1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線的兩點(diǎn)式方程.
2.了解直線的截距式方程的形式特征及適用范圍.
某區(qū)商業(yè)中心O有通往東、西、南、北的四條大街，某公園位于東大街北側(cè)、北大街東側(cè)的P處，如圖所示.公園到東大街、北大街的垂直距離分別為1 km和4 km.現(xiàn)在要在公園前修建一條直線大道分別與東大街、北大街交匯于A，B兩處，并使區(qū)商業(yè)中心O到A，B兩處的距離之和最短.
在上述問題中，實(shí)際上解題的關(guān)鍵是確定直線AB，那么直線AB的方程確定后，點(diǎn)A，B能否確定？
問題1　我們知道已知兩點(diǎn)也可以確定一條直線，若給定直線上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直線的方程呢？
經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直線方程 叫作直線的兩點(diǎn)式方程.
(1)當(dāng)經(jīng)過兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的直線斜率不存在(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式方程表示.(2)兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無關(guān).(3)方程中等號(hào)兩邊表達(dá)式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等.
(1)過(1,2)，(5,3)的直線方程是
直線過(1,2)，(5,3)，
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(－1,0)，(1,4)，則直線l的兩點(diǎn)式方程是______________.
利用兩點(diǎn)式求直線的方程首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件.若滿足即可考慮用兩點(diǎn)式求方程.在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程.
　 (1)過點(diǎn)A(－2,1)，B(3，－3)的直線方程為______________.
因?yàn)橹本€過點(diǎn)(－2,1)和(3，－3)，
化簡(jiǎn)得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(m，1)，求這條直線的方程.
由直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(m，1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在.①當(dāng)直線斜率不存在，即m＝1時(shí)，直線方程為x＝1；
綜上可得，當(dāng)m＝1時(shí)，直線方程為x＝1；當(dāng)m≠1時(shí)，直線方程為x－(m－1)y－1＝0.
問題2　若給定直線上兩點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直線的方程呢？
方程 ，其中 稱為直線在y軸上的截距， 稱為直線在x軸上的截距.這個(gè)方程由直線在x軸和y軸上的非零截距所確定，所以這個(gè)方程也叫作直線的 .
(1)如果已知直線在兩坐標(biāo)軸上的非零截距，可以直接代入截距式求直線的方程.(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來作圖.(3)與坐標(biāo)軸平行和過原點(diǎn)的直線都不能用截距式表示.
　　 求過點(diǎn)A(3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程.
綜上，直線l的方程為x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
延伸探究1.若將點(diǎn)A的坐標(biāo)改為“A(－3，－4)”，其他條件不變，又如何求解？
(1)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不為0時(shí)，
又l過點(diǎn)A(－3，－4)，
(2)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且為0時(shí)，即直線l過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，由于l過點(diǎn)(－3，－4)，
所以直線l的方程為4x－3y＝0.綜上，直線l的方程為x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2.若將本例中“截距互為相反數(shù)”改為“截距相等”呢？
所以直線l的方程為x＋y－7＝0.(2)當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，
綜上，直線l的方程為x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)(1)如果問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可.(2)選用截距式方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直.(3)要注意截距式方程的逆向應(yīng)用.
　　　 直線l過點(diǎn)P ，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)△AOB的周長(zhǎng)為12時(shí)，求直線l的方程.
兩邊平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0. ①
所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
　　 在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P(3,1)作直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.
設(shè)A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0.
∵A，P，B三點(diǎn)共線，
直線方程的選擇技巧(1)已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過該點(diǎn)的直線方程，一般選取點(diǎn)斜式方程，再由其他條件確定直線的斜率.(2)若已知直線的斜率，一般選用直線的斜截式，再由其他條件確定直線的一個(gè)點(diǎn)或者截距.(3)若已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，一般選用直線的兩點(diǎn)式方程，若兩點(diǎn)是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，就用截距式方程.(4)不論選用怎樣的直線方程，都要注意各自方程的限制條件，對(duì)特殊情況下的直線要單獨(dú)討論解決.
　　　 一束光線從點(diǎn)A(3,2)發(fā)出，經(jīng)x軸反射，通過點(diǎn)B(－1,6)，分別求入射光線和反射光線所在直線的方程.
故入射光線所在直線的方程為2x－y－4＝0，反射光線所在直線的方程為2x＋y－4＝0.
1.知識(shí)清單： (1)直線的兩點(diǎn)式方程. (2)直線的截距式方程.2.方法歸納：分類討論法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：利用截距式求直線方程時(shí)忽略過原點(diǎn)的情況導(dǎo)致漏解.
1.在x軸、y軸上的截距分別是－3,4的直線方程是
知直線l過點(diǎn)(－5,0)，(3，－3)，
3.過點(diǎn)P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為0的直線方程為__________________________.
當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，得直線方程為2x－y＝0；當(dāng)在坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，
將x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直線方程為x－y＋1＝0.∴直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0.
4.過(－1，－1)和(1,3)兩點(diǎn)的直線在x軸上的截距為_____，在y軸上的截距為___.
化簡(jiǎn)得2x－y＋1＝0，
1.過兩點(diǎn)(－2,1)和(1,4)的直線方程為A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1C.y＝x＋2 D.y＝－x－2
2.已知直線l：ax＋y－2＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a的值是A.1 B.－1C.－2或－1 D.－2或1
顯然a≠0.把直線l：ax＋y－2＝0化為
因?yàn)橹本€在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且經(jīng)過第一、二、三象限，故a0.
4.經(jīng)過點(diǎn)A(2,5)，B(－3,6)的直線在x軸上的截距為A.2 B.－3C.－27 D.27
5.下列說法正確的是A.經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B.經(jīng)過點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示
D.經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程 (y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
選項(xiàng)A不正確，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)的直線不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；選項(xiàng)B不正確，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)A(0，b)的直線不可以用方程y＝kx＋b表示；
選項(xiàng)D正確，斜率有可能不存在，截距也有可能為0，但都能用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.
6.經(jīng)過點(diǎn)P(－1,2)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有A.0條 B.1條 C.2條 D.3條
直線l經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得直線方程為y＝－2x.
解得a＝1，b＝1，可得方程為x＋y＝1.
解得a＝－3，b＝3，可得方程為y－x＝3.綜上可得，滿足條件的直線的條數(shù)為3.
7.若直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，且過定點(diǎn)A(6，－2)，則直線l的方程為_____________________.
設(shè)直線l在y軸上的截距為a(a≠0)，則在x軸上的截距為a＋1(a≠－1)，
即a2－3a＋2＝0，∴a＝2或a＝1，
8.已知直線l過點(diǎn)(2,3)，且在x軸上的截距是在y軸上截距的兩倍，則直線l的方程為________________________.
3x－2y＝0或x＋2y－8＝0
9.已知三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，試求這個(gè)三角形的三條邊所在直線的方程.
即3x＋8y＋15＝0.同理可得直線BC：5x＋3y－6＝0，直線AC：2x－5y＋10＝0.
10.若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，求直線l的方程.
∵直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，∴直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等或互為相反數(shù)且不為0.若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且設(shè)為a(a≠0)，
∴a＝±6.∴直線l的方程為x＋y±6＝0.
若l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，不妨設(shè)在x軸上的截距為a，則在y軸上的截距為－a(a≠0)，
∴a＝±6，∴直線的方程為x－y±6＝0.綜上所述，直線l的方程為x＋y±6＝0或x－y±6＝0.
11.(多選)過點(diǎn)A(4,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為A.x＋y＝5 B.x－y＝5C.x－4y＝0 D.x＋4y＝0
把(4,1)代入，解得a＝5，所以直線方程為x＋y＝5.綜上可知，直線方程為x＋y＝5或x－4y＝0.
12.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，則過點(diǎn)B將△ABC的面積平分的直線方程為A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0
14.過點(diǎn)P(4,1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)OA＋OB取最小值時(shí)，直線l的方程為_____________.
15.已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則xy的最大值是____.
設(shè)A(a，0)，B(0，b)，且a>0，b>0，
根據(jù)題意，易知M在線段AB上，
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5

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1.4 兩條直線的交點(diǎn)

版本： 蘇教版 (2019)

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