1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線的兩點(diǎn)式方程.2.掌握直線方程的截距式，并會應(yīng)用.
通過學(xué)習(xí)直線的兩點(diǎn)式及截距式方程，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).
問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究
互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 必備知識探究
一、直線的兩點(diǎn)式方程1.思考　(1)我們知道已知兩點(diǎn)也可以確定一條直線，若給定直線上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直線的方程呢？
(2)當(dāng)x1＝x2，y1≠y2時(shí)，直線方程是什么？提示　x＝x1(或x＝x2).
溫馨提醒　(1)直線的兩點(diǎn)式方程應(yīng)用的前提條件是x1≠x2，y1≠y2，即直線的斜率不存在及斜率為零時(shí)，沒有兩點(diǎn)式方程.(2)把直線的兩點(diǎn)式方程化為(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，則表示過平面內(nèi)任意已知兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的直線.
3.做一做　思考辨析，判斷正誤(1)能用兩點(diǎn)式方程表示的直線也可用點(diǎn)斜式方程表示.( )
(3)過點(diǎn)(1，3)和(1，5)的直線也可以用兩點(diǎn)式方程來表示.( )提示　因?yàn)?－1＝0不能作分母，故不能用兩點(diǎn)式來表示.
二、直線的截距式方程1.思考　若給定直線上兩點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直線的方程呢？
溫馨提醒　(1)選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即兩個(gè)非零截距，所以截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線.(2)過原點(diǎn)的直線的橫、縱截距都為0.
解析　由方程知直線在x軸上的截距為4，在y軸上的截距為－5，故4＋(－5)＝－1.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動合作研析題型 關(guān)鍵能力提升
例1 已知三角形的頂點(diǎn)是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求這個(gè)三角形三邊所在直線的方程.
題型一　直線的兩點(diǎn)式方程
直線AC垂直于x軸，故AC邊所在直線的方程為x＝1.直線BC平行于x軸，故BC邊所在直線的方程為y＝－1.
利用兩點(diǎn)式求直線方程當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件，若滿足即可考慮用兩點(diǎn)式求方程.在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程.
訓(xùn)練1 已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三條邊所在直線的方程.解　∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，∴直線AB與x軸垂直，故AB邊所在直線的方程為x＝2.由A(2，－1)，C(4，1)，
例2 求過點(diǎn)A(3，4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程.
題型二　直線的截距式方程
(2)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且為0時(shí)，即直線l過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，因?yàn)閘過點(diǎn)A(3，4)，
遷移1 若將點(diǎn)A的坐標(biāo)改為“A(－3，－4)”，其他條件不變，又如何求解？
(2)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)，直線l過原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，由于l過點(diǎn)A(－3，－4)，
遷移2 若將例2中“截距互為相反數(shù)”改為“截距相等”呢？
零截距的重要性如果題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”、“截距互為相反數(shù)”、“在一坐標(biāo)軸上的截距是在另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m>0)”等條件時(shí)，采用截距式求直線方程，一定要注意考慮“零截距”的情況.
訓(xùn)練2 過點(diǎn)A(3，－1)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線有(　　)A.2條 B.3條C.4條 D.無數(shù)多條
題型三　直線方程的綜合應(yīng)用
例3 過點(diǎn)P(1，4)作直線l，直線l與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn).(1)若△ABO的面積為9，求直線l的方程；
解　設(shè)A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，
即ab＝18，由(*)式得，b＋4a＝ab＝18，從而b＝18－4a，∴a(18－4a)＝18，整理得2a2－9a＋9＝0，
(2)若△ABO的面積為S，求S的最小值，并求出此時(shí)直線l的方程.
直線方程的選擇技巧(1)已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過該點(diǎn)的直線方程，一般選取點(diǎn)斜式方程，再由其他條件確定直線的斜率.(2)若已知直線的斜率，一般選用直線的點(diǎn)斜式或斜截式，再由其他條件確定直線的一個(gè)點(diǎn)或者截距.(3)若已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，一般選用直線的兩點(diǎn)式方程，若兩點(diǎn)是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，就用截距式方程.(4)不論選用怎樣的直線方程，都要注意各自方程的限制條件，對特殊情況下的直線要單獨(dú)討論解決.
訓(xùn)練3 如圖，已知正方形ABCD的邊長是4，它的中心在原點(diǎn)，對角線在坐標(biāo)軸上，M，N，P，Q分別是所在邊的中點(diǎn)，則正方形的邊AB，BC所在的直線方程分別為____________________________，正方形的對稱軸所在直線的方程為____________________________.
y＝±x，y＝0，x＝0.
由點(diǎn)斜式方程得，直線MN的方程為y＝x.直線PQ的方程為y＝－x.由A，C在x軸上得直線AC的方程為y＝0.由B，D在y軸上，得直線BD的方程為x＝0.故正方形的對稱軸所在直線方程為y＝±x，y＝0，x＝0.
1.牢記2個(gè)直線方程(1)兩點(diǎn)式方程.(2)截距式方程.2.掌握2種規(guī)律方法(1)求直線的兩點(diǎn)式方程的策略.(2)直線的截距式方程應(yīng)用的注意點(diǎn).3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)是在截距相等時(shí)求直線方程易漏掉直線過原點(diǎn)的情況.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分層精練 核心素養(yǎng)達(dá)成
1.經(jīng)過兩點(diǎn)(5，0)，(2，－5)的直線方程為(　　)A.5x＋3y－25＝0B.5x－3y－25＝0C.3x－5y－25＝0D.5x－3y＋25＝0
2.已知直線l：ax＋y－2＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a的值是(　　)A.1 B.－1C.－2或－1 D.－2或1
3.經(jīng)過點(diǎn)A(2，5)，B(－3，6)的直線在x軸上的截距為(　　)A.2 B.－3C.－27 D.27
4.已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，則中位線MN所在直線方程為(　　)A.2x＋y－8＝0B.2x－y＋8＝0C.2x＋y－12＝0D.2x－y－12＝0
5.(多選)下列命題正確的是(　　)
當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，在x軸和y軸上的截距相等，但斜率不一定為－1，故B錯(cuò)誤；設(shè)直線在y軸上的截距為b，則直線方程為y＝x＋b.令y＝0，得直線在x軸上的截距為x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正確；若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，則直線的斜率為±1，故D正確.
6.已知A(2，－1)，B(6，1)，則在y軸上的截距是－3，且經(jīng)過線段AB中點(diǎn)的直線方程為______________.
解析　由于A(2，－1)，B(6，1)，故線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，又直線在y軸上的截距是－3，
8.過點(diǎn)P(3，2)，且在兩坐標(biāo)軸上截得的截距相等的直線方程是 ______________________.
2x－3y＝0或x＋y－5＝0
故直線方程為x＋y－5＝0，綜上，滿足條件的直線方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
9.求經(jīng)過點(diǎn)A(－2，3)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程.
解　(1)當(dāng)橫截距、縱截距都是零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為y＝kx，
將(－2，3)代入所設(shè)方程，解得a＝2，此時(shí)，直線方程為x＋2y－4＝0.綜上所述，所求直線方程為x＋2y－4＝0或3x＋2y＝0.
10.求過點(diǎn)P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線的截距式方程.
12.(多選)過點(diǎn)A(4，1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為(　　)A.x＋y＝5 B.x－y＝5C.x－4y＝0 D.x＋4y＝0
14.已知A(3，0)，B(0，4)，直線AB上有一動點(diǎn)P(x，y)，求xy的最大值.

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊電子課本

1.4 兩條直線的交點(diǎn)

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 選擇性必修第一冊

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