第03講：一元二次方程根與系數(shù)的關系【考點梳理】考點一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為： (1) 當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根： ；(2) 當時，方程有兩個相等的實數(shù)根：；(3) 當時，方程沒有實數(shù)根．由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式：.考點二、一元二次方程的根與系數(shù)的關系一元二次方程的兩個根為：.所以：，.定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么： .說明：一元二次方程根與系數(shù)的關系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為韋達定理．上述定理成立的前提是．       【專題突破】一、單選題1．已知一元二次方程的兩根為與，則（       ）A． B． C． D．2．已知，是關于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，并且滿足，則實數(shù)的直是（       ）A． B．3C．或3 D．或13．若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（     ）A． B． C．，且 D．，且4．已知是一元二次方程的兩實根，則代數(shù)式的值是（       ）A．7 B．1 C．5 D．5．關于的一元二次方程：有兩個實數(shù)根、，則=（       ）A． B． C．4 D．-46．關于的方程有兩個不等的實根，則的取值范圍是（       ）A．  B． C． D．7．已知關于的方程的兩根分別是，且滿足，則的值是（       ）A．1 B．2 C．3 D．48．若、是一元二次方程的兩個不相等的根，則的值是（       ）A．3 B．15 C．-3 D．-159．若，是方程的兩個根，且，則的值為.A．或2 B．1或 C． D．110．已知正實數(shù)滿足，為方程的根，則（       ）A． B． C． D．11．若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（       ）A． B． C． D．12．若一元二次方程的兩個根分別為a，b，則的值為（       ）A．-4 B．-2 C．0 D．113．在中，a、b、c為三角形三條邊，且方程有兩個相等的實數(shù)根，則該三角形是（       ）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形14．已知關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根為，且，則的值為（       ）A．或 B． C． D．15．已知，是一元二次方程的兩個實根，則的值為（       ）A． B． C． D．16．關于的一元二次方程的兩實數(shù)根、，滿足，則的值是（       ）A． B． C．或 D．或二、填空題17．若和分別是一元二次方程的兩根，則的是_____________.18．若、是一元二次方程的兩個根，則的值為___________.19．已知，是方程的兩個根，則____________.20．若關于x的方程的兩個實數(shù)根為，且，則實數(shù)m的值為___________.21．已知關于的方程有兩個實數(shù)根、，若，則的值為________22．已知是方程的兩根，且，則的值______．三、解答題23．已知關于x的方程．（1）求證：對于任意實數(shù)m方程總有實數(shù)根；（2）若是原方程的兩根，且，求m的值．24．已知方程的兩根為與，求下列各式的值：（1）；（2）．25．已知關于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍；（2）當k取滿足（1）中條件的最小整數(shù)時，設方程的兩根為α和β，求代數(shù)式α3+β2+β+2016的值．26．已知一元二次方程的兩根分別是，利用根與系數(shù)的關系求下列式子的值：（1）；（2）（3）．27．已知關于x的方程.（1）若，方程兩根分別為，，求和的值；（2）若方程有一正數(shù)，有一負數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.28．設是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值．(1) ；(2) ；(3) ；(4) .29．已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根．（1）是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（2）若是整數(shù)，求使的值為整數(shù)的所有的值．30．已知關于的方程有兩個不等實根.（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設方程的兩個實根為，且，求實數(shù)的值；（Ⅲ）請寫出一個整數(shù)的值，使得方程有兩個正整數(shù)的根.（結論不需要證明）
參考答案：1．B【解析】【分析】利用根與系數(shù)關系求得的正確結果.【詳解】依題意一元二次方程的兩根為與，所以，所以.故選：B2．B【解析】【分析】利用韋達定理求解即可.【詳解】因為，是一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，所以，，所以，解得或，又因為，得，所以.故選：B.【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，屬于簡單題.3．C【解析】【分析】由題意可得，從而可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由方程有兩個不相等的實數(shù)根可知，此方程為一元二次方程且判別式大于零，即可得 ，解得，且.故選:C.【點睛】本題考查了一元二次方程根的分布問題.本題的關鍵是由不同兩根得判別式大于零.本題的易錯點是忽略了這一條件.4．D【解析】將目標式展開，利用韋達定理，代值計算即可.【詳解】∵是一元二次方程的兩實根，∴，∴．故選：D【點睛】本題考查韋達定理的應用，屬基礎題.5．D【解析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，得到，化簡，代入即可求解.【詳解】由有兩個實數(shù)根，可得，所以．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程方程的性質及其應用，其中解答中熟記一元二次方程的根與系數(shù)的關系是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.6．D【解析】根據(jù)題意得且，解不等式即可得答案.【詳解】解：因為關于的方程有兩個不等的實根且，即：且，解得且.故選：D.【點睛】本題考查一元二次方程的實數(shù)根問題，是基礎題.7．B【解析】【分析】根據(jù)韋達定理求解即可.【詳解】因為關于的方程的兩根分別是,故.故,解得.故選：B【點睛】本題主要考查了韋達定理的應用,屬于基礎題.8．B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系即可求解.【詳解】∵、是一元二次方程的兩個不相等的根，∴，即，由根與系數(shù)的關系可知：，∴.故選：B【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，考查了運算能力，屬于中檔題.9．D【解析】【分析】列出韋達定理的相關式子，將對應式子代入中計算的值，注意.【詳解】由一元二次方程根與系數(shù)的關系，得，.因為，所以.解得，.又由，解得.綜上，的值為1.故選D.【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關系，難度較易.一元二次方程的兩個根為，則：.10．A【解析】【分析】先由，求出的值，根據(jù)韋達定理，得到，，進而可求出結果.【詳解】由解得或，因為為正實數(shù)，所以，又為方程的根，所以，；因此.故選A【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)關系的應用，熟記根與系數(shù)關系即可，屬于基礎題型.11．C【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出，將其代入中即可求出結論.【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴，.故選：C.【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關鍵.12．B【解析】由方程的兩個根分別為a，b，由根與系數(shù)的關系，可知， ，代入即可得到答案.【詳解】方程的兩個根分別為a，b，由韋達定理可得：故選：B.【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查學生的運算能力，屬于基礎題.13．A【解析】【分析】利用方程根的判別式可得，結合勾股定理的逆定理即可.【詳解】因為方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，即，所以所以所以是直角三角形.故選：A14．B【解析】【分析】根據(jù)韋達定理以及，列方程可得的值，再檢驗是否滿足即可.【詳解】因為關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根為，所以，，由且，可得：，即，解得：或，因為，可得，所以，故選：B.15．A【解析】【分析】用韋達定理求出兩根和與積，再代入計算．【詳解】由題意，，∴．故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關系，屬于基礎題．16．B【解析】【分析】利用韋達定理結合判別式求出實數(shù)的值，再結合韋達定理可求得的值.【詳解】由題意可知，可得，由韋達定理可得，因為，則，原方程為，所以，，故，因此，.故選：B.17．【解析】【分析】由韋達定理得， ，進而求解．【詳解】解：由韋達定理：， ，.故答案為：.【點睛】本題考查韋達定理，兩根只差與兩根之和、兩根之積的關系．18．【解析】【分析】列出韋達定理，由可求得的值.【詳解】對于方程，，故原方程必有兩根，又根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關系，可得，.所以.故答案為：.【點睛】本題考查利用韋達定理求值，考查計算能力，屬于基礎題.19．32【解析】【分析】由題得的值，再把韋達定理代入得解.【詳解】由題得.所以.故答案為32【點睛】本題主要考查一元二次方程的韋達定理的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.20．【解析】【分析】由題知，，再根據(jù)韋達定理求解得，進而解方程得【詳解】解：因為關于x的方程的兩個實數(shù)根為，所以，，所以 所以，因為，所以，即，解得 因為，所以故答案為：21．4【解析】將，變形為，根據(jù)方程有兩個實數(shù)根、，得到，再代入上式求解.【詳解】因為方程有兩個實數(shù)根、，所以，因為，所以，，即，解得或（舍去）故答案為：422．或【解析】【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關系得到韋達定理，化簡，代入韋達定理，解出即可.【詳解】解：因為是方程的兩根所以，又因為，即所以，解得或故答案為或【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，韋達定理得應用，屬于基礎題.23．（1）證明見詳解；（2）或【解析】（1）對參數(shù)進行分類討論，當為二次方程時，關注的正負即可；（2）根據(jù)韋達定理，將目標式進行轉化，代值即可求得.【詳解】（1）證明：當時，方程化為，即，方程有一個實根；當時，，方程有兩個實根．綜上，對于任意實數(shù)m方程總有實數(shù)根．（2）∵是方程的兩根，∴．又∵，∴，∴，整理，得，解得或．【點睛】本題考查二次方程根的情況與參數(shù)之間的關系，以及韋達定理的應用，屬基礎題.24．（1）；（2）【解析】（1）由方程的根為與，結合韋達定理，求得兩根之和與兩根之積，再提取公因式，將轉化為進行求解；（2）將進行通分，由韋達定理即可求得.【詳解】由方程得．（1）；（2）．【點睛】本題考查由韋達定理，求解的代數(shù)式的值，屬基礎題.25．（1）k＞﹣且k≠0；（2）2020.【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可；（2）k＝1．方程變?yōu)?/span>x2﹣x﹣1＝0，利用根與系數(shù)的關系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定義得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，則β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整體代入的方法計算α3+β2+β+2016的值．【詳解】（1）根據(jù)題意得k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0；（2）∵k取滿足（1）中條件的最小整數(shù)，∴k＝1．此時方程變?yōu)?/span>x2﹣x﹣1＝0，∴α+β＝1，αβ＝﹣1，∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，∴β2＝β+1，α2＝α+1∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，α3+β2+β+2016＝2α+1+β+1+β+2016＝2（α+β）+2018＝2×1+2018＝2020．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式．26．（1）；（2）11；（3）-36【解析】利用韋達定理寫出兩根之和與兩根之積.（1）應用，代值計算即可；（2）將目標式轉化為，代值計算即可；（3）利用公式，將目標式轉化為，代值計算即可.【詳解】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得．（1）∵∴．（2）．（3）．【點睛】本題考查利用韋達定理，求解的混合式的值，需要注意第三問中的轉化，需要牢記三次方公式.27．（1），（2）【解析】【分析】（1）由，，借助韋達定理求解.（2）借助韋達定理表示方程有一正數(shù)，有一負數(shù)根的等價條件，進而求解.【詳解】（1）當時，即：因此：（2）【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關系的應用，考查了學生轉化與劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.28．（1）（2）3 （3）（4）【解析】【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關系得到韋達定理，然后將各小問所求代數(shù)式化簡處理，代入韋達定理即可.【詳解】解：∵是方程的兩個根，∴(1)原式；(2)原式；(3)原式；(4)原式.29．（1）不存在k；理由見解析；（2）．【詳解】（1）假設存在實數(shù)k，使成立．∵一元二次方程的兩個實數(shù)根∴，又，是一元二次方程的兩個實數(shù)根∴∴，但 ．∴不存在實數(shù)k，使成立．（2）∵∴要使其值是整數(shù)，只需能整除4，∴，，，注意到，要使的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值為－2，－3，－5．所以的值為30．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）依題意，解得即可；（Ⅱ）利用韋達定理得到，再代入方程，解得即可；（Ⅲ）依題意找出合適的即可；【詳解】解：（Ⅰ）因為方程有兩個不相等實數(shù)根，所以，即，解得，即（Ⅱ）因為方程的兩個實根為，所以，，又，所以，解得或，又，所以（Ⅲ）當時，方程，解得，滿足條件；

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