蘇教版八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假第08講勾股定理練習(xí)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)．
2. 掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．
3. 熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一．直角三角形的性質(zhì)
（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：
性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．
性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．
性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）
性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；
在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．
二．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
三．勾股定理的證明
（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．
（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．
四．等腰直角三角形
（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；
（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R1，所以r：R＝1：1．
【考點(diǎn)剖析】
一．直角三角形的性質(zhì)（共6小題）
1．（真題?姜堰區(qū)期末）如圖，∠AOB是一個(gè)銳角，點(diǎn)C、D分別為邊OA、OB上的點(diǎn)，OC＝10，OD＝8，圖中可能互相垂直的兩條線是（）
A．OA與OBB．CD與OB
C．CD與OAD．沒(méi)有可能垂直的兩條線
2．（真題?畢節(jié)市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度數(shù)為（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2022春?阜寧縣期中）直角三角形中，兩個(gè)銳角度數(shù)之比為1：5，則較小的銳角度數(shù)為．
4．（2022春?大豐區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，已知∠A＝90°，∠B＝∠C，則∠B＝．
5．（2022春?濱?？h期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；
（2）試說(shuō)明：∠AEF＝∠AFE．
6．（真題?儀征市期末）下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）
A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，5
二．勾股定理（共5小題）
7．（真題?淮安區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則AB＝（）
A．12B．13C．14D．15
8．（真題?宜興市期末）在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長(zhǎng)是13，一條直角邊的長(zhǎng)為5，那么這個(gè)直角三角形的面積是（）
A．30B．40C．50D．60
9．（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，則S2＝（）
A．6B．2C．11D．24
10．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足∠1＝∠2，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．
（1）如圖①，若點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，AC＝2，AB＝4，試判斷點(diǎn)D是不是△ABC的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．
11．（真題?陽(yáng)山縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（）
A．5B．6C．12D．13
三．勾股定理的證明（共4小題）
12．（真題?崇川區(qū)期末）如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若小正方形邊長(zhǎng)為3，大正方形邊長(zhǎng)為15，則一個(gè)直角三角形的面積等于（）
A．36B．48C．54D．108
13．（2022春?江都區(qū)期中）如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為10，則（a+b）2的值為．
14．（2022春?陽(yáng)高縣月考）4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c．現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說(shuō)明其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?br>15．（真題?六合區(qū)期中）如圖是由4個(gè)全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的兩條直角邊分別為a、b（b＞a），斜邊為c，中間是正方形，請(qǐng)你利用這個(gè)圖來(lái)驗(yàn)證勾股定理．
四．等腰直角三角形（共6小題）
16．（真題?鎮(zhèn)江期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，若∠B＝45°，則線段BC的長(zhǎng)為．
17．（2022春?泗洪縣期中）如圖，將一個(gè)含有45°角的直角三角尺放在兩條平行線m、n上，已知∠1＝70°，則∠2的度數(shù)是（）
A．65°B．70°C．45°D．75°
18．（真題?邗江區(qū)月考）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在底邊BC上，AE＝AD，連結(jié)DE．
（1）當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．
19．（真題?濱湖區(qū)期末）如圖，△ABC為等邊三角形，CD⊥AC，CD＝AC，則∠BDC＝ °．
20．（真題?句容市期末）如圖，將一副三角板擺放在直線AB上，∠ECD＝∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，設(shè)∠EDF＝x，則用x的代數(shù)式表示∠GDB的度數(shù)為．
21．（真題?鹽城期末）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝135°，將一個(gè)含45°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，斜邊OM與直線AB重合，另外兩條直角邊都在直線AB的下方．
（1）將圖1中的三角板繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2所示，此時(shí)∠BOM＝；在圖2中，OM是否平分∠CON？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）接著將圖2中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚骸螦OM與∠CON之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒4.5°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到第秒時(shí)，∠COM與∠CON互補(bǔ)．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共10小題）
1．（真題?山亭區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）
A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．無(wú)法計(jì)算
2．（2022春?泗洪縣期中）兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成如圖所示的圖形，用兩種不同的計(jì)算方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，則可得等式為（）
A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a(chǎn)2+b2＝c2D．a(chǎn)2﹣b2＝c2
3．（真題?欒城區(qū)校級(jí)期末）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為81，小正方形面積為16，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），請(qǐng)觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（）
A．x2+y2＝81B．x+y＝13C．2xy+16＝81D．x﹣y＝4
4．（2022春?江陰市期中）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊向兩側(cè)作正方形．設(shè)AB＝6，兩個(gè)正方形的面積和S1+S2＝20，則圖中△BCD的面積為（）
A．4B．6C．8D．10
5．（真題?東臺(tái)市期末）如圖，正方形ABCD的面積為15，Rt△BCE的斜邊CE的長(zhǎng)為8，則BE的長(zhǎng)為（）
A．17B．10C．6D．7
6．（真題?泗陽(yáng)縣期末）已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3和4，那么這個(gè)三角形的第三條邊的長(zhǎng)為（）
A．5B．25C．D．5或
7．（真題?泗陽(yáng)縣期末）如圖是一正方體的平面展開(kāi)圖，若AB＝6，則該正方體A、B兩點(diǎn)間的距離為（）
A．2B．3C．4D．6
8．（真題?江陰市期末）如圖，在四邊形ABCD中，連接AC、BD，已知∠ADB＝∠ACB＝90°，，則四邊形ABCD的面積為（）
A．B．3C．D．4
9．（2022春?新田縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁來(lái)表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是（）
A．S甲＝S丁B．S乙＝S丙
C．S甲+S乙＝S丙+S丁D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁
10．（真題?宜興市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，當(dāng)∠CBP＝∠BAD時(shí)，線段CD的最小值是（）
A．B．2C．D．
二．填空題（共5小題）
11．（真題?大豐區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是．
12．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝7，則AB＝．
13．（2022春?丹陽(yáng)市期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，點(diǎn) D、E分別AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，且∠FDA＝∠BAE，則四邊形AFDE的周長(zhǎng)為．
14．（2022春?海安市期中）如圖△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度，按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為時(shí)，△BCP為等腰三角形．
15．（2022春?如皋市校級(jí)月考）如圖，線段AB的長(zhǎng)為8，C為AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE長(zhǎng)的最小值是．
三．解答題（共6小題）
16．（真題?如皋市期末）如圖，在△ABC中，AC＝5，E為BC邊上一點(diǎn)，且CE＝1，AE，BE＝4，點(diǎn)F為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，求AF的長(zhǎng)．
17．（真題?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．延長(zhǎng)DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）求AF的長(zhǎng)．
18．（真題?連云港期末）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面積為35．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）求△ACB的面積．
19．（真題?宜興市期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度數(shù)；
（2）若BD＝1，CD＝3，M為AC的中點(diǎn)，求DM的長(zhǎng)．
20．（真題?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足為D．
（1）△ABC的面積是．
（2）求BC、AD的長(zhǎng)．
21．（真題?石獅市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC移動(dòng)至點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使得點(diǎn)P到邊AB的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
第08講勾股定理
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)．
2. 掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．
3. 熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一．直角三角形的性質(zhì)
（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：
性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．
性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．
性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）
性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；
在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．
二．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的變形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．
三．勾股定理的證明
（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．
（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．
四．等腰直角三角形
（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；
（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R1，所以r：R＝1：1．
【考點(diǎn)剖析】
一．直角三角形的性質(zhì)（共6小題）
1．（真題?姜堰區(qū)期末）如圖，∠AOB是一個(gè)銳角，點(diǎn)C、D分別為邊OA、OB上的點(diǎn)，OC＝10，OD＝8，圖中可能互相垂直的兩條線是（）
A．OA與OBB．CD與OB
C．CD與OAD．沒(méi)有可能垂直的兩條線
【分析】根據(jù)題干及三角形三邊關(guān)系、勾股定理即可判斷．
【解答】解：A、∵∠AOB是一個(gè)銳角，
∴OA與OB不可能垂直，
該選項(xiàng)不符合題意；
B、若CD與OB垂直，則∠ODC＝90°，
根據(jù)勾股定理可得：CD6，
故有可能存在，
該選項(xiàng)符合題意；
C、若CD與OA垂直，則∠OCD＝90°，
在Rt△OCD中，斜邊OD＝8＜直角邊OC＝10，與三角形三邊關(guān)系矛盾，
該選項(xiàng)不符合題意；
D、因?yàn)镃D與OB可能垂直，故該選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的概念，能聯(lián)想到三角形三邊關(guān)系、勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．（真題?畢節(jié)市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度數(shù)為（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠B+∠C＝90°，再結(jié)合∠B﹣∠C＝30°計(jì)算出∠B的度數(shù)即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形兩銳角互余．
3．（2022春?阜寧縣期中）直角三角形中，兩個(gè)銳角度數(shù)之比為1：5，則較小的銳角度數(shù)為 15° ．
【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：設(shè)較小的一個(gè)銳角為x，則另一個(gè)銳角為5x，
則x+5x＝90°，
解得：x＝15°，
則較小的一個(gè)銳角為15°，
故答案為：15°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春?大豐區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，已知∠A＝90°，∠B＝∠C，則∠B＝ 45° ．
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠B+∠C＝90°，根據(jù)題意計(jì)算，得到答案．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝45°，
故答案為：45°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春?濱?？h期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；
（2）試說(shuō)明：∠AEF＝∠AFE．
【分析】（1）根據(jù)條件的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠ABE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
6．（真題?儀征市期末）下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）
A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，5
【分析】如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷．
【解答】解：A、22+42≠52，根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意；
B、32+42＝52，根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合題意；
C、42+42≠52，根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意；
D、42+52≠52，根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)，如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
二．勾股定理（共5小題）
7．（真題?淮安區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則AB＝（）
A．12B．13C．14D．15
【分析】根據(jù)勾股定理直接求即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：AB．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理求線段的長(zhǎng)度，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．
8．（真題?宜興市期末）在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長(zhǎng)是13，一條直角邊的長(zhǎng)為5，那么這個(gè)直角三角形的面積是（）
A．30B．40C．50D．60
【分析】由勾股定理得，另一條直角邊長(zhǎng)為：，即可計(jì)算面積．
【解答】解：由勾股定理得，另一條直角邊長(zhǎng)為：，
∴這個(gè)直角三角形的面積為5×12÷2＝30，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．
9．（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，則S2＝（）
A．6B．2C．11D．24
【分析】根據(jù)題意，可以得到BC2＝5，AB2＝16，然后根據(jù)勾股定理即可得到AC2的值，從而可以求得S2的值．
【解答】解：∵以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，
∴BC2＝5，AB2＝16，
由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，
∴AC2＝16﹣5＝11，
即S2＝11，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
10．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足∠1＝∠2，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．
（1）如圖①，若點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，AC＝2，AB＝4，試判斷點(diǎn)D是不是△ABC的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．
【分析】（1）由已知可得，從而△ACD∽△ABC，∠ACD＝∠B，可證點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”；
（2）由D是△ABC的“理想點(diǎn)”，分三種情況：當(dāng)D在AB上時(shí)，CD是AB邊上的高，根據(jù)面積法可求CD長(zhǎng)度；當(dāng)D在AC上時(shí)，△BDC∽△ABC，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求CD長(zhǎng)度；D不可能在BC上．
【解答】解：（1）點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，理由如下：
∵D是AB中點(diǎn)，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，AD?AB＝8，
∵AC＝2，
∴AC2＝8，
∴AC2＝AD?AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∴點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”；
（2）①D在AB上時(shí)，如圖：
∵D是△ABC的“理想點(diǎn)”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
當(dāng)∠ACD＝∠B時(shí)，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是AB邊上的高，
當(dāng)∠BCD＝∠A時(shí)，同理可證∠CDB＝90°，即CD是AB邊上的高，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC3，
∵S△ABCAB?CDAC?BC，
∴CD，
②∵AC＝4，BC＝3，
∴AC＞BC有∠B＞∠A，
∴“理想點(diǎn)”D不可能在BC邊上，
③D在AC邊上時(shí)，如圖：
∵D是△ABC的“理想點(diǎn)”，
∴∠DBC＝∠A，
又∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
∴CD，
綜上所述，點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，CD的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義．
11．（真題?陽(yáng)山縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（）
A．5B．6C．12D．13
【分析】根據(jù)勾股定理求出AB2，根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
則AB2＝AC2+BC2＝32+22＝13，
∴正方形的面積＝AB2＝13，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、正方形的面積計(jì)算，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
三．勾股定理的證明（共4小題）
12．（真題?崇川區(qū)期末）如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若小正方形邊長(zhǎng)為3，大正方形邊長(zhǎng)為15，則一個(gè)直角三角形的面積等于（）
A．36B．48C．54D．108
【分析】根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵小正方形邊長(zhǎng)為3，大正方形邊長(zhǎng)為15，
∴一個(gè)直角三角形的面積（152﹣32）＝54，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的識(shí)別圖形．
13．（2022春?江都區(qū)期中）如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為10，則（a+b）2的值為 110 ．
【分析】根據(jù)圖形表示出小正方形的邊長(zhǎng)為（b﹣a），再根據(jù)四個(gè)直角三角形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【解答】解：由圖可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50，
∴2ab＝50，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110．
故答案為：110．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的應(yīng)用，仔細(xì)觀察圖形利用小正方形的面積和直角三角形的面積得到兩個(gè)等式是解題的關(guān)鍵．
14．（2022春?陽(yáng)高縣月考）4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c．現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說(shuō)明其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?br>【分析】根據(jù)圖形的總面積等于一個(gè)大正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，也等于兩個(gè)小正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，然后整理即可得證．
【解答】解：圖形的總面積可以表示為：c2+2ab＝c2+ab，
也可以表示為：a2+b2+2ab＝a2+b2+ab，
所以，c2+ab＝a2+b2+ab，
所以，a2+b2＝c2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，觀察圖形，利用兩種方法表示出圖形的面積是解題的關(guān)鍵．
15．（真題?六合區(qū)期中）如圖是由4個(gè)全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的兩條直角邊分別為a、b（b＞a），斜邊為c，中間是正方形，請(qǐng)你利用這個(gè)圖來(lái)驗(yàn)證勾股定理．
【分析】利用大正方形的面積等于4個(gè)三角形的面積加上中間小正方形的面積，進(jìn)而證明問(wèn)題．
【解答】解：∵S大正方形＝4ab+（b﹣a）2，
＝a2+b2，
S大正方形＝c2，
∴a2+b2＝c2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的證明，利用圖形面積得出是解題關(guān)鍵．
四．等腰直角三角形（共6小題）
16．（真題?鎮(zhèn)江期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，若∠B＝45°，則線段BC的長(zhǎng)為．
【分析】由AB＝AC得∠B＝∠C＝45°，從而∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，由勾股定理即得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴BC，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明∠A＝90°及熟練應(yīng)用勾股定理．
17．（2022春?泗洪縣期中）如圖，將一個(gè)含有45°角的直角三角尺放在兩條平行線m、n上，已知∠1＝70°，則∠2的度數(shù)是（）
A．65°B．70°C．45°D．75°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠4，進(jìn)而利用三角形外角性質(zhì)解答即可．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE∥m∥n，
∴∠ACE＝∠3，∠ECB＝∠4，
∵∠1＝∠3，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠3+∠4＝∠1+∠4＝70°+∠4＝90°，
∴∠4＝20°，
∴∠5＝20°，
∴∠2＝∠5+∠B＝20°+45°＝65°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等解答．
18．（真題?邗江區(qū)月考）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在底邊BC上，AE＝AD，連結(jié)DE．
（1）當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可求∠B＝∠C＝45°，∠AED＝75°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求∠B＝∠C＝45°，∠AED＝45°x，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）猜想∠CDE∠BAD，理由如下：
設(shè)∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°x，
∴∠CDEx∠BAD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關(guān)鍵．
19．（真題?濱湖區(qū)期末）如圖，△ABC為等邊三角形，CD⊥AC，CD＝AC，則∠BDC＝ 15 °．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及垂線的性質(zhì)可求得∠BCD＝150°，AC＝BC＝CD，由等要三角形的性質(zhì)可得∠CBD＝∠BDC，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可求解．
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝60°+90°＝150°，
∵CD＝AC，
∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠BDC，
∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，
∴∠BDC（180°﹣150°）＝15°，
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形的內(nèi)角和定理，求得∠CBD＝∠BDC是解題的關(guān)鍵．
20．（真題?句容市期末）如圖，將一副三角板擺放在直線AB上，∠ECD＝∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，設(shè)∠EDF＝x，則用x的代數(shù)式表示∠GDB的度數(shù)為 45°﹣x ．
【分析】利用平角180°減去∠FDG，∠EDC與∠EDF的和即可．
【解答】解：∵∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，∠EDF＝x，
∴∠GDB＝180°﹣（∠FDG+∠EDC+∠EDF）
＝180°﹣（90°+45°+x）
＝45°﹣x，
∴用x的代數(shù)式表示∠GDB的度數(shù)為：45°﹣x，
故答案為：45°﹣x．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形，熟練掌握平角定義是解題的關(guān)鍵．
21．（真題?鹽城期末）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝135°，將一個(gè)含45°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，斜邊OM與直線AB重合，另外兩條直角邊都在直線AB的下方．
（1）將圖1中的三角板繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2所示，此時(shí)∠BOM＝ 90° ；在圖2中，OM是否平分∠CON？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）接著將圖2中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚骸螦OM與∠CON之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒4.5°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到第 15或55 秒時(shí)，∠COM與∠CON互補(bǔ)．
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOM的度數(shù)，然后計(jì)算∠MOC的度數(shù)判斷OM是否平分∠CON；
（2）利用∠AOM＝45°﹣∠AON和∠NOC＝45°﹣∠AON可判斷∠AOM與∠CON之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，∠COM與∠CON互補(bǔ)，則ON旋轉(zhuǎn)67.5°或247.5°，即可得出結(jié)果．
【解答】解：（1）如圖2，∠BOM＝90°，
OM平分∠CON．理由如下：
∵∠BOC＝135°，
∴∠MOC＝135°﹣90°＝45°，
而∠MON＝45°，
∴∠MOC＝∠MON；
故答案為90°；
（2）∠AOM＝∠CON．
理由如下：如圖3，
∵∠MON＝45°，
∴∠AOM＝45°﹣∠AON，
∵∠AOC＝45°，
∴∠NOC＝45°﹣∠AON，
∴∠AOM＝∠CON；
（3）如圖2，OM、ON都在OC右側(cè)，∠COM+∠CON＝2∠COM+45°＝180°，
∴∠COM＝67.5°，
∴∠CON＝67.5+45＝112.5°，
∴45°+∠BON＝180°﹣112.5＝67.5°，
如圖3，OM、ON都在OC左側(cè)，∠COM+∠CON＝2∠CON+45°＝180°，
∴∠CON＝67.5°，
∴∠BOM＝67.5+45＝112.5°，
∴∠BOC+∠COM＝135+112.5＝247.5°，
∴在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，∠COM與∠CON互補(bǔ)，則ON旋轉(zhuǎn)67.5°或247.5°，
∴15或55，
故答案為：15或55．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線定義、補(bǔ)角的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線以及補(bǔ)角定義是解題的關(guān)鍵．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一．選擇題（共10小題）
1．（真題?山亭區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）
A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．無(wú)法計(jì)算
【分析】小正方形的面積為AC的平方，大正方形的面積為BC的平方．兩正方形面積的和為AC2+BC2，對(duì)于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．AB長(zhǎng)度已知，故可以求出兩正方形面積的和．
【解答】解：正方形ADEC的面積為：AC2，
正方形BCFG的面積為：BC2；
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，
則AC2+BC2＝225cm2．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理．勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．
2．（2022春?泗洪縣期中）兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成如圖所示的圖形，用兩種不同的計(jì)算方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，則可得等式為（）
A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a(chǎn)2+b2＝c2D．a(chǎn)2﹣b2＝c2
【分析】用兩種方法求圖形面積，一是直接利用梯形面積公式來(lái)求；一是利用三個(gè)三角形面積之和來(lái)求．
【解答】解：根據(jù)題意得：S（a+b）（a+b），Sababc2，
∴（a+b）（a+b）ababc2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的證明，整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
3．（真題?欒城區(qū)校級(jí)期末）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為81，小正方形面積為16，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），請(qǐng)觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（）
A．x2+y2＝81B．x+y＝13C．2xy+16＝81D．x﹣y＝4
【分析】由題意，①﹣②可得2xy＝65記為③，①+③得到（x+y）2＝146由此即可判斷．
【解答】解：由題意，
①﹣②可得2xy＝65③，
∴2xy+16＝81，
①+③得x2+2xy+y2＝146，
∴x+y，
∴①③④正確，②錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，二元二次方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵學(xué)會(huì)利用方程的思想解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)整體恒等變形的思想，屬于中考?？碱}型．
4．（2022春?江陰市期中）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊向兩側(cè)作正方形．設(shè)AB＝6，兩個(gè)正方形的面積和S1+S2＝20，則圖中△BCD的面積為（）
A．4B．6C．8D．10
【分析】設(shè)AC＝a，BC＝b，由題意得：a+b＝6，a2+b2＝20，再根據(jù)完全平方公式的變式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求出ab的值，根據(jù)直角三角形的面積計(jì)算方法即可得出答案．
【解答】解：設(shè)AC＝a，BC＝b，
由題意得：a+b＝6，a2+b2＝20，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴20＝62﹣2ab，
∴ab＝8，
∴△BCD的面積ab8＝4．
圖中△BCD的面積為4．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
5．（真題?東臺(tái)市期末）如圖，正方形ABCD的面積為15，Rt△BCE的斜邊CE的長(zhǎng)為8，則BE的長(zhǎng)為（）
A．17B．10C．6D．7
【分析】由正方形的性質(zhì)得BC2＝15，∠ABC＝90°，則∠EBC＝90°，再由勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的面積為15，
∴BC2＝15，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE7，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、正方形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
6．（真題?泗陽(yáng)縣期末）已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3和4，那么這個(gè)三角形的第三條邊的長(zhǎng)為（）
A．5B．25C．D．5或
【分析】分兩種情況：當(dāng)3和4都是直角邊時(shí)；當(dāng)4是斜邊長(zhǎng)時(shí)；分別利用勾股定理計(jì)算出第三邊長(zhǎng)即可．
【解答】解：當(dāng)3和4都是直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：；
當(dāng)4是斜邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
7．（真題?泗陽(yáng)縣期末）如圖是一正方體的平面展開(kāi)圖，若AB＝6，則該正方體A、B兩點(diǎn)間的距離為（）
A．2B．3C．4D．6
【分析】首先求出正方體的棱長(zhǎng)，進(jìn)而得出正方體A、B兩點(diǎn)間的距離即可．
【解答】解：∵AB＝6，
∴該正方體的棱長(zhǎng)為3，
∴把正方形組合起來(lái)之后會(huì)發(fā)現(xiàn)A、B在同一平面的對(duì)角線上，
所以該正方體A、B兩點(diǎn)間的距離為3，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了幾何體的展開(kāi)圖，得出正方體的棱長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
8．（真題?江陰市期末）如圖，在四邊形ABCD中，連接AC、BD，已知∠ADB＝∠ACB＝90°，，則四邊形ABCD的面積為（）
A．B．3C．D．4
【分析】過(guò)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC＝BC，根據(jù)圓周角定理得到BAC＝∠BDC＝45°，求得CE＝DE＝1，根據(jù)勾股定理得到AE2，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：過(guò)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于E，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∴∠EDC＝45°，
∴△CED是等腰直角三角形，
∵CD，
∴CE＝DE＝1，
∵AE2，
∴AD＝1，
∴四邊形ABCD的面積＝S△ACD+S△ACBAD?CEAC?BC1×13，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，四點(diǎn)共圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
9．（2022春?新田縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁來(lái)表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是（）
A．S甲＝S丁B．S乙＝S丙
C．S甲+S乙＝S丙+S丁D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁
【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理可得甲的面積+乙的面積＝丙的面積+丁的面積，依此即可求解．
【解答】解：連接AC，
由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，
∴甲的面積+乙的面積＝丙的面積+丁的面積，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的知識(shí)，要求能夠運(yùn)用勾股定理證明4個(gè)正方形的面積之間的關(guān)系．
10．（真題?宜興市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，當(dāng)∠CBP＝∠BAD時(shí)，線段CD的最小值是（）
A．B．2C．D．
【分析】根據(jù)∠CBP＝∠BAD，得∠ABD+∠BAD＝90°，則∠ADB＝90°，可知點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于D，此時(shí)CD最小，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)，從而得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∵∠CBP＝∠BAD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于D，此時(shí)CD最小，
∴BOAB＝4，
∴OCOB＝4，
∴CD的最小值為44，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理等知識(shí)，根據(jù)題意得出點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題）
11．（真題?大豐區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是 5 ．
【分析】作DE⊥AB于E，利用角平分線的性質(zhì)得CD＝DE，再利用面積法求出CD的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC，
∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC，
∴6CD+10CD＝48，
∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，運(yùn)用面積法求出CD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
12．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝7，則AB＝ 2.5 ．
【分析】平移一腰，得到平行四邊形和30°的直角三角形，根據(jù)它們的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，則四邊形ABED是平行四邊形．
∴AD＝BE＝2，∠DEC＝∠B＝60°，
∴EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，
∵∠C＝30°，
∴∠EDC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∴EC＝2DE＝5．
∴AB＝DE＝2.5．
故答案是：2.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造平行四邊形ABED是解題的關(guān)鍵．
13．（2022春?丹陽(yáng)市期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，點(diǎn) D、E分別AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，且∠FDA＝∠BAE，則四邊形AFDE的周長(zhǎng)為 24 ．
【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和三角形中位線定理得出AEBC＝BE，DE∥AF，DEAC，由∠FDA＝∠BAE，得出AE∥DF，即可得出四邊形AFDE是平行四邊形．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，
∴AB＝12，
∵點(diǎn) D、E分別AB、BC的中點(diǎn)，
∴DE∥AC，AE＝CE＝BE，DEAC＝4.5，
∵∠FDA＝∠BAE，
∴AE∥DF，
∴四邊形AFDE是平行四邊形，
∴四邊形AFDE的周長(zhǎng)＝2ED+2AE＝9+15＝24，
故答案為：24．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，由三角形中位線定理得出DE∥AC，DEAC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
14．（2022春?海安市期中）如圖△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度，按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為 5或20或或時(shí)，△BCP為等腰三角形．
【分析】分情況討論，由等腰三角形的判定與性質(zhì)分別求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB13，
當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，CP＝CB＝5，
∴t＝5；
當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，分三種情況：
①當(dāng)BP＝BC＝5，如圖1所示：
則AP＝13﹣5＝8，
∴t＝12+8＝20；
②當(dāng)CP＝CB＝5時(shí)，
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，如圖2所示：
則BM＝PMBP，
∵AC?BCAB?CM，
∴CM，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM，
∴BP＝2BM
∴AP＝13，
∴t＝12；
③當(dāng)PC＝PB時(shí)，如圖3所示：
則∠B＝∠BCP，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴AP＝PBAB，
∴t＝12；
綜上所述，當(dāng)t＝5或20或或時(shí)，△BCP為等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2022春?如皋市校級(jí)月考）如圖，線段AB的長(zhǎng)為8，C為AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE長(zhǎng)的最小值是 2 ．
【分析】設(shè)AC＝x，BC＝10﹣x，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得CDx，CE（8﹣x），再由勾股定理和配方法即可求解．
【解答】解：設(shè)AC＝x，BC＝8﹣x，
∵△ACD為直角三角形，∠ADC＝90°，∠A＝30°，
∴CDACx，∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，
∵△BCE為直角三角形，∠BEC＝90°，∠B＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BEBC，
∴CE（8﹣x），
∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝90°，
∴DE2＝CD2+CE2＝（x）2+[（8﹣x）]2＝x2﹣12x+40＝（x﹣6）2+12，
∴當(dāng)x＝6時(shí)，DE2取最小值為12，
此時(shí)DE的最小值為2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及最小值問(wèn)題，熟練掌握勾股定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共6小題）
16．（真題?如皋市期末）如圖，在△ABC中，AC＝5，E為BC邊上一點(diǎn)，且CE＝1，AE，BE＝4，點(diǎn)F為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，求AF的長(zhǎng)．
【分析】（1）證出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；
（2）分三種情況，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE，
∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，
∴AC2+CE2＝AE2，
∴∠ACE＝90°，
∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，
∴AB5；
（2）①當(dāng)BF＝BE＝4時(shí)，
AF＝AB﹣BF＝54；
②如圖，當(dāng)BF＝EF時(shí)，有∠FEB＝∠B＝45°，
∴∠BFE＝90°，BF＝EF，
設(shè)BF＝EF＝x，
∵BF2+EF2＝BE2，
∴x2+x2＝42，
∴x＝2（負(fù)值舍去），
∴AF＝AB﹣BF＝523；
③如圖，當(dāng)BE＝EF時(shí)，有∠EFB＝∠B＝45°，
∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，
∴BF4，
∴AF＝AB﹣BF＝5．
綜上所述，AF的長(zhǎng)為54或3或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
17．（真題?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．延長(zhǎng)DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）求AF的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到AB，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義即可得到ADAB；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BF＝AF，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB，
∵AB的中垂線DE交AB于點(diǎn)D，
∴ADAB；
（2）∵DF是線段AB的垂直平分線，
∴BF＝AF，
∴CF＝BF﹣BC＝AF﹣1，
∵∠ACF＝90°，
∴CF2+AC2＝AF2，
∴（AF﹣1）2+22＝AF2，
∴AF，
故AF的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
18．（真題?連云港期末）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面積為35．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）求△ACB的面積．
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，求出AB；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C＝90°，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵△ABE的面積為35，DE＝7，
∴AB×7＝35，
解得：AB＝10；
（2）在△ABC中，AB2＝102＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，
則AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，
∴S△ABCAC?BC6×8＝24，
答：△ACB的面積24．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、三角形的面積計(jì)算，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C＝90°是解題的關(guān)鍵．
19．（真題?宜興市期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度數(shù)；
（2）若BD＝1，CD＝3，M為AC的中點(diǎn)，求DM的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ACD，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠ABC（180°﹣42°）＝69°，
在Rt△ADC中，∠A＝42°，
則∠ACD＝90°﹣42°＝48°，
∴∠DCB＝69°﹣48°＝21°；
（2）設(shè)AB＝AC＝x，則AD＝x﹣1，
在Rt△ADC中，AC2＝CD2+AD2，即x2＝32+（x﹣1）2，
解得：x＝5，即AC＝5，
在Rt△ADC中，M為AC的中點(diǎn)，
則DMAC＝2.5，
答：DM的長(zhǎng)為2.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．
20．（真題?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足為D．
（1）△ABC的面積是 150 ．
（2）求BC、AD的長(zhǎng)．
【分析】（1）由直角三角形的面積公式直接求解即可；
（2）先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式得出BC?AD＝150，然后即可求出AD．
【解答】解：（1）△ABC的面積是：?AB?AC150．
故答案是：150；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC25，
∵S△ABC＝150BC?AD，
∴300＝25AD，
∴AD＝12．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理和三角形面積的靈活運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是三角形ABC的面積可以用AB?AC表示，也可以用BC?AD表示，從而得出AB?AC＝BC?AD，這是此題的突破點(diǎn)．
21．（真題?石獅市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC移動(dòng)至點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使得點(diǎn)P到邊AB的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由勾股定理求出BC的長(zhǎng)即可；
（2）連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，則PE＝PC＝（8﹣2t）cm，證△AEP≌△ACP（AAS），得AE＝AC＝6cm，則BE＝AB﹣AE＝4（cm），再在Rt△BEP中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC8（cm）；
（2）存在，理由如下：
如圖，當(dāng)點(diǎn)P恰好運(yùn)動(dòng)到∠BAC平分線上時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等，
由已知可得：BP＝2tcm，PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，
連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，如圖所示：
則PE＝PC＝（8﹣2t）cm，
在△AEP與△ACP中，
，
∴△AEP≌△ACP（AAS），
∴AE＝AC＝6cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），
在Rt△BEP中，由勾股定理得：BP2＝BE2+PE2，
即（2t）2＝42+（8﹣2t）2，
解得：t，
即當(dāng)t的值為時(shí)，點(diǎn)P到邊AB的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．

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