古埃及時代，尼羅河經(jīng)常泛濫，古埃及人為了研究尼羅河水運行的規(guī)律，準備測量各種數(shù)據(jù)．當尼羅河漲水時，古埃及人想測量某處河面的寬度(如圖)，如果古埃及人通過測量得到了AB的長度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的寬度CD．
思考：你知道古埃及人是如何利用這些數(shù)據(jù)計算的嗎？
知識點1 三角形的面積公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha＝eq \f(1,2)bhb＝eq \f(1,2)chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A．
(3)S＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r為內(nèi)切圓半徑)．
1．已知△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若A＝120°，b＝3，c＝8，則△ABC的面積等于( )
A．6 B．6eq \r(3) C．12 D．12eq \r(3)
B [由題意得，△ABC的面積S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×3×8sin 120°＝eq \f(1,2)×3×8×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3)，故選B．]
知識點2 正弦定理
[拓展]
1．正弦定理的常用變形式
在△ABC中，若內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，其外接圓半徑為R．則
(1)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；
(2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(3)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R；
(4)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(可以實現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化)
(5)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)．(可以實現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化)
2．三角形中邊角的不等關(guān)系
(1)若A＞B＞C，可得a＞b＞c，則sin A＞sin B＞sin C；
(2)若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，則A＞B＞C．
2．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)正弦定理只適用于銳角三角形．( )
(2)正弦定理不適用于鈍角三角形．( )
(3)在某一確定的三角形中，各邊與它的對角的正弦的比是定值．( )
(4)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c．( )
[提示] 正弦定理適用于任意三角形，故(1)(2)均不正確；由正弦定理可知，三角形一旦確定，則各邊與其所對角的正弦的比就確定了，故(3)正確；由比例性質(zhì)和正弦定理可推知(4)正確．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
知識點3 解三角形
(1)一般地，我們把三角形的3個角與3條邊都稱為三角形的元素．
(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般稱為解三角形．
利用正弦定理解三角形需要哪些條件？
[提示] 需要兩角和一邊或兩邊和其中一邊的對角．
3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，則b等于( )
A．5eq \r(2) B．10eq \r(3) C．eq \f(10\r(3),3) D．5eq \r(6)
B [由正弦定理得，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝10eq \r(3)．]
知識點4 對三角形解的個數(shù)的判斷
已知三角形的兩角和任意一邊，求另兩邊和另一角，此時有唯一解，三角形被唯一確定．已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定．現(xiàn)以已知a，b和A解三角形為例，從兩個角度予以說明：
(1)代數(shù)角度
由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin A,a)，
①若eq \f(bsin A,a)>1，則滿足條件的三角形個數(shù)為0，即無解；
②若eq \f(bsin A,a)＝1，則滿足條件的三角形個數(shù)為1，即一解；
③若eq \f(bsin A,a)

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第四冊電子課本

9.1.1 正弦定理

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第四冊

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