1 弧長的計算
弧長公式:半徑為R的圓中
360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：
n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)
要點(diǎn)詮釋：
(1)對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；
(3)弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
【例題精選】
例1(2023?寧波模擬）掛鐘的分針長10cm，經(jīng)過45分鐘，它的針尖經(jīng)過的路程是（ ）
A．cmB．15πcmC．cmD．75πcm
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?樂清市一模）若扇形的弧長是5π，半徑是18，則該扇形的圓心角是（ ）
A．50°B．60°C．100°D．120°
2．(2023?海曙區(qū)模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝30，點(diǎn)C在⊙O上，∠A＝24°，則的長為（ ）
A．9πB．10πC．11πD．12π
2扇形面積的計算
1.扇形的定義
由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.
2.扇形面積公式
半徑為R的圓中
360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：
n°的圓心角所對的扇形面積公式：
要點(diǎn)詮釋：
(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，
即；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.
【例題精選】
例1(2023?鐵嶺一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△A′B′C′的位置，則邊BA掃過的面積是（ ）
A．B．C．D．
例2(2023?花都區(qū)一模）扇形的弧長為10πcm，面積為120πcm2，則扇形的半徑是（ ）
A．12cmB．24cmC．28cmD．30cm
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?玉田縣一模）三個正方形方格在扇形中的位置如圖所示，點(diǎn)O為扇形的圓心，格點(diǎn)A，B，C分別在扇形的兩條半徑和弧上，已知每個方格的邊長為1，則扇形EOF的面積為（ ）
A．πB．πC．πD．π
2．(2023?富寧縣模擬）如圖，∠ACB是⊙O的圓周角，若⊙O的半徑為10，∠ACB＝45°，則扇形AOB的面積為（ ）
A．5πB．12.5πC．20πD．25π
3圓錐的計算
圓錐的側(cè)面積和全面積
連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.
圓錐的母線長為，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則
圓錐的側(cè)面積，
圓錐的全面積.
要點(diǎn)詮釋：
扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.
【例題精選】
例1(2023?張家港市模擬）如圖，糧倉的頂部是圓錐形狀，這個圓錐底面的半徑長為3m，母線長為6m，為防止雨水，需在糧倉頂部鋪上油氈，如果油氈的市場價是每平方米10元錢，那么購買油氈所需要的費(fèi)用是（ ）
A．540π元B．360π元C．180π元D．90π元
例2(2023?長沙模擬）若圓錐的高為4cm，母線長為5cm，則圓錐的全面積為（ ）
A．15πcm2B．20πcm2C．24πcm2D．36πcm2
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?慈溪市模擬）如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD＝4，AB＝7，AB⊥BC，CD⊥BC．把四邊形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)一周，則該幾何體的表面積為（ ）
A．48πB．56πC．68πD．72π
2．(2023?南通二模）已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長為4cm，則圓錐的側(cè)面積是（ ）
A．10 cm2B．10πcm2C．8 cm2D．8πcm2
3．(2023?西山區(qū)一模）圓錐的表面展開圖由一個扇形和一個圓組成，已知圓的周長為20π，扇形的圓心角為120°，則圓錐的全面積為（ ）
A．400πB．500πC．600πD．700π
4．(2023?溫嶺市一模）如圖物體由兩個圓錐組成．其主視圖中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，則上下兩圓錐的側(cè)面積之比為（ ）
A．1：2B．1：C．2：3D．1：
綜合應(yīng)用
一．選擇題
1．已知扇形的圓心角為120°，半徑長為3，則該扇形的面積為（ ）
A．2πB．3πC．6πD．12π
2．已知一個圓錐的底面半徑為5cm，高為cm，則這個圓錐的表面積為（ ）
A．5πcm2B．30πcm2C．55πcm2D．85πcm2
3．若一個圓錐的母線長為6cm，它的側(cè)面展開圖是半圓，則這個圓錐的底面半徑為（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．6cm
4．在半徑為1的圓中，圓心角為120°所對的弧長是（ ）
A．B．C．D．
二．解答題
5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別是a厘米和b厘米，圖中陰影部分是由BF、BC和弧CF圍成，求陰影部分的面積．
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓，交AC于E點(diǎn)，交BC于D點(diǎn)．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求陰影部分的面積；
（2）當(dāng)∠A為銳角時，試說明∠A與∠CBE的關(guān)系．
7．如圖，圖中圓O的周長為8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD為45度，求圖中陰影部分（即扇形AOD）的面積．（結(jié)果保留π）
8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求陰影部分的面積．
第9講與圓有關(guān)的計算
1 弧長的計算
弧長公式:半徑為R的圓中
360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：
n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)
要點(diǎn)詮釋：
(1)對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；
(3)弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
【例題精選】
例1(2023?寧波模擬）掛鐘的分針長10cm，經(jīng)過45分鐘，它的針尖經(jīng)過的路程是（ ）
A．cmB．15πcmC．cmD．75πcm
分析：先求出經(jīng)過45分鐘分針的針尖轉(zhuǎn)過的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式l＝，求得弧長
【解答】解：∵分針經(jīng)過60分鐘，轉(zhuǎn)過360°，
∴經(jīng)過45分鐘轉(zhuǎn)過270°，
則分針的針尖轉(zhuǎn)過的弧長是l＝＝＝15π（cm）．
故選：B．
【點(diǎn)評】主要考查了圓周的弧長公式和鐘表上分針?biāo)哌^的角度與時間之間的關(guān)系．弧長公式為l＝，需要注意的是求弧長需要知道圓心角的度數(shù)和半徑；分針1分鐘走過的角度為6°
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?樂清市一模）若扇形的弧長是5π，半徑是18，則該扇形的圓心角是（ ）
A．50°B．60°C．100°D．120°
【解答】解：∵扇形的弧長，
∴5π＝，
∴n＝50，
∴該扇形的圓心角是50°．
故選：A．
2．(2023?海曙區(qū)模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝30，點(diǎn)C在⊙O上，∠A＝24°，則的長為（ ）
A．9πB．10πC．11πD．12π
【解答】解：連接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝24°，
∴∠AOC＝180°﹣24°×2＝132°，
∴的長＝＝11π，
故選：C．
2扇形面積的計算
1.扇形的定義
由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.
2.扇形面積公式
半徑為R的圓中
360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：
n°的圓心角所對的扇形面積公式：
要點(diǎn)詮釋：
(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，
即；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.
【例題精選】
例1(2023?鐵嶺一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△A′B′C′的位置，則邊BA掃過的面積是（ ）
A．B．C．D．
分析：根據(jù)題意，可以得到AB的長，然后根據(jù)扇形面積公式，即可得到邊BA掃過的面積．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2，
∵△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△A′B′C′的位置，
∴邊BA掃過的面積是：＝，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的計算、含30度角的直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用扇形的面積公式解答．
例2(2023?花都區(qū)一模）扇形的弧長為10πcm，面積為120πcm2，則扇形的半徑是（ ）
A．12cmB．24cmC．28cmD．30cm
分析：根據(jù)扇形面積公式和扇形的弧長公式之間的關(guān)系：S扇形＝lr，把對應(yīng)的數(shù)值代入即可求得半徑r的長．
【解答】解：∵S扇形＝lr，
∴120π＝?10π?r，
∴r＝24（cm）；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了扇形面積和弧長公式之間的關(guān)系，解此類題目的關(guān)鍵是掌握住扇形面積公式和扇形的弧長公式之間的等量關(guān)系：S扇形＝lr．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?玉田縣一模）三個正方形方格在扇形中的位置如圖所示，點(diǎn)O為扇形的圓心，格點(diǎn)A，B，C分別在扇形的兩條半徑和弧上，已知每個方格的邊長為1，則扇形EOF的面積為（ ）
A．πB．πC．πD．π
【解答】解：連接OC，
由勾股定理得：OC＝＝，
由正方形的性質(zhì)得：∠EOB＝45°，
所以扇形EOF的面積為：＝π，
故選：A．
2．(2023?富寧縣模擬）如圖，∠ACB是⊙O的圓周角，若⊙O的半徑為10，∠ACB＝45°，則扇形AOB的面積為（ ）
A．5πB．12.5πC．20πD．25π
【解答】解：∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵半徑為10，
∴扇形AOB的面積為：＝25π，
故選：D．
3圓錐的計算
圓錐的側(cè)面積和全面積
連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.
圓錐的母線長為，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則
圓錐的側(cè)面積，
圓錐的全面積.
要點(diǎn)詮釋：
扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.
【例題精選】
例1(2023?張家港市模擬）如圖，糧倉的頂部是圓錐形狀，這個圓錐底面的半徑長為3m，母線長為6m，為防止雨水，需在糧倉頂部鋪上油氈，如果油氈的市場價是每平方米10元錢，那么購買油氈所需要的費(fèi)用是（ ）
A．540π元B．360π元C．180π元D．90π元
分析：圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2．算出側(cè)面積后乘以單價即可．
【解答】解：底面半徑為3m，則底面周長＝6π，側(cè)面面積＝×6π×6＝18π（m2）．
所需要的費(fèi)用＝18π×10＝180π（元），
故選：C．
【點(diǎn)評】本題利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式并正確的運(yùn)用，難度不大．
例2(2023?長沙模擬）若圓錐的高為4cm，母線長為5cm，則圓錐的全面積為（ ）
A．15πcm2B．20πcm2C．24πcm2D．36πcm2
分析：根據(jù)勾股定理求出圓錐的底面半徑，根據(jù)扇形面積公式計算即可．
【解答】解：圓錐的底面半徑＝＝3，
∴圓錐的全面積＝π×32+×2π×3×5＝24π（cm2）
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓錐的計算，掌握圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長是解題的關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?慈溪市模擬）如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD＝4，AB＝7，AB⊥BC，CD⊥BC．把四邊形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)一周，則該幾何體的表面積為（ ）
A．48πB．56πC．68πD．72π
【解答】解：作DE⊥AB于點(diǎn)E，
把四邊形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成一個下面是圓柱，上面是圓錐的幾何圖形，
圓柱的高CD＝4，底面半徑BC＝4，圓錐的母線長AD＝＝＝5，
∴該幾何體的表面積為πRl+2πRh+πR2＝π×4×5+2π×4×4+π×16＝68π，
故選：C．
2．(2023?南通二模）已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長為4cm，則圓錐的側(cè)面積是（ ）
A．10 cm2B．10πcm2C．8 cm2D．8πcm2
【解答】解：底面圓的半徑為2cm，則底面周長＝4πcm，側(cè)面面積＝×4π×4＝8π（cm2）．
故選：D．
3．(2023?西山區(qū)一模）圓錐的表面展開圖由一個扇形和一個圓組成，已知圓的周長為20π，扇形的圓心角為120°，則圓錐的全面積為（ ）
A．400πB．500πC．600πD．700π
【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，
根據(jù)題意得2πr＝20π，解得r＝10，
20π＝，解得l＝30，
所以圓錐的全面積＝π×102+×20π×30＝400π．
故選：A．
4．(2023?溫嶺市一模）如圖物體由兩個圓錐組成．其主視圖中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，則上下兩圓錐的側(cè)面積之比為（ ）
A．1：2B．1：C．2：3D．1：
【解答】解：設(shè)BD＝2r，
∵AB＝AD，∠A＝90°，
∴AB＝r，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
∴BC＝BD＝2r，
∴上下兩圓錐的側(cè)面積之比＝（×2πr×r）：（×2πr×2r）＝1：．
故選：D．
綜合應(yīng)用
一．選擇題
1．已知扇形的圓心角為120°，半徑長為3，則該扇形的面積為（ ）
A．2πB．3πC．6πD．12π
【解答】解：S扇形＝＝3π，
故選：B．
2．已知一個圓錐的底面半徑為5cm，高為cm，則這個圓錐的表面積為（ ）
A．5πcm2B．30πcm2C．55πcm2D．85πcm2
【解答】解：底面周長是2×5π＝10πcm，底面積是：52π＝25πcm2．
母線長是：＝6（cm），
則圓錐的側(cè)面積是：×10π×6＝30π（cm2），
則圓錐的表面積為25π+30π＝55π（cm2）．
故選：C．
3．若一個圓錐的母線長為6cm，它的側(cè)面展開圖是半圓，則這個圓錐的底面半徑為（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．6cm
【解答】解：設(shè)圓錐底面半徑為rcm，
那么圓錐底面圓周長為2πrcm，
所以側(cè)面展開圖的弧長為2πrcm，
S圓錐側(cè)面積＝×2πr×6＝，
解得：r＝3，
故選：C．
4．在半徑為1的圓中，圓心角為120°所對的弧長是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：120°的圓心角所對的弧長＝＝．
故選：A．
二．解答題
5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別是a厘米和b厘米，圖中陰影部分是由BF、BC和弧CF圍成，求陰影部分的面積．
【解答】解：連接CF，
則陰影部分的面積＝S△BCF+S扇形CGF﹣S△CGF＝ab+πb2﹣b2＝．
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓，交AC于E點(diǎn)，交BC于D點(diǎn)．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求陰影部分的面積；
（2）當(dāng)∠A為銳角時，試說明∠A與∠CBE的關(guān)系．
【解答】解：（1）如圖，連接OE，
∵∠C＝60°，AB＝AC，
∴∠BAC＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴∠OBE＝30°，
∵AB＝8，
∴OB＝4，
∴S陰影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BEA＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∴∠CAB＝2∠EBC．
7．如圖，圖中圓O的周長為8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD為45度，求圖中陰影部分（即扇形AOD）的面積．（結(jié)果保留π）
【解答】解：設(shè)圓O的半徑為r
由題意：2?π?r＝8π，
∴r＝4，
∵S△AOB＝?OA?OB＝?AB?OC，
∴OA2＝8×4＝32，
∴S扇形OAD＝＝4π．
8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求陰影部分的面積．
【解答】解：連接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝（垂徑定理），
故S△OCE＝S△ODE，
∴S陰＝S扇形OBD，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°（圓周角定理），
∴OC＝2，
故S扇形OBD＝＝，即陰影部分的面積為．

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