【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1． 掌握正弦定理的內(nèi)容；
2． 掌握正弦定理的證明方法；
3． 會(huì)運(yùn)用正弦定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題。
【學(xué)習(xí)過(guò)程】
一、課前準(zhǔn)備
試驗(yàn)：固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)．
思考：C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角C的大小的增大而 ．（簡(jiǎn)：大角對(duì)大邊）能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？
二、新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
探究1：在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系. 如圖，在RtABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，
根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，
有，，又，
從而在直角三角形ABC中，．
探究2：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？
可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：
當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，
有CD=，則，
同理可得，從而．

類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立．請(qǐng)你試試推導(dǎo).
新知：正弦定理
在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的比相等，即．
試試：
（1）在中，一定成立的等式是（ ）．
A．
B．
C．
D．
（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，則∠B等于．
理解定理
（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使， ，；
（2）等價(jià)于 ，，．
（3）正弦定理的基本作用為：
①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； ．
②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如； ．
（4）一般地，把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊叫做 .
已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做 ．
典型例題
例1． 在中，已知，，cm，解三角形。
變式：在中，已知，，cm，解三角形。
例2．在。
變式：在．
三、總結(jié)提升
【學(xué)習(xí)小結(jié)】
1． 正弦定理：
2．應(yīng)用正弦定理解三角形：
①已知兩角和一邊；
②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角．
知識(shí)拓展
，其中為外接圓直徑.
【當(dāng)堂檢測(cè)】
1．根據(jù)下列條件，解△ABC．
（1）已知b=4，c=8， B=30；
（2）已知B=30，b=，c=2 ；
（3）已知b=6，c=9，B=45.

2． 在△ABC中，解三角形
（1）a=3，b=2，A=30 ； （2）a=2， b=，A=45 ；
（3）a=5，b=2，B=120 ； （4）a=，b=，B=45 .
3．在△ABC中，a:b:c=1:3:3，求的值.
4． 在中，若，則是（ ）.
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形
5． 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，則a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶ D．2∶2∶
6． 在△ABC中，若，則與的大小關(guān)系為（ ）.
A． B． C． ≥ D． 、的大小關(guān)系不能確定
7． 已知ABC中，，則= ．
8． 已知ABC中，A，，則= ．(合比性質(zhì))
9． 在△ABC中,a=5,b=3,C=120,則sinA:sinB的值是（ ）
10．已知△ABC外接圓半徑是2cm，A=60,求BC邊長(zhǎng).

11．在△ABC中，，試判斷△ABC的形狀.
12．已知，試判定△ABC形狀.
【作業(yè)布置】
1． 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．
2． 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍為。

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第四冊(cè)電子課本

9.1.1 正弦定理

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 必修 第四冊(cè)

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