蘇教版八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假第16講勾股定理全章復(fù)習(xí)與測(cè)試練習(xí)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)．
2. 掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．
3. 熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．
4. 掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．
5. 能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.
6. 能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一．直角三角形的性質(zhì)
（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：
性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．
性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．
性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）
性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；
在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．
二．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
三．勾股定理的證明
（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．
（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．
四．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
說(shuō)明：
①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．
（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．
注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．
五．勾股數(shù)
勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2 的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．
說(shuō)明：
①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．
②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．
③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
六．勾股定理的應(yīng)用
（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．
（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．
②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．
③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．
④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．
【考點(diǎn)剖析】
一．直角三角形的性質(zhì)（共1小題）
1．（2022春?濱?？h期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；
（2）試說(shuō)明：∠AEF＝∠AFE．
二．勾股定理（共1小題）
2．（2022春?尤溪縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠CBE＝45°，BE分別交AC，AD于點(diǎn)E、F，連接CF．
（1）判斷△BCF的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若AF＝BC，求證：BF2+EF2＝AE2．
三．勾股定理的證明（共1小題）
3．（2022春?廬江縣期中）將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．
四．勾股定理的逆定理（共1小題）
4．（2022春?瑞金市期中）（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，求BC的長(zhǎng)．
（2）在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，判斷△ABC是否是直角三角形．
五．勾股數(shù)（共1小題）
5．（2022春?恩施市校級(jí)月考）能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，勾股數(shù)組公式為a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．當(dāng)n＝1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)．
六．勾股定理的應(yīng)用（共1小題）
6．（2022春?中山市期中）如圖，學(xué)校要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），同學(xué)們首先測(cè)量了多出的這段繩子長(zhǎng)度為1米，再將繩子拉直（如圖2），測(cè)出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，求旗桿的高度．
七．等腰直角三角形（共1小題）
7．（真題?齊河縣期末）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC．
（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；
（2）證明：DC⊥BE．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）在下列以線段a、b、c的長(zhǎng)為邊，能構(gòu)成直角三角形的是（）
A．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝6B．a(chǎn)＝5，b＝6，c＝7
C．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝9D．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25
2．（3分）下列4組線段中，不能組成直角三角形的是（）
A．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4
C．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13D．a(chǎn)＝8，b＝15，c＝17
3．（3分）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）
A．32，42，52B．1.5，2，2.5C．6，8，10D．，，
4．（3分）有一個(gè)邊長(zhǎng)為40cm的正方形洞口，要用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，那么圓蓋的直徑至少應(yīng)為（）
A．40cmB．20cmC．40cmD．40cm
5．（3分）在Rt△ABC中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則斜邊的長(zhǎng)度是（）
A．2B．C．5D．或5
6．（3分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）
A．0.3，0.4，0.5B．
C．6，8，10D．1.5，2，2.5
7．（3分）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）
A．B．
C．D．
8．（3分）如圖，△OA1A2是等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OA2021的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
9．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均為格點(diǎn)，則∠CBD+∠ABC＝．
10．（3分）如圖所示的正方形是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為2，3，則大正方形的面積為．
11．（3分）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”
題意是：有一個(gè)池塘，其底面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（如圖）．則蘆葦長(zhǎng) 尺．
12．（3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中“勾股”章有一題，大意是說(shuō)：已知矩形門的高比寬多6尺，門的對(duì)角線長(zhǎng)10尺，那么門的高和寬各是多少？如果設(shè)門的寬為x尺，根據(jù)題意，那么可列方程．
13．（3分）如圖是一參賽隊(duì)員設(shè)計(jì)的機(jī)器人比賽時(shí)行走的路徑，機(jī)器人從A處先往東走8m，又往北走3m，遇到障礙后又往西走4m，再轉(zhuǎn)向北走9m往東拐，僅走1m就到達(dá)了B．問(wèn)A、B兩點(diǎn)之間的距離為
m．
14．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，AB＝6，，BC＝1，，則四邊形ABCD的面積為．
15．（3分）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．
（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫(xiě)出下一組勾股數(shù)：；
（2）若第一個(gè)數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為和．
16．（3分）如圖，以直角三角形的三邊為邊，分別向直角三角形外部作等邊三角形，三個(gè)等邊三角形的面積分別為S1，S2，S3．則它們滿足的數(shù)量關(guān)系為．
三．解答題（共8小題，滿分52分）
17．（5分）如圖所示，甲漁船以8海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O向西北方向航行，他們同時(shí)出發(fā)，一個(gè)半小時(shí)后，甲、乙兩漁船相距多少海里？
18．（6分）如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為akm和bkm，且張、李二村莊相距ckm．
水泵應(yīng)建在什么地方，可使所用的水管最短？請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出水泵站的位置．
19．（6分）八年級(jí)（2）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得圖中風(fēng)箏的高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：
①測(cè)得BD的長(zhǎng)為15米（注：BD⊥CE）；
②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米；
③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.6米．
（1）求風(fēng)箏的高度CE．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，求BH、DH．
20．（6分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)，且DE＝DA，若AB＝15，BC＝20，求EC的長(zhǎng)．
21．（7分）如圖，某氣象站測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向300km的B處，以每小時(shí)km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍是受臺(tái)風(fēng)干擾的區(qū)域，問(wèn)A城是否受到此次臺(tái)風(fēng)的干擾？為什么？若要受到臺(tái)風(fēng)干擾，求出A城受臺(tái)風(fēng)干擾的時(shí)間．
22．（7分）拖拉機(jī)在行駛的過(guò)程中的噪音會(huì)影響周圍環(huán)境，某拖拉機(jī)位于A學(xué)校正南方向125m的B處，正以150m/min的速度沿公路BC方向行駛，如圖所示，已知A學(xué)校到BC的距離AD＝35m，
（1）求拖拉機(jī)從B處行駛到D處經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？
（2）如果在距拖拉機(jī)91m的圓形區(qū)域內(nèi)都將受噪音影響，那么A學(xué)校受到拖拉機(jī)噪音影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？（精確到0.1）
23．（7分）一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法．如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD（是一個(gè)長(zhǎng)方形）倒下到AB′C′D′的位置，連接CC′，設(shè)AB＝a，BC＝b，AC＝c．
（1）試用a、b有關(guān)的代數(shù)式表示梯形BCC′D′的面積；
（2）試用a、b、c有關(guān)的代數(shù)式分別表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面積；
（3）由（1）和（2）的結(jié)論證明勾股定理：a2+b2＝c2．
24．（8分）如圖①，是兩個(gè)全等的直角三角形硬紙板（直角邊分別為a，b，斜邊為c）．
（1）用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖②的圖形，請(qǐng)利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．
（2）假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，請(qǐng)運(yùn)用圖①中所給的直角三角形拼出另一種能驗(yàn)證勾股定理的圖形，畫(huà)出拼后的圖形并利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．
第16講勾股定理全章復(fù)習(xí)與測(cè)試
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)．
2. 掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．
3. 熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．
4. 掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．
5. 能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.
6. 能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一．直角三角形的性質(zhì)
（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：
性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．
性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．
性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）
性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；
在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．
二．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
三．勾股定理的證明
（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．
（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．
四．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
說(shuō)明：
①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．
（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．
注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．
五．勾股數(shù)
勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2 的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．
說(shuō)明：
①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．
②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．
③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
六．勾股定理的應(yīng)用
（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．
（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
（3）常見(jiàn)的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．
②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．
③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．
④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．
【考點(diǎn)剖析】
一．直角三角形的性質(zhì)（共1小題）
1．（2022春?濱海縣期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；
（2）試說(shuō)明：∠AEF＝∠AFE．
【分析】（1）根據(jù)條件的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠ABE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
二．勾股定理（共1小題）
2．（2022春?尤溪縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠CBE＝45°，BE分別交AC，AD于點(diǎn)E、F，連接CF．
（1）判斷△BCF的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若AF＝BC，求證：BF2+EF2＝AE2．
【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得BD＝5，由勾股定理計(jì)算可得AD的長(zhǎng)，由等腰直角三角形性質(zhì)得DF＝5，最后由線段的差可得結(jié)論；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代換可得結(jié)論．
【解答】（1）解：△BCF為等腰直角三角形．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠BCF＝∠CBF＝45°，
∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCF為等腰直角三角形；
（2）證明：在BF上取一點(diǎn)H，使BH＝EF，連接CH，
在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，F(xiàn)D⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，第二問(wèn)有難度，正確作出輔助線是關(guān)鍵．
三．勾股定理的證明（共1小題）
3．（2022春?廬江縣期中）將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．
【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根據(jù)S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論成立．
【解答】證明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是推出△BEC是直角三角形．
四．勾股定理的逆定理（共1小題）
4．（2022春?瑞金市期中）（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，求BC的長(zhǎng)．
（2）在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，判斷△ABC是否是直角三角形．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出BC＝，再代入求出答案即可；
（2）先分別求出兩小邊的平方和和最長(zhǎng)邊的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得：BC＝＝＝3；
（2）∵AB＝，AC＝2，BC＝3，
∴AB2＝（）2＝13，AC2+BC2＝22+32＝4+9＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
五．勾股數(shù)（共1小題）
5．（2022春?恩施市校級(jí)月考）能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，勾股數(shù)組公式為a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．當(dāng)n＝1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)．
【分析】由n＝1，得到a＝（m2﹣1）①，b＝m②，c＝（m2+1）③，根據(jù)直角三角形有一邊長(zhǎng)為5，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)n＝1，a＝（m2﹣1）①，b＝m②，c＝（m2+1）③，
∵直角三角形有一邊長(zhǎng)為5，
∴分三種情況：
①當(dāng)a＝5時(shí)，（m2﹣1）＝5，
∴m2＝11，此時(shí)b不是正整數(shù)，舍去；
②當(dāng)b＝5時(shí)，即m＝5，
把m＝5代入①③得，a＝12，c＝13；
③當(dāng)c＝5時(shí)，（m2+1）＝5，
∴m2＝9，
解得：m＝±3，
∵m＞0，
∴m＝3，
將m＝3代入①②得，a＝4，b＝3，
綜上所述，直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)分別為12，13或3，4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2 的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
六．勾股定理的應(yīng)用（共1小題）
6．（2022春?中山市期中）如圖，學(xué)校要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），同學(xué)們首先測(cè)量了多出的這段繩子長(zhǎng)度為1米，再將繩子拉直（如圖2），測(cè)出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，求旗桿的高度．
【分析】因?yàn)槠鞐U、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長(zhǎng)度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．
【解答】解：設(shè)旗桿的高度AB為x米，則繩子AC的長(zhǎng)度為（x+1）米，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
答：旗桿的高度為12米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
七．等腰直角三角形（共1小題）
7．（真題?齊河縣期末）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC．
（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；
（2）證明：DC⊥BE．
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可以得出△ABE≌△ACD；
（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B＝∠ACD﹣45°，進(jìn)而得出∠DCB＝90°，就可以得出結(jié)論．
【解答】（1）△ABE≌△ACD．
證明：∵△ABC與△AED均為等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°．
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE．
即∠BAE＝∠CAD，
在△ABE與△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD；
（2）證明∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD＝∠ABE＝45°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∴DC⊥BE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，垂直的判定的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）在下列以線段a、b、c的長(zhǎng)為邊，能構(gòu)成直角三角形的是（）
A．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝6B．a(chǎn)＝5，b＝6，c＝7
C．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝9D．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25
【分析】由勾股定理的逆定理，判定是否是直角三角形．
【解答】解：A、32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；
B、52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；
C、62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；
D、72+242＝252，故符合勾股定理的逆定理，能組成直角三角形，故正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
2．（3分）下列4組線段中，不能組成直角三角形的是（）
A．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4
C．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13D．a(chǎn)＝8，b＝15，c＝17
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒(méi)有這種關(guān)系，就不是直角三角形，分析得出即可．
【解答】解：A、∵32+42＝52，
∴此三角形是直角三角形，不符合題意；
B、∵22+32≠42，
∴此三角形不是直角三角形，符合題意；
C、∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，不符合題意；
D、∵82+152＝172，
∴此三角形是直角三角形，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．
3．（3分）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）
A．32，42，52B．1.5，2，2.5C．6，8，10D．，，
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行解答即可．
【解答】解：A、∵（32）2+（42）2＝8+256＝337≠（52）2，∴不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵（1.5）2+22＝2.25+4＝6.25＝2.52，但不是正整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∵62+82＝100＝102，∴是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)正確；
D、∵（）2+（）2＝7≠（）2，∴不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股數(shù)，熟知滿足a2+b2＝c2 的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．
4．（3分）有一個(gè)邊長(zhǎng)為40cm的正方形洞口，要用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，那么圓蓋的直徑至少應(yīng)為（）
A．40cmB．20cmC．40cmD．40cm
【分析】根據(jù)圓與其內(nèi)切正方形的關(guān)系，易得圓蓋的直徑至少應(yīng)為正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)，已知正方形邊長(zhǎng)為40cm，進(jìn)而由勾股定理可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，知圓蓋的直徑至少應(yīng)為正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)；再根據(jù)勾股定理，得圓蓋的直徑至少應(yīng)為：＝40．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正多邊形和圓的相關(guān)知識(shí)；注意：熟記等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍，可以給解決此題帶來(lái)方便．
5．（3分）在Rt△ABC中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則斜邊的長(zhǎng)度是（）
A．2B．C．5D．或5
【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，
∴斜邊的長(zhǎng)度是＝5，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
6．（3分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）
A．0.3，0.4，0.5B．
C．6，8，10D．1.5，2，2.5
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分別對(duì)各組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
【解答】解：A、三個(gè)數(shù)都不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；
B、都不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；
C、62+82＝102，是勾股數(shù)，符合題意；
D、不是三個(gè)整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股數(shù)，及勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．
7．（3分）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）
A．B．
C．D．
【分析】先表示出圖形中各個(gè)部分的面積，再判斷即可．
【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，能根據(jù)圖形中各個(gè)部分的面積列出等式是解此題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，△OA1A2是等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OA2021的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長(zhǎng)，依據(jù)規(guī)律即可得出答案．
【解答】解：∵△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2＝，
∵△OA2A3為等腰直角三角形，
∴OA3＝2＝（）2；
∵△OA3A4為等腰直角三角形，
∴OA4＝2＝（）3．
∵△OA4A5為等腰直角三角形，
∴OA5＝4＝（）4，
……
∴OA2021的長(zhǎng)為（）2021﹣1＝（）2020，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練應(yīng)用勾股定理，得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
9．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均為格點(diǎn)，則∠CBD+∠ABC＝ 45° ．
【分析】取格點(diǎn)E，連接BE、AE．利用勾股定理得到BE＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠CBE＝∠CBD．由勾股定理的逆定理以及AB＝AE證明△ABE是等腰直角三角形，進(jìn)而求出∠CBD+∠ABC＝45°．
【解答】解：如圖，取格點(diǎn)E，連接BE、AE．
由勾股定理得，BE2＝12+52＝26，BD2＝12+52＝26，
∴BE＝BD，
∵BC⊥ED，
∴∠CBE＝∠CBD．
∵AB2＝22+32＝13，AE2＝22+32＝13，
∴AB2+AE2＝BE2，AB＝AE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝45°，
∴∠CBD+∠ABC＝45°．
故答案為：45°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，求得△ABE是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖所示的正方形是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為2，3，則大正方形的面積為 13 ．
【分析】先由勾股定理計(jì)算出直角三角形的斜邊長(zhǎng)，即正方形的邊長(zhǎng)，最后求得面積．
【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為2，3，
∴斜邊為＝，即大正方形的邊長(zhǎng)為，
∴大正方形的面積為（）2＝13．
故答案為：13．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正方形的面積計(jì)算，求出直角三角形的斜邊長(zhǎng)是關(guān)鍵．
11．（3分）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”
題意是：有一個(gè)池塘，其底面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（如圖）．則蘆葦長(zhǎng) 13 尺．
【分析】將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知B'C＝5尺，設(shè)水深A(yù)C＝x尺，則蘆葦長(zhǎng)（x+1）尺，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L(zhǎng)和水深．
【解答】解：設(shè)水深x尺，則蘆葦長(zhǎng)（x+1）尺，
在Rt△CAB′中，
AC2+B′C2＝AB′2，
即x2+52＝（x+1）2．
解得：x＝12．
∴x+1＝13．
故蘆葦長(zhǎng)13尺．
故答案為：13．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵．
12．（3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中“勾股”章有一題，大意是說(shuō)：已知矩形門的高比寬多6尺，門的對(duì)角線長(zhǎng)10尺，那么門的高和寬各是多少？如果設(shè)門的寬為x尺，根據(jù)題意，那么可列方程 x2+（x+6）2＝102 ．
【分析】直接利用勾股定理進(jìn)而得出等式方程即可．
【解答】解：設(shè)門的寬為x尺，那么這個(gè)門的高為（x+6）尺，根據(jù)題意得方程：
x2+（x+6）2＝102．
故答案為：x2+（x+6）2＝102．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．
13．（3分）如圖是一參賽隊(duì)員設(shè)計(jì)的機(jī)器人比賽時(shí)行走的路徑，機(jī)器人從A處先往東走8m，又往北走3m，遇到障礙后又往西走4m，再轉(zhuǎn)向北走9m往東拐，僅走1m就到達(dá)了B．問(wèn)A、B兩點(diǎn)之間的距離為 13 m．
【分析】過(guò)點(diǎn)B作A所在水平直線的垂線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BC垂直A所在水平直線于點(diǎn)C，如圖，
，
根據(jù)題意可得，A處與B處水平距離為8﹣4+1＝5，豎直距離為3+9＝12，
∴AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
故答案為13．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形模型，分別找到對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度，利用勾股定理求解，
14．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，AB＝6，，BC＝1，，則四邊形ABCD的面積為 4 ．
【分析】連接BD，根據(jù)勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，進(jìn)而利用三角形的面積公式解答即可．
【解答】解：連接BD，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，AB＝6，，
∴EB＝AB＝3，
∴，
∵，即BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴四邊形ABCD的面積＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形解答．
15．（3分）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．
（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫(xiě)出下一組勾股數(shù)： 11，60，61 ；
（2）若第一個(gè)數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為和．
【分析】（1）分析所給四組的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一組勾股數(shù)：11，60，61；
（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
【解答】解：（1）11，60，61；
故答案為：11，60，61．
（2）后兩個(gè)數(shù)表示為和，
∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，
∴n2+（）2＝（）2．
又∵n≥3，且n為奇數(shù)，
∴由n，，三個(gè)數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)．
故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬規(guī)律性題目，考查的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進(jìn)行猜想、證明即可．
16．（3分）如圖，以直角三角形的三邊為邊，分別向直角三角形外部作等邊三角形，三個(gè)等邊三角形的面積分別為S1，S2，S3．則它們滿足的數(shù)量關(guān)系為 S1+S2＝S3 ．
【分析】設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，利用正弦的定義求出等邊三角形的面積，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
又∵S1＝×sin60°a?a＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3，
故答案是：S1+S2＝S3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值．解題關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出每一個(gè)三角形的面積．
三．解答題（共8小題，滿分52分）
17．（5分）如圖所示，甲漁船以8海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O向西北方向航行，他們同時(shí)出發(fā)，一個(gè)半小時(shí)后，甲、乙兩漁船相距多少海里？
【分析】根據(jù)題意得出∠AOB＝90°，AB＝進(jìn)而求出即可．
【解答】解：由題意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，
故∠AOB＝90°，AB＝＝15（海里），
答：甲、乙兩漁船相距15海里．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，得出∠AOB＝90°是解題關(guān)鍵．
18．（6分）如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為akm和bkm，且張、李二村莊相距ckm．
水泵應(yīng)建在什么地方，可使所用的水管最短？請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出水泵站的位置．
【分析】作點(diǎn)A關(guān)于河邊所在直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，則點(diǎn)P為水泵站的位置，此時(shí)，PA+PB的長(zhǎng)度之和最短，即所鋪設(shè)水管最短．
【解答】解：如圖所示：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟知“兩點(diǎn)之間，線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．
19．（6分）八年級(jí)（2）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得圖中風(fēng)箏的高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：
①測(cè)得BD的長(zhǎng)為15米（注：BD⊥CE）；
②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米；
③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.6米．
（1）求風(fēng)箏的高度CE．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，求BH、DH．
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，再加上DE的長(zhǎng)度，即可求出CE的高度；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得（米）．
所以CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）；
（2）由得，
在Rt△BHD中，BH＝＝9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)，且DE＝DA，若AB＝15，BC＝20，求EC的長(zhǎng)．
【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)三角形的面積公式求出BD，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵BC＝20，AB＝15，
∴AC＝25，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°．
∵S△ABC＝S△ABC
∴．
∴BD＝12，
在Rt△ABD中，AD＝＝9，
∵DE＝DA，
∴AE＝2AD＝18．
∴EC＝AC﹣AE＝25﹣18＝7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，三角形的面積計(jì)算，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
21．（7分）如圖，某氣象站測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向300km的B處，以每小時(shí)km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍是受臺(tái)風(fēng)干擾的區(qū)域，問(wèn)A城是否受到此次臺(tái)風(fēng)的干擾？為什么？若要受到臺(tái)風(fēng)干擾，求出A城受臺(tái)風(fēng)干擾的時(shí)間．
【分析】作AM⊥BF，則得出∠AMB．根據(jù)∠FBA＝30°，可得出AM的長(zhǎng)，則A城會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的干擾；以A為圓心，200km為半徑作弧交BF于C1、C2兩點(diǎn)，連接AC1＝AC2，在Rt△AMC1中有C1M的長(zhǎng)，可得出C1C2，從而得出A城受臺(tái)風(fēng)干擾的時(shí)間．
【解答】解：作AM⊥BF于點(diǎn)M，則∠AMB＝90°．
∵∠FBA＝90°﹣60°＝30°，
∴AM＝，
∴A城會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的干擾，以A為圓心，200km為半徑作弧交BF于C1、C2兩點(diǎn)，連接AC1＝AC2．
∵AM⊥BF，
∴C1C2＝2C1M．
在Rt△AMC1中，有C1M＝，
∴C1C2＝100km，
∴A城受臺(tái)風(fēng)干擾的時(shí)間為：（小時(shí)）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形以及勾股定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．
22．（7分）拖拉機(jī)在行駛的過(guò)程中的噪音會(huì)影響周圍環(huán)境，某拖拉機(jī)位于A學(xué)校正南方向125m的B處，正以150m/min的速度沿公路BC方向行駛，如圖所示，已知A學(xué)校到BC的距離AD＝35m，
（1）求拖拉機(jī)從B處行駛到D處經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？
（2）如果在距拖拉機(jī)91m的圓形區(qū)域內(nèi)都將受噪音影響，那么A學(xué)校受到拖拉機(jī)噪音影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？（精確到0.1）
【分析】（1）在Rt△ABD中，已知斜邊和一直角邊，即可得出第三邊，利用拖拉機(jī)的速度已知，即可得出拖拉機(jī)從B處行駛到D處所經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間；
（2）假設(shè)A學(xué)校從P點(diǎn)開(kāi)始受到拖拉機(jī)的影響，到Q點(diǎn)結(jié)束，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，可知，△ADP和△ADQ全等，A學(xué)校在拖拉機(jī)從P點(diǎn)到Q點(diǎn)均受影響，即得出PQ兩點(diǎn)的距離，便可求出A學(xué)校受拖拉機(jī)影響的時(shí)間．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，BD＝＝＝120（m），
故120÷150＝（min），
答：拖拉機(jī)從B處行駛到D處經(jīng)過(guò)min；
（2）以A為圓心，以91km為半徑畫(huà)弧，交BC于P、Q，
則A學(xué)校在P點(diǎn)開(kāi)始受到影響，Q點(diǎn)恰好不受影響（如圖），
由題意，AP＝91km，在Rt△ADP中，
PD＝＝＝＝84（m），
∵AP＝AQ，∠ADB＝90°，
∴DP＝DQ，
∴PQ＝2×84＝168（m），
∴＝1.12≈1.1（分鐘），
答：A學(xué)校受到拖拉機(jī)噪音影響的時(shí)間為1.1分鐘．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想，畫(huà)圖可成為解題的一大重要工具．
23．（7分）一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法．如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD（是一個(gè)長(zhǎng)方形）倒下到AB′C′D′的位置，連接CC′，設(shè)AB＝a，BC＝b，AC＝c．
（1）試用a、b有關(guān)的代數(shù)式表示梯形BCC′D′的面積；
（2）試用a、b、c有關(guān)的代數(shù)式分別表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面積；
（3）由（1）和（2）的結(jié)論證明勾股定理：a2+b2＝c2．
【分析】（1）根據(jù)梯形面積公式表示梯形BCC′D′的面積；
（2）根據(jù)三角形面積公式分別表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面積；
（3）根據(jù)S梯形BCC′D′＝SRt△CC'A+2SRt△ABC，列出方程并整理可證．
【解答】解：（1）梯形BCC′D′的面積＝（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；
（2）∵∠CAD＝∠C′AD′，
∠ACC′＝∠CAD+∠B′AC′
∠B′AC′+C′AD′＝90°
∴∠ACC′＝90°
∴△ACC′為直角三角形，
SRt△CC'A＝c2，SRt△ABC＝SRt△AD′C＝ab；
（3）由圖形可知S梯形BCC′D′＝SRt△CC'A+2SRt△ABC，
則（a+b）（a+b）＝c2+2×ab
∴（a2+b2）+ab＝c2+ab．
因此，a2+b2＝c2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，需注意：組成的圖形的面積有兩種表示方法：大的面積的表示方法和各個(gè)組成部分的面積的和．
24．（8分）如圖①，是兩個(gè)全等的直角三角形硬紙板（直角邊分別為a，b，斜邊為c）．
（1）用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖②的圖形，請(qǐng)利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．
（2）假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，請(qǐng)運(yùn)用圖①中所給的直角三角形拼出另一種能驗(yàn)證勾股定理的圖形，畫(huà)出拼后的圖形并利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．
【分析】（1）根據(jù)圖形可知四邊形ABCD是梯形，再根據(jù)梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和，列式整理即可證明；
（2）取四個(gè)直角三角形，以斜邊c為邊長(zhǎng)組成正方形，中間空出的是一個(gè)小正方形，然后利用大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間小正方形的面積，列式整理即可得證．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是梯形，
∴梯形的面積＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，
即（a2+2ab+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
（2）如圖所示，可以證明a2+b2＝c2．
驗(yàn)證：大正方形的面積＝4×ab+（b﹣a）2
大正方形的面積＝c2，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明、正方形的性質(zhì)、直角三角形面積的計(jì)算；熟練掌握正方形的性質(zhì)，運(yùn)用面積法得出等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

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