一．根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．
二．根與系數(shù)的關(guān)系
（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．
（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1x2，反過來也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：
①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．
【考點(diǎn)剖析】
一．根的判別式（共4小題）
1．（2022?東坡區(qū)校級(jí)模擬）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．不能確定
2．（2022?興化市模擬）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當(dāng)a+b+c＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．b＝c≠aB．a(chǎn)＝b≠cC．a(chǎn)＝c≠bD．a(chǎn)＝b＝c
3．（2022?南京一模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的最小值是 ．
4．（2022?邗江區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知關(guān)于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求證：無論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰三角形 的底邊長3，另兩邊長 恰好是這個(gè)方程的兩根，求此三角形的周長．
二．根與系數(shù)的關(guān)系（共6小題）
5．（真題?泰興市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的兩個(gè)根為x1、x2，則x1+x2的值為（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
6．（2022?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一個(gè)根為2，則另一個(gè)根是 ．
7．（真題?鼓樓區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，證明：x1+x2，x1?x2．
8．（真題?東臺(tái)市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為﹣1時(shí)，求m的值及方程的另一根．
9．（真題?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求證：不論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若該方程的一個(gè)根為2，求它的另一個(gè)根．
10．（2022春?宜秀區(qū)校級(jí)月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：
（1）通過計(jì)算，判斷下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請(qǐng)?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．
三．一元二次方程的整數(shù)根與有理根（共3小題）
11．小明到商場購買某個(gè)牌子的鉛筆x支，用了y元（y為整數(shù)）．后來他又去商場時(shí)，發(fā)現(xiàn)這種牌子的鉛筆降價(jià)20%，于是他比上一次多買了10支鉛筆，用了4元錢，那么小明兩次共買了鉛筆 支．
12．若關(guān)于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整數(shù)，則整數(shù)r的值可以是 ．
13．（2020?儀征市一模）定義：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根均為整數(shù)，稱該方程為“全整方程”，規(guī)定T（a，b，c）為該“全整方程”的“全整數(shù)”．
（1）判斷方程x2x﹣1＝0是否為“全整方程”，若是，求出該方程的“全整數(shù)”，若不是，請(qǐng)說明理由；
（2）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m為整數(shù)，且滿足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整數(shù)”．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共5小題）
1．（2019秋?蘇州期末）關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一個(gè)實(shí)數(shù)根x＝1，則下面關(guān)于該方程根的判別式△的說法正確的是（ ）
A．Δ＞0B．Δ＝0C．Δ＜0D．無法確定
2．（真題?儀征市期末）關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a最大是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
3．（真題?寶應(yīng)縣期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情況為（ ）
A．沒有實(shí)數(shù)根B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
4．（真題?儀征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，則下列式子中一定正確的是（ ）
A．m＜b＜n＜cB．b＜m＜n＜cC．m＜n＜b＜cD．m＜b＜c＜n
5．（2020?南通模擬）已知數(shù)m滿足6＜m＜20，如果關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（ ）
A．11B．12
C．m有無數(shù)個(gè)解D．13
二．填空題（共10小題）
6．（2019?京口區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知關(guān)于x的方程x2+px+q＝0的兩根為﹣4和﹣1，則p＝ ，q＝ ．
7．（2022?秦淮區(qū)一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，則x+y﹣2xy的值是 ．
8．（2022?鼓樓區(qū)一模）已知關(guān)于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，則m+n＝ ．
9．（真題?東西湖區(qū)期中）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，則x1+x2的值為 ．
10．（2021?棲霞區(qū)開學(xué)）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1+x2﹣x1x2＝ ．
11．（真題?姜堰區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一個(gè)正整數(shù)解，則正整數(shù)a＝ ．
12．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的兩個(gè)根，則（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝ ．
13．（2022?海安市模擬）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩實(shí)根是x1，x2，則x1+x2﹣x1?x2的值是 ．
14．（2021?棲霞區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整數(shù)；若k為整數(shù)，則k的值為 ．
15．（2020春?崇川區(qū)校級(jí)月考）使得關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0與x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整數(shù)的整數(shù)m值是 ．
三．解答題（共9小題）
16．（2020春?張家港市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5，當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，求k的值．
17．（真題?沭陽縣期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程有一根小于2，求k的取值范圍．
18．（真題?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0
（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1﹣x2＝2，求m的值．
19．（真題?海州區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根．
20．（真題?梁溪區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若該方程的一個(gè)根為2，求a的值及該方程的另一根．
21．（真題?阜寧縣期末）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n都有m★n＝m2n+n，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運(yùn)算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根據(jù)以上知識(shí)解決問題：
（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．
（2）若2★a的值小于0，請(qǐng)判斷關(guān)于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情況．
22．（真題?大豐區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．
（1）當(dāng)k＝2時(shí)，求方程的根；
（2）求證：這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
23．（真題?東臺(tái)市月考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有實(shí)數(shù)根．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．
24．（真題?東海縣期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個(gè)根是2和4，則方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．請(qǐng)解決下列問題：
（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，則c＝ ；
（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代數(shù)式的值．
第02講根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一．根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．
二．根與系數(shù)的關(guān)系
（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．
（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1x2，反過來也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：
①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．
【考點(diǎn)剖析】
一．根的判別式（共4小題）
1．（2022?東坡區(qū)校級(jí)模擬）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．不能確定
【分析】根據(jù)根的判別式公式，求該方程的判別式，根據(jù)結(jié)果的正負(fù)情況即可得到答案．
【解答】解：根據(jù)題意得：
Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣1）
＝49+8
＝57
＞0，
即該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022?興化市模擬）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當(dāng)a+b+c＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．b＝c≠aB．a(chǎn)＝b≠cC．a(chǎn)＝c≠bD．a(chǎn)＝b＝c
【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝b2﹣4ac＝0，再把b＝﹣（a+c）代入得到（a+c）2﹣4ac＝0，所以a＝c，b＝﹣2a，由于a≠0，則a≠b，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
∵a+b+c＝0，
即b＝﹣（a+c），
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，即a＝c，
∴b＝﹣2a，
而a≠0，
∴a≠b．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
3．（2022?南京一模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的最小值是 ．
【分析】由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，
∴（m﹣2）2，
∵（m﹣2）2≥0，
∴0，
∴c的最小值是．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
4．（2022?邗江區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知關(guān)于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求證：無論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰三角形 的底邊長3，另兩邊長 恰好是這個(gè)方程的兩根，求此三角形的周長．
【分析】（1）通過計(jì)算Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣1）2，由偶次方的非負(fù)性可證明結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得該方程由兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合根的判別式可求解k值，再將k值代入方程，得到x2﹣4x+4＝0，解方程求出兩腰的長為2，又已知底邊是3，則根據(jù)三角形的周長公式即可求解．
【解答】（1）證明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4?（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴無論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵等腰三角形的底邊長3，
∴另兩邊長即為等腰三角形的腰長，
∵另兩邊長恰好是這個(gè)方程的兩根，
∴該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4?（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0，
解得k＝1，
將k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2．
此時(shí)△ABC三邊為3，2，2；
所以周長為3+2+2＝7．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的判別式及三角形的周長，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
二．根與系數(shù)的關(guān)系（共6小題）
5．（真題?泰興市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的兩個(gè)根為x1、x2，則x1+x2的值為（ ）
A．﹣2B．2C．﹣5D．5
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2代入計(jì)算可得．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的兩個(gè)根，
∴x1+x22，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1x2．
6．（2022?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一個(gè)根為2，則另一個(gè)根是 ﹣4 ．
【分析】設(shè)另一個(gè)根為a，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一個(gè)根為2，另一個(gè)根為a，
∴2+a＝﹣2，
解得：a＝﹣4，
則另一根是﹣4．
故答案為：﹣4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
7．（真題?鼓樓區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，證明：x1+x2，x1?x2．
【分析】利用求根公式表示出方程的兩個(gè)根，進(jìn)而求出兩根之和與兩根之積，即可即可得證．
【解答】證明：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，
∴當(dāng)b2﹣4ac≥0時(shí)，x1，x2，
則x1+x2，
x1?x2?．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)根是x1，x2，則有x1+x2，x1?x2．
8．（真題?東臺(tái)市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為﹣1時(shí)，求m的值及方程的另一根．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）將x＝﹣1代入原方程可求出m的值，進(jìn)而可得出原方程為x2﹣4x﹣5＝0，設(shè)另一根為x1，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于x1的方程，解之即可求出x1的值．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×m≥0，
解得：m≤4，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤4．
（2）把x＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m＝0，
解得：m＝﹣5，
∴原方程為x2﹣4x﹣5＝0．
設(shè)另一根為x1，則x1+（﹣1）＝4，
∴x1＝5，
∴m的值為﹣5，方程的另一根為5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”．
9．（真題?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的方程x2+kx﹣2＝0．
（1）求證：不論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若該方程的一個(gè)根為2，求它的另一個(gè)根．
【分析】（1）首先計(jì)算△，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷出Δ＞0，進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝k2+8，
∵不論k取何實(shí)數(shù)，k2≥0，
∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴不論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的另一個(gè)根為β，
∴2β＝﹣2，
∴β＝﹣1，
∴另一個(gè)根為﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
10．（2022春?宜秀區(qū)校級(jí)月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：
（1）通過計(jì)算，判斷下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請(qǐng)?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．
【分析】（1）據(jù)“差根方程”定義判斷即可；
（2）根據(jù)x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，從而得到a＝±；
（3）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到1，整理即可得到b2＝a2+4a．
【解答】解：（1）①設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝4，x1?x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②設(shè)x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2，x1?x2，
∴|x1﹣x2|1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2，x1?x2，
∵關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|1，即1，
∴b2＝a2+4a．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，正確的理解“差根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．
三．一元二次方程的整數(shù)根與有理根（共3小題）
11．小明到商場購買某個(gè)牌子的鉛筆x支，用了y元（y為整數(shù)）．后來他又去商場時(shí)，發(fā)現(xiàn)這種牌子的鉛筆降價(jià)20%，于是他比上一次多買了10支鉛筆，用了4元錢，那么小明兩次共買了鉛筆 40或90 支．
【分析】根據(jù)題意，求出降價(jià)前后的一支鉛筆的價(jià)格，然后再根據(jù)題意列出二元一次方程；最后根據(jù)x、y的取值范圍來解答．
【解答】解：y元買了x只鉛筆，則每只鉛筆元；降價(jià)20%后，每只鉛筆的價(jià)格是 （1﹣20%），即，依題意得：（x+10）＝4
∴y（x+10）＝5x
∴x
∴5﹣y＞0，即y＜5；
又∵x、y均是正整數(shù)，
∴y的取值為1，2，3，4；∴y只能取3和4；
①當(dāng)y＝3時(shí)，x，即x＝15，
小明兩次共買了鉛筆：15+15+10＝40（支）
②當(dāng)y＝4時(shí)，x，即x＝40，
小明兩次共買了鉛筆：40+（40+10）＝90（支）
故答案為：40或90．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用及一元二次方程的整數(shù)根．解答此題時(shí)，要根據(jù)一元二次方程x的y的取值范圍及生活實(shí)際中的y的取值范圍來確定x的值．
12．若關(guān)于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整數(shù)，則整數(shù)r的值可以是 0或1或7 ．
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，得出方程的根，在進(jìn)行分析得出整數(shù)解．
【解答】解：當(dāng)r＝0時(shí)，方程為﹣7x+7＝0顯然符合題意
當(dāng)r≠0時(shí)，x1+x2
x1x2，
∴x1x2﹣（x1+x2）＝﹣1
（x1﹣1）（x2﹣1）＝0
∴x1＝1，x2＝1．
可知方程必有一根為1，則另一根為1，是正整數(shù)，
∴r是7的正約數(shù)，即r＝7或1，
∴r＝7，0，1
故填：7或0或1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用，題目比較新穎．
13．（2020?儀征市一模）定義：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根均為整數(shù)，稱該方程為“全整方程”，規(guī)定T（a，b，c）為該“全整方程”的“全整數(shù)”．
（1）判斷方程x2x﹣1＝0是否為“全整方程”，若是，求出該方程的“全整數(shù)”，若不是，請(qǐng)說明理由；
（2）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m為整數(shù)，且滿足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整數(shù)”．
【分析】（1）解出方程x2x﹣1＝0，即可得出結(jié)論；
（2）先求出b2﹣4ac＝4m+29，再利用“全整方程”判斷出4m+29是完全平方數(shù)，即可得出結(jié)論．
【解答】解（1）是，理由：
∵解方程x2x﹣1＝0得x1＝﹣1，x2＝3，
∴兩個(gè)根均為整數(shù)，滿足定義，
∴方程為“全整方程”，
∴T（a，b，c）；
（2）∵一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0，
∴b2﹣4ac＝4m+29，
∵5＜m＜22，
即：49＜4m+29＜117，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0是“全整方程”，
∴b2﹣4ac是完全平方數(shù)，
即4m+29是完全平方數(shù)，
∴4m+29＝64或81或100，
∵m為整數(shù)，
∴m（舍去），m＝13，m（舍去），
即原方程為x2﹣23x+112＝0，
∴T（a，b，c）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解一元二次方程的方法，完全平方數(shù)的特征，判斷出49＜4m+29＜117是解本題的關(guān)鍵．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共5小題）
1．（2019秋?蘇州期末）關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一個(gè)實(shí)數(shù)根x＝1，則下面關(guān)于該方程根的判別式△的說法正確的是（ ）
A．Δ＞0B．Δ＝0C．Δ＜0D．無法確定
【分析】先將x＝1代入方程得出a+b＝0，再依據(jù)判別式Δ＝b2﹣4ac計(jì)算可得．
【解答】解：將x＝1代入方程，得：a﹣2a﹣b＝0，
則a+b＝0，
Δ＝（﹣2a）2﹣4a?（﹣b）＝4a2+4ab＝4a（a+b）＝0，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
2．（真題?儀征市期末）關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a最大是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【分析】若一元二次方程有兩不等實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍．還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝4﹣4a＞0且a≠0，
解得a＜1且a≠0，
則a的最大整數(shù)值是﹣1．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
3．（真題?寶應(yīng)縣期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情況為（ ）
A．沒有實(shí)數(shù)根B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【分析】先把方程化為一般式，然后進(jìn)行判別式的值，再根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況即可．
【解答】解：方程整理得，x2﹣x+2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程無實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
4．（真題?儀征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，則下列式子中一定正確的是（ ）
A．m＜b＜n＜cB．b＜m＜n＜cC．m＜n＜b＜cD．m＜b＜c＜n
【分析】畫出函數(shù)y（x﹣b）（x﹣c）與函數(shù)y＝x+1的圖象，根據(jù)圖象可得結(jié)論．
【解答】解：由題意，畫出函數(shù)y（x﹣b）（x﹣c）與函數(shù)y＝x+1的圖象如圖，
∴拋物線開口向下，與x軸的交點(diǎn)為（b，0），（c，0），函數(shù)y＝x+1隨x的增大而增大，且經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），
∵方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，
∴兩函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m和n，
∵m＜n．b＜﹣1＜0＜c，
由圖象可知，m＜b＜n＜c，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)及一元二次方程的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，注意理解“函數(shù)y（x﹣b）（x﹣c）與函數(shù)y＝x+1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m和n”，結(jié)合圖象得出結(jié)論．
5．（2020?南通模擬）已知數(shù)m滿足6＜m＜20，如果關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（ ）
A．11B．12
C．m有無數(shù)個(gè)解D．13
【分析】由題意得m≠0，若關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有理根，則△≥0，并且△為有理數(shù)的平方．而△＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，再由m滿足6＜m＜20，確定出△的范圍，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，
又∵6＜m＜20，
∴25＜4m+1＜81，
∵如果關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，
∴△為有理數(shù)的平方，
∴有無數(shù)個(gè)有理數(shù)m，使（4m+1）是有理數(shù)的平方，（如△＝6或7或8或30.25或36或37.21或42.25等），
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程有理根的判斷方法，掌握判別式是有理數(shù)的平方，此一元二次方程的根是有理數(shù)是解本題的關(guān)鍵．
二．填空題（共10小題）
6．（2019?京口區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知關(guān)于x的方程x2+px+q＝0的兩根為﹣4和﹣1，則p＝ 5 ，q＝ 4 ．
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于p與q的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+px+q＝0的兩根為﹣4和﹣1，
∴﹣4+（﹣1）＝﹣p，（﹣4）×（﹣1）＝q，
∴p＝5，q＝4．
故答案為：5；4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1?x2．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出﹣4+（﹣1）＝﹣p，（﹣4）×（﹣1）＝q是解題的關(guān)鍵．
7．（2022?秦淮區(qū)一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，則x+y﹣2xy的值是 ﹣2 ．
【分析】根據(jù)已知等式得到x，y為一元二次方程a2﹣4a+3＝0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x+y與xy的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，
∴x，y為方程a2﹣4a+3＝0的兩根，
∴x+y＝4，xy＝3，
則原式＝4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．
故答案為：﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
8．（2022?鼓樓區(qū)一模）已知關(guān)于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，則m+n＝ ﹣10 ．
【分析】先利用根與系數(shù)的關(guān)系得﹣1+3，﹣1×3，則可分別求出m、n的值，然后計(jì)算它們的和即可．
【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得﹣1+3，﹣1×3，
解得m＝﹣4，n＝﹣6，
所以m+n＝﹣4﹣6＝﹣10．
故答案為：﹣10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2，x1x2．
9．（真題?東西湖區(qū)期中）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，則x1+x2的值為 5 ．
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可直接求得x1+x2的值．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝5，
故答案為5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程的兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．
10．（2021?棲霞區(qū)開學(xué)）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1+x2﹣x1x2＝ 1 ．
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2＝4，x1x2＝3，
所以x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案為1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1x2．
11．（真題?姜堰區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一個(gè)正整數(shù)解，則正整數(shù)a＝ 1或2 ．
【分析】由一元二次方程的定義可得出a≠0，因式分解法得到（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，再根據(jù)正整數(shù)解的定義，即可求出正整數(shù)a的值．
【解答】解：∵方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴a≠0，
2ax2﹣（a+4）x+2＝0，
（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，
解得x1，x2，
∵關(guān)于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一個(gè)正整數(shù)解，
∴正整數(shù)a＝1或2．
故答案為：1或2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，由方程有一個(gè)正整數(shù)解確定a的值是難點(diǎn)．
12．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的兩個(gè)根，則（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝ 1 ．
【分析】利用一元二次方程解的定義得到α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：αβ＝1，然后將其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）進(jìn)行求值即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的兩個(gè)根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程解和根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
13．（2022?海安市模擬）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩實(shí)根是x1，x2，則x1+x2﹣x1?x2的值是 4 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2，x1?x2即可直接得出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩實(shí)根是x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1?x2＝﹣1，
∴x1+x2﹣x1?x2＝3+1＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2，x1?x2．
14．（2021?棲霞區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整數(shù)；若k為整數(shù)，則k的值為 0或±1 ．
【分析】①當(dāng)k＝0時(shí)，此方程為一元一次方程，求解判斷即可得出結(jié)論；
②當(dāng)k≠0時(shí)，此方程為一元二次方程，先用判別式判斷出k為非0實(shí)數(shù)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出結(jié)論．
【解答】解：①當(dāng)k＝0時(shí)，原方程可化為﹣x+2＝0，
∴x＝2，此種情況符合題意；
②當(dāng)k≠0時(shí)，原方程為一元二次方程，
∵關(guān)于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0有根，
∴△＝[﹣（3k+1）]2﹣4k（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴k為非0實(shí)數(shù)，
設(shè)關(guān)于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0的兩根為x1，x2，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x23，x1x22，
∵關(guān)于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整數(shù)，
∴x1+x2，x1x2也是整數(shù)，
∴和也是整數(shù)，
∵k為整數(shù)，
∴k＝±1，
即滿足條件的k為0或±1，
故答案為0或±1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，用分類討論的思想是解本題的關(guān)鍵．
15．（2020春?崇川區(qū)校級(jí)月考）使得關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0與x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整數(shù)的整數(shù)m值是 1 ．
【分析】先根據(jù)一元二次方程根的判別式確定出m的范圍，進(jìn)而求出m的值，最后，將m代入方程中，求出方程的解判斷即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0有實(shí)數(shù)根，
∴△＝16﹣16m≥0，且m≠0，∴m≤1且m≠0，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0有實(shí)數(shù)根，
∴△＝16m2﹣4（4m2﹣4m﹣5）＝16m+20≥0，
∴m，
∴m≤1且m≠0，
∵m為整數(shù)，
∴m＝﹣1或m＝1，
當(dāng)m＝1時(shí)，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即為x2﹣4x+4＝0，解得，x1＝x2＝2，
一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，即為x2﹣4x﹣5＝0，解得，x1＝5，x2＝﹣1，
兩方程的解都為整數(shù)，符合題意，
當(dāng)m＝﹣1時(shí)，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即為x2+4x﹣4＝0，解得，x2±2，方程的解不是整數(shù)，不符合題意，
即滿足條件的整數(shù)m的值為1，
故答案為1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的意義，根的判別式，解一元二次方程，確定出m的范圍是解本題的關(guān)鍵．
三．解答題（共9小題）
16．（2020春?張家港市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5，當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，求k的值．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＝1＞0，進(jìn)而可證出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）利用因式分解法可求出AB，AC的長，分BC為直角邊及BC為斜邊兩種情況，利用勾股定理可得出關(guān)于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三邊關(guān)系判定其是否構(gòu)成三角形）即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1．
當(dāng)BC為直角邊時(shí)，k2+52＝（k+1）2，
解得：k＝12；
當(dāng)BC為斜邊時(shí)，k2+（k+1）2＝52，
解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合題意，舍去）．
答：k的值為12或3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式、三角形三邊關(guān)系以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）利用勾股定理，找出關(guān)于k的方程．
17．（真題?沭陽縣期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程有一根小于2，求k的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ≥0，進(jìn)而可證出方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的兩個(gè)根，結(jié)合方程有一根小于2，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．
【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣（k+1），c＝2k﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）解：∵x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0，即[x﹣（k﹣1）]（x﹣2）＝0，
∴x1＝2，x2＝k﹣1，
又∵方程有一個(gè)根小于2，
∴k﹣1＜2，
∴k＜3，
即k的取值范圍為k＜3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法，求出方程的兩根．
18．（真題?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0
（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1﹣x2＝2，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)題意求出△的值，判斷出△的符號(hào)即可；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)得到兩根之和和兩根之積，然后把（x1﹣x2）2轉(zhuǎn)化成（x1+x2）2﹣4x1x2，再代入求解即可．
【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4．
∵無論m為任何實(shí)數(shù)，（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0．
∴無論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：由x1﹣x2＝2可得（x1﹣x2）2＝4，
∵x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝2m﹣1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8，
即m2﹣4m+8＝4，
解得m1＝m2＝2，
答：當(dāng)x1﹣x2＝2時(shí)，m的值是2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
19．（真題?海州區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m﹣2）2≥0，進(jìn)而可證出：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）將x＝1代入原方程可求出m的值，再利用兩根之積等于，即可求出方程的另一個(gè)根．
【解答】（1）證明：a＝1，b＝﹣（m+2），c＝2m．
∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴不論m為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）解：將x＝1代入原方程得：1﹣（m+2）+2m＝0，
∴m＝1，
∴原方程為x2﹣3x+2＝0．
∵2÷1＝2，
∴方程的另一個(gè)根為2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）牢記兩根之積等于．
20．（真題?梁溪區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若該方程的一個(gè)根為2，求a的值及該方程的另一根．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（a﹣2）2≥0，進(jìn)而可證出：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）代入x＝2可求出m值，再利用兩根之積等于可求出方程的另一根．
【解答】（1）證明：∵Δ＝a2﹣4×1×（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：將x＝2代入原方程得：4+2a+a﹣1＝0，
解得：a＝﹣1，
∴原方程為x2﹣x﹣2＝0，
∴方程的另一根為﹣2÷2＝﹣1，
∴a的值為﹣1，方程的另一根為﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）牢記兩根之積等于．
21．（真題?阜寧縣期末）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n都有m★n＝m2n+n，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運(yùn)算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根據(jù)以上知識(shí)解決問題：
（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．
（2）若2★a的值小于0，請(qǐng)判斷關(guān)于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情況．
【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算得出3（x+1）2+3＝15，解之可得到答案；
（2）由2★a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．
【解答】解：（1）∵（x+1）★3＝15，
∴3（x+1）2+3＝15，即（x+1）2＝4，
解得：x1＝1，x2＝﹣3；
（2）∵2★a的值小于0，
∴22a+a＝5a＜0，
解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a＝0中，
∵Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根的判別式，一元二次方程的解法，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元一次不等式，正確理解新運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．
22．（真題?大豐區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．
（1）當(dāng)k＝2時(shí)，求方程的根；
（2）求證：這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【分析】（1）把k＝2代入x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0，得到x2﹣6x+8＝0，解之可得．
（2）根據(jù)根的判別式求出Δ的值，再進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：（1）解：當(dāng)k＝2時(shí)，則方程：x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得x1＝4，x2＝2．
（2）證明：∵Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4（k2+2k）＝4＞0，
∴不論k取何值，此一元二次方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．
23．（真題?東臺(tái)市月考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有實(shí)數(shù)根．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．
【分析】（1）先計(jì)算出Δ＝（k﹣1）2，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝k+3，x1x2＝2k+2，由x1+x2﹣3x1x2＝2得出k+3﹣3（2k+2）＝2，然后解方程即可．
【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵x1，x2是方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝k+3，x1x2＝2k+2，
∵x1+x2﹣3x1x2＝2，
∴k+3﹣3（2k+2）＝2，
解得：k＝1．
故k的值是1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，關(guān)鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1?x2，反過來也成立．
24．（真題?東?？h期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個(gè)根是2和4，則方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．請(qǐng)解決下列問題：
（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，則c＝ 18 ；
（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代數(shù)式的值．
【分析】（1）根據(jù)倍根方程的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
（4）根據(jù)定義可求出n＝2m或nm，代入原式后即可求出答案；
【解答】解：（1）由題意可知：x＝m與x＝2m是方程x2﹣9x+c＝0的解，
∴m+2m＝9，m?2m＝c，
∴m＝3，c＝18，
故答案為18；
（2）由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且該方程的兩根分別為x＝1和x，
∴2或，
當(dāng)n＝2m時(shí)，0，
當(dāng)nm時(shí)，；
故代數(shù)式的值0或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法以及正確理解“倍根方程”的定義，本題屬于中等題型．

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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系隨堂練習(xí)題

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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)5 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課后測評(píng)

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第1.5講 根與系數(shù)的關(guān)系問題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（學(xué)生版）

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