1 點與圓的位置關(guān)系
1．點和圓的三種位置關(guān)系：
由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有




【例題精選】
例1 (2023?武漢模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為坐標(biāo)原點，⊙O的半徑為10，則P（﹣10，1）與⊙O的位置關(guān)系為（ ）
A．點P在⊙O上B．點P在⊙O外C．點P在⊙O內(nèi)D．無法確定
例2 (2023秋?義烏市期末）已知⊙O與點P在同一平面內(nèi)，如果⊙O的半徑為5，線段OP的長為4，則點P（ ）
A．在⊙O上B．在⊙O內(nèi)
C．在⊙O外D．在⊙O上或在⊙O內(nèi)
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?亭湖區(qū)期末）已知⊙O的半徑為4，點P到圓心O的距離為4.5，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．P在圓內(nèi)B．P在圓上C．P在圓外D．無法確定
2直線與圓的位置關(guān)系
1．直線和圓的三種位置關(guān)系：
(1) 相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．
(2) 相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．
(3) 相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．
2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．
直線與圓的位置關(guān)系能否像點與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？
由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

【例題精選】
例1 (2023秋?新吳區(qū)期末）若直線l與半徑為5的⊙O相離，則圓心O與直線l的距離d為（ ）
A．d＜5B．d＞5C．d＝5D．d≤5
例2 (2023?硚口區(qū)模擬）平面直角坐標(biāo)系中，M點坐標(biāo)為（﹣2，3），以2為半徑畫⊙M，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．⊙M與x軸相交，與y軸相切
B．⊙M與x軸相切，與y軸相離
C．⊙M與x軸相離，與y軸相交
D．⊙M與x軸相離，與y軸相切
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?武漢模擬）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A為圓心，4.8長度為半徑的圓與直線BC的公共點的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．不能確定
2．(2023?武漢模擬）已知⊙O的半徑等于8cm，圓心O到直線l上某點的距離為8cm，則直線1與⊙O的公共點的個數(shù)為（ ）
A．0B．1或0C．0或2D．1或2
3．(2023秋?利川市期末）已知⊙O的直徑是8，直線l與⊙O有兩個交點，則圓心O到直線l的距離d滿足（ ）
A．0＜d＜4B．0≤d＜4C．0＜d≤4D．0≤d≤4

3正多邊形和圓
各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．
要點詮釋：
判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).
1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形
正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．
2.正多邊形的有關(guān)概念
(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．
(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
3.正多邊形的有關(guān)計算
(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；
(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；
(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.
【例題精選】
例1 (2023?麒麟?yún)^(qū)一模）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是36°，則這個多邊形是（ ）
A．正五邊形B．正八邊形C．正十邊形D．正十八邊形
例2 (2023?裕華區(qū)校級一模）如圖，點P是正六邊形ABCDEF內(nèi)部一個動點，AB＝1cm，則點P到這個正六邊形六條邊的距離之和為（ ）cm．
A．6B．3C．D．
【隨堂練習(xí)】
1.(2023?浦東新區(qū)二模）如果一個正多邊形的中心角等于72°，那么這個多邊形的內(nèi)角和為（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
2．(2023?和平區(qū)一模）在圓內(nèi)接正方形ABCD中，正方形的邊長AB是8，則這個正方形的中心角和邊心距是（ ）
A．90°，4B．90°，1C．45°，4D．45°，1
綜合應(yīng)用
一．選擇題
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點A，與y軸交于B、C兩點，M的坐標(biāo)為（3，5），則B的坐標(biāo)為（ ）
A．（0，5）B．（0，7）C．（0，8）D．（0，9）
2．已知⊙O的半徑為4cm．若點P到圓心O的距離為3cm，則點P（ ）
A．在⊙O內(nèi)
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定
3．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分別是AC，BC的中點，則以DE為直徑的圓與AB的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．相交C．相離D．無法確定
4．如圖，⊙O中，AC為直徑，MA，MB分別切⊙O于點A，B，∠BAC＝25°，則∠AMB的大小為（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
二．解答題
5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半徑為3，求線段AC的長
6．如圖已知AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于C點，弦CF⊥AB于E點，連結(jié)AC．
（1）探索AC滿足什么條件時，有AD⊥CD，并加以證明．
（2）當(dāng)AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面積．
7．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足＝，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的長．
8．如圖，AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上兩點，且點C為弧BF的中點，過點C作AF的垂線，交AF的延長線于點E，交AB的延長線于點D．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半徑的長．
9．如圖，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O交于點D，點E在AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，CE＝2，求△ABC的面積．
第8講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1 點與圓的位置關(guān)系
1．點和圓的三種位置關(guān)系：
由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有




【例題精選】
例1 (2023?武漢模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為坐標(biāo)原點，⊙O的半徑為10，則P（﹣10，1）與⊙O的位置關(guān)系為（ ）
A．點P在⊙O上B．點P在⊙O外C．點P在⊙O內(nèi)D．無法確定
分析：先根據(jù)勾股定理求出OP的長，再與⊙O的半徑為10相比較即可．
【解答】解：∵圓心P的坐標(biāo)為（﹣10，1），
∴OP＝/＝．
∵⊙O的半徑為10，
∴＞10，
∴點P在⊙O外．
故選：B．
【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
例2 (2023秋?義烏市期末）已知⊙O與點P在同一平面內(nèi)，如果⊙O的半徑為5，線段OP的長為4，則點P（ ）
A．在⊙O上B．在⊙O內(nèi)
C．在⊙O外D．在⊙O上或在⊙O內(nèi)
分析：直接根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進行判斷．
【解答】解：∵⊙O的半徑是5，線段OP的長為4，
即點P到圓心的距離小于圓的半徑，
∴點P在⊙O內(nèi)．
故選：B．
【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?亭湖區(qū)期末）已知⊙O的半徑為4，點P到圓心O的距離為4.5，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．P在圓內(nèi)B．P在圓上C．P在圓外D．無法確定
【解答】解：∵r＝4，d＝4.5，
∴d＞r，
∴點P在⊙O外．
故選：C．
2直線與圓的位置關(guān)系
1．直線和圓的三種位置關(guān)系：
(1) 相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．
(2) 相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．
(3) 相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．
2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．
直線與圓的位置關(guān)系能否像點與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？
由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

【例題精選】
例1 (2023秋?新吳區(qū)期末）若直線l與半徑為5的⊙O相離，則圓心O與直線l的距離d為（ ）
A．d＜5B．d＞5C．d＝5D．d≤5
分析：直接根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論即可．
【解答】解：∵直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離，
∴d＞r，
∴r＝5，
∴d＞5，
故選：B．
【點評】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)d＞r時，直線l和⊙O相離是解答此題的關(guān)鍵．
例2 (2023?硚口區(qū)模擬）平面直角坐標(biāo)系中，M點坐標(biāo)為（﹣2，3），以2為半徑畫⊙M，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．⊙M與x軸相交，與y軸相切
B．⊙M與x軸相切，與y軸相離
C．⊙M與x軸相離，與y軸相交
D．⊙M與x軸相離，與y軸相切
分析：根據(jù)M點坐標(biāo)為（﹣2，3），求得點M到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵M點坐標(biāo)為（﹣2，3），
∴點M到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，
∵⊙P的半徑為2，
∴圓心M到x軸的距離大于半徑，到y(tǒng)軸的距離等于半徑，
故⊙M與x軸相離，與y軸相切，
故選：D．
【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?武漢模擬）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A為圓心，4.8長度為半徑的圓與直線BC的公共點的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．不能確定
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∴斜邊上的高為：＝4.8，
∴d＝4.8cm＝r＝4.8cm，
∴圓與該直線AB的位置關(guān)系是相切，交點個數(shù)為1，
故選：B．
2．(2023?武漢模擬）已知⊙O的半徑等于8cm，圓心O到直線l上某點的距離為8cm，則直線1與⊙O的公共點的個數(shù)為（ ）
A．0B．1或0C．0或2D．1或2
【解答】解：∵⊙O的半徑等于8cm，圓心O到直線l的距離為8cm，
即圓心O到直線l的距離小于或等于圓的半徑，
∴直線l和⊙O相切或相交，
∴直線l與⊙O公共點的個數(shù)為1或2．
故選：D．
3．(2023秋?利川市期末）已知⊙O的直徑是8，直線l與⊙O有兩個交點，則圓心O到直線l的距離d滿足（ ）
A．0＜d＜4B．0≤d＜4C．0＜d≤4D．0≤d≤4
【解答】解：∵⊙O的直徑為8，
∴⊙O的半徑為4，
∵直線L與⊙O相交，
∴圓心到直線的距離小于圓的半徑，
即0≤d＜4．
故選：B．

3正多邊形和圓
各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．
要點詮釋：
判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).
1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形
正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．
2.正多邊形的有關(guān)概念
(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．
(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
3.正多邊形的有關(guān)計算
(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；
(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；
(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.
【例題精選】
例1 (2023?麒麟?yún)^(qū)一模）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是36°，則這個多邊形是（ ）
A．正五邊形B．正八邊形C．正十邊形D．正十八邊形
分析：一個正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度數(shù)，就得到中心角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：由題意可得：
邊數(shù)為360°÷36°＝10，
則這個多邊形是正十邊形．
故選：C．
【點評】本題考查了正多邊形和圓，根據(jù)多邊形中心角的個數(shù)與邊數(shù)之間的關(guān)系解題．
例2 (2023?裕華區(qū)校級一模）如圖，點P是正六邊形ABCDEF內(nèi)部一個動點，AB＝1cm，則點P到這個正六邊形六條邊的距離之和為（ ）cm．
A．6B．3C．D．
分析：根據(jù)題意可得動點P到這個正六邊形六條邊的距離之和，即為當(dāng)點P為正六邊形的中心時，點P到六條邊的距離之和，即可解答．
【解答】解：如圖，當(dāng)點P是正六邊形的中心時，
連接PB、PC，過點P作PH⊥BC于點H，延長HP交EF于點G，
則點P到這個正六邊形六條邊的距離之和即為6PH的長．
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知：
△BPC是等邊三角形，
∴∠BPC＝60°，
∵PH⊥BC，
∴∠BPH＝30°，BH＝BC＝（cm），
∴PH＝（cm），
∴6PH＝3（cm）．
∴點P到這個正六邊形六條邊的距離之和為3cm．
故選：C．
【點評】本題考查了正多邊形和圓，解決本題的關(guān)鍵是理解點P到這個正六邊形六條邊的距離之和即為當(dāng)點P為正六邊形的中心到六條邊的距離之和．
【隨堂練習(xí)】
1.(2023?浦東新區(qū)二模）如果一個正多邊形的中心角等于72°，那么這個多邊形的內(nèi)角和為（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【解答】解：這個多邊形的邊數(shù)是360÷72＝5，
所以內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°
故選：B．
2．(2023?和平區(qū)一模）在圓內(nèi)接正方形ABCD中，正方形的邊長AB是8，則這個正方形的中心角和邊心距是（ ）
A．90°，4B．90°，1C．45°，4D．45°，1
【解答】解：∵正方形的邊長為8，
由中心角只有四個可得出＝90°，
∴中心角是90°，
正方形的外接圓半徑是：sin∠AOC＝，
∵AC＝＝4，∠AOC＝45°，
∴OC＝AC＝4，
∴邊心距為：4．
故選：A．
綜合應(yīng)用
一．選擇題
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于點A，與y軸交于B、C兩點，M的坐標(biāo)為（3，5），則B的坐標(biāo)為（ ）
A．（0，5）B．（0，7）C．（0，8）D．（0，9）
【解答】解：過M作MN⊥y軸，連接BM，
∵圓M與x軸相切，M（3，5），
∴ON＝AM＝5，MN＝3，
設(shè)BC＝x，則BN＝OB﹣ON＝x﹣5，BM＝AM＝5，
在Rt△BMN中，
根據(jù)勾股定理得：52＝32+（x﹣5）2，
解得：x＝9（x＝1不符合題意，舍去），
則B（0，9），
故選：D．
2．已知⊙O的半徑為4cm．若點P到圓心O的距離為3cm，則點P（ ）
A．在⊙O內(nèi)
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定
【解答】解：∵點P到圓心的距離為3cm，
而⊙O的半徑為4cm，
∴點P到圓心的距離小于圓的半徑，
∴點P在圓內(nèi)，
故選：A．
3．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分別是AC，BC的中點，則以DE為直徑的圓與AB的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．相交C．相離D．無法確定
【解答】解：過點C作CM⊥AB于點M，交DE于點N，
∴CM×AB＝AC×BC，
∴CM＝＝4.8，
∵D、E分別是AC、BC的中點，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∴CN＝MN＝CM，
∴MN＝2.4，
∵以DE為直徑的圓半徑為2.5，
∴r＝2.5＞2.4，
∴以DE為直徑的圓與AB的位置關(guān)系是：相交．
故選：B．
4．如圖，⊙O中，AC為直徑，MA，MB分別切⊙O于點A，B，∠BAC＝25°，則∠AMB的大小為（ ）
A．25°B．30°C．45°D．50°
【解答】解：∵MA切⊙O于點A，
∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，
∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，
∵MA、MB分別切⊙O于點A、B，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠MBA，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，
故選：D．
二．解答題
5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半徑為3，求線段AC的長
【解答】（1）證明：連接CO，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴CO∥AD，
∴CO⊥CD，
∴DC為⊙O的切線；
（2）連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAB＝30°，
∵⊙O的半徑為3，
∴AB＝6，
∴AC＝AB＝3．
6．如圖已知AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于C點，弦CF⊥AB于E點，連結(jié)AC．
（1）探索AC滿足什么條件時，有AD⊥CD，并加以證明．
（2）當(dāng)AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面積．
【解答】（1）當(dāng)AC滿足平分∠BAD條件時，有AD⊥CD，
證明：連接BC，
則∠ACB＝90°，即∠ABC+∠BAC＝90°，
∵CD是圓O的切線，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
即∠ADC＝90°，AD⊥CD；
（2）解：連結(jié)OC、OF．
∵CD切⊙O于C點，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠DAC．
∴AC平分∠BAD，
∴CD＝CE，
∵OA＝5，CD＝4，
∴OC＝OA＝5，CE＝4，
∵CF⊥AB，
∴CF＝2CEOE＝＝＝3，
∴CF＝2×4＝8CF×OE÷2＝8×3÷2＝12，
故△OCF面積為12cm2．
7．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足＝，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的長．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵＝，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于點C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC＝30°，
∵△AEC為直角三角形，AE＝3，
∴AC＝2，
連接OF，
∵OF＝OA，∠OAF＝∠BAC+∠EAC＝60°，
∴△OAF為等邊三角形，
∴AF＝OA＝AB，
在Rt△ACB中，AC＝2，∠CBA＝60°，
∴AB＝＝＝4，
∴AF＝2．
8．如圖，AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上兩點，且點C為弧BF的中點，過點C作AF的垂線，交AF的延長線于點E，交AB的延長線于點D．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半徑的長．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵點C為弧BF的中點，
∴弧BC＝弧CF．∴∠BAC＝∠FAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．
（2）解：由勾股定理得AD＝5，
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∠D＝∠D，
∴△OCD∽△AED，
∴，
即，
解得r＝，
∴⊙O的半徑長為．
9．如圖，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O交于點D，點E在AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，CE＝2，求△ABC的面積．
【解答】解：（1）
連接OD．
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB＝90°
∴∠B+∠BAD＝90°
∵AO＝DO
∴∠BAD＝∠ADO
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADO+∠ADE＝∠BAD+∠B＝90°，
即∠ODE＝90°．
∴OD⊥DE
∵OD是⊙O的半徑
∴DE是⊙O的切線．
（2）由（1）知，∠ADB＝90°．
∴AD⊥BC
∵AB＝AC
∴AD是△ABC的中線
∴點D是BC的中點
又∵OB＝OA
∴DO是△ABC的中位線
∵⊙O的半徑為5
∴AC＝2DO＝10
∵CE＝2
∴AE＝AC﹣CE＝8
∵DO是△ABC的中位線
∴DO∥AC
∴∠EDO+∠AED＝180°
∴∠AED＝90°
∴∠AED＝∠DEC＝90°
∴∠EDC+∠C＝90°
∵ADC＝180°﹣∠ADB＝90°
∴∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠C
∵∠AED＝∠DEC，∠ADE＝∠C
∴△AED～△DEC
∴即
∴DE＝4
∴S△ADC＝AC?DE＝20
∵AD是△ABC的中線
∴S△ABC＝2S△ADC＝40

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