高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)第1章直線與方程1.3 兩條直線的平行與垂直精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)一：兩條直線(不重合)平行的判定
考點(diǎn)二：兩條直線垂直的判定
【題型歸納】
題型一：由斜率判斷兩條直線平行
1．（2022秋·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)校）直線與直線的位置關(guān)系是（）
A．垂直B．平行C．相交D．重合
【答案】B
【分析】根據(jù)兩直線斜率和截距判斷位置關(guān)系.
【詳解】直線化成斜截式方程為，
直線化成斜截式方程為，
兩直線斜率相等，在y軸上截距不相等，所以兩直線的位置關(guān)系是平行.
故選：B
2．（2023秋·高二）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題
①若，則斜率； ②若斜率，則；
③若，則傾斜角；④若傾斜角，則，
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）.
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)兩條直線平行的判定方法與結(jié)論即可判斷．
【詳解】由于與為兩條不重合的直線且斜率分別為，，所以，故①②正確；
由于與為兩條不重合的直線且傾斜角分別為，，所以，故③④正確，
所以正確的命題個(gè)數(shù)是4．
故選：D．
3．（2022·高二）已知兩條直線：，：，則下列說法正確的是（）
A．與一定相交B．與一定平行
C．與一定相交或平行D．以上均不對(duì)
【答案】D
【分析】利用兩直線的位置關(guān)系判斷.
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，與重合；當(dāng)時(shí)，與平行，
當(dāng)時(shí)，與相交，
故選：D
題型二：由斜率判斷兩條直線垂直
4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）兩直線的斜率分別是方程的兩根，那么這兩直線的位置關(guān)系是（）
A．垂直B．斜交
C．平行D．重合
【答案】A
【分析】由題意利用根與系數(shù)的關(guān)系可得兩直線的斜率乘積為，從而可判斷出兩直線的位置關(guān)系.
【詳解】設(shè)兩直線的斜率分別為，，
因?yàn)?，是方程的兩根?br>所以利用根與系數(shù)的關(guān)系得，
所以兩直線的位置關(guān)系是垂直．
故選：A．
5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列各組直線中，互相垂直的一組是（）
A．與B．與
C．與D．與
【答案】D
【分析】分別求出兩直線的斜率，根據(jù)斜率之積為兩直線垂直，即可判斷.
【詳解】對(duì)于A：直線的斜率為，直線的斜率為，
故兩直線平行，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：直線的斜率為，直線的斜率為，
斜率之積不為，即兩直線不垂直，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：直線的斜率為，直線的斜率為，
斜率之積不為，即兩直線不垂直，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：直線的斜率為，直線的斜率為，
斜率之積為，即兩直線垂直，故D正確；
故選：D
6．（2022秋·安徽六安·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，則線段的垂直平分線所在的直線方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用兩直線垂直的斜率關(guān)系和點(diǎn)斜式方程即可求解.
【詳解】線段的中點(diǎn)為，
的斜率為，
所以線段的垂直平分線的斜率為，
所以由點(diǎn)斜式即，
故選：B.
題型三：已知直線平行求參數(shù)
7．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線與直線平行，則的值為（）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】求出已知二直線不相交時(shí)的a值，再驗(yàn)證作答.
【詳解】依題意，直線與直線平行或重合時(shí)，，
解得或，
當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，
當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，
所以的值為.
故選：C
8．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知過點(diǎn)和點(diǎn)的直線為l1，. 若，則的值為（）
A．B．
C．0D．8
【答案】A
【分析】由平行、垂直直線的斜率關(guān)系得出的值.
【詳解】因?yàn)?，所以，解得，又，所以?br>解得.所以.
故選：A.
9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知常數(shù)，直線：，：，則是的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】先利用兩直線平行的公式求出，再確定充分性和必要性即可.
【詳解】因?yàn)橹本€：，：，
當(dāng)時(shí)，解得，
所以是的充分不必要條件.
故選：A
題型四：已知直線垂直求參數(shù)
10．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二?？奸_學(xué)考試）直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．0B．1C．0或1D．或1
【答案】C
【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.
【詳解】，即，解得或.
故選：C.
11．（2023秋·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)直線，，則是的（）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】利用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，，
此時(shí)，則，所以，故充分性成立；
當(dāng)時(shí)，，解得或，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：C.
12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線：，則“”是“直線與軸垂直”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】由直線與軸垂直，可得直線的斜率不存在，進(jìn)而得到，解出的值，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.
【詳解】由直線與軸垂直，得直線的斜率不存在，
可得，解得，
所以“”是“直線與軸垂直”的充要條件.
故選：C.
題型五：直線平行、垂直在幾何中的應(yīng)用
13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點(diǎn)D使AD⊥BC，AB∥CD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)D(x，y)，根據(jù)兩直線平行和垂直時(shí)，其斜率間的關(guān)系得出方程組，解之可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)得選項(xiàng).
【詳解】解：設(shè)D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，
∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，
故選：D.
14．（2022秋·山東德州·高二德州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，則△ABC的歐拉線方程為（）
A．2x+y﹣3＝0B．2x﹣y﹣3＝0
C．x﹣2y+3＝0D．x﹣2y﹣3＝0
【答案】B
【分析】先由A（4，0），B（0，2）求出線段AB的垂直平分線，再由AC＝BC判斷出其即為△ABC的歐拉線.
【詳解】因?yàn)锳（4，0），B（0，2），
所以線段AB的中點(diǎn)為（2，1），
所以線段AB的垂直平分線為：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0，
∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分線上，
因此△ABC的歐拉線方程為2x﹣y﹣3＝0.
故選：B.
15．（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，.
(1)求邊的垂直平分線所在直線方程；
(2)求內(nèi)邊上中線方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先得到線段的中點(diǎn)，再利用垂直平分線得到，接著用點(diǎn)斜式即可求解；
（2）利用截距式即可得到中線的方程，注意加上對(duì)應(yīng)范圍
【詳解】（1）由，可得線段的中點(diǎn)為，，
因?yàn)槭沁叺拇怪逼椒志€，所以，
則所在直線方程：即
（2）由（1）可得線段的中點(diǎn)為，
故邊上中線方程為即，
所以內(nèi)邊上中線方程：
題型六：直線平行與垂直的綜合問題
16．（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知兩直線.當(dāng)為何值時(shí)，和.
(1)平行；
(2)垂直.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)與平行的條件且列式可得答案；
（2）根據(jù)與垂直的條件列式可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)時(shí)，直線兩條直線重合，
故時(shí)，；
（2）因?yàn)?，所以，解得?
17．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出直線方程，并化為一般式：
(1)斜率是且經(jīng)過點(diǎn)；
(2)經(jīng)過兩點(diǎn)；
(3)在軸上的截距分別為.
(4)過點(diǎn)，且平行于的直線；
(5)與垂直，且過點(diǎn)的直線．
(6)直線過點(diǎn)和點(diǎn)，求該直線的方程；
(7)直線過點(diǎn)，且傾斜角的正弦值是，求該直線的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)或
【詳解】（1）由直線點(diǎn)斜式方程知：所求直線方程為，即.
（2）由直線兩點(diǎn)式方程知：所求直線方程為，即.
（3）由直線截距式方程知：所求直線方程為，即.
（4）設(shè)所求直線方程為：，
直線過點(diǎn)，，解得：，
直線方程為，即.
（5）設(shè)所求直線方程為：，
直線過點(diǎn)，，解得：，
直線方程為：.
（6）由直線兩點(diǎn)式方程知：直線方程為，即.
（7）設(shè)直線的傾斜角為，
由得：，；
當(dāng)時(shí)，直線斜率，
直線方程為：，即；
當(dāng)時(shí)，直線斜率，
直線方程為：，即；
綜上所述：直線方程為或.
18．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知直線，.
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合截距的定義，并分類討論，即可求解．
【詳解】（1）直線，．
則，解得或，
當(dāng)時(shí)，，，則直線，重合，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，，則直線，不重合，符合題意，
故.
（2）當(dāng)，即時(shí)，，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為，
滿足直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等；
當(dāng)且時(shí)，
則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，
由題意可知，，解得，
當(dāng)時(shí)直線，顯然不符合題意，
綜上所述，或．
【雙基達(dá)標(biāo)】
一、單選題
19．（2023·全國(guó)·高二）直線：與直線：平行，則（）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由兩直線平行得到方程和不等式，求出答案.
【詳解】由題意得，解得.
故選：A
20．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）兩直線的斜率分別是方程的兩根，那么這兩直線的位置關(guān)系是（）
A．垂直B．斜交
C．平行D．重合
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及直線的斜率關(guān)系判定直線位置關(guān)系即可.
【詳解】不妨設(shè)兩直線的斜率分別為，則由題意有，所以兩直線互相垂直.
故選：A
21．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．0B．3C．0或D．0或3
【答案】C
【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，解得或.
故選：C.
22．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過點(diǎn)與平行，則的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)出的方程，利用點(diǎn)求得正確答案.
【詳解】設(shè)直線，
代入得，
所以直線的方程是.
故選：B
23．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上，直線AB垂直于直線，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)，由兩直線的垂直關(guān)系及點(diǎn)在線上列出方程組計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)，則由題意可得①，且②，
由①②解得.即B正確.
故選：B
24．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知三條直線，，．
(1)若，且過點(diǎn)，求、的值；
(2)若，求、的值．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）由直線垂直的特征及直線過的點(diǎn)可得關(guān)于a、b的方程組，即可得解；
（2）由直線平行的特征求解a，b，再代入驗(yàn)證即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，，且，所以?br>又直線過點(diǎn)，所以，所以，
所以，所以或；
（2）若，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，也即，
，也即，滿足，
所以若，.
25．（2023秋·廣西貴港·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，D為BC的中點(diǎn)，AD所在的直線為．
(1)求的一般式方程；
(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)B，且，求在軸上的截距．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式可求出直線的方程，再化為一般式即可，
（2）由題意設(shè)直線的方程為，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出的值，從而可求出在軸上的截距．
【詳解】（1）由題意得，
則l的方程為，
即．
（2）設(shè)的方程為，
將代入，得，即，
所以在y軸上的截距為3．
【高分突破】
一、單選題
26．（2023秋·福建三明·高二三明一中?？茧A段練習(xí)）若直線與直線互相平行，則的值是（）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】利用兩直線平行可得出關(guān)于的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相平行，
則，解得.
故選：A.
27．（2023春·四川成都·高二?？计谥校┮阎}p：“”，命題q：“直線與直線垂直”，則命題p是命題q的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合兩直線垂直的條件分析判斷即可
【詳解】若直線與直線垂直，
則，得，或，
所以命題p是命題q的充分不必要條件，
故選：A
28．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：，：，其中，則“”是“”的（）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】利用兩直線垂直求出a的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.
【詳解】直線：，：，由，得，解得或，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：C
29．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省臨安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知命題：直線與平行，命題，則是的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關(guān)系可得命題等價(jià)于或，結(jié)合充分不必要條件的判斷即可求解.
【詳解】直線與平行，則，解得或，所以命題等價(jià)于或，命題．
則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．
故選：A．
30．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若為實(shí)數(shù)，則“”是“直線與平行”的（）條件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】根據(jù)直線平行求得，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若“直線與平行”，
則，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)//，符合題意；
當(dāng)時(shí)，直線，即，，
此時(shí)，重合，不符合題意；
綜上所述：“直線與平行”等價(jià)于.
所以“”是“直線與平行”的充要條件.
故選：C.
31．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知直線和，則（）
A．m和n可能重合
B．m和n不可能垂直
C．存在直線m上一點(diǎn)P，以P為中心旋轉(zhuǎn)后與n重合
D．以上都不對(duì)
【答案】C
【分析】A選項(xiàng)求出直線m與直線n的斜率判斷；B選項(xiàng)由斜率之積是否為判斷；C選項(xiàng)由兩直線不平行，得出兩直線相交判斷.
【詳解】對(duì)A，直線，斜率為；
直線，斜率為；
，所以m和n不可能重合，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，時(shí)，，m和n垂直，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)C，由知m和n不平行，設(shè)m、n相交于點(diǎn)P，
則直線m以P為中心旋轉(zhuǎn)后與n重合，所以C正確．
故選：C．
二、多選題
32．（2023秋·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法中錯(cuò)誤的是（）
A．不過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示
B．若直線，則兩直線的斜率相等
C．過兩點(diǎn)，的直線都可用方程表示
D．若兩條直線中，一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則兩條直線垂直
【答案】ABD
【分析】A和C選項(xiàng)根據(jù)直線的截距式方程和兩點(diǎn)式方程的定義解決，選項(xiàng)B需要考慮斜率不存在的情況，選項(xiàng)D根據(jù)斜率考慮直線的傾斜角，得到兩直線的位置關(guān)系.
【詳解】A.直線的截距式方程不能表示過原點(diǎn)和垂直于坐標(biāo)軸的直線，故A錯(cuò)誤；
B.和的斜率有可能不存在，故B錯(cuò)誤；
C.選項(xiàng)中的方程是直線的兩點(diǎn)式方程化為整式后的結(jié)果，直線的兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線，但化為整式后就沒有缺陷了，可以表示任意直線，故C正確；
D.直線斜率不存在，則直線垂直于軸，直線斜率存在，但不一定斜率為0，所以兩直線不一定垂直，故D錯(cuò)誤.
故選：ABD
33．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列各組直線中與一定平行的是（）
A．經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)
B．經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)
C．的傾斜角為，經(jīng)過點(diǎn)
D．平行于軸，經(jīng)過點(diǎn)
【答案】AD
【分析】由題意，先求出兩直線的斜率，當(dāng)斜率相等再看兩直線是否重合，從而得出結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A．由題意知，所以直線與直線平行或重合，
又，故，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B．由題意知，所以直線與直線平行或重合，，故直線與直線重合，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C．由題意知，，所以直線與直線可能平行可能重合，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D．由題意知的斜率不存在，且不是軸，的斜率也不存在，恰好是軸，所以，D選項(xiàng)正確．
故選：AD
34．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）以為頂點(diǎn)的三角形，下列結(jié)論正確的有（）
A．
B．
C．以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形
D．以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形
【答案】AC
【分析】對(duì)于AB，利用斜率公式計(jì)算判斷，對(duì)于C，通過計(jì)算判斷，對(duì)于D，通過計(jì)算判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以A正確，
對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以D錯(cuò)誤，
故選：AC
35．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）光線自點(diǎn)射入，經(jīng)傾斜角為的直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線經(jīng)過的點(diǎn)為（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】先求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，得出反射后的直線，再對(duì)選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)
【詳解】由題意知，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，所以反射光線所在的直線方程為，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故選：BC
36．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）已知直線，直線，則下列命題正確的有（）
A．直線恒過點(diǎn)
B．直線的方向向量為，則
C．若，則
D．若，則
【答案】BD
【分析】根據(jù)已知直線方程，逐個(gè)驗(yàn)證直線過的定點(diǎn)、方向向量和垂直平行所需的條件.
【詳解】把代入直線的方程，等式不成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
直線的方向向量為，則直線斜率，得，B選項(xiàng)正確；
直線方向向量為，直線的方向向量為，若，則有，解得，當(dāng)時(shí)，與重合，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若，則有，即，D選項(xiàng)正確.
故選：BD
三、填空題
37．（2023秋·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）已知直線與平行，則實(shí)數(shù) ．
【答案】0或
【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)求解.
【詳解】因?yàn)橹本€與平行，
所以，
解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)兩直線平行.
故答案為：0或
38．（2023秋·廣西貴港·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）若直線與直線垂直，則．
【答案】
【分析】根據(jù)直線垂直列方程，從而求得的值.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，
所以，解得．
故答案為：
39．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）若過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與方向向量為的直線垂直，則實(shí)數(shù)m的值是．
【答案】5
【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系運(yùn)算求解.
【詳解】由得直線的斜率為，
若兩直線垂直，則直線PQ的斜率為，解得．
故答案為：5.
40．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二校考期中）已知直線過點(diǎn)和點(diǎn)，直線，直線.若，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)直線垂直和平行滿足的斜率關(guān)系即可求解.
【詳解】由于直線的斜率為，且，直線的斜率為，解得.由于，的斜率為，直線的斜率為，，
∴，解得，∴.
故答案為：
41．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）θ是第三象限的角，已知直線和直線，則與的位置關(guān)系為．
【答案】垂直
【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件判斷即可.
【詳解】因?yàn)棣仁堑谌笙薜慕牵?br>所以，
所以，
故答案為：垂直
四、解答題
42．（2023·全國(guó)·高二）已知點(diǎn)求：
(1)BC邊上的中線所在直線的方程；
(2)BC邊上的高所在直線方程；
(3)BC邊的垂直平分線的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線方程即可；
（2）BC邊上的高和BC垂直，利用兩直線垂直的斜率關(guān)系即可；
（3）利用垂直平分線經(jīng)過BC的中點(diǎn)，且和BC垂直求解即可.
【詳解】（1）
的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且
所以BC邊上的中線所在直線的方程：
（2）BC的斜率：，
所以BC邊上的高所在直線方程的斜率：
BC邊上的高所在直線方程：
即：.
（3）由前兩問知：的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.
BC邊的垂直平分線的斜率：，
BC邊的垂直平分線的方程:
即：
43．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：與直線：.
(1)若與垂直，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若與平行，求實(shí)數(shù)m的值.
【答案】(1)
(2)或2
【分析】（1）利用直線垂直的充要條件計(jì)算即可；
（2）利用直線平行的充要條件計(jì)算即可.
【詳解】（1）由兩直線垂直的充要條件可知：；
（2）由兩直線平行的充要條件可知：且，解方程得或.
44．（2023·全國(guó)·高二專題）直線l過點(diǎn)P（3，2）且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．
(1)若直線l與2x+3y﹣2＝0法向量平行，寫出直線l的方程；
(2)求△AOB面積的最小值；
(3)如圖，若點(diǎn)P分向量AB所成的比的值為2，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)M，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段MP和OA上，若直線EF平分直角梯形OAPM的面積，求證：直線EF必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)3x﹣2y﹣5＝0；
(2)12；
(3)證明見解析，定點(diǎn)（3，1）．
【分析】（1）利用兩直線垂直設(shè)出一般式，代入點(diǎn)P即可求出直線方程；
（2）設(shè)直線截距式方程為，代入點(diǎn)P得到，利用基本不等式即可求出面積最小值；
（3）設(shè)A（a，0），B（0，b），利用得到a＝9，b＝6，再設(shè)E（m，2），F(xiàn)（n，0），根據(jù)四邊形面積得到m+n＝6，代回直線EF方程，求出定點(diǎn)得解．
【詳解】（1）由題設(shè)直線l：3x﹣2y+C＝0，將點(diǎn)（3，2）代入得9﹣4+C＝0，所以C＝﹣5，故直線l的方程為3x﹣2y﹣5＝0.
（2）設(shè)直線l的方程為，
將點(diǎn)（3，2）代入得，則ab≥24，類型
斜率存在
斜率不存在
前提條件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
對(duì)應(yīng)關(guān)系
l1∥l2?k1＝k2
l1∥l2?兩直線的斜率都不存在
圖示
圖示
對(duì)應(yīng)關(guān)系
l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2

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