一．圓的認識
（1）圓的定義
定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．
（2）與圓有關(guān)的概念
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．
連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?br>（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．
二．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br> 推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br> 推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．
三．垂徑定理的應(yīng)用
垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：
（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．
這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．
四．圓心角、弧、弦的關(guān)系
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?br>（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系
三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．
五．點與圓的位置關(guān)系
（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外?d＞r
②點P在圓上?d＝r
①點P在圓內(nèi)?d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．
（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
【考點剖析】
一．圓的認識（共5小題）
1．（2022?興化市模擬）如圖所示，MN為⊙O的弦，∠N＝52°，則∠MON的度數(shù)為（ ）
A．38°B．52°C．76°D．104°
2．（真題?東麗區(qū)期末）已知⊙O的半徑是6cm，則⊙O中最長的弦長是（ ）
A．6cmB．12cmC．16cmD．20cm
3．（真題?白云區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，∠BCD＝40°，則∠A＝ ．
4．（2019秋?宜興市期中）如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度數(shù)．
5．（真題?巨野縣期末）已知⊙O的半徑是6cm，則⊙O中最長的弦長是 cm．
二．垂徑定理（共3小題）
6．（2022?南沙區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑為10，弦AB＝8，P是弦AB上一動點，那么OP長的取值范圍是 ．
7．（真題?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若BE＝5，CD＝6，求AE的長．
8．（2022?南京一模）如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點D的坐標為 ．
三．垂徑定理的應(yīng)用（共3小題）
9．（真題?伊通縣期末）在直徑為200cm的圓柱形油箱內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖（油面在圓心下）：若油面的寬AB＝160cm，則油的最大深度為 ．
10．（真題?姜堰區(qū)期末）《九章算術(shù)》記載：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？翻譯：現(xiàn)有圓柱形木材，埋在墻壁里（如圖①），不知道其直徑的大小，于是用鋸子（沿橫截面）鋸它（如圖②），當量得深度CE為1寸時，鋸開的寬度AB為1尺，問木材的直徑CD是 寸．（1尺＝10寸）
11．（2021?裕華區(qū)校級模擬）如圖所示，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C為AB的中點，D為弧AB的中點）．
（1）求該圓弧所在圓的半徑；
（2）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，求橋墩的高度．
四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共3小題）
12．（真題?臨邑縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D是⊙O上的點，若∠CAB＝25°，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．65°B．55°C．60°D．75°
13．（真題?鼓樓區(qū)校級月考）下列說法中，不正確的是（ ）
A．在同圓或等圓中，若兩弧相等，則他們所對的弦相等
B．在同一個圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對的劣弧的度數(shù)為60°
C．在同一個圓中，若兩弧不等，則大弧所對的圓心角較大
D．若兩弧的度數(shù)相等，則這兩條弧是等弧
14．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點F，D，G，且D是的中點．
（1）求證AB＝AC；
（2）連接DF，當DF∥AC時，若AB＝10，BC＝12，求CE的長．
五．點與圓的位置關(guān)系（共3小題）
15．（真題?沭陽縣期末）若⊙O的直徑為10，點A到圓心O的距離為6，那么點A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點A在圓外B．點A在圓上C．點A在圓內(nèi)D．不能確定
16．（2022?常州模擬）如圖，A，B，C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點D處建一個5G基站，其覆蓋半徑為300m，則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
17．（真題?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，點D是AB的中點，若以點D為圓心，r為半徑作⊙D，使點B在⊙D內(nèi)，點C在⊙D外，試求r的取值范圍．
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．（2021·江蘇泰州市·）的半徑為，點到圓心的距離為，點與的位置關(guān)系是（ ）
A．點在內(nèi)B．點在上C．點在外D．無法確定
2．（江蘇泰州市·八年級期中）如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點，且OM最小值為4，⊙O的半徑為（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2020·射陽縣第二初級中學(xué)）平面內(nèi)，若⊙O的半徑為3，OP＝2，則點P在（ ）
A．⊙O內(nèi)B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能
4．（2020·江蘇宿遷市·八年級期中）直角三角形三邊垂直平分線的交點位于三角形的（ ）
A．三角形內(nèi)B．三角形外C．斜邊的中點D．不能確定
5．（2020·鎮(zhèn)江市江南學(xué)校八年級月考）在平面直角坐標系內(nèi)點A、點B的坐標是分別為（0,3）、（4,3），在坐標軸上找一點C，使是等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)是（ ）
A．5個B．6個
C．7個D．8個
6．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校八年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，點P為平面內(nèi)一點且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（ ）
A．10B．8C．7D．9
二、填空題
8．（2020·射陽縣第二初級中學(xué)）下列說法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個圓是同心圓；③兩個半圓是等??；④經(jīng)過圓內(nèi)一定點可以作無數(shù)條直徑．正確的是______填序號．
9．（2020·江蘇蘇州市·蘇州草橋中學(xué)八年級期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，以點為圓心，5為半徑作圓，則該圓與軸分別交于點，則三角形的面積為________．
10．（2021·江蘇泰州市·）如圖，的直徑，弦，垂足為，，則的長為______．
11．（2021·江蘇鹽城市·景山中學(xué)八年級期末）如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓心角的度數(shù)是__________．
12．（2020·揚州市江都區(qū)國際學(xué)校八年級期中）如圖是一個俱樂部的徽章.徽章的圖案是一個金色的圓圈，中間是一個矩形，矩形中間又有一個藍色的菱形，徽章的直徑為10cm，則徽章內(nèi)的菱形的邊長為_____cm．

13．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，AB為的直徑，弦于點H，若，，則OH的長度為__．
14．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長為10cm，則圓心O到AB的距離為_____cm．
15．（2017·江蘇鹽城市·東臺市實驗中學(xué)八年級月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動．在運動過程中，點B到原點的最大距離是________
16．（2019·沭陽縣修遠中學(xué)八年級期末）已知以點C（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標準方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）為圓心，半徑為2的圓的標準方程為（x－2）2＋（y－3）2＝4，則以原點為圓心，過點P（1，0）的圓的標準方程為____.
17．（2019·江蘇揚州市·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直線AB上的動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B/CP，連接B/A，B/A長度的最小值是m，B/A長度的最大值是n，則m+n的值等于______.
18．（2021·江蘇八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負半軸于點，則點的坐標為__________．
19．（2021·江蘇鹽城市·）如圖，在矩形紙片ABCD中，邊AB=12，AD=5，點P為DC邊上的動點（點P不與點D，C重合，將紙片沿AP折疊，則CD′的最小值為___．
三、解答題
20．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）已知四邊形ABCD為菱形，點E、F、G、H分別為各邊中點，判斷E、F、G、H四點是否在同一個圓上，如果在同一圓上，找到圓心，并證明四點共圓；如果不在，說明理由．
21．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，求弦BD的長
22．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，求線段AE的長．
23．（2019·江蘇揚州市·八年級期中）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點A為一動點，點B和點C 為兩個定點，且BC=a，AB=b.（a>b）
填空：當點A位于______時，線段AC的長取得最小值，且最小值為______(用含a，b的式子表示)
（2）應(yīng)用：點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE.
①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長的最小值.
③如圖3所示，分別以AB，AC為邊，作正方形ADEB和正方形ACFG，連接CD，BG.圖中線段CD，BG的關(guān)系是____________，線段BG 的最大值是__________.
24．（2021·江蘇鹽城市·景山中學(xué)八年級期末）我們知道，直角坐標系是研究“數(shù)形結(jié)合”的重要工具．請?zhí)剿餮芯肯铝袉栴}：
（1）如圖1，點A的坐標為（-5，1），將點A繞坐標原點（0，0）按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得對應(yīng)點，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，求k的值．
（2）將（1）中的的圖像繞坐標原點（0，0）按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，如圖2，旋轉(zhuǎn)后的圖像與x軸相交于點B，若直線x=與旋轉(zhuǎn)后的圖像交于點C與點D，求△BCD的面積．
（3）在（2）的情況下，半徑為6的M的圓心M在x軸上，如圖3，若要使△BCD完全在M的內(nèi)部，求M的圓心M橫坐標xm的范圍（直接寫出結(jié)果，不必寫詳細的解答過程）．
第04講圓與圓的對稱性（核心考點講與練）
【基礎(chǔ)知識】
一．圓的認識
（1）圓的定義
定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．
（2）與圓有關(guān)的概念
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．
連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．
（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．
二．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br> 推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br> 推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?br>三．垂徑定理的應(yīng)用
垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：
（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．
這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．
四．圓心角、弧、弦的關(guān)系
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?br>（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系
三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．
五．點與圓的位置關(guān)系
（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外?d＞r
②點P在圓上?d＝r
①點P在圓內(nèi)?d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．
（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
【考點剖析】
一．圓的認識（共5小題）
1．（2022?興化市模擬）如圖所示，MN為⊙O的弦，∠N＝52°，則∠MON的度數(shù)為（ ）
A．38°B．52°C．76°D．104°
【分析】根據(jù)半徑相等得到OM＝ON，則∠M＝∠N＝52°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算∠MON的度數(shù)．
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝52°，
∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．
故選：C．
【點評】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．
2．（真題?東麗區(qū)期末）已知⊙O的半徑是6cm，則⊙O中最長的弦長是（ ）
A．6cmB．12cmC．16cmD．20cm
【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解．
【解答】解：∵圓的直徑為圓中最長的弦，
∴⊙O中最長的弦長為12cm．
故選：B．
【點評】本題考查了圓的認識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（ 弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．
3．（真題?白云區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，∠BCD＝40°，則∠A＝ 20° ．
【分析】由半徑相等得CB＝CD，則∠B＝∠CDB，在根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠B（180°﹣∠BCD）＝70°，然后利用互余計算∠A的度數(shù)．
【解答】解：∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB，
∵∠B+∠CDB+∠BCD＝180°，
∴∠B（180°﹣∠BCD）（180°﹣40°）＝70°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝20°．
故答案為20°．
【點評】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了三角形內(nèi)角和定理．
4．（2019秋?宜興市期中）如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度數(shù)．
【分析】連接OD，如圖，由AB＝2DE，AB＝2OD得到OD＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠DOE＝∠E＝20°，再利用三角形外角性質(zhì)得到∠CDO＝40°，加上∠C＝∠ODC＝40°，然后再利用三角形外角性質(zhì)即可計算出∠AOC．
【解答】解：連接OD，如圖，
∵AB＝2DE，
而AB＝2OD，
∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝20°，
∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝40°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°．
【點評】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
5．（真題?巨野縣期末）已知⊙O的半徑是6cm，則⊙O中最長的弦長是 12 cm．
【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解．
【解答】解：∵圓的直徑為圓中最長的弦，
∴⊙O中最長的弦長為2×6＝12（cm）．
故答案為：12．
【點評】本題考查了圓的認識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（ 弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．
二．垂徑定理（共3小題）
6．（2022?南沙區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑為10，弦AB＝8，P是弦AB上一動點，那么OP長的取值范圍是 3≤OP≤5 ．
【分析】因為⊙O的直徑為10，所以半徑為5，則OP的最大值為5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的長，所以，過點O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM＝3，即OP的最小值為3，所以3≤OP≤5．
【解答】解：如圖：連接OA，作OM⊥AB與M，
∵⊙O的直徑為10，
∴半徑為5，
∴OP的最大值為5，
∵OM⊥AB與M，
∴AM＝BM，
∵AB＝8，
∴AM＝4，
在Rt△AOM中，OM，
OM的長即為OP的最小值，
∴3≤OP≤5．
【點評】解決本題的關(guān)鍵是確定OP的最小值，所以求OP的范圍問題又被轉(zhuǎn)化為求弦的弦心距問題，而解決與弦有關(guān)的問題時，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2＝d2+（）2成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．
7．（真題?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若BE＝5，CD＝6，求AE的長．
【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出圓的半徑，進而求出AE的長即可．
【解答】解：如圖，連接OC，
∵CD⊥AB，AB是直徑，
∴CE＝DECD＝3，
在Rt△COE中，設(shè)半徑為r，則OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，
OE2+CE2＝OC2，
即（5﹣r）2+32＝r2，
解得r＝3.4，
∴AE＝AB﹣BE＝3.4×2﹣5＝1.8，
答：AE的長為1.8．
【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理是正確解答的前提．
8．（2022?南京一模）如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點D的坐標為 （0，﹣4） ．
【分析】設(shè)圓心為P，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥CD于點F，先根據(jù)垂徑定理可得EA＝EB＝4，F(xiàn)C＝FD，進而可求出OE＝2，再設(shè)P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，進而可得點D坐標．
【解答】解：設(shè)圓心為P，過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥CD于點F，則EA＝EB4，F(xiàn)C＝FD，
∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，
∴E（2，0），
設(shè)P（2，m），則F（0，m），
連接PC、PA，
在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，
在Rt△APE中，PA2＝m2+42，
∵PA＝PC，
∴（3﹣m）2+22＝m2+42，
∴m（舍正），
∴F（0，），
∴CF＝DF，
∴OD＝OF+DF4，
∴D（0，﹣4），
故答案為：（0，﹣4）．
【點評】本題考查垂徑定理，涉及到平面直角坐標系，勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用半徑相等列方程．
三．垂徑定理的應(yīng)用（共3小題）
9．（真題?伊通縣期末）在直徑為200cm的圓柱形油箱內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖（油面在圓心下）：若油面的寬AB＝160cm，則油的最大深度為 40cm ．
【分析】連接OA，過點O作OE⊥AB，交AB于點M，由垂徑定理求出AM的長，再根據(jù)勾股定理求出OM的長，進而可得出ME的長．
【解答】40cm解：連接OA，過點O作OE⊥AB，交AB于點M，
∵直徑為200cm，AB＝160cm，
∴OA＝OE＝100cm，AM＝80cm，
∴OM60cm，
∴ME＝OE﹣OM＝100﹣60＝40cm．
故答案為40cm．
【點評】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
10．（真題?姜堰區(qū)期末）《九章算術(shù)》記載：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？翻譯：現(xiàn)有圓柱形木材，埋在墻壁里（如圖①），不知道其直徑的大小，于是用鋸子（沿橫截面）鋸它（如圖②），當量得深度CE為1寸時，鋸開的寬度AB為1尺，問木材的直徑CD是 26 寸．（1尺＝10寸）
【分析】連接OA，設(shè)⊙O的半徑為x寸，則OE＝（x﹣1）寸，由垂徑定理得AD＝BDAB＝5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：連接OA，如圖：
設(shè)⊙O的半徑為x寸，則OE＝（x﹣1）寸，
∵OE⊥AB，AB＝10寸，
∴AD＝BDAB＝5（寸），
在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+52，
解得：x＝13，
∴⊙O的直徑AC＝2x＝26（寸），
即木材的直徑CD是26寸，
故答案為：26．
【點評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．
11．（2021?裕華區(qū)校級模擬）如圖所示，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C為AB的中點，D為弧AB的中點）．
（1）求該圓弧所在圓的半徑；
（2）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，求橋墩的高度．
【分析】（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點，CD⊥AB于C，延長DC經(jīng)過O點，設(shè)⊙O的半徑為R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂徑定理以及勾股定理得出AO的長，再求出EF的長即可．
【解答】解：（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點，CD⊥AB于C，延長DC經(jīng)過O點，設(shè)⊙O的半徑為R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）OH⊥FE于H，則OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF中，HF16，
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），
∴在離橋的一端4米處，橋墩高4米．
【點評】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形結(jié)合勾股定理得出是解題關(guān)鍵．
四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共3小題）
12．（真題?臨邑縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D是⊙O上的點，若∠CAB＝25°，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．65°B．55°C．60°D．75°
【分析】由AB為⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠CAB＝25°，得出∠B的度數(shù)，根據(jù)同弧所對的圓周角相等繼而求得∠ADC的度數(shù)．
【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，
∴∠ADC＝∠ABC＝65°．
故選：A．
【點評】本題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
13．（真題?鼓樓區(qū)校級月考）下列說法中，不正確的是（ ）
A．在同圓或等圓中，若兩弧相等，則他們所對的弦相等
B．在同一個圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對的劣弧的度數(shù)為60°
C．在同一個圓中，若兩弧不等，則大弧所對的圓心角較大
D．若兩弧的度數(shù)相等，則這兩條弧是等弧
【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理對各個選項進行判斷即可．
【解答】解：A、在同圓或等圓中，若兩弧相等，則他們所對的弦相等，正確；
B、在同一個圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對的劣弧的度數(shù)為60°，正確；
C、在同一個圓中，若兩弧不等，則大弧所對的圓心角較大，正確；
D、若兩弧的度數(shù)相等，則這兩條弧不一定是等弧，錯誤．
故選：D．
【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等，注意在同圓和等圓中這個條件不能忽略．
14．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點F，D，G，且D是的中點．
（1）求證AB＝AC；
（2）連接DF，當DF∥AC時，若AB＝10，BC＝12，求CE的長．
【分析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠EDA＝90°，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得到∠BAD＝∠CAD，進而證明∠B＝∠C，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論；
（2）連接DF，DG，證明△AEC∽△DGC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)勾股定理求出DE，進而求出CE．
【解答】（1）證明：連接AD，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠EDA＝90°，
∵D是的中點，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：連接DF，DG．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝10，BC＝12，
∴AC＝10，CD＝6，
由勾股定理得：AD8，
∵DF∥AC，
∴，
∴BF＝FA，
在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，
∴DG＝DFAB＝5，
∴DG＝DF＝5，
∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，
∴△AEC∽△DGC，
∴，即，
解得：AE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE，AD＝8，
∴DE，
∴EC＝CD﹣DE．
【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，根據(jù)△AEC∽△DGC求出AE是解題的關(guān)鍵．
五．點與圓的位置關(guān)系（共3小題）
15．（真題?沭陽縣期末）若⊙O的直徑為10，點A到圓心O的距離為6，那么點A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點A在圓外B．點A在圓上C．點A在圓內(nèi)D．不能確定
【分析】根據(jù)題意得⊙O的半徑為5cm，則點A到圓心O的距離小于圓的半徑，則根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可判斷點A在⊙O內(nèi)．
【解答】解：∵⊙O的直徑為10，
∴⊙O的半徑為5，
而圓心O的距離為6，
∴點A在⊙O外．
故選：A．
【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．
16．（2022?常州模擬）如圖，A，B，C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點D處建一個5G基站，其覆蓋半徑為300m，則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理證得△ABC是直角三角形，可以根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得BD的長，然后與300m比較大小，即可解答本題．
【解答】解：∵AB＝300cm，BC＝400cm，AC＝500cm，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∵點D是斜邊AC的中點，
∴AD＝CD＝250cm，BDAC＝250cm，
∵250＜300，
∴點A、B、C都在圓內(nèi)，
∴這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是A，B，C．
故選：D．
【點評】本題考查點和圓的位置關(guān)系，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是求出三角形三個頂點到D點的距離．
17．（真題?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，點D是AB的中點，若以點D為圓心，r為半徑作⊙D，使點B在⊙D內(nèi)，點C在⊙D外，試求r的取值范圍．
【分析】連接CD，過點A作AE⊥BC于點E．過點D作DF⊥BC于點F，顯然DF∥AE，解直角三角形求出CD，BD即可判斷．
【解答】解：連接CD，過點A作AE⊥BC于點E．過點D作DF⊥BC于點F，顯然DF∥AE，
∵AB＝AC＝2，BC＝4，
∴BEBC＝2，
∴AE4，
∵點D是AB中點，即DF是中位線
∴DFAE＝2，BFBE＝1，
∴CF＝3，
∴CD，
又DBAB，
∴r的取值范圍是r．
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．（2021·江蘇泰州市·）的半徑為，點到圓心的距離為，點與的位置關(guān)系是（ ）
A．點在內(nèi)B．點在上C．點在外D．無法確定
【答案】C
【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得．
【詳解】解：，
點在外，
故選：C．
【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2．（江蘇泰州市·八年級期中）如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點，且OM最小值為4，⊙O的半徑為（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】當OM⊥AB時值最?。鶕?jù)垂徑定理和勾股定理求解．
【詳解】解：根據(jù)直線外一點到直線的線段中，垂線段最短，知：當OM⊥AB時，為最小值4，
連接OA，
根據(jù)垂徑定理，得：BM=AB=3，
根據(jù)勾股定理，得：OA==5，
即⊙O的半徑為5．
故選：A．
【點睛】本題考查了垂徑定理，主要運用了垂徑定理、勾股定理求得半徑．特別注意能夠分析出OM的最小值．
3．（2020·射陽縣第二初級中學(xué)）平面內(nèi)，若⊙O的半徑為3，OP＝2，則點P在（ ）
A．⊙O內(nèi)B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能
【答案】A
【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；點與圓心的距離d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內(nèi)．
【詳解】∵OP＜3，
∴點P在⊙O內(nèi)部．
故選A．
【點睛】此題考查點與圓的位置關(guān)系的判斷．解題關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內(nèi)．
4．（2020·江蘇宿遷市·八年級期中）直角三角形三邊垂直平分線的交點位于三角形的（ ）
A．三角形內(nèi)B．三角形外C．斜邊的中點D．不能確定
【答案】C
【分析】垂直平分線的交點是三角形外接圓的圓心，由此可得出此交點在斜邊中點．
【詳解】∵直角三角形的外接圓圓心在斜邊中點，
∴直角三角形三邊垂直平分線的交點位于三角形的斜邊中點．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了三角形外接圓的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.
5．（2020·鎮(zhèn)江市江南學(xué)校八年級月考）在平面直角坐標系內(nèi)點A、點B的坐標是分別為（0,3）、（4,3），在坐標軸上找一點C，使是等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)是（ ）
A．5個B．6個
C．7個D．8個
【答案】C
【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三種情況（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）討論，通過畫圖就可解決問題．
【詳解】解：如圖：
①若AC＝AB，則以點A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標軸有4個交點；
②若BC＝BA，則以點B為圓心，BA為半徑畫圓，與坐標軸有2個交點（A點除外）；
③若CA＝CB，則點C在AB的垂直平分線上，
∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥x軸，
∴AB的垂直平分線與坐標軸只有1個交點．
綜上所述：符合條件的點C的個數(shù)有7個．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、圓的定義、垂直平分線的性質(zhì)的逆定理等知識，還考查了動手操作的能力，運用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．
6．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長，又由⊙O的直徑為，求得OA的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長，進而求得油的最大深度的長．
【詳解】解：過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，
由垂徑定理得：，
∵⊙O的直徑為，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度為，
故選：．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理的知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．
7．（2020·江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校八年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，點P為平面內(nèi)一點且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（ ）
A．10B．8C．7D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)點為平面內(nèi)一點且滿足，得到點的運動軌跡是以點為圓心，半徑是2的圓，可得當線段過圓心時，的值最大，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵，，三點的坐標為： (0，1)， (0，3)，(0，-1)，
則有：，
又∵點為平面內(nèi)一點且滿足，則點的運動軌跡是以點為圓心，半徑是2的圓，
如圖示，當線段過圓心時，的值最大，
過點作軸，交軸于點，過點作，交于點，
∵點的坐標是(4，4)，點的坐標是(0，1)，
∴，，
則：
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，平面坐標系內(nèi)的兩點的距離，點的運動等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
8．（2020·射陽縣第二初級中學(xué)）下列說法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個圓是同心圓；③兩個半圓是等??；④經(jīng)過圓內(nèi)一定點可以作無數(shù)條直徑．正確的是______填序號．
【答案】①
【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.
【詳解】解：直徑是弦，但弦不是直徑，故① 正確；圓心相同但半徑不同的兩個圓是同心圓，故② 錯誤；若兩個半圓的半徑不等，則這兩個半圓的弧長不相等，故③錯誤；經(jīng)過圓的圓心可以作無數(shù)條的直徑，故④錯誤.綜上，正確的只有①.
故答案為：①
【點睛】本題考查了圓的知識，了解有關(guān)圓的定義及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，難度不大.
9．（2020·江蘇蘇州市·蘇州草橋中學(xué)八年級期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，以點為圓心，5為半徑作圓，則該圓與軸分別交于點，則三角形的面積為________．
【答案】12
【分析】過P點作PH⊥AB于H點，根據(jù)垂徑定理可知：HA=HB，根據(jù)勾股定理求出HB，即可求解．
【詳解】解：過P點作PH⊥AB于H點，如下圖所示：
根據(jù)垂徑定理可知：HA=HB，
且，∴PH=3，
，
∴AB=2HB=8，
∴，
故答案為：12．
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，平面直角坐標系等相關(guān)知識點，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．
10．（2021·江蘇泰州市·）如圖，的直徑，弦，垂足為，，則的長為______．
【答案】24
【分析】連接，先根據(jù)求出的長，再在中，利用勾股定理可得的長，然后利用垂徑定理即可得．
【詳解】解：如圖，連接，
的直徑，
，
，，
，
，
，
故答案為：24．
【點睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．
11．（2021·江蘇鹽城市·景山中學(xué)八年級期末）如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓心角的度數(shù)是__________．
【答案】
【分析】作OD⊥AB，由1≤OP≤2，證得，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出答案即可．
【詳解】
解：作OD⊥AB，
∵P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，
∴OD=1，
∵⊙O的半徑是2，
∴，
∵OA=OB，
∴，
∴弦AB所對的圓心角，
故答案為： ．
【點睛】此題考查直角三角形直角邊等于斜邊一半的性質(zhì)，圓的半徑相等的性質(zhì)，等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握各知識點并綜合應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．
12．（2020·揚州市江都區(qū)國際學(xué)校八年級期中）如圖是一個俱樂部的徽章.徽章的圖案是一個金色的圓圈，中間是一個矩形，矩形中間又有一個藍色的菱形，徽章的直徑為10cm，則徽章內(nèi)的菱形的邊長為_____cm．

【答案】5
【分析】連接圓心和矩形鄰邊的兩個中點，易得一個矩形，那么菱形的邊長為圓的半徑．
【詳解】如圖，連接圓心和矩形鄰邊的兩個中點，
根據(jù)垂徑定理，可得過圓心的這兩條線段，分別垂直于矩形的兩邊，則組成的四邊形是矩形，
因為矩形的對角線相等，
所以徽章內(nèi)的菱形的邊長等于半徑的長，即5cm．
故答案為：5．
【點睛】此題主要考查垂徑定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識點，難點是作出輔助線，構(gòu)造出矩形．
13．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，AB為的直徑，弦于點H，若，，則OH的長度為__．
【答案】3
【分析】連接OC，由垂徑定理可求出CH的長度，在Rt△OCH中，根據(jù)CH和⊙O的半徑，即可由勾股定理求出OH的長．
【詳解】連接OC，
Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；
即線段OH的長為3．
故答案為：3．
【點睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．
14．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長為10cm，則圓心O到AB的距離為_____cm．
【答案】12
【分析】如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理計算OC的長即可．
【詳解】解：如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，
則AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝12，
所以圓心O到AB的距離為12cm．
故答案為：12．
【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>15．（2017·江蘇鹽城市·東臺市實驗中學(xué)八年級月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動．在運動過程中，點B到原點的最大距離是________
【答案】2+2
試題解析：如圖，取CA的中點D，連接OD、BD，
則OD=CD=AC=×4=2，
由勾股定理得，BD=，
所以，點B到原點的最大距離是2+2．
16．（2019·沭陽縣修遠中學(xué)八年級期末）已知以點C（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標準方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）為圓心，半徑為2的圓的標準方程為（x－2）2＋（y－3）2＝4，則以原點為圓心，過點P（1，0）的圓的標準方程為____.
【答案】x2＋y2＝1
【詳解】因為原點為圓心,過點P（1,0）的圓即是以（0,0）半徑為1的圓,則標準方程為: （x－0）2＋（y－0）2＝1,即x2＋y2＝1,故答案為: x2＋y2＝1.
17．（2019·江蘇揚州市·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直線AB上的動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B/CP，連接B/A，B/A長度的最小值是m，B/A長度的最大值是n，則m+n的值等于______.
【答案】16
【分析】先判斷出長度的最大值與長度的最小值相應(yīng)的位置，然后進一步計算即可.
【詳解】
如圖，以C點為圓心，BC長為半徑畫圓，交AC于N點，延長AC交圓于M點，
∵點P是直線AB上的動點，△BCP沿CP所在的直線翻折得到△，
∴點B落在以點C為圓心，BC為半徑的圓上，
∴CM=CN=BC=6，
∵圓外一點到圓上的點的距離最大和最小的點是圓外一點過圓心的直線與圓的交點，
∴長度的最小值m=AN=AC-CN=8-6=2，
且長度的最大值n=AM=AC+CM=8+6=14，
∴m+n=16，
所以答案為16.
【點睛】本題主要考查了三角形動點問題與圓的綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.
18．（2021·江蘇八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負半軸于點，則點的坐標為__________．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，由AB=AC即可求出C點坐標．
【詳解】解：∵A(8，0)，B(0，6)，
∴OA=8，OB=6，
∴，
∴AC=AB=10，
∴點C的橫坐標為：8-10=-2，縱坐標為：0，
∴點C的坐標為(-2，0)，
故答案為(-2，0)．
【點睛】本題考查了勾股定理、同圓半徑相等和坐標與圖形性質(zhì)的應(yīng)用， 解此題的關(guān)鍵是求出OC的長， 注意： 在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
19．（2021·江蘇鹽城市·）如圖，在矩形紙片ABCD中，邊AB=12，AD=5，點P為DC邊上的動點（點P不與點D，C重合，將紙片沿AP折疊，則CD′的最小值為___．
【答案】8
【分析】先分析出點的運動軌跡是以A為圓心，5為半徑的圓弧，要求的最小值，只要求出點C到圓心的距離再減去半徑即可．
【詳解】解：∵折疊，
∴，
∴點的運動軌跡就是以A為圓心，5為半徑的圓弧，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴．
故答案是：8．
【點睛】本題考查矩形與折疊，線段最值的求解，解題的關(guān)鍵是分析出動點的軌跡，再根據(jù)點到圓上一點最短距離的求解方法進行求解．
三、解答題
20．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）已知四邊形ABCD為菱形，點E、F、G、H分別為各邊中點，判斷E、F、G、H四點是否在同一個圓上，如果在同一圓上，找到圓心，并證明四點共圓；如果不在，說明理由．
【答案】點E、F、G、H四點是以AC，BD的交點O為圓心的同一個圓上，證明見解析.
【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直，以及直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出E、F、G、H到O點距離都等于定長即可.
【詳解】解：如圖，
連接AC，BD相交于點O，連接OE，OF，OG，OH，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
∵點E是AB的中點，
∴OE＝AB，
同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴點E、F、G、H四點是以AC，BD的交點O為圓心的同一個圓上．
【點睛】本題主要考查了四點共圓的條件，用到了菱形的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
21．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，求弦BD的長
【答案】2
【分析】作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中利用30度性質(zhì)即可求出BE，再根據(jù)垂徑定理可以求出BD.
【詳解】解：如圖，作CE⊥AB于E．
∵∠B=180°-∠A-∠ACB
=180°-20°-130°
=30°，
在Rt△BCE中，
∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，
∴CE=BC=1，BE=CE=，
∵CE⊥BD，
∴DE=EB，
∴BD=2EB=2.
【點睛】本題考查垂徑定理、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理添加輔助線，記住直角三角形30度角性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型.
22．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，求線段AE的長．
【答案】2
【分析】連接OC，利用直徑AB=10，則OC=OA=5，再由CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得CE=DE=CD=4，然后利用勾股定理計算出OE，再利用AE=OA-OE進行計算即可．
【詳解】連接OC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝＝3，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．
【點睛】本題考查了垂徑定理，掌握垂徑定理及勾股定理是關(guān)鍵．
23．（2019·江蘇揚州市·八年級期中）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點A為一動點，點B和點C 為兩個定點，且BC=a，AB=b.（a>b）
填空：當點A位于______時，線段AC的長取得最小值，且最小值為______(用含a，b的式子表示)
（2）應(yīng)用：點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE.
①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長的最小值.
③如圖3所示，分別以AB，AC為邊，作正方形ADEB和正方形ACFG，連接CD，BG.圖中線段CD，BG的關(guān)系是____________，線段BG 的最大值是__________.
【答案】（1）線段BC上， a-b；（2）①BE=CD，證明見解析；②2；③相等且垂直，.
【分析】（1）根據(jù)點A為一動點，且BC=a，AB=b，可得當點A位于線段CB上時，線段AC的長取得最小值，且最小值為BC-AB=a-b；
（2）①根據(jù)等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，可得△CAD≌△EAB（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CD=BE；
②BE的最小值即CD的最小值，當D在線段BC上時最小;
③當D點在CB的延長線上時，BG取得最大值.
【詳解】(1)如圖1，∵點A為一動點，且BC=a，AB=b，
∴當點A位于線段CB上時，線段AC的長取得最小值，且最小值為BC-AB=a-b.
故答案為在線段CB上，a-b；
(2)①CD=BE.
理由：如圖2，∵等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB(SAS)，
∴CD=BE；
②BE的最小值即CD的最小值，當D在線段BC上時CD最小;此時BE=CD=BC-AB=3-1=2.
③易證△BAG≌△CAD，所以BG=CD，當D點在CB的延長線上時，BG取得最大值.最大值等于BD＋BC=．
【點睛】本題考查了最短路徑的問題，明確何時取得最短路徑是解題的關(guān)鍵.
24．（2021·江蘇鹽城市·景山中學(xué)八年級期末）我們知道，直角坐標系是研究“數(shù)形結(jié)合”的重要工具．請?zhí)剿餮芯肯铝袉栴}：
（1）如圖1，點A的坐標為（-5，1），將點A繞坐標原點（0，0）按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得對應(yīng)點，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，求k的值．
（2）將（1）中的的圖像繞坐標原點（0，0）按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，如圖2，旋轉(zhuǎn)后的圖像與x軸相交于點B，若直線x=與旋轉(zhuǎn)后的圖像交于點C與點D，求△BCD的面積．
（3）在（2）的情況下，半徑為6的M的圓心M在x軸上，如圖3，若要使△BCD完全在M的內(nèi)部，求M的圓心M橫坐標xm的范圍（直接寫出結(jié)果，不必寫詳細的解答過程）．
【答案】（1）5；（2）；（3）
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點的坐標，利用待定系數(shù)法求出k的值；
（2）設(shè)上點E繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到點B，過點E作EF⊥x軸，設(shè)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，列得，求出a的值得到OB的長；設(shè)CD交x軸于點R，△OCR是由△OMN繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的，得到N（3,3），求出直線MN的解析式，得到M（1,5），利用勾股定理求出CR的長，即可利用三角形面積公式求出答案；
（3）分別計算點M在直線CD左側(cè)及右側(cè)時的位置，即可得到答案．
【詳解】解：（1）點A的坐標為（-5，1），將點A繞坐標原點（0，0）按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得對應(yīng)點（1,5），
∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，
∴；
（2）設(shè)上點E繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到點B，過點E作EF⊥x軸，
設(shè),
∵，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴；
設(shè)CD交x軸于點R，△OCR是由△OMN繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的，
∵ON=OR=，
∴N（3,3），
∵直線ON的解析式為y=x，MN⊥OE，
∴設(shè)直線MN的解析式為y=-x+b，將點N的坐標代入，得b=6，
∴直線MN的解析式為y=-x+6，
當時，得（舍去），
∴y=-1+6=5，
∴M（1,5），
∴，
∴，
∴CD=2CR=，
∴△BCD的面積=
（3）當點M在直線CD左側(cè)，且M恰好經(jīng)過點C、D時，連接MC，
∵MC=6，，
∴，
∴；
當點M在直線CD右側(cè)，且M恰好經(jīng)過點B時，連接MC，
∵，，
∴，
此時，點C、D在M內(nèi)部，，
綜上，M的圓心M橫坐標xm的范圍為．
【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，求一次函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，圓的半徑相等的性質(zhì)，解題中運用分類思想思考問題，這是一道較難的幾何圖形類綜合題．

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