1.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.會(huì)利用直線系方程解決相關(guān)問(wèn)題.
通過(guò)求解兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).
問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究
互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 必備知識(shí)探究
1.思考　點(diǎn)A(－2，2)是否在直線l1：3x＋4y－2＝0和直線l2：2x＋y＋2＝0上，點(diǎn)A和直線l1，l2有什么關(guān)系？
提示　在，點(diǎn)A是l1與l2的交點(diǎn).
2.填空　(1)設(shè)兩條直線的方程分別是l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全為0)，則
溫馨提醒　(1)雖然利用方程組解的個(gè)數(shù)可以判斷兩直線的位置關(guān)系，但是由于運(yùn)算量較大，一般較少使用.(2)兩條直線相交的等價(jià)條件是A1B2－A2B1≠0.
3.做一做　思考辨析，判斷正誤(1)任意一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程來(lái)表示.( )(2)若兩直線相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解.( )(3)無(wú)論m為何值，x－y＋1＝0與x－2my＋3＝0必相交.( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動(dòng)合作研析題型 關(guān)鍵能力提升
例1 判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
題型一　兩直線位置關(guān)系的判定
(3)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0.
判定兩直線的位置關(guān)系有以下兩種方法(1)利用方程組解的個(gè)數(shù)判斷.(2)利用直線平行、重合、垂直和相交的條件判斷，兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全為0).①當(dāng)A1B2－A2B1≠0時(shí)，兩直線相交；②當(dāng)A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0(或A1C2－A2C1＝0)時(shí)，兩直線重合；③當(dāng)A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)時(shí)，兩直線平行；④當(dāng)A1A2＋B1B2＝0時(shí)，兩直線垂直.
訓(xùn)練1 (多選)下列選項(xiàng)中，正確的有(　　)A.直線l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)B.直線l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)C.直線l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，2)D.直線l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0兩兩相交
這表明直線l1和l2重合，B錯(cuò)誤；
例2 當(dāng)k為何值時(shí)，直線l1：y＝kx＋3k－2與直線l2：x＋4y－4＝0的交點(diǎn)P在第一象限？
題型二　直線交點(diǎn)的應(yīng)用
已知兩條直線交點(diǎn)的情況，確定直線方程中的參數(shù)的值或取值范圍，方法是先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式，從而求出參數(shù)的值或取值范圍.
訓(xùn)練2 若直線2x＋3y－k＝0和直線x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在x軸上，則k的值為(　　)A.－24 B.24C.6 D.±6
題型三 過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程的應(yīng)用
例3 求經(jīng)過(guò)兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.
法二　設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)·(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直線l的方程為4x＋3y－6＝0.
(1)平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程為Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).(2)垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程為Bx－Ay＋λ＝0.(3)過(guò)兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0).
訓(xùn)練3 求過(guò)兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程.
法二　設(shè)所求直線方程為(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)由于所求直線與直線3x＋y－1＝0平行，
1.牢記1個(gè)關(guān)系方程組的解的個(gè)數(shù)與兩直線平行、相交或重合的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.掌握2種方法(1)兩條直線相交的判定方法.(2)經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程的設(shè)法.3.常見(jiàn)誤區(qū)對(duì)兩直線相交條件認(rèn)識(shí)模糊.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分層精練 核心素養(yǎng)達(dá)成
1.已知直線l1：3x＋4y－5＝0與l2：3x＋5y－6＝0相交，則它們的交點(diǎn)是(　　)
2.若直線x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一點(diǎn)，則k的值是(　　)
3.過(guò)兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程是(　　)A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0C.19x－3y＝0 D.3x＋19y＝0
4.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直線(　　)A.恒過(guò)定點(diǎn)(－2，3)B.恒過(guò)定點(diǎn)(2，3)C.恒過(guò)點(diǎn)(－2，3)和點(diǎn)(2，3)D.都是平行直線
5.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，如果直線x＝a將△ABC分割成面積相等的兩部分，那么實(shí)數(shù)a的值等于(　　)
6.三條直線ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10，2x－y＝10相交于一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.
把(4，－2)代入直線ax＋2y＋8＝0，可得4a－4＋8＝0，解得a＝－1.
7.已知直線l1：ax＋4y－2＝0與直線l2：2x－5y＋b＝0垂直，且垂足為(1，c)，則a＋b＋c的值為_(kāi)_______.
解得a＝10，所以直線l1的方程為5x＋2y－1＝0.由題意，可知(1，c)是兩條直線的交點(diǎn)，將(1，c)代入直線l1，得c＝－2.將(1，－2)代入直線l2，得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.
8.直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段的中點(diǎn)為P(－1，2)，則直線l的方程為_(kāi)_____________.
解析　設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0).由已知條件，得直線l與l2的交點(diǎn)為B(－2－x0，4－y0)，
9.求經(jīng)過(guò)直線l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線2x－y＋7＝0的直線方程.
10.如圖，△ABC中，BC邊上的高所在直線的方程為x－2y＋1＝0，∠BAC的平分線所在直線的方程為y＝0，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，2)，求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo).
∵∠BAC的平分線所在直線的方程為y＝0，∴直線AC的斜率為－1，AC所在直線的方程為y＝－(x＋1).∵BC邊上的高所在直線的方程為x－2y＋1＝0，∴kBC＝－2.又點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，2)，∴BC所在直線的方程為y＝－2(x－1)＋2.
11.(多選)若兩條直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0 的交點(diǎn)在y軸上，那么k的值可以是(　　)A.－24 B.－6C.6 D.24
12.(多選)若三條直線2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0與ax－y＋2＝0共有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值可以為(　　)A.1 B.2C.－2 D.－1
解析　由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行.∵直線x－y＋1＝0和直線2x＋y－4＝0不平行，∴直線x－y＋1＝0和直線ax－y＋2＝0平行或直線2x＋y－4＝0和直線ax－y＋2＝0平行.∵x－y＋1＝0的斜率為1，2x＋y－4＝0的斜率為－2，ax－y＋2＝0的斜率為a，∴a＝1或a＝－2.
13.已知在平行四邊形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，CM與BD交于點(diǎn)P.(1)求直線CM的方程；
因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，AB∥DC，AD∥BC，所以線段AB，DC所在直線的斜率相等，線段AD，BC所在直線的斜率相等，
又點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，所以M(4，1)，
14.若三條直線l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能構(gòu)成三角形，則a應(yīng)滿足的條件是(　　)A.a＝1或a＝－2B.a≠±1C.a≠1且a≠－2D.a≠±1且a≠－2
解析　為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點(diǎn).①對(duì)l1，l2由a·a－1×1＝0，得a＝±1，當(dāng)a＝1時(shí)，l1與l2重合，當(dāng)a＝－1時(shí)，l1∥l2；②對(duì)l2，l3，由1×1－a·1＝0，得a＝1，此時(shí)兩直線重合；③對(duì)l1，l3，由a·1－1×1＝0，得a＝1，此時(shí)兩直線重合.
故當(dāng)a＝1時(shí)，l1，l2與l3三線重合，當(dāng)a＝－1時(shí)，l1，l2平行.④若三條直線交于一點(diǎn)，
將l2，l3的交點(diǎn)(－a－1，1)的坐標(biāo)代入l1的方程，解得a＝1(舍去)或a＝－2.所以要使這三條直線能構(gòu)成三角形，應(yīng)滿足a≠±1且a≠－2.

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

1.4 兩條直線的交點(diǎn)

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

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