一　正 弦 定 理(30分鐘　60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對(duì)得4分,選對(duì)但不全對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知c=1,b=,B=60°,則C等于 (　　)A.30° B.45° C.150° D.30°或150°【解題指南】利用正弦定理解三角形,根據(jù)大邊對(duì)大角,即可得解.【解析】選A.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知c=1,b=,B=60°,則由正弦定理可得=,所以sin C==,因?yàn)閏<b,所以C=30°.2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=,則b= (　　)A.1  B.  C.  D.2【解析】選A.因?yàn)樵?/span>△ABC中,A=105°,C=45°,所以B=180°-A-C=180°-105°-45°=30°.再由正弦定理=,即=,解得b=1.3.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asinA,則△ABC的形狀為(　　)A.銳角三角形   B.直角三角形C.等邊三角形   D.等腰三角形【解析】選B.由正弦定理可以得到sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,故sin(B+C)=sin2 A,即sin A=sin2 A.因?yàn)锳∈(0,π),故sin A≠0,所以sin A=1.因?yàn)锳∈(0,π),故A=,所以△ABC為直角三角形.4.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=2ccos A,sin A=1,則sin C的值為 (　　)A.    B.    C.   D.【解析】選B.因?yàn)?/span>sin A=1,即sin A=.又a=2ccos A,cos A=>0,所以cos A=.由條件及正弦定理得sin A=2sin Ccos A,即=2×sin C,所以sin C=.5.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,則此三角形 (　　)A.無解  B.有兩解C.有一解  D.解的個(gè)數(shù)不確定【解析】選B.如圖,因?yàn)閎sin A<a<b,所以B有兩解.6.(多選題)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若滿足sin B=2sin Acos C+cos Asin C,則下列結(jié)論可能正確的是(　　)A.a=2b  B.b=2aC.C=   D.C<【解析】選AC.由sin B=2sin Acos C+cos Asin C,得sin B+2sin Bcos C=2sin Acos C+cos Asin C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),cos C(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或2sin B=sin A,C=或2b=a.二、填空題(每小題4分,共8分)7.在銳角△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,且a=2csin A,則角C=________. 【解析】由a=2csin A及正弦定理得==,因?yàn)閟in A≠0,所以sin C=,又因?yàn)?/span>△ABC是銳角三角形,所以C=.答案:8.在△ABC中,若AB=,AC=1,B=30°,則△ABC的面積為________. 【解析】如圖所示,由正弦定理得sin C==.且AB>AC,所以C=60°或C=120°.所以A=90°或A=30°.所以S△ABC=AC·AB·sin A=或.答案:或三、解答題(每小題14分,共28分)9.已知△ABC中,a=,b=,B=45°,求A,C和邊c.【解析】由正弦定理=,得sin A=.因?yàn)閍>b,所以A=60°或A=120°.當(dāng)A=60°時(shí),C=180°-45°-60°=75°,c==;當(dāng)A=120°時(shí),C=180°-45°-120°=15°,c==.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若在△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°得B=180°-A-C=60°,在△ABC中,由正弦定理得==,故BC===,AB====.10.在△ABC中,角A的平分線交BC于點(diǎn)D,△ADC是△ABD面積的倍.(1)求的值.(2)若A=30°,AB=1,求AD的值.【解題指南】(1)根據(jù)△ADC是△ABD面積的倍列式,由此求得的值.(2)用B表示C,利用正弦定理和兩角差的正弦公式,化簡(jiǎn)(1)所得的表達(dá)式,求得tan B的值,進(jìn)而求得∠ADB的值,利用正弦定理求得AD的值.【解析】(1)因?yàn)锳D平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.所以===.(2)因?yàn)锳=30°,所以C=150°-B,由(1)得====,所以sin B=cos B+sin B,即sin B=-cos B,得tan B=-.易得B=120°,因?yàn)锳D平分∠BAC,所以∠ADB=30°+15°=45°.因?yàn)锳B=1,由正弦定理知=,即==,得AD=.(35分鐘　70分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.已知△ABC中,a=1,b=,B=45°,則A等于 (　　)A.150° B.90° C.60° D.30°【解析】選D.由正弦定理,得=,得sin A=.又a<b,所以A<B=45°.所以A=30°.2.在△ABC中,若內(nèi)角滿足A>B,則下列結(jié)論一定正確的是 (　　)A.sin A>sin B  B.sin A<sin BC.sin A>cos B  D.cos A>cos B【解題指南】先由三角形大角對(duì)大邊,再由正弦定理變形公式判斷.【解析】選A.設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,因?yàn)?/span>A>B,所以a>b,由正弦定理得,2Rsin A>2Rsin B,即sin A>sin B.3.在△ABC中,若sin A>sin B,則A與B的大小關(guān)系為 (　　)A.A>B　　　　　　 B.A<BC.A≥B    D.A,B的大小不能確定【解題指南】先由正弦定理說明a>b,然后再根據(jù)△ABC中大角對(duì)大邊的原理去判斷.【解析】選A.由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B.因?yàn)閟in A>sin B.所以a>b,所以A>B.4.在△ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若=,則△ABC的形狀是 (　　)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】選D.由已知===,所以=或=0,即C=90°或=.由正弦定理,得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,因?yàn)?/span>B,C均為△ABC的內(nèi)角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.二、填空題(每小題4分,共16分)5.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a=bsin A,則sin B=________. 【解析】由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以sin A=sin B·sin A,故sin B=.答案:6.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,則=________. 【解析】方法一:由正弦定理bcos C+ccos B=2b,即sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即sin(B+C)=2sin B,sin(π-A)=2sin B,有sin A=2sin B,再由正弦定理得a=2b,=2.方法二:如圖,作AD⊥BC于點(diǎn)D,則a=BC=BD+DC=ccos B+bcos C=2b,即=2.答案:27.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊a,b,c滿足2b=a+c,且A-C=90°,則cos B=________. 【解析】因?yàn)?b=a+c.所以由正弦定理,得2sin B=sin A+sin C.因?yàn)锳-C=90°,所以2sin B=sin(90°+C)+sin C.所以2sin B=cos C+sin C.所以2sin B=sin(C+45°).①因?yàn)锳+B+C=180°且A-C=90°,所以C=45°-,代入①式中,2sin B=sin.所以2sin B=cos.所以4sincos=cos.所以sin=.所以cos B=1-2sin2=1-=.答案:8.在銳角△ABC中,BC=1,B=2A,則的值等于________,AC的取值范圍為________. 【解題指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函數(shù)的值域求取值范圍.【解析】設(shè)A=θ?B=2θ.由正弦定理得=,所以=1?=2.由銳角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°,又0°<180°-3θ<90°?30°<θ<60°,故30°<θ<45°?<cos θ<,所以AC=2cos θ∈(,).答案:2　(,)三、解答題(共38分)9.(12分)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且b=6,a=2,A=30°,試求ac的值.【解析】由正弦定理=得sin B===.由條件b=6,a=2,b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)當(dāng)B=60°時(shí),C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=2,b=6,c=4,所以ac=2×4=24. (2)當(dāng)B=120°時(shí),C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,所以A=C,則有a=c=2.所以ac=2×2=12.10.(12分)已知在△ABC中,D為BC中點(diǎn),cos∠BAD=,cos∠CAD=,(1)求∠BAC的值.(2)求的值.【解析】(1)因?yàn)閏os∠BAD=,cos∠CAD=,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD為銳角,所以sin∠BAD=,sin∠CAD=,cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=×-×=,因?yàn)?<∠BAC<π,所以∠BAC=.(2)在△ABC中,=,在△ABD中,=,=,又因?yàn)锽C=2BD,所以=.11.(14分)如圖所示,扇形AOB,圓心角∠AOB為60°,半徑為2,在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P.過P引平行于OB的直線交OA于點(diǎn)C,設(shè)∠AOP=θ,求△POC面積的最大值及此時(shí)θ的值.【解析】因?yàn)镃P∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.在△POC中,由正弦定理,得=,所以CP===.又=,所以O(shè)C=sin(60°-θ),所以S△POC=CP·OCsin 120°=×sin θ·sin(60°-θ)×=cos(2θ-60°)-.又0°<θ<60°,所以當(dāng)θ=30°時(shí),S△POC取得最大值.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,已知sin A-cos A=1,cos B=,AB=4+.(1)求內(nèi)角A的大小.(2)求邊BC的長(zhǎng).【解析】(1)因?yàn)?/span>sin A-cos A=1,所以2sin=1,即sin=,因?yàn)?<A<π,所以-<A-<,所以A-=,所以A=.(2)因?yàn)閟in2B+cos2B=1,cos B=,B∈,所以sin B==,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以=,得BC=5.    

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