【知識(shí)梳理】
1．內(nèi)角和定理：在中，；；
面積公式: S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB 在三角形中大邊對大角，反之亦然.
2．正弦定理：在一個(gè)三角形中,各邊和它的所對角的正弦的比相等.
形式一：asinA=bsinB=csinC=2R (解三角形的重要工具)
形式二： (邊角轉(zhuǎn)化的重要工具)
形式三：
形式四： sinA=a2R ，sinB=b2R ，sinC=c2R
【方法歸納】
（1）已知兩角A．B與一邊,由A+B+C=π及asinA=bsinB=csinC，可求出角C，再求、
（2）已知兩邊、及其中一邊的對角A，由正弦定理asinA=bsinB，求出另一邊的對角B，由C=π-(A+B)，求出，再由asinA=csinC求出C，而通過asinA=bsinB求B時(shí)，可能出一解，兩解或無解的情況，其判斷方法，如下表：
=sinA有一解 >>sinA有兩解 ≥ 有一解 >有一解
【典型例題】
例1在中，若，,，則 .
例2在△ABC中，已知=,=,B=45°,求A．C和.
例3在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，c．已知．
（I）求的值；

例4．在△ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，若a＝2，C＝eq \f(π,4)，cs eq \f(B,2)＝eq \f(2\r(5),5)，求△ABC的面積S.
【課堂練習(xí)】
一、選擇題
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c等于 ( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．1∶eq \r(3)∶2
2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則邊b的值為 ( )
A．eq \r(3)＋1 B．2eq \r(3)＋1 C．2eq \r(6) D．2＋2eq \r(3)
3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，則△ABC為 ( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰三角形
4．在△ABC中，A＝60°，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，則B等于 ( )
A．45°或135° B．60° C．45° D．135°
5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果c＝eq \r(3)a，B＝30°，那么角C等于 ( )
A．120° B．105° C．90° D．75°
二、填空題
6．在△ABC中，AC＝eq \r(6)，BC＝2，B＝60°，則C＝_________.
7．在△ABC中，若tan A＝eq \f(1,3)，C＝150°，BC＝1，則AB＝________.
8．在△ABC中，b＝1，c＝eq \r(3)，C＝eq \f(2π,3)，則a＝________.
9．在△ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若b＝2a，B＝A＋60°，則A＝______.
10．在△ABC中，已知a＝2eq \r(2)，A＝30°，B＝45°，解三角形．
11．在△ABC中，已知a＝2eq \r(3)，b＝6，A＝30°，解三角形．
12．在銳角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所對的角分別為A，B，C，求eq \f(a,b)的取值范圍．
【課后練習(xí)】
一、選擇題
1．在△ABC中，sin A＝sin B，則△ABC是 ( )
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
2．在△ABC中，若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，則△ABC是 ( )
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
3.在△ABC中，sin A＝eq \f(3,4)，a＝10，則邊長c的取值范圍是 ( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)，＋∞)) B．(10，＋∞) C．(0,10) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(40,3)))
4．在△ABC中，a＝2bcs C，則這個(gè)三角形一定是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sin A∶sin B∶sin C等于 ( )
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
6．已知三角形面積為eq \f(1,4)，外接圓面積為π，則這個(gè)三角形的三邊之積為 ( )
A．1 B．2 C．eq \f(1,2) D．4
7．在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(eq \r(3)＋1)∶2，則最大角為 ( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
二、填空題
8．在△ABC中，已知a＝3eq \r(2)，cs C＝eq \f(1,3)，S△ABC＝4eq \r(3)，則b＝________.
9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝60°，a＝eq \r(3)，b＝1，則c＝________.
10．在單位圓上有三點(diǎn)A，B，C，設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，則eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝________.
11．在△ABC中，A＝60°，a＝6eq \r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq \r(3)，則eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝________，c＝________.
三、解答題
12．在△ABC中，求證：eq \f(a－ccs B,b－ccs A)＝eq \f(sin B,sin A).
13．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，試判斷△ABC的形狀．
A>90°
A=90°
A
一解
一解
一解
=
無解
無解
一解
bsinA
兩解
無解
無解
a=bsinA
一解
a

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第四冊電子課本

9.1.1 正弦定理

版本： 人教B版 (2019)

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