人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊第9章章末綜合提升學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

類型1　利用正弦、余弦定理解三角形利用正弦、余弦定理解三角形的一般方法如下： (1)已知兩角和一邊，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b． (2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a，b和C，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a，b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多種情況． (4)已知三邊a，b，c可應(yīng)用余弦定理求A，B，C．【例1】　如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝2，BD＝eq \r(5)，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面積為2． (1)求AD的長； (2)求△CBD的面積． [思路探究]　(1)由面積公式求出sin∠ABD，進(jìn)而得cos∠ABD的值，利用余弦定理可解； (2)由AB⊥BC可以求出sin∠CBD的大小，再由二倍角公式求出sin∠BCD，可判斷△CBD為等腰三角形，利用正弦定理求出CD的大小，最后利用面積公式求解． [解]　(1)由S△ABD＝eq \f(1,2)AB·BD·sin∠ABD＝eq \f(1,2)×2×eq \r(5)×sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝eq \f(2,5)eq \r(5)，又∠ABD∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cos∠ABD＝eq \f(\r(5),5)．在△ABD中，由余弦定理知，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝eq \r(5)． (2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝eq \f(π,2)，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝eq \f(\r(5),5)．又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝eq \f(4,5)，∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－∠ABD))－2∠ABD＝eq \f(π,2)－∠ABD＝∠CBD，所以△CBD為等腰三角形，即CB＝CD．在△CBD中，由正弦定理知，eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)，得CD＝eq \f(BD·sin∠CBD,sin∠BCD)＝eq \f(\r(5)×\f(\r(5),5),\f(4,5))＝eq \f(5,4)，所以S△CBD＝eq \f(1,2)×eq \f(5,4)×eq \f(5,4)×eq \f(4,5)＝eq \f(5,8)．類型2　利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀判斷三角形的形狀，一般有以下兩種方法：(1)將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解；(2)將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角知識求解．【例2】　在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀． [解]　因?yàn)?a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)] ＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，所以2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B，即a2cos Asin B＝b2sin Acos B．法一：由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，又sin Asin B≠0，所以sin Acos A＝sin Bcos B，所以sin 2A＝sin 2B．在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)．所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理，得 a2b×eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2a×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0．即a＝b或a2＋b2＝c2．所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．類型3　正弦、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用正弦定理、余弦定理在實(shí)際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用．常用的有測量距離問題，測量高度問題，測量角度問題等．解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，用哪個(gè)定理求解，并進(jìn)行作答，解題時(shí)還要注意近似計(jì)算的要求．【例3】　如圖，在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12海里的B處水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10海里的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14海里的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值． [思路探究]　假設(shè)經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，作出示意圖，把實(shí)際數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理求解． [解]　如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC＝14x海里，BC＝10x海里，∠ABC＝120°．根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，解得x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,4)舍去))．故AC＝28海里，BC＝20海里．根據(jù)正弦定理得eq \f(BC,sin α)＝eq \f(AC,sin 120°)，解得sin α＝eq \f(20sin 120°,28)＝eq \f(5\r(3),14)．故紅方偵察艇所需的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為eq \f(5\r(3),14)．