題難度不大．
變式2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M
（1）如圖1，當α＝90°時，∠AMD的度數(shù)為 °；
（2）如圖2，當α＝60°時，求∠AMD的度數(shù)；
（3）如圖3，當OCD繞O點任意旋轉(zhuǎn)時，∠AMD與α是否存在著確定的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請你用α表示∠AMD，并用圖3進行證明；若不確定，說明理由．
答案：（1）；（2）；（3）
【解析】
分析：
（1）如圖1，設交于，只要證明，推出，由，可得；
（2）如圖2，設交于，只要證明，推出，由，可得；
（3）如圖3，設交于，只要證明，推出，由，可得，可得；
【詳解】
解：（1）如圖1中，設交于
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為
（2）如圖2，設交于，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為
（3）如圖3，設交于，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為
【點睛】
本題考查了幾何變換綜合題，全等三角形的判定，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用“8字型”證明角相等．
變式3．（2023·山西臨汾·七年級期末）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“字形”，試說明：．
（2）如圖②，，分別平分，，若，，求的度數(shù)．
（3）如圖（3），直線平分，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________；
（4）如圖（4），直線平分的外角，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________．
答案：（1）見解析；（2）26°；（3）；（4）
【解析】
分析：
（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和對頂角的性質(zhì)即可得證；
（2）設，，解方程即可得到答案；
（3）根據(jù)直線平分，平分的外角，得到
，從而可以得到180°，再根據(jù)∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D得到即可求解；
（4）連接PB，PD根據(jù)180°，180°得到360°，同理得到：360°，再根據(jù)180°，180°，，，即可求解.
【詳解】
解：（1）180°，180°，
．
，
；
（2），分別平分，，設，，
則有，
，
（36°+16°）=26°
（3）直線平分，平分的外角，
，，
∴180°-，
∴180°
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D
∴

∴
∴180°，
即90°．
（4）連接PB，PD
直線平分的外角，平分的外角，
，，
∵180°，180°
∴360°
同理得到：360°
∴720°
∴720°
∵180°，180°
∴360°，
180°-
【點睛】
本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.
◎考點10：燕尾角模型
例．(2023·全國·八年級課時練習）模型規(guī)律：如圖1，延長交于點D，則．因為凹四邊形形似箭頭，其四角具有“”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．
模型應用
（1）直接應用：
①如圖2，，則__________；
②如圖3，__________；
（2）拓展應用：
①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點，已知，，則__________；
②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；
③如圖6，、的角平分線、交于點D，已知，則__________；
④如圖7，、的角平分線、交于點D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為__________．
答案：（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【解析】
分析：
（1）①根據(jù)題干中的等式直接計算即可；
②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計算即可；
（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計算可得；
②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入計算即可；
③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）計算可得；
④根據(jù)兩個凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個等式，聯(lián)立可得結(jié)論．
【詳解】
解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1
=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）
=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=∠BOC-（120°-50°）
=120°-35°
=85°；
②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=120°-（120°-50°）
=120°-21°
=99°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）
=180°-（∠BOC-∠C）
=180°-（120°-44°）
=142°；
④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．
【點睛】
本題主要考查了新定義—箭頭四角形，利用了三角形外角的性質(zhì)，還考查了角平分線的定義，圖形類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解箭頭四角形，并能熟練運用其性質(zhì)．
變式1．(2023·全國·八年級專題練習）如圖(1)所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
（1）觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：
①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、圖(1)XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX =__________°；
②如圖(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；（寫出解答過程）
③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，則∠A的度數(shù)=__________°．
答案：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，詳見解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70
【解析】
分析：
（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長至點F，根據(jù)一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可證∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；
②結(jié)合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結(jié)論可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由②方法，進而可得答案．
【詳解】
解：（1）連接AD并延長至點F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．
故答案是：40；
②由（1）的結(jié)論易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB
∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴設∠A為x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴(140﹣x)＋x＝77，
∴14﹣x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A為70°．
故答案是：70．
【點睛】
本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
變式2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，中，（1）若、的三等分線交于點、，請用表示、；（2）若、的等分線交于點、（、依次從下到上），請用表示，.
答案：（1），；（2），.
【解析】
分析：
（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，再根據(jù)、的三等分線交于點、，可得然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可用含表示、；
（2）根據(jù)（1）中所體現(xiàn)的規(guī)律解答即可.
【詳解】
解：（1）∵，
∴，
∵、的三等分線交于點、，
∴
∴，
；
（2）由（1）可知，
.
【點睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和定理及角的n等分線的性質(zhì).熟練應用三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.
變式3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，是的平分線，CH是的平分線，與CH交于點，若，，求的度數(shù).
答案：.
【解析】
分析：
根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出燕尾角的基本圖形的結(jié)論得出∠BDC、∠BOC，在根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出
【詳解】
解：由燕尾角的基本圖形與結(jié)論可得，
①
②
是的平分線，是的平分線
，．
①-②得，．
【點睛】
本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義．注意利用“8字形”的對應角相等求出角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．
◎考點13：角平分線和高相結(jié)合模型
例．(2023·全國·八年級）（1）如圖①，△ABC中，點D、E在邊BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：
①∠CAE的度數(shù)；
②∠DAE的度數(shù)．
（2）如圖②，若把（1）中的條件“AD⊥BC”變成“F為AE延長線上一點，且FD⊥BC”，其他條件不變，求出∠DFE的度數(shù)．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F為EA延長線上一點，F(xiàn)D⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），試猜想∠DFE的度數(shù)（用α，β表示），請自己作出對應圖形并說明理由．
答案：（1）①40°；②10°；（2）10°；（3）∠DFE＝（β﹣α），見解析
【解析】
分析：
（1）如圖1中，求出∠BAD，∠BAE，根據(jù)∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD即可解決問題．
（2）如圖2中，作AH⊥BC于H．利用（1）中結(jié)論，再證明∠DFE＝∠HAE即可．
（3）結(jié)論：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．如圖3中，作AH⊥BC于H，F(xiàn)D⊥BC于D．由∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C）推出∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），由AH∥FD，推出∠DFE＝∠HAE，即可解決問題．
【詳解】
解：（1）如圖（1）．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
而AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°；
（2）如圖2中，作AH⊥BC于H．
由（1）可知∠HAE＝10°，
∵AH∥EF，
∴∠DFE＝∠HAE＝10°
（3）結(jié)論：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．理由如下：
如圖3中，作AH⊥BC于H，F(xiàn)D⊥BC于D．
∵∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C），
∴∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）
＝（∠B﹣∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE＝∠HAE，
∴∠DFE＝（β-α）．
【點睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．三角形內(nèi)角和主要用在求三角形中角的度數(shù)．也考查了三角形外角性質(zhì)．

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