1 圓的認識
1. 圓的定義
(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.
2.圓的性質(zhì)
①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；
②圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經(jīng)過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.
3.兩圓的性質(zhì)
兩個圓組成的圖形是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線）.
4. 弦
弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.
直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

證明：連結(jié)OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當(dāng)且僅當(dāng)CD過圓心O時，取“=”號)
∴直徑AB是⊙O中最長的弦.
5. 弧
?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；
劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.
5.同心圓與等圓
圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.
圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
6.等弧
在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
【例題精選】
例1 (2023秋?長興縣期中）已知AB是直徑為10的圓的一條弦，則AB的長度不可能是（ ）
A．2B．5C．9D．11
例2(2023秋?江城區(qū)期中）如圖，圖中的弦共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
例3. (2023秋?江都區(qū)期中）自行車車輪要做成圓形，實際上是根據(jù)圓的以下哪個特征（ ）
A．圓是軸對稱圖形
B．圓是中心對稱圖形
C．圓上各點到圓心的距離相等
D．直徑是圓中最長的弦
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?濱?？h期中）到定點的距離等于定長的點的集合是（ ）
A．圓的外部B．圓的內(nèi)部
C．圓D．圓的內(nèi)部和圓
2．(2023?嘉定區(qū)一模）已知點C在線段AB上（點C與點A、B不重合），過點A、B的圓記作為圓O1，過點B、C的圓記作為圓O2，過點C、A的圓記作為圓O3，則下列說法中正確的是（ ）
A．圓O1可以經(jīng)過點CB．點C可以在圓O1的內(nèi)部
C．點A可以在圓O2的內(nèi)部D．點B可以在圓O3的內(nèi)部
3．(2023?資中縣一模）下列說法中，不正確的是（ ）
A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
B．圓有無數(shù)條對稱軸
C．圓的每一條直徑都是它的對稱軸
D．圓的對稱中心是它的圓心

2垂徑定理
1.垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
2.推論
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

要點詮釋：
(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.
注意：根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：
平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；
弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；
平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
【例題精選】
例1(2023秋?鐵西區(qū)期末）如圖，在半徑為10cm的圓形鐵片上切下一塊高為4cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為_________．
例2(2023?新賓縣二模）如圖，在⊙O中，直徑EF⊥CD，垂足為M，若CD＝2，EM＝4，則⊙O的半徑為________．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?江津區(qū)期末）如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為P，若⊙O的半徑為5cm，AB＝8cm，則PD的長為______cm．
2．(2023?順義區(qū)二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中，畫出了一個過格點A，B的圓，通過測量、計算，求得該圓的周長是_______cm．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
3．(2023秋?開福區(qū)校級期末）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足為點P，則OP的長為______．
4．(2023?拱墅區(qū)校級模擬）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CE＝2，DE＝6，則AD＝_________．

3弦、弧、圓心角的關(guān)系
1.圓心角定義
如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．

2.定理：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
3.推論：
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．
【例題精選】
例1(2023秋?吳興區(qū)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，則⊙O的半徑為（ ）
A．B．C．D．
例2(2023?瀘縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D分別是⊙O上的兩點，OC⊥OD，AC＝2cm，BD＝cm，則⊙O的半徑是（ ）
A．cmB．2cmC．cmD．3cm
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?天心區(qū)校級期中）下列說法正確的是（ ）
A．等弧所對的弦相等
B．平分弦的直徑垂直弦并平分弦所對的弧
C．相等的弦所對的圓心角相等
D．相等的圓心角所對的弧相等
2．(2023秋?福田區(qū)期末）下圖中∠ACB是圓心角的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023秋?鞍山期末）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，則下列說法中正確的是（ ）
A．AD＝2OBB．點B是劣弧CD的中點
C．OE＝EBD．點D是AB弧中點
4．(2023秋?江陰市校級期中）有下列說法：①直徑是圓中最長的弦；②等弧所對的弦相等；③圓中90°的角所對的弦是直徑；④相等的圓心角對的弧相等．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
4圓周角定理
1.圓周角定義：
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3.圓周角定理的推論：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
【例題精選】
例1(2023?平邑縣一模）如圖，AB是⊙O直徑，若∠AOC＝140°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．70°
例2 (2023?南崗區(qū)校級二模）如圖，在⊙O中，點A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，則∠α＝（ ）
A．70°B．110°C．120°D．140°
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?涪城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上．若∠ACD＝25°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
2．(2023?富順縣校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）
A．34°B．46°C．56°D．66°
3．(2023秋?定州市期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝40°，則∠A的大小為（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
4．(2023?武漢模擬）如圖，AB為⊙O直徑，已知圓周角∠BCD＝30°，則∠ABD為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．(2023秋?香坊區(qū)期末）如圖，⊙O中，∠ABC＝45°，則∠AOC等于（ ）
A．55°B．80°C．90°D．135°

綜合練習(xí)
一．選擇題
1．如圖，AB、BC為⊙O的兩條弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，則∠ABC的度數(shù)為（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
2．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AO⊥BC，垂足為點E，若∠ADC＝130°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
3．如圖，在圓O中，點A、B、C在圓上，∠OAB＝50°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如圖，已知∠AOB是⊙O的圓心角，∠AOB＝50°，則圓周角∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
5．如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝4：5，則AB的長為（ ）
A．6B．7C．8D．9
二．解答題
6．如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為點C，交⊙O于點D，點E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度數(shù)；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的長．
7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度數(shù)．
8．如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度數(shù)．
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E為的中點，CE交AB于點H，且AH＝AC，AF平分線∠CAH．
（1）求證：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的長．
第7講 圓的認識
1 圓的認識
1. 圓的定義
(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.
2.圓的性質(zhì)
①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；
②圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經(jīng)過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.
3.兩圓的性質(zhì)
兩個圓組成的圖形是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線）.
4. 弦
弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.
直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

證明：連結(jié)OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當(dāng)且僅當(dāng)CD過圓心O時，取“=”號)
∴直徑AB是⊙O中最長的弦.
5. 弧
弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)?。?br> 劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.
5.同心圓與等圓
圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.
圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
6.等弧
在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
【例題精選】
例1 (2023秋?長興縣期中）已知AB是直徑為10的圓的一條弦，則AB的長度不可能是（ ）
A．2B．5C．9D．11
分析：根據(jù)圓中最長的弦為直徑求解．
【解答】解：因為圓中最長的弦為直徑，
所以弦長L≤10．
故選：D．
【點評】本題考查了圓的認識，在本題中，圓的弦長的取值范圍0＜L≤10．
例2(2023秋?江城區(qū)期中）如圖，圖中的弦共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
分析：根據(jù)弦的定義解答即可．
【解答】解：圖形中有弦AB和弦CD，共2條，
故選：B．
【點評】考查了圓的認識，解題的關(guān)鍵是了解弦的定義，難度不大．
例3. (2023秋?江都區(qū)期中）自行車車輪要做成圓形，實際上是根據(jù)圓的以下哪個特征（ ）
A．圓是軸對稱圖形
B．圓是中心對稱圖形
C．圓上各點到圓心的距離相等
D．直徑是圓中最長的弦
分析：利用車輪中心與地面的距離保持不變，坐車的人感到非常平穩(wěn)進行判斷．
【解答】解：因為圓上各點到圓心的距離相等，
所以車輪中心與地面的距離保持不變，坐車的人感到非常平穩(wěn)，
所以自行車車輪要做成圓形．
故選：C．
【點評】本題考查了圓的認識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?濱海縣期中）到定點的距離等于定長的點的集合是（ ）
A．圓的外部B．圓的內(nèi)部
C．圓D．圓的內(nèi)部和圓
【解答】解：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．
故選：C．
2．(2023?嘉定區(qū)一模）已知點C在線段AB上（點C與點A、B不重合），過點A、B的圓記作為圓O1，過點B、C的圓記作為圓O2，過點C、A的圓記作為圓O3，則下列說法中正確的是（ ）
A．圓O1可以經(jīng)過點CB．點C可以在圓O1的內(nèi)部
C．點A可以在圓O2的內(nèi)部D．點B可以在圓O3的內(nèi)部
【解答】解：∵點C在線段AB上（點C與點A、B不重合），過點A、B的圓記作為圓O1，
∴點C可以在圓O1的內(nèi)部，故A錯誤，B正確；
∵過點B、C的圓記作為圓O2，
∴點A可以在圓O2的外部，故C錯誤；
∵過點C、A的圓記作為圓O3，
∴點B可以在圓O3的外部，故D錯誤．
故選：B．
3．(2023?資中縣一模）下列說法中，不正確的是（ ）
A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
B．圓有無數(shù)條對稱軸
C．圓的每一條直徑都是它的對稱軸
D．圓的對稱中心是它的圓心
【解答】解：A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確；
B．圓有無數(shù)條對稱軸，正確；
C．圓的每一條直徑所在直線都是它的對稱軸，此選項錯誤；
D．圓的對稱中心是它的圓心，正確；
故選：C．

2垂徑定理
1.垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
2.推論
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

要點詮釋：
(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.
注意：根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：
平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；
弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br>平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
【例題精選】
例1(2023秋?鐵西區(qū)期末）如圖，在半徑為10cm的圓形鐵片上切下一塊高為4cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為_________．
分析：首先構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的長，進而根據(jù)垂徑定理得出答案．
【解答】解：如圖，過O作OD⊥AB于C，交⊙O于D
∵CD＝4，OD＝10，
∴OC＝6，
又∵OB＝10，
∴Rt△BCO中，BC＝＝8，
∴AB＝2BC＝16．
故答案為：16cm．
【點評】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，得出AC的長是解題關(guān)鍵．
例2(2023?新賓縣二模）如圖，在⊙O中，直徑EF⊥CD，垂足為M，若CD＝2，EM＝4，則⊙O的半徑為________．
分析：根據(jù)垂徑定理求出CM，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：設(shè)⊙O的半徑為R，
∵EM＝4，
∴OC＝R，OM＝4﹣R，
∵直徑EF⊥CD，垂足為M，CD＝2，
∴∠OMC＝90°，CM＝DM＝1，
由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
即R2＝（4﹣R）2+12，
解得：R＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了勾股定理和垂徑定理，能構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?江津區(qū)期末）如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為P，若⊙O的半徑為5cm，AB＝8cm，則PD的長為______cm．
【解答】解：連結(jié)OA，
∵CD⊥AB，
∴∠APO＝90°，PA＝PB＝，
在Rt△OAP中，OP2+PA2＝OA2，
∴OP2+42＝52，
解得OP＝3，
∴PD＝OD﹣OP＝5﹣3＝2（cm）
故答案為2．
2．(2023?順義區(qū)二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中，畫出了一個過格點A，B的圓，通過測量、計算，求得該圓的周長是_______cm．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
【解答】解：由垂徑定理可知，圓的圓心在點O處，連接OA，
由勾股定理得，OA＝＝，
∴圓的周長＝2π≈8.9，
故答案為：8.9．
3．(2023秋?開福區(qū)校級期末）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足為點P，則OP的長為______．
【解答】解：連接AO，
∵AB＝6，OP⊥AB，
∴AP＝3，
∵AO＝5，
∴OP＝＝＝4．
故答案為：4．
4．(2023?拱墅區(qū)校級模擬）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CE＝2，DE＝6，則AD＝_________．
【解答】解：
∵CE＝2，DE＝6，
∴CD＝DE+CE＝8，
∴OD＝OB＝OC＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，
∵CD⊥AB，CD過O，
∴AE＝BE＝2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，
故答案為：4．

3弦、弧、圓心角的關(guān)系
1.圓心角定義
如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．

2.定理：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
3.推論：
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．
【例題精選】
例1(2023秋?吳興區(qū)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，則⊙O的半徑為（ ）
A．B．C．D．
分析：作半徑OE⊥AB，連接DE，作BF⊥DE于F，如圖，利用等角的余角相等得到∠DOE＝∠AOC，則DE＝AC＝2，利用三角形內(nèi)角和可計算出∠BDE＝135°，所以∠BDF＝45°，從而可計算出DF＝BF＝2，利用勾股定理計算出BE＝2，然后根據(jù)△BOE為等腰直角三角形可得到OB的長．
【解答】解：作半徑OE⊥AB，連接DE，作BF⊥DE于F，如圖，
∵∠DOC＝90°，∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠AOC，
∴DE＝AC＝2，
∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠BDF＝45°，
∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，
在Rt△BEF，BE＝＝2，
∵△BOE為等腰直角三角形，
∴OB＝×2＝．
故選：D．
【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
例2(2023?瀘縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D分別是⊙O上的兩點，OC⊥OD，AC＝2cm，BD＝cm，則⊙O的半徑是（ ）
A．cmB．2cmC．cmD．3cm
分析：過點O作OE⊥AB，與圓交于點E，過點D作DH⊥BC于點H，過點E作EG⊥CB于點G，連接CE、DE、BC．先證明四邊形EDBC為等腰梯形，由BD＝，∠CBD＝45°，∠BDH＝45°，得到HB＝HD＝1，同理EG＝1，BC＝CG+GH+BH＝1+2+1＝4在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB＝，于是OA＝OB＝．
【解答】解：過點O作OE⊥AB，與圓交于點E，過點D作DH⊥BC于點H，過點E作EG⊥BC于點G，連接CE、DE、BC．
∴GH＝DE＝2
∵OC⊥OD，OE⊥AB，
∴∠COD＝∠AOE＝∠BOE＝90°，
∴∠AOC＝∠EOD，∠COE＝∠BOD，
∴AC＝DE＝2，CE＝BD＝，
∵∠COD＝90°，∠BOE＝90°，
∴∠CBD＝∠COD＝45°，∠BCE＝BOE＝45°，
∴∠CED＝180°﹣∠CBD＝135°，∠BDE＝180°﹣∠BCE＝135°，
∴∠CED+∠BCE＝180°，
∴DE∥AB，四邊形EDBC為等腰梯形，
∵BD＝，∠CBD＝45°，∠DBH＝45°，
∴HB＝HD＝BD＝1，
同理EG＝1
∵GH＝DE＝2，
∴BC＝CG+GH+BH＝1+2+1＝4
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝AC2+BC2＝22+42＝20，
∴AB＝，
OA＝OB＝
故選：C．
【點評】本題考查了圓綜合知識，熟練運用圓周角與圓心角與弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023秋?天心區(qū)校級期中）下列說法正確的是（ ）
A．等弧所對的弦相等
B．平分弦的直徑垂直弦并平分弦所對的弧
C．相等的弦所對的圓心角相等
D．相等的圓心角所對的弧相等
【解答】解：A、正確．本選項符合題意．
B、錯誤．應(yīng)該是平分弦（此弦分直徑）的直徑垂直弦并平分弦所對的弧，本選項符合題意．
C、錯誤，必須在同圓或等圓中，本選項不符合題意．
D、錯誤．必須在同圓或等圓中，本選項不符合題意．
故選：A．
2．(2023秋?福田區(qū)期末）下圖中∠ACB是圓心角的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、∠ACB不是圓心角；
B、∠ACB是圓心角；
C、∠ACB不是圓心角；
D、∠ACB不是圓心角；
故選：B．
3．(2023秋?鞍山期末）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，則下列說法中正確的是（ ）
A．AD＝2OBB．點B是劣弧CD的中點
C．OE＝EBD．點D是AB弧中點
【解答】解：A．AB＝2OB，而AB＞AD，故此選項錯誤；
B．由AB⊥CD知點B是劣弧CD的中點，故此選項正確；
C．OE與EB不一定相等，故此選項錯誤；
D．當(dāng)CD過圓心且AB⊥CD時，點D是AB弧中點，故此選項錯誤；
故選：B．
4．(2023秋?江陰市校級期中）有下列說法：①直徑是圓中最長的弦；②等弧所對的弦相等；③圓中90°的角所對的弦是直徑；④相等的圓心角對的弧相等．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解答】解：①正確；
②在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧，等弧所對的弦相等；故②正確；
③圓中，90°圓周角所對的弦是直徑；故③錯誤；
④在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；故④錯誤；
因此正確的結(jié)論是①②；
故選：B．
4圓周角定理
1.圓周角定義：
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3.圓周角定理的推論：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
【例題精選】
例1(2023?平邑縣一模）如圖，AB是⊙O直徑，若∠AOC＝140°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．70°
分析：利用圓周角定理判斷即可求出所求．
【解答】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝40°，
∵∠BOC與∠BDC都對，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故選：A．
【點評】此題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．
例2 (2023?南崗區(qū)校級二模）如圖，在⊙O中，點A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，則∠α＝（ ）
A．70°B．110°C．120°D．140°
分析：作所對的圓周角∠ADB，如圖，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ADB＝70°，然后根據(jù)圓周角定理求解．
【解答】解：作所對的圓周角∠ADB，如圖，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故選：D．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
【隨堂練習(xí)】
1．(2023?涪城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上．若∠ACD＝25°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
【解答】解：∵∠AOD＝2∠ACD，∠ACD＝25°，
∴∠AOD＝50°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣50°＝130°，
故選：C．
2．(2023?富順縣校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）
A．34°B．46°C．56°D．66°
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝34°，
∴∠ABD＝34°
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，
故選：C．
3．(2023秋?定州市期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝40°，則∠A的大小為（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【解答】解：∵OB＝OC
∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，
∴由圓周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°
故選：B．
4．(2023?武漢模擬）如圖，AB為⊙O直徑，已知圓周角∠BCD＝30°，則∠ABD為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠BCD＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣30°＝60°．
故選：D．
5．(2023秋?香坊區(qū)期末）如圖，⊙O中，∠ABC＝45°，則∠AOC等于（ ）
A．55°B．80°C．90°D．135°
【解答】解：∵∠ABC與∠AOC是一條弧所對的圓周角與圓心角，∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°．
故選：C．

綜合練習(xí)
一．選擇題
1．如圖，AB、BC為⊙O的兩條弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，則∠ABC的度數(shù)為（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
【解答】解：在優(yōu)弧上取點D，連接DA、DC，
由圓周角定理得，∠D＝∠AOC，
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，∠ABC+∠D＝180°，
∵∠AOC﹣∠ABC＝60°，
∴2（180°﹣∠ABC）﹣∠ABC＝60°，
解得，∠ABC＝100°，
故選：B．
2．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AO⊥BC，垂足為點E，若∠ADC＝130°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ADC＝130°，
∴∠ABE＝180°﹣130°＝50°，
∵AO⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝40°，
∵AO⊥BC，
∴BC＝2BE，
∴∠BDC＝2∠BAE＝80°，
故選：B．
3．如圖，在圓O中，點A、B、C在圓上，∠OAB＝50°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°，
故選：B．
4．如圖，已知∠AOB是⊙O的圓心角，∠AOB＝50°，則圓周角∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
【解答】解：∵∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝∠AOB＝25°．
故選：B．
5．如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝4：5，則AB的長為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：如圖所示，連接OA．
⊙O的直徑CD＝10cm，
則⊙O的半徑為5cm，
即OA＝OC＝5，
又∵OM：OC＝4：5，
所以O(shè)M＝4，
∵AB⊥CD，垂足為M，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，AM＝＝3，
∴AB＝2AM＝2×3＝6．
故選：A．
二．解答題
6．如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為點C，交⊙O于點D，點E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度數(shù)；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的長．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠AOD＝×50°＝25°；
（2）根據(jù)勾股定理得，AC＝＝＝8，
∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×8＝16．
7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度數(shù)．
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，
∴∠ABC＝40°，
由圓周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝80°，
8．如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度數(shù)．
【解答】解：∵⊙O中，OA⊥BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AOB＝×50°＝25°．
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E為的中點，CE交AB于點H，且AH＝AC，AF平分線∠CAH．
（1）求證：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的長．
【解答】（1）證明：
∵AH＝AC，AF平分線∠CAH
∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，
∴∠HAF+∠ACH＝90°
∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，
∴∠HAF＝∠BCE，
∵E為的中點，
∴，
∴∠EBD＝∠BCE，
∴∠HAF＝∠EBD，
∴BE∥AF；
（2）解：連接OH、CD．
∵BC為直徑，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵AH＝AC＝6
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB
∴△EBH∽△ECB，
∴，
EB＝2EH，
由勾股定理得 BE2+EH2＝BH2，
即（2EH）2+EH2＝42，
∴EH＝．

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