蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假第03講用一元二次方程解決問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程
在解決實(shí)際問題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．
二．一元二次方程的應(yīng)用
1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．
2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：
（1）數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．
（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．
（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．
（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．
【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”
1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．
2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．
3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．
4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．
5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題．
6．答：寫出答案．
三．配方法的應(yīng)用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
2、利用配方法求二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式時(shí)所含字母系數(shù)的值．
關(guān)鍵是：二次三項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
3、配方法的綜合應(yīng)用．
四．高次方程
（1）高次方程的定義：整式方程未知數(shù)次數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)高于2次的方程，稱為高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．
對(duì)于5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數(shù)解法和求根公式（即通過各項(xiàng)系數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和乘方和開方運(yùn)算無法求解），這稱為阿貝爾定理．換句話說，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
五．無理方程
（1）定義：方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．
（2）有理方程和根式方程（無理方程）合稱為代數(shù)方程．（3）解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．（4）注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號(hào)）來解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．
【考點(diǎn)剖析】
一．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程（共4小題）
1．（真題?江城區(qū)期末）楊倩在東京奧運(yùn)女子10米氣步槍決賽中奪得冠軍，為中國代表團(tuán)攬入首枚金牌，隨后楊倩同款“小黃鴨”發(fā)卡在電商平臺(tái)上爆單，該款發(fā)卡在某電商平臺(tái)上7月24日的銷量為5000個(gè)，7月25日和7月26日的總銷量是30000個(gè)．若7月25日和26日較前一天的增長率均為x．則可列方程正確的是（）
A．5000（1+x）2＝30000
B．5000（1﹣x）2＝30000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
2．（真題?鎮(zhèn)江期末）一種藥品經(jīng)過2次降價(jià)，藥價(jià)從每盒80元下調(diào)至51.2元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程為80（1﹣x）2＝51.2．類似的，一種藥品經(jīng)過n次降價(jià)，藥價(jià)從每盒a元下調(diào)至b元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程為．
3．（真題?鄞州區(qū)校級(jí)期末）如圖，把一塊長為40cm，寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個(gè)無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為600cm2，設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm，則可列方程為．
4．（2019春?阜陽期中）南京某特產(chǎn)專賣店銷售某種特產(chǎn)，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低1元，平均每天的銷售量可增加10千克．專賣店銷售這種特產(chǎn)若想要平均每天獲利2240元，且銷售盡可能大，則每千克特產(chǎn)應(yīng)定價(jià)為多少元？
（1）解：方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，由題意，得方程為；
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降低后定價(jià)為x元，由題意得方程為：．
（2）請(qǐng)你選擇一種方法，寫出完整的解答過程．
二．一元二次方程的應(yīng)用（共4小題）
5．（2022?泗洪縣一模）某工廠兩年內(nèi)產(chǎn)值翻了一番，則該工廠產(chǎn)值年平均增長的百分率等于．（結(jié)果精確到0.1%，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732．）
6．（真題?淮安區(qū)期末）用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)靠墻的矩形菜園，墻的長度為18m．
（1）設(shè)垂直于墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊長為 m（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）若菜園的面積為100m2，求x的值．
7．（2022春?定遠(yuǎn)縣期中）我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進(jìn)價(jià)為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克，若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請(qǐng)回答：
（1）每千克茶葉應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？
8．（2022春?拱墅區(qū)月考）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩和雪容融在一開售時(shí)，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進(jìn)一批冰墩墩和雪容融，已知一個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)比一個(gè)雪容融的進(jìn)價(jià)多40元，購買20個(gè)冰墩墩和30個(gè)雪容融的價(jià)格相同．
（1）今年2月第一周每個(gè)冰墩墩和雪容融的進(jìn)價(jià)分別是多少元？
（2）今年2月第一周，供應(yīng)商以100元每個(gè)售出雪容融140個(gè)，150元每個(gè)售出冰墩墩120個(gè)．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價(jià)格，每個(gè)雪容融的售價(jià)在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，每個(gè)冰墩墩的價(jià)格不變，由于冬奧賽事的火熱進(jìn)行，第二周雪容融的銷量比第一周增加了m個(gè)，而冰墩墩的銷量比第一周增加了0.2m個(gè)，最終商家獲利5160元，求m．
三．配方法的應(yīng)用（共4小題）
9．（真題?江寧區(qū)期中）填空：x2﹣2x+ ＝（x﹣ ）2．
10．（真題?太倉市期中）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x+1，B＝4x2+3x+7，則A B（填＞，＜或＝）．
11．（真題?沭陽縣校級(jí)月考）我們知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，這一種方法稱為配方法，利用配方法請(qǐng)解以下各題：
（1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝＝．﹣a2+12a＝＝．
（2）探究：當(dāng)a取不同的實(shí)數(shù)時(shí)在得到的代數(shù)式a2﹣4a的值中是否存在最小值？請(qǐng)說明理由．
（3）應(yīng)用：如圖．已知線段AB＝6，M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AM＝x，以AM為一邊作正方形AMND，再以MB、MN為一組鄰邊作長方形MBCN．問：當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，長方形MBCN的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；否則請(qǐng)說明理由．
12．（2020春?濱湖區(qū)期中）閱讀理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴m＝n＝4．
方法應(yīng)用：
（1）a2+4a+b2+4＝0，則a＝，b＝；
（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．
四．高次方程（共4小題）
13．（2019秋?泗陽縣期末）方程（x﹣1）（3x2+1）＝0的實(shí)數(shù)根為．
14．（2021?盂縣一模）將關(guān)于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0變形為x2＝px﹣q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，則x3+1的值為（）
A．1B．1C．3D．3
15．（2019秋?泗陽縣期中）閱讀下面的材料，回答問題：
解方程x4﹣5x2+4＝0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．
當(dāng)y＝1時(shí)，x2＝1，∴x＝±1；
當(dāng)y＝4時(shí)，x2＝4，∴x＝±2；
原方程有四個(gè)根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用法達(dá)到的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．
（2）解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0
（3）已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．
16．（2019春?太倉市期末）閱讀下面的材料：
解方程x4﹣5x2+4＝0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，
它的解法通常采用換元法降次：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y1＝1時(shí)，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y2＝4時(shí)，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四個(gè)根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
仿照上述換元法解下列方程：
（1）x4+3x2﹣4＝0 （2）．
五．無理方程（共4小題）
17．（2020春?崇川區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于x的方程﹣2x+m4020＝0存在整數(shù)解，則正整數(shù)m的所有取值的和為．
18．（真題?江都區(qū)期末）閱讀材料，并回答問題：
小亮在學(xué)習(xí)分式過程中，發(fā)現(xiàn)可以運(yùn)用“類比”的方法，達(dá)成事半功倍的學(xué)習(xí)效果，比如學(xué)習(xí)異分母分式加減可以類比異分母分?jǐn)?shù)的加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式加減進(jìn)行運(yùn)算，解分式方程可以類比有分母的一元一次方程，先去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解；比較分式的大小，可以類比整式比較大小運(yùn)用的“比差法”……
問題：
（1）材料中分式“通分”的依據(jù)是；
“將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程”的“去分母”的依據(jù)是；
（2）類比解分式方程的思想方法，解方程：；
（3）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：甲乙兩組人各自平分線，已知兩組人數(shù)相同，相關(guān)信息如表：
試比較甲乙兩組哪組人均分的錢多？
19．（真題?溧陽市期中）閱讀與理解：
閱讀材料：像x3這樣，根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程，我們稱之為無理方程．
解法如下：移項(xiàng)：3﹣x；兩邊平方：x﹣1＝9﹣6x+x2．
解這個(gè)一元二次方程：x1＝2，x2＝5．
檢驗(yàn)所得到的兩個(gè)根，只有是原無理方程的根．
理解應(yīng)用：解無理方程x2．
20．（真題?松山區(qū)期中）閱讀理解：
轉(zhuǎn)化思想是常用的數(shù)學(xué)思想之一．在研究新問題或復(fù)雜問題時(shí)，常常把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的或比較簡單的問題來解決．如解一元二次方程是轉(zhuǎn)化成一元一次方程來解決的；解分式方程是轉(zhuǎn)化為整式方程來解決的．由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．
利用轉(zhuǎn)化思想，我們還可以解一些新的方程，如無理方程（根號(hào)下含有未知數(shù)的方程）．解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號(hào)，可以將方程適當(dāng)變形后兩邊同時(shí)平方，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．由于“去根號(hào)”可能產(chǎn)生增根，所以解無理方程也必須檢驗(yàn)．
例如：解方程2x．
解：兩邊平方得：x2+12＝4x2．
解得：x1＝2，x2＝﹣2
經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝2是原方程的根，
x2＝﹣2代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是x＝2．
解決問題：
（1）填空：已知關(guān)于x的方程x有一個(gè)根是x＝1，那么a的值為；
（2）求滿足x的x的值；
（3）代數(shù)式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，請(qǐng)說明理由．
【過關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共6小題）
1．（2022春?姜堰區(qū)期中）若代數(shù)式x2﹣4x+a可化為（x﹣b）2﹣1，則a+b是（）
A．5B．4C．3D．2
2．（真題?常州期末）為保護(hù)人民群眾生命安全，減少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：某品牌頭盔從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，若5月份銷售200個(gè)，7月份銷售288個(gè)，設(shè)月增長率為x則可列出方程（）
A．200（1+x）＝288B．200（1+2x）＝288
C．200（1+x）2＝288D．200（1+x2）＝288
3．（2022?青羊區(qū)模擬）某快遞公司今年一月份完成投遞的快遞總件數(shù)為10萬件，二月份、三月份每月投遞的件數(shù)逐月增加，第一季度總投遞件數(shù)為33.1萬件，問：二、三月份平均每月的增長率是多少？設(shè)平均每月增長的百分率為x，根據(jù)題意得方程（）
A．10（1+x）2＝33.1
B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
C．10+10（1+x）2＝33.1
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
4．（真題?通遼期末）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，豐富學(xué)生的課外生活，為同學(xué)們搭建一個(gè)互相交流的平臺(tái)，學(xué)校要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)（參賽的每兩隊(duì)間比賽一場(chǎng)），根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，學(xué)校計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽．設(shè)學(xué)校應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意列方程為（）
A．x（x+1）＝15B．x（x﹣1）＝15
C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝15
5．（2022?常州模擬）香水梨在甘肅白銀境內(nèi)種植歷史悠久，明代就有記載．某水果店以每千克10元的進(jìn)價(jià)進(jìn)了批香水梨，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價(jià)為每千克20元時(shí)，每天可銷售40千克，售價(jià)每上漲1元，每天的銷量將減少3千克．如果該水果店想平均每天獲利408元，設(shè)這種香水梨的售價(jià)上漲了x元，根據(jù)題意可列方程為（）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
C．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
6．（2022?吳中區(qū)模擬）在一次足球邀請(qǐng)賽中，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共比賽21場(chǎng)，設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為（）
A．x（x+1）＝21B．x（x﹣1）＝21C．D．
二．填空題（共8小題）
7．（2017春?雨城區(qū)校級(jí)月考）若m2+n2﹣6n+4m+13＝0，m2﹣n2＝．
8．（2022春?廣陵區(qū)校級(jí)月考）若實(shí)數(shù)x，y滿足條件2x2﹣6x+y2＝0，則x2+y2+2x的最大值是．
9．（2022春?大豐區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)容器盛滿純藥液45升，第一次倒出一部分純藥液后，用水加滿；第二次又倒出同樣多的藥液，若此時(shí)容器內(nèi)剩下的純藥液是20升，則每次倒出的液體是升．
10．（2022?南通模擬）“新冠肺炎”防治取得戰(zhàn)略性成果．若有一個(gè)人患了“新冠肺炎”，經(jīng)過兩輪傳染后共有25個(gè)人患了“新冠肺炎”，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人．
11．（真題?盱眙縣期末）要利用一面很長的圍墻和100米長的隔離欄建三個(gè)如圖所示的矩形羊圈，若計(jì)劃建成的三個(gè)羊圈總面積為400平方米，則羊圈的邊長AB為多少米？設(shè)AB＝x米，根據(jù)題意可列出方程的為．
12．（真題?金湖縣期末）勞動(dòng)教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場(chǎng)，該農(nóng)場(chǎng)一種作物的產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到507千克．設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則可列方程為．
13．（2022春?泰興市校級(jí)月考）新冠肺炎是一種傳染性極強(qiáng)的疾病，如果有一人患病，經(jīng)過兩輪傳染后有100人患病，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則由題意列出方程．
14．（真題?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)．每瓶零售價(jià)由100元降為81元．已知兩次降價(jià)的百分率相同．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，可列方程為．
三．解答題（共9小題）
15．（真題?無錫期末）某讀書興趣小組計(jì)劃去書店購買一批定價(jià)為50元/本的書籍，書店表示有兩種優(yōu)惠方案方案一：若購買數(shù)量不超過10本，每本按定價(jià)出售；若超過10本，每增加1本，所有書籍的售價(jià)可比定價(jià)降2元，但售價(jià)不低于35元/本．方案二：前5本按定價(jià)出售，超過5本以上的部分可以打折．
（1）該興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式支付了600元，請(qǐng)你求出購買書籍的數(shù)量；
（2）如果該興趣小組用方案二的優(yōu)惠方式購買（1）中的數(shù)量，請(qǐng)問書店折扣至少低于幾折才能使得實(shí)付金額少于600元？
16．（2022春?蘇州月考）利用我們學(xué)過的完全平方公式與不等式知識(shí)能解決方程或代數(shù)式的一些問題，閱讀下列兩則材料：
材料一：已知m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0
∴m＝n＝4．
材料二：探索代數(shù)式x2+4x+2與﹣x2+2x+3是否存在最大值或最小值？
①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．
∴代數(shù)式x2+4x+2有最小值﹣2；
②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．
∴代數(shù)式﹣x2+2x+3有最大值4．
學(xué)習(xí)方法并完成下列問題：
（1）代數(shù)式x2﹣6x+3的最小值為；
（2）如圖，在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木柵欄圍成一個(gè)長方形花圃，為了設(shè)計(jì)一個(gè)盡可能大的花圃，設(shè)長方形垂直于圍墻的一邊長度為x米，則花圃的最大面積是多少？
（3）已知△ABC的三條邊的長度分別為a，b，c，且a2+b2+74＝10a+14b，且c為正整數(shù)，求△ABC周長的最小值．
17．（真題?亭湖區(qū)期末）隨著疫情在國內(nèi)趨穩(wěn)，卻在國外迎來爆發(fā)期，多國采購中國防疫物資需求大增．某工廠建了1條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn)300萬個(gè)，第三天生產(chǎn)432萬個(gè)，若每天生產(chǎn)口罩的個(gè)數(shù)增長的百分率相同，請(qǐng)解答下列問題：
（1）每天增長的百分率是多少？
（2）經(jīng)過一段時(shí)間后，工廠發(fā)現(xiàn)1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900萬個(gè)/天，但如果每增加1條生產(chǎn)線，由于資源調(diào)配等原因每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30萬個(gè)/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩3900萬個(gè)，應(yīng)該建幾條生產(chǎn)線？
18．（真題?姜堰區(qū)期末）學(xué)校打算用21米的籬笆圍成兩間長方形兔舍飼養(yǎng)小兔，兔舍的一面靠墻（如圖，墻足夠長）．
（1）如果AB邊長為x米，求BC邊長（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）若兩間兔舍的總面積是30平方米，求AB的長．
19．（2022春?江都區(qū)月考）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會(huì)開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店2021年10月的銷量為3萬件，2021年12月的銷量為3.63萬件．
（1）求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；
（2）假設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率保持不變，則2022年1月“冰墩墩”的銷量有沒有超過4萬件？請(qǐng)利用計(jì)算說明．
20．（2022春?安慶期中）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會(huì)開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)調(diào)查“冰墩墩”每盒進(jìn)價(jià)8元，售價(jià)12元．
（1）商店老板計(jì)劃首月銷售330盒，經(jīng)過首月試銷售，老板發(fā)現(xiàn)單盒“冰墩墩”售價(jià)每增長1元，月銷量就將減少20盒．若老板希望“冰墩墩”月銷量不低于270盒，則每盒售價(jià)最高為多少元？
（2）實(shí)際銷售時(shí)，售價(jià)比（1）中的最高售價(jià)減少了2a元，月銷量比（1）中最低銷量270盒增加了60a盒，于是月銷售利潤達(dá)到了1650元，求a的值．
21．（真題?鎮(zhèn)江期末）【閱讀】
小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“換元法”解決了這個(gè)問題．我們一起來看看小明同學(xué)的具體做法．
解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，則方程可變形為a（y+m）2+b＝0，
根據(jù)關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2．
把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，
所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1．
【理解】
已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根m，n．
（1）關(guān)于x的方程ax+bc＝0（a≠0）的兩根分別是（用含有m、n的代數(shù)式表示）；
（2）方程的兩個(gè)根分別是2m，2n．（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）
【猜想與證明】
觀察下表中每個(gè)方程的解的特點(diǎn)：
（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的兩個(gè)根與方程的兩個(gè)根互為倒數(shù)；
（2）仿照小明采用的“換元法”，證明你的猜想．
22．（真題?儀征市期末）用一面足夠長的墻為一邊，其余各邊用總長42米的圍欄建成如圖所示的生態(tài)園，中間用圍欄隔開．由于場(chǎng)地限制，垂直于墻的一邊長不超過7米．（圍欄寬忽略不計(jì)）
（1）若生態(tài)園的面積為144平方米，求生態(tài)園垂直于墻的邊長；
（2）生態(tài)園的面積能否達(dá)到150平方米？請(qǐng)說明理由．
23．（真題?泗陽縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代數(shù)式表示）
（2）D是AC的中點(diǎn)，連接PD、QD，t為何值時(shí)△PDQ的面積為40cm2？
組別
人數(shù)（人）
總金額（元）
甲
b2
乙
2b﹣5
方程
方程的解
方程
方程的解
x2+4x+3＝0
x1＝﹣3，x2＝﹣1
3x2+4x+1＝0
x11
2x2﹣7x+3＝0
x13
3x2﹣7x+2＝0
x1＝2，x2
x2﹣2x﹣8＝0
x1＝4，x2＝﹣2
8x2+2x﹣1＝0
x1，x2
…
…
…
…
第03講用一元二次方程解決問題（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程
在解決實(shí)際問題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．
二．一元二次方程的應(yīng)用
1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．
2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：
（1）數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．
（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．
（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．
（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．
【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”
1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．
2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．
3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．
4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．
5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題．
6．答：寫出答案．
三．配方法的應(yīng)用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
2、利用配方法求二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式時(shí)所含字母系數(shù)的值．
關(guān)鍵是：二次三項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
3、配方法的綜合應(yīng)用．
四．高次方程
（1）高次方程的定義：整式方程未知數(shù)次數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)高于2次的方程，稱為高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．
對(duì)于5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數(shù)解法和求根公式（即通過各項(xiàng)系數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和乘方和開方運(yùn)算無法求解），這稱為阿貝爾定理．換句話說，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
五．無理方程
（1）定義：方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．
（2）有理方程和根式方程（無理方程）合稱為代數(shù)方程．（3）解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．（4）注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號(hào)）來解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．
【考點(diǎn)剖析】
一．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程（共4小題）
1．（真題?江城區(qū)期末）楊倩在東京奧運(yùn)女子10米氣步槍決賽中奪得冠軍，為中國代表團(tuán)攬入首枚金牌，隨后楊倩同款“小黃鴨”發(fā)卡在電商平臺(tái)上爆單，該款發(fā)卡在某電商平臺(tái)上7月24日的銷量為5000個(gè)，7月25日和7月26日的總銷量是30000個(gè)．若7月25日和26日較前一天的增長率均為x．則可列方程正確的是（）
A．5000（1+x）2＝30000
B．5000（1﹣x）2＝30000
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000
【分析】直接利用已知分別表示出7月25日和7月26日的銷量，進(jìn)而得出等式求出答案．
【解答】解：若7月25日和26日較前一天的增長率均為x．則可列方程為：
5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，正確表示出銷量是解題關(guān)鍵．
2．（真題?鎮(zhèn)江期末）一種藥品經(jīng)過2次降價(jià)，藥價(jià)從每盒80元下調(diào)至51.2元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程為80（1﹣x）2＝51.2．類似的，一種藥品經(jīng)過n次降價(jià)，藥價(jià)從每盒a元下調(diào)至b元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程為 a（1﹣x）n＝b ．
【分析】利用經(jīng)過n次降價(jià)后的價(jià)格＝原價(jià)×（1﹣平均每次降價(jià)的百分率）n，即可得出關(guān)于x的一元n次方程，此題得解．
【解答】解：依題意得：a（1﹣x）n＝b．
故答案為：a（1﹣x）n＝b．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元高次方程是解題的關(guān)鍵．
3．（真題?鄞州區(qū)校級(jí)期末）如圖，把一塊長為40cm，寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個(gè)無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為600cm2，設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm，則可列方程為（40﹣2x）（30﹣2x）＝600 ．
【分析】設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm，則紙盒的底面為長（40﹣2x）cm，寬為（30﹣2x）cm的長方形，根據(jù)紙盒的底面積為600cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm，則紙盒的底面為長（40﹣2x）cm，寬為（30﹣2x）cm的長方形，
依題意，得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故答案為：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
4．（2019春?阜陽期中）南京某特產(chǎn)專賣店銷售某種特產(chǎn)，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低1元，平均每天的銷售量可增加10千克．專賣店銷售這種特產(chǎn)若想要平均每天獲利2240元，且銷售盡可能大，則每千克特產(chǎn)應(yīng)定價(jià)為多少元？
（1）解：方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，由題意，得方程為（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240 ；
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降低后定價(jià)為x元，由題意得方程為：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240 ．
（2）請(qǐng)你選擇一種方法，寫出完整的解答過程．
【分析】（1）方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，利用銷售量×每件利潤＝2240元列出方程求解即可；
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價(jià)后定價(jià)為y元，利用銷售量×每件利潤＝2240元列出方程求解即可．
（2）利用（1）中所列方程求出答案．
【解答】解：（1）方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元．根據(jù)題意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價(jià)后定價(jià)為x元，由題意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，
故答案為：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；
（2）方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元．根據(jù)題意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得x1＝4，x2＝6．
要讓顧客盡可能得到實(shí)惠，只能取x＝6，
60﹣6＝54元，
答：每千克特產(chǎn)應(yīng)定價(jià)54元．
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價(jià)后定價(jià)為x元，由題意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240
解得x1＝54，x2＝56．
要讓顧客盡可能得到實(shí)惠，只能取x＝54，
答：每千克特產(chǎn)應(yīng)定價(jià)54元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程．
二．一元二次方程的應(yīng)用（共4小題）
5．（2022?泗洪縣一模）某工廠兩年內(nèi)產(chǎn)值翻了一番，則該工廠產(chǎn)值年平均增長的百分率等于 41.4% ．（結(jié)果精確到0.1%，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732．）
【分析】設(shè)該工廠產(chǎn)值年平均增長的百分率為x，利用兩年后的產(chǎn)值＝原產(chǎn)值×（1+年平均增長的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)該工廠產(chǎn)值年平均增長的百分率為x，
依題意得：（1+x）2＝2，
解得：x11≈0.414＝41.4%，x21≈﹣2.414（不合題意，舍去），
∴該工廠產(chǎn)值年平均增長的百分率約為41.4%．
故答案為：41.4%．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及近似數(shù)和有效數(shù)字，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
6．（真題?淮安區(qū)期末）用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)靠墻的矩形菜園，墻的長度為18m．
（1）設(shè)垂直于墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊長為 30﹣2x m（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）若菜園的面積為100m2，求x的值．
【分析】（1）根據(jù)圖形直接可得答案；
（2）由矩形面積公式列方程即可解得答案．
【解答】解：（1）由圖可得：平行于墻的一邊長為（30﹣2x）m，
故答案為：30﹣2x；
（2）根據(jù)題意得：
x?（30﹣2x）＝100，
∴x2﹣15x+50＝0，
解得x＝5或x＝10，
當(dāng)x＝5時(shí)，30﹣2x＝20＞18，
∴x＝5不合題意，舍去，
∴x＝10，
答：x的值為10m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合列方程．
7．（2022春?定遠(yuǎn)縣期中）我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進(jìn)價(jià)為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克，若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請(qǐng)回答：
（1）每千克茶葉應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？
【分析】（1）設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)x元，則平均每周可售出（200）千克，根據(jù)總利潤＝每千克的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）可得出x＝80，再由現(xiàn)售價(jià)及原價(jià)可求出打的折扣數(shù)．
【解答】解：（1）設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價(jià)x元，則平均每周可售出（200）千克，
依題意，得：（400﹣240﹣x）（200）＝41600，
整理，得：x2﹣110x+2400＝0，
解得：x1＝30，x2＝80．
答：每千克茶葉應(yīng)降價(jià)30元或80元．
（2）∵為盡可能讓利于顧客，
∴x＝80，
∴10＝8．
答：該店應(yīng)按原售價(jià)的八折出售．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2022春?拱墅區(qū)月考）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩和雪容融在一開售時(shí)，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進(jìn)一批冰墩墩和雪容融，已知一個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)比一個(gè)雪容融的進(jìn)價(jià)多40元，購買20個(gè)冰墩墩和30個(gè)雪容融的價(jià)格相同．
（1）今年2月第一周每個(gè)冰墩墩和雪容融的進(jìn)價(jià)分別是多少元？
（2）今年2月第一周，供應(yīng)商以100元每個(gè)售出雪容融140個(gè)，150元每個(gè)售出冰墩墩120個(gè)．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價(jià)格，每個(gè)雪容融的售價(jià)在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，每個(gè)冰墩墩的價(jià)格不變，由于冬奧賽事的火熱進(jìn)行，第二周雪容融的銷量比第一周增加了m個(gè)，而冰墩墩的銷量比第一周增加了0.2m個(gè)，最終商家獲利5160元，求m．
【分析】（1）設(shè)今年2月第一周每個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)為x元，每個(gè)雪容融的進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)“一個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)比一個(gè)雪容融的進(jìn)價(jià)多40元，購買20個(gè)冰墩墩和30個(gè)雪容融的價(jià)格相同”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出今年2月第一周每個(gè)冰墩墩和雪容融的進(jìn)價(jià)；
（2）利用總利潤＝每個(gè)的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)今年2月第一周每個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)為x元，每個(gè)雪容融的進(jìn)價(jià)為y元，
依題意得：，
解得：．
答：今年2月第一周每個(gè)冰墩墩的進(jìn)價(jià)為120元，每個(gè)雪容融的進(jìn)價(jià)為80元．
（2）依題意得：（100﹣m﹣80）（140+m）+（150﹣120）（120+0.2m）＝5160，
整理得：m2+114m﹣1240＝0，
解得：m1＝10，m2＝﹣124（不合題意，舍去）．
答：m的值為10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
三．配方法的應(yīng)用（共4小題）
9．（真題?江寧區(qū)期中）填空：x2﹣2x+ 1 ＝（x﹣ 1 ）2．
【分析】根據(jù)公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方即可．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2；
故答案為：1，1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，掌握公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，配方的關(guān)鍵是二次三項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
10．（真題?太倉市期中）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x+1，B＝4x2+3x+7，則A ＜ B（填＞，＜或＝）．
【分析】將兩式相減，再配方即可作出判斷．
【解答】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2﹣2＜0，
∴A﹣B＜0，
∴A＜B，
故答案為：＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的綜合應(yīng)用，配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
11．（真題?沭陽縣校級(jí)月考）我們知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，這一種方法稱為配方法，利用配方法請(qǐng)解以下各題：
（1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝ a2﹣4a+4﹣4 ＝（a﹣2）2﹣4 ．﹣a2+12a＝ ﹣（a2﹣12a+36）+36 ＝ ﹣（a﹣6）2+36 ．
（2）探究：當(dāng)a取不同的實(shí)數(shù)時(shí)在得到的代數(shù)式a2﹣4a的值中是否存在最小值？請(qǐng)說明理由．
（3）應(yīng)用：如圖．已知線段AB＝6，M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AM＝x，以AM為一邊作正方形AMND，再以MB、MN為一組鄰邊作長方形MBCN．問：當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，長方形MBCN的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；否則請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）原式配方即可得到結(jié)果；
（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出結(jié)果即可；
（3）根據(jù)題意列出S與x的關(guān)系式，配方后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4；﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36；
故答案為：a2﹣4a+4﹣4；（a﹣2）2﹣4；﹣（a2﹣12a+36）+36；﹣（a﹣6）2+36；
（2）存在，理由為：
∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，
∴當(dāng)a＝2時(shí)，代數(shù)式a2﹣4a存在最小值為﹣4；
（3）根據(jù)題意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，
則x＝3時(shí)，S最大值為9．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
12．（2020春?濱湖區(qū)期中）閱讀理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴m＝n＝4．
方法應(yīng)用：
（1）a2+4a+b2+4＝0，則a＝ ﹣2 ，b＝ 0 ；
（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式把原式的左邊變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性求出a、b；
（2）用x表示y，把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念解答即可．
【解答】解：（1）∵a2+4a+b2+4＝0，
∴a2+4a+4+b2＝0，
∴（a+2）2+b2＝0，
∴（a+2）2＝0，b2＝0，
∴a＝﹣2，b＝0，
故答案為：﹣2；0；
（2）∵x+y＝8，
∴y＝8﹣x，
原式變形為x（8﹣x）﹣z2﹣4z＝20，
整理得，8x﹣x2﹣z2﹣4z＝20，
∴x2﹣8x+16+z2+4z+4＝0，
∴（x﹣4）2+（z+2）2＝0，
∴（x﹣4）2＝0，（z+2）2＝0，
∴x＝4，z＝﹣2，
∴y＝8﹣x＝4，
∴（x+y）z．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．
四．高次方程（共4小題）
13．（2019秋?泗陽縣期末）方程（x﹣1）（3x2+1）＝0的實(shí)數(shù)根為 x＝1 ．
【分析】由已知可得x﹣1＝0或3x2+1＝0即可求解．
【解答】解：∵（x﹣1）（3x2+1）＝0，
∴x﹣1＝0或3x2+1＝0，
∴x＝1，
故答案為x＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查高次方程的解；熟練掌握方程的求解方法是解題的關(guān)鍵．
14．（2021?盂縣一模）將關(guān)于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0變形為x2＝px﹣q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，則x3+1的值為（）
A．1B．1C．3D．3
【分析】利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，用一元二次方程求根公式得x，且x＞0，所以x取，代入即可求得．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x?x2+1＝x（x+1）+1＝x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，
∵x＞0，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整體降次的思想方法，但降次后得到的是x的代數(shù)式，還要利用一元二次方程求根公式求出x的值，代入化簡后的2x+2中計(jì)算出結(jié)果．
15．（2019秋?泗陽縣期中）閱讀下面的材料，回答問題：
解方程x4﹣5x2+4＝0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．
當(dāng)y＝1時(shí)，x2＝1，∴x＝±1；
當(dāng)y＝4時(shí)，x2＝4，∴x＝±2；
原方程有四個(gè)根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．
（2）解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0
（3）已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．
【分析】（1）解方程的方法是通過換元達(dá)到了降次的目的；
（2）設(shè)x2+x＝y(tǒng)，原方程可變?yōu)閥2﹣4y﹣12＝0，利用因式分解法解得y1＝﹣2，y2＝6．然后分別解方程x2+x＝﹣2和方程x2+x＝6即可；
（3）把等式看作關(guān)于a的一元二次方程，利用因式分解法解方程得到a＝4b或a＝﹣3b，從而可得到的值．
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想；
故答案為換元法；降次；
（2）設(shè)x2+x＝y(tǒng)，原方程可變?yōu)閥2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝﹣2，y2＝6．
當(dāng)y＝﹣2時(shí)，x2+x＝﹣2，方程沒有實(shí)數(shù)解；
當(dāng)y＝6時(shí)，x2+x＝6，∴x＝2或﹣3；
原方程有兩個(gè)根：x1＝2，x2＝﹣3；
（3）（a﹣4b）（a+3b）＝0，
a﹣4b＝0或a+3b＝0，
所以a＝4b或a＝﹣3b，
當(dāng)a＝4b時(shí)，4；
當(dāng)a＝﹣3b時(shí)，3．
即的值為4或﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了高次方程：通過適當(dāng)?shù)姆椒ǎ迅叽畏匠袒癁榇螖?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．
16．（2019春?太倉市期末）閱讀下面的材料：
解方程x4﹣5x2+4＝0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，
它的解法通常采用換元法降次：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當(dāng)y1＝1時(shí)，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y2＝4時(shí)，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四個(gè)根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
仿照上述換元法解下列方程：
（1）x4+3x2﹣4＝0
（2）．
【分析】（1）由x4+3x2﹣4＝0知（x2+4）（x2﹣1）＝0，據(jù)此得出x2的值，再進(jìn)一步求解可得；
（2）令y，知y1＝0，即y2+y﹣6＝0，解之求得y的值，再進(jìn)一步求解可得．
【解答】解：（1）∵x4+3x2﹣4＝0，
∴（x2+4）（x2﹣1）＝0，
則x2+4＝0或x2﹣1＝0，
解得x2＝﹣4＜0（舍去），x2＝1，
解得x＝1或x＝﹣1；
（2）令y，
則方程為y1＝0，即y2+y﹣6＝0，
則（y+3）（y﹣2）＝0，
∴y+3＝0或y﹣2＝0，
解得y＝﹣3或y＝2，
當(dāng)y＝﹣3時(shí)，3，解得x；
當(dāng)y＝2時(shí)，2，解得x＝1；
經(jīng)檢驗(yàn)x和x＝1均是方程的解．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解高次方程，通過適當(dāng)?shù)姆椒ǎ迅叽畏匠袒癁榇螖?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．
五．無理方程（共4小題）
17．（2020春?崇川區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于x的方程﹣2x+m4020＝0存在整數(shù)解，則正整數(shù)m的所有取值的和為 18 ．
【分析】將原方程變形為m2x﹣4020，由m為正整數(shù)、被開方數(shù)非負(fù)，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再將是正整數(shù)的m的值相加即可得出結(jié)論．
【解答】解：原題可得：m2x﹣4020，
∵m為正整數(shù)，
∴m0，
∴2x﹣4020≥0，
∴x≥2010．
∵2018﹣x≥0，
∴x≤2018，
∴2010≤x≤2018．
當(dāng)x＝2010時(shí)，2m＝0，m＝0，不符合題意；
當(dāng)x＝2011時(shí)，m＝2，m，不符合題意；
當(dāng)x＝2012時(shí)，m＝4，m，不符合題意；
當(dāng)x＝2013時(shí)，m＝6，m，不符合題意；
當(dāng)x＝2014時(shí)，2m＝8，m＝4；
當(dāng)x＝2015時(shí)，m＝10，m，不符合題意；
當(dāng)x＝2016時(shí)，m＝12，m＝6，不符合題意；
當(dāng)x＝2017時(shí)，m＝14；
當(dāng)x＝2018時(shí)，0＝16，不成立．
∴正整數(shù)m的所有取值的和為4+14＝18．
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理方程，由被開方數(shù)非負(fù)及m為正整數(shù)，找出x的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
18．（真題?江都區(qū)期末）閱讀材料，并回答問題：
小亮在學(xué)習(xí)分式過程中，發(fā)現(xiàn)可以運(yùn)用“類比”的方法，達(dá)成事半功倍的學(xué)習(xí)效果，比如學(xué)習(xí)異分母分式加減可以類比異分母分?jǐn)?shù)的加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式加減進(jìn)行運(yùn)算，解分式方程可以類比有分母的一元一次方程，先去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解；比較分式的大小，可以類比整式比較大小運(yùn)用的“比差法”……
問題：
（1）材料中分式“通分”的依據(jù)是分式的基本性質(zhì) ；
“將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程”的“去分母”的依據(jù)是等式的基本性質(zhì) ；
（2）類比解分式方程的思想方法，解方程：；
（3）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：甲乙兩組人各自平分線，已知兩組人數(shù)相同，相關(guān)信息如表：
試比較甲乙兩組哪組人均分的錢多？
【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)即可求解；
（2）由方程可得1﹣2x＝9，解出x即可；
（3）根據(jù)題意，只需比較總錢數(shù)的多少即可，用作差法比較大小即可求解．
【解答】解：（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子、分母都乘同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變，
等式的基本性質(zhì)：等式的兩邊都乘同一個(gè)數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式，
故答案為：分式的基本性質(zhì)，等式的基本性質(zhì)；
（2）∵
∴1﹣2x＝9，
∴x＝﹣4，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣4是原方程的解；
（3）∵兩組人數(shù)相同，
∴每組人均的錢數(shù)與總錢數(shù)相關(guān)，
b2﹣（2b﹣5）＝b2﹣2b+5＝（b﹣1）2+4＞0，
∴b2＞2b﹣5，
∴甲組人均多．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的基本性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)的大小比較，理解題意，能將所給信息與所學(xué)知識(shí)相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
19．（真題?溧陽市期中）閱讀與理解：
閱讀材料：像x3這樣，根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程，我們稱之為無理方程．
解法如下：移項(xiàng)：3﹣x；兩邊平方：x﹣1＝9﹣6x+x2．
解這個(gè)一元二次方程：x1＝2，x2＝5．
檢驗(yàn)所得到的兩個(gè)根，只有 x＝2 是原無理方程的根．
理解應(yīng)用：解無理方程x2．
【分析】閱讀材料：通過檢驗(yàn)可確定原方程的解為x＝2；
理解應(yīng)用：先移項(xiàng)得到x﹣2；再兩邊平方：x2﹣4x+4（x+1），然后解這個(gè)一元二次方程，然后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原無理方程的根．
【解答】解：閱讀材料：
經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是原方程的解；
故答案為x＝2；
理解應(yīng)用：移項(xiàng)：x﹣2；
兩邊平方：x2﹣4x+4（x+1），
解這個(gè)一元二次方程：x1，x2＝3，
經(jīng)檢驗(yàn)原無理方程的根為x＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號(hào)）來解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．
20．（真題?松山區(qū)期中）閱讀理解：
轉(zhuǎn)化思想是常用的數(shù)學(xué)思想之一．在研究新問題或復(fù)雜問題時(shí)，常常把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的或比較簡單的問題來解決．如解一元二次方程是轉(zhuǎn)化成一元一次方程來解決的；解分式方程是轉(zhuǎn)化為整式方程來解決的．由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．
利用轉(zhuǎn)化思想，我們還可以解一些新的方程，如無理方程（根號(hào)下含有未知數(shù)的方程）．解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號(hào)，可以將方程適當(dāng)變形后兩邊同時(shí)平方，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．由于“去根號(hào)”可能產(chǎn)生增根，所以解無理方程也必須檢驗(yàn)．
例如：解方程2x．
解：兩邊平方得：x2+12＝4x2．
解得：x1＝2，x2＝﹣2
經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝2是原方程的根，
x2＝﹣2代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是x＝2．
解決問題：
（1）填空：已知關(guān)于x的方程x有一個(gè)根是x＝1，那么a的值為 2 ；
（2）求滿足x的x的值；
（3）代數(shù)式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）把x＝1代入方程x得1，然后解關(guān)于a的無理方程即可；
（2）利用乘方把無理方程轉(zhuǎn)化為得x+6＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣2，然后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的根；
（3）通過解方程8得到此方程無解可判斷代數(shù)式的值不能等于8．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程x得1，
兩邊平方得3﹣a＝1，解得a＝2，
經(jīng)檢驗(yàn)a＝1是方程1的解；
所以a的值為2；
故答案為2；
（2）x，
方程兩邊平方得x+6＝x2，
解得x1＝3，x2＝﹣2，
經(jīng)檢驗(yàn)，x2＝﹣2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1＝3是原方程的根，
∴原方程的根是x＝3；
（3）代數(shù)式的值不能等于8．
理由如下：8，
移項(xiàng)得8，
兩邊平方得（8﹣x）2+9＝64﹣16x2+9，
整理得x，
兩邊平方得x2+9＝x2，
所以方程無解，
所以，代數(shù)式的值不能等于8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號(hào)）來解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．
【過關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共6小題）
1．（2022春?姜堰區(qū)期中）若代數(shù)式x2﹣4x+a可化為（x﹣b）2﹣1，則a+b是（）
A．5B．4C．3D．2
【分析】將x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1化簡求出a，b的值，代入代數(shù)式求值即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1，
∴x2﹣4x+a＝x2﹣2bx+b2﹣1，
∴2b＝4，a＝b2﹣1，
∴b＝2，a＝22﹣1＝3，
∴a+b＝3+2＝5．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解題的關(guān)鍵．
2．（真題?常州期末）為保護(hù)人民群眾生命安全，減少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：某品牌頭盔從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，若5月份銷售200個(gè)，7月份銷售288個(gè)，設(shè)月增長率為x則可列出方程（）
A．200（1+x）＝288B．200（1+2x）＝288
C．200（1+x）2＝288D．200（1+x2）＝288
【分析】根據(jù)從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，根據(jù)5月份銷售200個(gè)，7月份銷售288個(gè)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)月增長率為x，
根據(jù)題意得，200（1+x）2＝288，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2022?青羊區(qū)模擬）某快遞公司今年一月份完成投遞的快遞總件數(shù)為10萬件，二月份、三月份每月投遞的件數(shù)逐月增加，第一季度總投遞件數(shù)為33.1萬件，問：二、三月份平均每月的增長率是多少？設(shè)平均每月增長的百分率為x，根據(jù)題意得方程（）
A．10（1+x）2＝33.1
B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
C．10+10（1+x）2＝33.1
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
【分析】根據(jù)該快遞公司今年一月份及第一季度完成投遞的快遞總件數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：依題意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
4．（真題?通遼期末）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，豐富學(xué)生的課外生活，為同學(xué)們搭建一個(gè)互相交流的平臺(tái)，學(xué)校要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)（參賽的每兩隊(duì)間比賽一場(chǎng)），根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，學(xué)校計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽．設(shè)學(xué)校應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意列方程為（）
A．x（x+1）＝15B．x（x﹣1）＝15
C．x（x+1）＝15D．x（x﹣1）＝15
【分析】利用安排比賽的場(chǎng)次數(shù)＝邀請(qǐng)參賽的隊(duì)伍數(shù)×（邀請(qǐng)參賽的隊(duì)伍數(shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：依題意得：x（x﹣1）＝15．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2022?常州模擬）香水梨在甘肅白銀境內(nèi)種植歷史悠久，明代就有記載．某水果店以每千克10元的進(jìn)價(jià)進(jìn)了批香水梨，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價(jià)為每千克20元時(shí)，每天可銷售40千克，售價(jià)每上漲1元，每天的銷量將減少3千克．如果該水果店想平均每天獲利408元，設(shè)這種香水梨的售價(jià)上漲了x元，根據(jù)題意可列方程為（）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
C．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
【分析】設(shè)這種香水梨的售價(jià)上漲了x元，則每千克的銷售利潤為（20+x﹣10）元，每天可銷售（40﹣3x）千克，利用每天的銷售利潤＝每千克的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)這種香水梨的售價(jià)上漲了x元，則每千克的銷售利潤為（20+x﹣10）元，每天可銷售（40﹣3x）千克，
依題意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2022?吳中區(qū)模擬）在一次足球邀請(qǐng)賽中，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共比賽21場(chǎng)，設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為（）
A．x（x+1）＝21B．x（x﹣1）＝21C．D．
【分析】根據(jù)參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)且共比賽21場(chǎng)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：依題意得：x（x﹣1）＝21，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共8小題）
7．（2017春?雨城區(qū)校級(jí)月考）若m2+n2﹣6n+4m+13＝0，m2﹣n2＝ ﹣5 ．
【分析】已知等式常數(shù)項(xiàng)13變形為9+4，結(jié)合后利用完全平方公式變形，根據(jù)兩非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出m與n的值，即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵m2+n2﹣6n+4m+13＝（m2+4m+4）+（n2﹣6n+9）＝（m+2）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+2＝0，n﹣3＝0，即m＝﹣2，n＝3，
則m2﹣n2＝4﹣9＝﹣5．
故答案為：﹣5
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
8．（2022春?廣陵區(qū)校級(jí)月考）若實(shí)數(shù)x，y滿足條件2x2﹣6x+y2＝0，則x2+y2+2x的最大值是 15 ．
【分析】先將條件變形，得y2＝﹣2x2+6x，再將x2+y2+2x配方成﹣（x﹣4）2+16，根據(jù)y2＝﹣2x2+6x≥0，求出x的取值范圍，即可求出最大值．
【解答】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，
∴y2＝﹣2x2+6x，
∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，
∵（x﹣4）2≥0，
∴x2+y2+2x≤16，
∵y2＝﹣2x2+6x≥0，
解得0≤x≤3，
當(dāng)x＝3時(shí)，x2+y2+2x取得最大值為15，
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法，熟練掌握配方法以及完全平方式的非負(fù)性是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2022春?大豐區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)容器盛滿純藥液45升，第一次倒出一部分純藥液后，用水加滿；第二次又倒出同樣多的藥液，若此時(shí)容器內(nèi)剩下的純藥液是20升，則每次倒出的液體是 15 升．
【分析】設(shè)每次倒出的液體是x升，則第一次倒出再加滿水后藥液的濃度為100%，根據(jù)第二次又倒出同樣多的藥液后容器內(nèi)剩下的純藥液是20升，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)每次倒出的液體是x升，則第一次倒出再加滿水后藥液的濃度為100%，
依題意得：（45﹣x）?100%＝20，
解得：x1＝15，x2＝75（不合題意，舍去）．
∴每次倒出的液體是15升．
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
10．（2022?南通模擬）“新冠肺炎”防治取得戰(zhàn)略性成果．若有一個(gè)人患了“新冠肺炎”，經(jīng)過兩輪傳染后共有25個(gè)人患了“新冠肺炎”，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了 4 人．
【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x人，則第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染，根據(jù)一人患病經(jīng)過兩輪傳染后共有25個(gè)人患了“新冠肺炎”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x人，則第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染，
依題意得：1+x+x（1+x）＝25，
解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合題意，舍去），
∴每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了4人．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
11．（真題?盱眙縣期末）要利用一面很長的圍墻和100米長的隔離欄建三個(gè)如圖所示的矩形羊圈，若計(jì)劃建成的三個(gè)羊圈總面積為400平方米，則羊圈的邊長AB為多少米？設(shè)AB＝x米，根據(jù)題意可列出方程的為（100﹣4x）x＝400 ．
【分析】設(shè)AB的長度為x，則BC的長度為（100﹣4x）米，然后根據(jù)矩形的面積公式列出方程．
【解答】解：設(shè)AB的長度為x，則BC的長度為（100﹣4x）米．
根據(jù)題意得（100﹣4x）x＝400，
故答案為：（100﹣4x）x＝400．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
12．（真題?金湖縣期末）勞動(dòng)教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場(chǎng)，該農(nóng)場(chǎng)一種作物的產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到507千克．設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則可列方程為 300（1+x）2＝507 ．
【分析】根據(jù)兩年內(nèi)從300千克增加到507千克，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：平均每年增產(chǎn)的百分率為x，
根據(jù)題意得，300（1+x）2＝507，
故答案為：300（1+x）2＝507．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
13．（2022春?泰興市校級(jí)月考）新冠肺炎是一種傳染性極強(qiáng)的疾病，如果有一人患病，經(jīng)過兩輪傳染后有100人患病，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則由題意列出方程 1+x+x（1+x）＝100 ．
【分析】由每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，可得出第一輪傳染中共x人被傳染，第二輪傳染中共x（1+x）人被傳染，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后有100人患病，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，
∴第一輪傳染中共x人被傳染，第二輪傳染中共x（1+x）人被傳染．
依題意得：1+x+x（1+x）＝100．
故答案為：1+x+x（1+x）＝100．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
14．（真題?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)．每瓶零售價(jià)由100元降為81元．已知兩次降價(jià)的百分率相同．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，可列方程為 100（1﹣x）2＝81 ．
【分析】設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格＝降價(jià)前的價(jià)格（1﹣降價(jià)的百分率），則第一次降價(jià)后的價(jià)格是100（1﹣x），第二次后的價(jià)格是100（1﹣x）2，據(jù)此即可列方程．
【解答】解：根據(jù)題意得：100（1﹣x）2＝81．
故答案是：100（1﹣x）2＝81．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．增長率問題：增長率＝增長數(shù)量原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為a，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．
三．解答題（共9小題）
15．（真題?無錫期末）某讀書興趣小組計(jì)劃去書店購買一批定價(jià)為50元/本的書籍，書店表示有兩種優(yōu)惠方案方案一：若購買數(shù)量不超過10本，每本按定價(jià)出售；若超過10本，每增加1本，所有書籍的售價(jià)可比定價(jià)降2元，但售價(jià)不低于35元/本．方案二：前5本按定價(jià)出售，超過5本以上的部分可以打折．
（1）該興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式支付了600元，請(qǐng)你求出購買書籍的數(shù)量；
（2）如果該興趣小組用方案二的優(yōu)惠方式購買（1）中的數(shù)量，請(qǐng)問書店折扣至少低于幾折才能使得實(shí)付金額少于600元？
【分析】（1）利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量可求出按照方案一的優(yōu)惠方式購買書籍10本所需費(fèi)用，由該值小于600可得出讀書興趣小組購買書籍的數(shù)量超過10本，設(shè)讀書興趣小組購買書籍x本，則每本的售價(jià)為（70﹣2x）元．利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合售價(jià)不低于35元/本，即可得出讀書興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式購買書籍15本；
（2）設(shè)書店給出的優(yōu)惠方案二中超過5本以上的部分打y折銷售，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合該興趣小組用方案二的優(yōu)惠方式購買（1）中的數(shù)量且實(shí)付金額少于600元，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵50×10＝500（元），500＜600，
∴讀書興趣小組購買書籍的數(shù)量超過10本．
設(shè)讀書興趣小組購買書籍x本，則每本的售價(jià)為50﹣2（x﹣10）＝（70﹣2x）元，
依題意得：（70﹣2x）x＝600，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20．
當(dāng)x＝15時(shí)，70﹣2x＝70﹣2×15＝40＞35，符合題意；
當(dāng)x＝20時(shí)，70﹣2x＝70﹣2×20＝30＜35，不符合題意，舍去．
答：讀書興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式購買書籍15本．
（2）設(shè)書店給出的優(yōu)惠方案二中超過5本以上的部分打y折銷售，
依題意得：50×5+（15﹣5）×50600，
解得：y＜7．
答：書店折扣至少低于7折才能使得實(shí)付金額少于600元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
16．（2022春?蘇州月考）利用我們學(xué)過的完全平方公式與不等式知識(shí)能解決方程或代數(shù)式的一些問題，閱讀下列兩則材料：
材料一：已知m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0
∴m＝n＝4．
材料二：探索代數(shù)式x2+4x+2與﹣x2+2x+3是否存在最大值或最小值？
①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．
∴代數(shù)式x2+4x+2有最小值﹣2；
②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．
∴代數(shù)式﹣x2+2x+3有最大值4．
學(xué)習(xí)方法并完成下列問題：
（1）代數(shù)式x2﹣6x+3的最小值為 ﹣6 ；
（2）如圖，在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木柵欄圍成一個(gè)長方形花圃，為了設(shè)計(jì)一個(gè)盡可能大的花圃，設(shè)長方形垂直于圍墻的一邊長度為x米，則花圃的最大面積是多少？
（3）已知△ABC的三條邊的長度分別為a，b，c，且a2+b2+74＝10a+14b，且c為正整數(shù)，求△ABC周長的最小值．
【分析】（1）將代數(shù)式配方即可；
（2）設(shè)花圃的面積為S平方米，根據(jù)題意得S＝x（100﹣2x）配方成﹣2（x﹣25）2+1250，即可求出最大面積；
（3）根據(jù)配方法可得a和b的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出c的最小值，進(jìn)一步求周長最小值即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+3＝x2﹣6x+9﹣9+3＝（x﹣3）2﹣6，
∵（x﹣3）2≥0，
∴x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6≥﹣6，
故答案為：﹣6．
（2）設(shè)花圃的面積為S平方米，根據(jù)題意，
得S＝x（100﹣2x）
＝﹣2x2+100x
＝﹣2（x2﹣50x+625﹣625）
＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵﹣2（x﹣25）2≤0，
∴S＝﹣2（x﹣25）2+1250≤1250，
當(dāng)x＝25時(shí)，100﹣50＝50＜100，
∴花圃的最大面積為1250平方米；
（3）∵a2+b2+74＝10a+14b，
∴a2﹣10a+25+b2﹣14b+49＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣7）2＝0，
∴a＝5，b＝7，
∴2＜c＜12，
∵c為正整數(shù)，
∴c最小為3，
∴△ABC周長的最小值為5+7+3＝15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
17．（真題?亭湖區(qū)期末）隨著疫情在國內(nèi)趨穩(wěn)，卻在國外迎來爆發(fā)期，多國采購中國防疫物資需求大增．某工廠建了1條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn)300萬個(gè)，第三天生產(chǎn)432萬個(gè)，若每天生產(chǎn)口罩的個(gè)數(shù)增長的百分率相同，請(qǐng)解答下列問題：
（1）每天增長的百分率是多少？
（2）經(jīng)過一段時(shí)間后，工廠發(fā)現(xiàn)1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900萬個(gè)/天，但如果每增加1條生產(chǎn)線，由于資源調(diào)配等原因每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30萬個(gè)/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩3900萬個(gè)，應(yīng)該建幾條生產(chǎn)線？
【分析】（1）設(shè)每天增長的百分率是x，利用第三天的產(chǎn)量＝第一天的產(chǎn)量×（1+每天增長的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)應(yīng)該增加y條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（900﹣30y）萬個(gè)/天，根據(jù)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩3900萬個(gè)，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再結(jié)合要節(jié)省投入，即可得出應(yīng)該增加4條生產(chǎn)線．
【解答】解：（1）設(shè)每天增長的百分率是x，
依題意得：300（1+x）2＝432，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：每天增長的百分率是20%．
（2）設(shè)應(yīng)該建y條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（900﹣30y）萬個(gè)/天，
依題意得：y[900﹣30（y﹣1）]＝3900，
整理得：y2﹣31y+130＝0，
解得：y1＝5，y2＝26（不合題意舍去）．
答：應(yīng)該增加5條生產(chǎn)線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
18．（真題?姜堰區(qū)期末）學(xué)校打算用21米的籬笆圍成兩間長方形兔舍飼養(yǎng)小兔，兔舍的一面靠墻（如圖，墻足夠長）．
（1）如果AB邊長為x米，求BC邊長（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）若兩間兔舍的總面積是30平方米，求AB的長．
【分析】（1）用總長減去三條垂直于墻的邊長即可求得BC的長；
（2）根據(jù)矩形的面積公式列式求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)AB邊長為x米，則EF＝DC＝AB＝x米，
所以BC＝（21﹣3x）米；
（2）根據(jù)題意得：x（21﹣3x）＝30，
解得：x＝2或x＝5，
答：AB的長為2米或5米．
【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程的應(yīng)用的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠正確的表示出BC的長，難度不大．
19．（2022春?江都區(qū)月考）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會(huì)開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店2021年10月的銷量為3萬件，2021年12月的銷量為3.63萬件．
（1）求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；
（2）假設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率保持不變，則2022年1月“冰墩墩”的銷量有沒有超過4萬件？請(qǐng)利用計(jì)算說明．
【分析】（1）設(shè)月平均增長率為x，利用2021年12月的銷量＝2021年10月的銷量×（1+月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）利用2022年1月的銷量＝2021年12月的銷量×（1+月平均增長率），即可求出2022年1月“冰墩墩”的銷量．
【解答】解：（1）設(shè)月平均增長率為x，
根據(jù)題意，得3（1+x）2＝3.63，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1 （不合題意，舍去）．
答：該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為10%．
（2）假設(shè)保持相同的月平均增長率，那么2022年1月“冰墩墩”的銷量為：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（萬件）．
答：2022年1月“冰墩墩”的銷量為3.993萬件．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算．
20．（2022春?安慶期中）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會(huì)開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)調(diào)查“冰墩墩”每盒進(jìn)價(jià)8元，售價(jià)12元．
（1）商店老板計(jì)劃首月銷售330盒，經(jīng)過首月試銷售，老板發(fā)現(xiàn)單盒“冰墩墩”售價(jià)每增長1元，月銷量就將減少20盒．若老板希望“冰墩墩”月銷量不低于270盒，則每盒售價(jià)最高為多少元？
（2）實(shí)際銷售時(shí)，售價(jià)比（1）中的最高售價(jià)減少了2a元，月銷量比（1）中最低銷量270盒增加了60a盒，于是月銷售利潤達(dá)到了1650元，求a的值．
【分析】（1）設(shè)每盒的售價(jià)為x元，則月銷量為（570﹣20x）盒，根據(jù)月銷量不低于270盒，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；
（2）利用月銷售利潤＝每盒的銷售利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)每盒的售價(jià)為x元，則月銷量為330﹣20（x﹣12）＝（570﹣20x）（盒），
依題意得：570﹣20x≥270，
解得：x≤15．
答：每盒售價(jià)最高為15元；
（2）依題意得：（15﹣2a﹣8）×（270+60a）＝1650，
解得：a1＝1，a2＝﹣2（不合題意，舍去）．
答：a的值為1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
21．（真題?鎮(zhèn)江期末）【閱讀】
小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“換元法”解決了這個(gè)問題．我們一起來看看小明同學(xué)的具體做法．
解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，則方程可變形為a（y+m）2+b＝0，
根據(jù)關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2．
把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，
所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1．
【理解】
已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根m，n．
（1）關(guān)于x的方程ax+bc＝0（a≠0）的兩根分別是 m2，n2 （用含有m、n的代數(shù)式表示）；
（2）方程 ax2+2bx+4c＝0 的兩個(gè)根分別是2m，2n．（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）
【猜想與證明】
觀察下表中每個(gè)方程的解的特點(diǎn)：
（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的兩個(gè)根與方程 cx2+bx+a＝0 的兩個(gè)根互為倒數(shù)；
（2）仿照小明采用的“換元法”，證明你的猜想．
【分析】【理解】（1）令y，根據(jù)題意可得m或n，即可求解方程；
（2）由題意可知m+n，mn，由于方程的兩個(gè)根分別是2m，2n，則2m+2n，am?2n，即可寫出符合條件的方程；
【猜想與證明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的兩個(gè)根與方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的兩個(gè)根互為倒數(shù)；
（2）先將cx2+bx+a＝0變形為，設(shè)，方程可變形為ay2+by+c＝0，設(shè)方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n，則可得方程ay2+by+c＝0的解為y1＝m，y 2＝n，把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x，即可證明．
【解答】解：【理解】（1）令y，
∴方程ax+bc＝0（a≠0）可化為ay2+by+c＝0，
∵ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根m，n，
∴y＝m或y＝n，
∴m或n，
∴x＝m2或x＝n2，
故答案為：m2，n2；
（2）∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根m，n，
∴x＝m或x＝n，
∴m+n，mn，
∵方程的兩個(gè)根分別是2m，2n，
∴2m+2n，am?2n，
∴方程ax2+2bx+4c＝0的兩個(gè)根為2m，2n，
故答案為：ax2+2bx+4c＝0；
【猜想與證明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的兩個(gè)根與方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的兩個(gè)根互為倒數(shù)，
故答案為：cx2+bx+a＝0；
（2）證明：由cx2+bx+a＝0兩邊同除以x2，得，
設(shè)，方程可變形為ay2+by+c＝0，
設(shè)方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n，
可得方程ay2+by+c＝0的解是y1＝m，y 2＝n，
把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x，
所以方程cx2+bx+a＝0的解是，，
即方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根與方程cx2+bx+a＝0的兩個(gè)根互為倒數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查無理方程的解，理解題意，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用換元法解方程是解題的關(guān)鍵．
22．（真題?儀征市期末）用一面足夠長的墻為一邊，其余各邊用總長42米的圍欄建成如圖所示的生態(tài)園，中間用圍欄隔開．由于場(chǎng)地限制，垂直于墻的一邊長不超過7米．（圍欄寬忽略不計(jì)）
（1）若生態(tài)園的面積為144平方米，求生態(tài)園垂直于墻的邊長；
（2）生態(tài)園的面積能否達(dá)到150平方米？請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）設(shè)生態(tài)園垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為（42﹣3x）米，根據(jù)矩形的面積公式列出方程并解答；
（2）根據(jù)矩形的面積公式列出方程，由一元二次方程根的判別式符號(hào)判定所列方程是否有根，據(jù)此進(jìn)行判定．
【解答】解：（1）設(shè)生態(tài)園垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為（42﹣3x）米，
依題意，得（42﹣3x）x＝144．
解得x1＝6，x2＝8．
由于x2＝8＞7，所以不合題意，舍去．
所以x＝6符合題意．
答：生態(tài)園垂直于墻的邊長為6米；
（2）依題意，得（42﹣3x）x＝150．
整理，得x2﹣14x+50＝0．
因?yàn)棣ぃ剑ī?4）2﹣4×1×50＝﹣4＜0．
所以該方程無解．
所以生態(tài)園的面積不能達(dá)到150平方米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程并解答．
23．（真題?泗陽縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）BP＝（12﹣2t） cm；BQ＝ 4t cm；（用t的代數(shù)式表示）
（2）D是AC的中點(diǎn)，連接PD、QD，t為何值時(shí)△PDQ的面積為40cm2？
【分析】（1）根據(jù)速度×?xí)r間＝路程列出代數(shù)式即可；
（2）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，利用三角形中位線定理求得DH的長度；然后根據(jù)題意和三角形的面積列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案是：（12﹣2t）；4t；
（2）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC．
∴AB∥DH．
又∵D是AC的中點(diǎn)，
∴BHBC＝12cm，DH是△ABC的中位線．
∴DHAB＝6cm．
根據(jù)題意，得（12﹣2t）（24﹣4t）×62t×12＝40，
整理，得t2﹣6t+8＝0．
解得：t1＝2，t2＝4，
即當(dāng)t＝2或4時(shí)，△PBQ的面積是40cm2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，列出等量關(guān)系．
組別
人數(shù)（人）
總金額（元）
甲
b2
乙
2b﹣5
方程
方程的解
方程
方程的解
x2+4x+3＝0
x1＝﹣3，x2＝﹣1
3x2+4x+1＝0
x11
2x2﹣7x+3＝0
x13
3x2﹣7x+2＝0
x1＝2，x2
x2﹣2x﹣8＝0
x1＝4，x2＝﹣2
8x2+2x﹣1＝0
x1，x2
…
…
…
…

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